重庆市重庆一中2020-2021学年高一数学下学期期中试题(含解析)
重庆市重庆一中2020-2021学年高一数学下学期期中试题(含解析)
重庆市重庆一中2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2,1,0,1,2A =--，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A. {}2,1,0,2-- B. {}2C. {}2,1,2--D. {}2,1--【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法得到集合B ，再由集合的交集运算得到结果.【详解】集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{}11=|01B x x x x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭或，根据集合的交集运算得到A B ⋂={}2,1,2--. 故答案为：C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，则2a =（ ） A. 3 B. 9C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=【详解】等差数列{}n a 中，1239a a a ++=,根据等差数列的运算性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=故答案为：A.【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.3.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A.11a b< B. 2ab b < C. 2ab a -<- D. 2m m P UI W ==【答案】D 【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解. 详解：1a --（1b -）=a b ab-，因为0a b <<，所以0,0.a b ab - 所以11a b-<-.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.4.在等比数列{}n a 中，已知2171,16a a a =⋅=，则该数列的公比q =（ ） A. 2± B. 4± C. 2 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到217416,a a a ⋅==进而解得44a =±，由等比数列的通项公式得到结果.【详解】等比数列{}n a 中，已知2217441,164a a a a a =⋅==⇒=±2422 2.a a q a =⇒=±故答案为：A.【点睛】这个题目考查了等比数列的性质以及通项公式的应用，属于基础题.5.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
2020-2021重庆第一中学高三数学下期中模拟试题(带答案)
2020-2021重庆第一中学高三数学下期中模拟试题(带答案)一、选择题1．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-2．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．3．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定6．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =7．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9008．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值319．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣10．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1 B．3CD．711．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．66二、填空题13．已知lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是______.14．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 15．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______．16．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________17．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．18．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．19．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 20．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*2N n n S a n n =-∈.（Ⅰ）证明：{}1n a +是等比数列； （Ⅱ）求13521n a a a a -+++⋯+的值.22．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足2sin 1cos A C B =-．（1）若2a =，22c =，求b； （2）若14sin 4B =，3a =，求b ． 23．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ． 24．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD .25．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 26．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划2．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .【详解】 由内角和定理知，所以，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.3．B【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.4．A解析：A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.5．A解析：A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系． 【详解】解：∵∠C ＝120°，ca ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（）2＝a 2+b 2+ab ．∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b ，∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b ，∴a ＞b 故选A ． 【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．6．B【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.7．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 8．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.9．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.10．D解析：D 【解析】分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =化简得cosA =，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin2sin 0b A B +=，可得sin2sin 0sinB A B +=，即2sin sin 0sinB AcosA B = 由于：0sinBsinA ≠，所以cosA =：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6=．又b =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=. 即227a c =，所以c a =. 故选：D ．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．11．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.12．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.二、填空题13．【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填解析：15【解析】由lg lg 2x y +=得：100xy =，所以1111111()1001005xy x y x y x y ⎛⎫+=+=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当10x y ==时，取等号，故填15. 14．【解析】【分析】由题意可得运用累加法和裂项相消求和可得再由不等式恒成立问题可得恒成立转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题意数列中即则有则有又对于任意的不等式恒成立即对于任意的恒成立恒成立 解析：(,1]-∞-【解析】 【分析】 由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n an ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+=则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有11111111n n nn n n a a a a a a n n n n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭(11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++． 15．3【解析】【分析】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得解方程得解【详解】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得所以故答案：3【点睛】本题主要解析：3 【解析】 【分析】由acosB ＝5bcosA 得22223a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解. 【详解】由acosB ＝5bcosA 得22222222225,223a cb bc a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，所以222,33c c c =∴=. 故答案：3 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求 解析：x c -【解析】 【分析】构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质． 【详解】函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数， 若a c b c +>+，则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-， 即a b >． 故答案为：x c - 【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．17．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取解析：5 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】作出变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，由2z x y =+知,2y x z =-+，所以动直线2y x z =-+的纵截距z 取得最大值时， 目标函数取得最大值，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩得()3,1A -， 结合可行域可知当动直线经过点()3,1A -时， 目标函数取得最大值2315z =⨯-=，故答案为5. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.18．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；19．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)解析：9 【解析】解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 故：111871222n n n c a b n =+=+ ， 满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，由等差数列前n 项和公式可得：11111871218712222222502n n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ，解得：9n = .即二马相逢，需9日相逢 点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．20．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题【解析】 【分析】利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =︒，而根据正弦定理和,,a b c 成等比数列有1sin sin c b B A=，从而得到所求之值. 【详解】∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=.在ABC ∆中，由余弦定理2221cos 22c b a A bc +-== ，因()0,A π∈，∴60A =︒. 由正弦定理得2sin sin sin sin sin sin c C Cb B B B B==， 因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ，故2sin sin 1sin sin sin sin C C B A C A ===.故答案为3. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.三、解答题21．（I ）见解析；（II ）()2413n n --【解析】 【分析】（I ）计算1n S -，根据,n n S a 关系，可得121n n a a -=+，然后使用配凑法，可得结果. （II ）根据（1）的结果，可得n a ，然后计算21n a -，利用等比数列的前n 和公式，可得结果. 【详解】（I ）由2n n S a n =-①当1n =时，可得111211S a a =-⇒= 当2n ≥时，则()1121n n S a n --=--② 则①-②：()12212n n n a a a n -=--≥ 则()1121121n n n n a a a a --=+⇒+=+ 又112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列（II ）由（I ）可知：1221n nn n a a +=⇒=-所以2121121412n n n a --=-=⋅-记13521n n T a a a a -=+++⋯+ 所以()2144 (42)n n T n =+++- 又()()241444144 (414)3n n n --+++==-所以()()4412411233nnnT n n --=⋅-=- 【点睛】本题考查,n n S a 的关系证明等比数列以及等比数列的前n 和公式，熟练公式，以及掌握,n n S a 之间的关系，属基础题.22．（1）22b =（2）6b =或3 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得22ac b =，根据已知可求b 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos B ，由余弦定理可得222224ac a c ac =+-g，根据已知可求c ，进而可求b 的值． 【详解】 （1）Q222sin sin 1cos sin A C B B =-=．∴由正弦定理可得22ac b =，2a =Q ，22c =，22b ∴=.（2）14sin 4B =Q ，2cos 4B ∴=， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得22222ac a c ac =+-⋅，又3a =，解得6c =或62， 6b ∴=或3，经检验，6b =或3为所求． 【点睛】本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题． 23．（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)n n --++. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3． （Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1 =[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b 1=3适合上式，所以．∴．∴= =点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为1(1)n a n n =+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++；（2）已知数列的通项公式为1(21)(21)n a n n =-+，求前n 项和：1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+；（3）已知数列的通项公式为1n a n n =++n 项和:.11n a n n n n ==+++24．（1）528；（2）CD ＝5 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理求cos∠BAC；（2）先求出sin∠DAC＝528，再利用正弦定理求CD ． 【详解】（1）在△ABC 中，由余弦定理得：222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⋅==．（2）因为∠DAC＝90°－∠BAC，所以sin∠DAC＝cos∠BAC＝8，所以在△ACD中由正弦定理得：sin sin45CD ACDAC=∠︒=，所以CD＝5．【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.25．（1）π3A=（2）△ABC为等边三角形【解析】分析：（1）由//m nu r r，得3sin(sin)02A A A⋅-=，利用三角恒等变换的公式，求解πsin216A⎛⎫-=⎪⎝⎭，进而求解角A的大小；（2）由余弦定理，得224b c bc=+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得4bc≤，即可判定当b c=时面积最大，得到三角形形状．详解：（1）因为m//n,所以()3sin sin02A A A⋅-=.所以1cos2322AA--=1cos212A A-=，即πsin216A⎛⎫-=⎪⎝⎭.因为()0,πA∈ , 所以ππ11π2666A⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，.故ππ262A-=，π3A=.（2）由余弦定理，得224b c bc=+-又1sin2ABCS bc A∆==，而222424b c bc bc bc bc+≥⇒+≥⇒≤，（当且仅当b c=时等号成立）所以1sin42ABCS bc A∆==≤=.当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.26．（1）31nn a =-；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=，然后两式相减得到132n n a a +=+，构造{}1n a +是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----，再利用裂项相消法求和，证明14n T <. 【详解】（1）223n n S n a +=Q ，1122(1)3n n S n a ++∴++=，两式相减得132n n a a +=+ ，113(1)n n a a ++=+∴ ，又111223,2S a a +==∴，∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，13,31n n n n a a +==-∴∴（2）113111()(31)(31)23131n n nn n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭∴1111142314n +=-⋅<- 【点睛】本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。
2020-2021学年重庆高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年重庆高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,5)，那么2a⃗+b⃗ 等于()A. (−1,11)B. (4,7)C. (1,6)D. (5,−4)2.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=3，则边b=()A. 5√2B. 4√2C. 3√2D. 2√23.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图(单位：秒)，则()A. 平均数为64B. 众数为7C. 极差为17D. 中位数为64.54.已知点P(1,2)与直线l:x+y+1=0，则点P关于直线l的对称点坐标为()A. (−3,−2)B. (−3,−1)C. (2,4)D. (−5,−3)5.已知直线l经过点A(−2,0)与点B(−5,3)，则该直线的倾斜角为()A. 150°B. 135°C. 60°D. 45°6.在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB=2:3，则a:b=()A. 3:2B. 4:9C. 9:4D. 2:37.已知数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为A n，B n，记c n=a n B n+b n A n−a n b n(n∈N∗)，则数列{c n}的前10项和为()A. A10+B10B. 12(A10+B10) C. A10⋅B10 D. √A10⋅B108.某公司某种产品的定价x(单位：元)与销量y(单位：件)之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＾=6.5x+17.5，则表格中n 的值应为()A. 45B. 50C. 55D. 609.已知α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)，满足a>β的概率为()A. 19B. 29C. 13D. 1210. 在△ABC 中，若(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则( )A. △ABC 是锐角三角形B. △ABC 是直角三角形C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 的形状不能确定11. 已知数列{a n }满足：a 1=1，2a n+1=2a n +1 , n ∈N ∗则数列{a n }=( )A. {a n }是等比数列B. {a n }不是等差数列C. a 2=1.5D. S 5=12212. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且满足|a ⃗ −2b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为 ( )A. 12B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组数据为19，18，23，24，21，则这组数据的中位数为____． 14. 下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α=sin β，则α=β；③“实数a =0”是“直线x −2ay =1和直线2x −2ay =1平行”的充要条件； ④若f (x )=log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．15. 综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C 在同一水平面的A 、B 两点(B 在A 的正西方向)，在A 点测得樟树根部C 在西偏北30°的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______ 米.16. 已知直线l 1：kx −y +1−k =0与l 2：ky −x −2k =0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ．(1)若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k，使得m⃗⃗⃗ //n⃗？说明理由．18.已知两条直线l1：x+2y−m+3=0，l2：mx+y−1−m=0．(Ⅰ)若l 1⊥l 2，求实数m的值；(Ⅱ)若l 1//l 2，求直线l 1，l 2间的距离．19.2020年决战脱贫攻坚期间，某工作小组为了解本地农民对脱贫攻坚工作的满意度，深入农村贫困一线调查，得出数据制成如下表格和频率分布直方图(分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组).已知评分在[80,100]的人数为1800．满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值，及满意度评分在[40,70)内的人数；(2)定义满意度指数X=平均分，若X<0.8，则脱贫攻坚工作需要进行大的调整，否100则不需要大调整．根据所学知识判断该区脱贫攻坚工作是否需要进行大调整(同一组中的数据以该数据所在区间的中点值为代表)；(3)为了解部分人员不满意的原因，从不满意的人员(评分在[40,50)，[50,60)内)中用分层抽样的方法抽取6名人员，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任脱贫攻坚工作的监督员，求这2人中至少有1人对脱贫攻坚工作的评分在[40,50)内的概率．20.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且S1，2S2，3S3成等差数列．3(1)求a n；(2)设b n=n，求数列{b n}的前n项和T n．a n21.在△ABC中，D在边BC上，且BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°，求AC的长及△ABC的面积22.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,5)，那么2a⃗+b⃗ =(4,7)．故选：B．直接利用向量的坐标运算求解即可．本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查正弦定理的应用．【解答】∵B=135°，C=15°，∴A=180°−B−C=30°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得b=3×√2212=3√2．故选C．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算，是基础题．根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和极差即可．【解答】解：茎叶图中的数据分别为58，59，61，62，67，67，70，76，所以中位数是62+672=64.5，众数是67，平均数是18(58+59+61+62+67+67+70+76)=65，极差为76−58=18，故选：D ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查直线方程的应用，属于基础题．依题意先设点P 关于直线对称点的坐标，再根据对称性即可列出方程组，求出坐标． 【解答】解：设点P 关于直线l 的对称点的坐标是(x,y)，依题意可得：{y−2x−1=1x+12+y+22+1=0解得{x =−3y =−2 ∴点P 关于直线的对称点坐标是(−3,−2) 故选A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了直线的斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：设该直线的倾斜角为θ， 则tanθ=0−3−2−(−5)=−1， ∵θ∈[0∘,180∘),∴θ=135°． 故选B ．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查正弦定理，属于基础题目． 直接利用正弦定理得出即可． 【解答】解：∵sinA:sinB =2:3，∴由正弦定理可得a:b=sinA:sinB=2:3．故选D．7.【答案】C【解析】解：∵a n=A n−A n−1，b n=B n−B n−1，n≥2，c n=a n B n+b n A n−a n b n(n∈N∗)，∴c n=a n(B n−b n)+b n A n=(A n−A n−1)(B n−b n)+b n A n=A n B n−A n−1(B n−b n)=A n B n−A n−1(B n−B n+B n−1)=A n B n−A n−1B n−1，∴数列{c n}的前10项和为：c1+c2+c3+⋯+c10=A1B1+(A2B2−A1B1)+(A3B3−A2B2)+⋯+(A10B10−A9B9)=A10B10．故选：C．由已知条件推导出c n=A n B n−A n−1B n−1，由此利用累加法能求出数列{c n}的前10项和．本题考查数列的前10项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，x=15(2+4+5+6+8)=5，y=15(30+40+n+50+70)=38+n5，∵y关于x的线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5 ，∴38+n5=6.5×5+17.5，∴n=60．故选D．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)，利用列举法能求出满足a >β的概率． 【解答】解：α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)， 基本事件有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)， (1,3)，(3,1)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共9个，满足a >β包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，共3个， ∴满足a >β的概率为p =39=13． 故选C ．10.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了向量的三角形法则和数量积运算法则、勾股定理的逆定理，属于基础题． 由(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，可得(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，进而得到|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 利用勾股定理的逆定理即可判断出． 【解答】解：∵(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 即|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴∠A =90°．∴△ABC 是直角三角形． 故选：B ．11.【答案】C【解析】解：由a1=1，2a n+1=2a n+1 , n∈N∗则：a n+1−a n=12．∴数列{a n}是等差数列，公差为12．∴a n=1+12(n−1)=n+12．∴a2=32=1.5．故选：C．变形利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2.即可得出．【解答】解：∵非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |，即|a⃗||b⃗ |≤2．当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立，∴a⃗⋅b⃗ =12|a⃗||b⃗ |≤1．即a⃗⋅b⃗ 的最大值为1．故选B．13.【答案】21【解析】【分析】本题主要考查对中位数的理解，属于基础题．【解答】解：这组数据从小到大排列依次为18，19，21，23，24，∴这组数据的中位数为21，故答案为21．14.【答案】①③④【解析】对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°=sin150°⇒/30°= 150°，所以②错误；对于③，l1//l2⇔A1B2=A2B1，即−2a=−4a⇒a=0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．15.【答案】20√63【解析】【分析】本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，正弦定理的应用，是中档题．结合已知条件，利用正弦定理，通过求解三角形即可．【解答】解：根据图形知，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°−30°=45°，AB=40，由正弦定理得，BCsin30∘=40sin45∘，解得BC=40×12√22=20√2，在Rt△BCD中，∠BDC=30°，所以CD=BCtan30°=20√2×√33=20√63．故答案为：20√63．16.【答案】(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)【解析】【分析】本题考查两直线交点坐标的应用，属于基础题目．【解答】解：由题意可得，两直线不平行，故它们的斜率不相等，故k ≠±1，联立{kx −y +1−k =0ky −x −2k =0可得交点坐标为(k k−1,2k−1k−1)， 因为交点在第一象限，所以{k k−1>02k−1k−1>0， 解得k >1或k <0，综上可得实数k 的取值范围为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)．故答案为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)．17.【答案】解：(Ⅰ)∵向量a⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos120°=2×3×(−12)=−3，∵m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b⃗ −2k b ⃗ 2=0， ∴6×22+(3k −4)⋅(−3)−2k ×32=0，解得k =43．(Ⅱ)∵m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，∴3a ⃗ −2b ⃗ =λ(2a ⃗ +k b ⃗ )=2λa ⃗ +λk b ⃗ ，(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b⃗ ，又向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，∴{3−2λ=02+λk =0， 解得λ=32,k =−43，∴存在实数k =−43时，有m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ．【解析】(Ⅰ)推导出a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b⃗ |cos120°=−3，由向量垂直得m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b ⃗ −2k b ⃗ 2=0，由此能求出实数k ． (Ⅱ)由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，得∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，从而(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b ⃗ ，由向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，列方程组求出存在实数k =−43时，有m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． 本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 18.【答案】解：直线l 1的斜率为k 1=−12，截距为b 1=12m −32，直线l 2的斜率为k 2=−m ，截距为b 2=m +1，(Ⅰ)若l 1⊥l 2，则k 1⋅k 2=12m =−1，解得m =−2；(Ⅱ)若l 1//l 2，则{k 1=k 2b 1≠b 2，即{m =1212m −32≠m +1，解得m =12， 此时直线l 1：x +2y +52=0，直线l 2：x +2y −3=0，所以直线l 1，l 2间的距离d =|52−(−3)|√12+22=11√510．【解析】本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数a 的值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题．(Ⅰ)根据两条直线垂直的条件，建立关于a 的关系式，即可得到使l 1⊥l 2的实数a 的值； (Ⅱ)两条直线平行的条件，建立关于a 的方程，解之可得实数a 的值．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a)×10=1，即10×(0.075+a)=1，解得a =0.025；设总共调查了n人，则0.6n=1800，解得n=3000，即调查的总人数为3000人；满意度评分在[40,70)内共调查的人数为(0.002+0.004+0.014)×10×3000=600;(2)由频率分布直方图知x=45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7所以，满意度指数X=80.7100=0.807>0.8，因此，该区工作不需要大的调整．，(3)由题意可知，评分在[40,50)，[50,60)的频率之比为0.020.04=12，即不满意的人数在两段分别有20、40，所以评分在[40,50)，所抽取的人数为6×13=2，分别记为a、b，评分在[50,60)所抽取的人数为6×23=4，分别记为A、B、C、D，所以抽取两人的基本事件为：ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共15个，至少有一人来自[40,50)的基本事件有ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD共9个，所以所求概率p=915=35．【解析】本题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图估计平均数，分层抽样，古典概型的计算与应用，考查计算能力，属于中档题．(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1，可得a，根据频率，频数可求样本容量；(2)根据频率分布直方图估计总体平均数的计算公式可得；(3)先求出评分在[40,50)，[50,60)两段的人数，再由分层抽样求出在两段抽取的人数，由题意，列出所有的基本事件及至少有一人来自[40,50)的基本事件，由古典概型的概率计算公式可得．20.【答案】解：(1)∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=13，且S1，2S2，3S3成等差数列，∴4S2=S1+3S2，若q=1，则a n=a1=13，S1=13,S2=23,S3=1，∴4S2=83≠S1+3S3 =103，∴q≠1，4a1(1−q2)1−q =a1+3a1(1−q3) 1−q，∴4(1+q)=1+3(1+q+q2)，整理，得3q2−q=0，解得q=13，q=0(舍)，∴a n=13⋅(13)n−1=13n．(2)∵b n=na n=n⋅3n，∴T n=1⋅3+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n，①3T n=1⋅32+2⋅33+3⋅34+⋯+n⋅3n+1，②①−②，得：−2T n=3+32+33+⋯+3n−n⋅3n+1=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1，∴T n=(n2−14)⋅3n+1+34．【解析】(1)由已知条件得4S2=S1+3S2，由此求出公比，从而能求出a n=13⋅(13)n−1=13n．(2)由b n=na n =n⋅3n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和T n．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21.【答案】解：由题意，∠B=60°，BC=3，∠ADC=150°，可知ABD是直角三角形，∴AB=1，AD=√3在△ADC中，由余弦定理：AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcos150°=7∴AC=√7；△ABC的面积为S=12AB⋅BC⋅sin60°=12×3×1×√32=3√34．【解析】在△ABC 中，根据∠B =60°，BC =3，∠ADC =150°，可得AB =1，结合正弦定理可得AC 的长．利用面积公式S =12AB ⋅BC ⋅sin60°求△ABC 的面积． 本题考查了正余弦定理的应用和计算．属于基础题． 22.【答案】解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2)∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1.(Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数. 令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．【解析】(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1． 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．。
重庆市第一中学2020-2021学年高一下学期期4月月考数学试题
显然 AC 2 AB12 B1C 2 , ACB1 为直角三角形（ CAB1 Rt ）.
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. …………（12 分）
…………（6 分）
…………（12 分） …………（4 分） …………（5 分）
其面积 SACB1
5 2
故而， S1 2
2 2
5 1 1 7
2
22
2 5 ； 2
2
3
在 ABC ，由余弦定理 b2 c2 a2 2ac cos B ，
得
7
c2
9
2c
3cos
3
，即
c2
3c
2
0
，解得
c
1或
c
2.
当 c 1时， b2 c2 a2 2 0,cos A 0 即 A 为钝角（舍），
故 c 2 符合.
（2）由（1）得 B ，所以 C 2 A ，
2
42
8
8
由 x (0, 2) ，取交集得 (0, ), ( 5 , 2) 即为所求 88
19. 解（1）由 a sin 2B b sin A ，得 sin Asin 2B sin B sin A ，
得 2sin Asin B cos A sin B sin A，得 cos B 1 ，因为 B (0, ) B
SABC
1 2
AB
AC
1 2
，则三棱柱体积为 V
Sh
121 2
（2）按方案 1 切割：
因为VB1ABC 13VABCA1B1C1 ，故而体积较大的一块是多面体 AC A1C1B1
其表面积 S1 S ACC1A1 SCC1B1 S ACB1 S AA1B1 S A1B1C1
重庆一中 高一下学期期中考试数学试题
重庆一中 高一下期半期考试数 学 试 题 卷一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1.已知等差数列}{n a 满足682=+a a ，则=5a （ ）A.3B.6C. 8D. 12 2.已知向量)3,(),1,2(x b a =-=，若⊥，则实数x 的值是（ ）A. 6B. 6-C.23 D. 23- 3.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+01042y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A.2B. 27C. 7D.8 4.若1->x ，则14++x x 的最小值是（ ） A.4 B.3 C.2 D.15.（原创）在圆O 内随机任取一点，则取到的点恰好落在该圆的内接正方形内的概率是（ ）A. π2B. π1C. 4πD. 5π6.（原创）有些同学考试时总是很粗心. 某数学老师为了研究他所教两个班学生的细心情况，在某次数学考试后，从他所教的甲、乙两个班级里各随机抽取了五份答卷并对解答题第16题（满分13分）的得分进行统计，得到对应的甲、乙两组数据，其茎叶图如下图所示，其中}3,2,1,0{,∈y x ，已知甲组数据的中位数比乙组数据的平均数多59，则y x +的值为（ ）A.5B.4C.3D.17.（原创）b a ,为非零实数，已知0>ab 且b a >，则下列不等式不一定．．．成立的是（ ） A. a b b 2> B. 2ln )ln(>+b a a b C. ba 11)21()21(> D. 11++<a b a b8.（原创）执行如图所示的程序框图，若输出20152014=s ，则判断框内应填入的条件是（ ）甲组乙组9 6 0 7 8 3 3 x 1 1 y 3（第6题图）80 90 100 110 120 130 0.0300.025 0.020 0.015 0.010 底部周长 cm （第12题图）A. 2015<nB. 2015≤nC. 2014<nD. 2013<n9.（原创）已知ABC ∆的三个内角,,A BC 满足B A C 2sin 220142cos 2cos 2015-=-，则=⋅+⋅B A B A C tan tan )tan (tantan （ ）A. 22015B. 20152C. 20141D. 1007110.（原创）已知平面向量βα,满足32=-，且βα+与βα2-的夹角为 150，则)()(R t t ∈-+βα的最小值是（ ）. A.43 B. 33 C. 23 D. 3 二．填空题.(本大题共5 小题，共25分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置)11.运行下面的伪代码，输出的T 的值为 ；12.对大量底部周长]130,80[∈（单位：cm ）的树木进行研究，从中随机抽出200株树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如上图所示，则在抽测的200株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm ；13.（原创）“丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上8：00至8：30之间（假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在歌乐山健身步道起点处会合. 若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分钟；若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10分钟，若在等待时间内对方到达，则她俩就一起快乐地爬山，否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独地爬山，则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是 （用数字作答）；14.（原创）已知+∈R y x ,且32=+y x ，若不等式a y x xy ⋅+≤)2(对任意+∈R y x ,恒成立，则实数a 的取值范围是 ；15.（原创）已知*,12N n n a n ∈-=，将数列}{n a 的项依次按如图的规律“蛇形排列”成一（第11题图）1 7,5,3 9,11,13,15,17 31,29,27,25,23,21,19 33,35,37,39,41,43,45,47,49 ……………………………………ABCDNM个金字塔状的三角形数阵，其中第m 行有12-m 个项，记第m 行从左到右．．．．的第k 个数为),,121(,*,N k m m k b k m ∈-≤≤，如29,152,44,3==b b ，则=k m b , （结果用k m ,表示）.三．解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)16.（13分）（原创）学生“如花姐”是2015年我校高一年级“校园歌手大赛”的热门参赛选手之一，经统计，网络投票环节中大众对“如花姐”的投票情况是：喜爱程度 非常喜欢 一般 不喜欢 人数 500 200 100现采用分层抽样的方法从所有参与对“如花姐”投票的800名观众中抽取一个容量为n 的样本，若从不喜欢“如花姐”的100名观众中抽取的人数是5人. （1）求n 的值；（2）若从不喜欢“如花姐”的观众中抽取的5人中恰有3名男生（记为321,,a a a ）2名女生（记为21,b b ），现将此5人看成一个总体，从中随机选出2人，列出所有可能的结果； （3）在（2）的条件下，求选出的2人中至少有1名女生的概率.17.（13分）（原创）若数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是等比数列，且5221,a b a b ==.（1）求n a 及n b ；（2）记n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（13分）（原创）如图，已知菱形ABCD 的边长为2，120=∠BAD ，N M ,分别为CDBC ,上的点，)1,0(,,,∈==μλμλ，记==,.（1） 当21==μλ-；（2） 若2-=⋅b a ，求μλ11+的值.19.（12分）（原创）ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若边2=c ，且B bC B a A a sin sin 2sin sin -=-.（1）若A A B C 2sin )sin(sin =-+，求ABC ∆的面积；（2）记AB 边的中点为M 的最大值，并说明理由.20.（12分）（原创）已知二次函数0,,,,)(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f .（1）是否存在R c b N a ∈∈,,*使得1)(22+≤≤x x f x 对任意R x ∈恒成立？若存在，求出相应的c b a ,,的值；若不存在，请说明理由.（2）当1=a 时，若关于x 的方程x x f 2)(=的两根满足)2,1(),1,0(21∈∈x x ，试求)1(4)12()1(22+--++bc c b 的取值范围.21.（12分）（原创）已知数列}{n b 的前n 项和为n S ，满足2),(65111≥-=+--+n b S S S n n n n ，*N n ∈，且5,121==b b ，数列}{n a 满足,11=a *121,2),111(N n n b b b b a n n n ∈≥+++⋅=- . （1）证明：数列}3{1n n b b -+是等比数列； （2） 求证：*21,)11()11()11(N n e a a a n∈<+⋅⋅+⋅+（e 是自然对数的底数， 71828.2=e ）.数 学 参 考 答 案一、选择题：ACDBA DBCDA提示：10题：记=+βα，=-βα2，则,的夹角为 1503=配凑可得：)21()(=+-=-+m t t==令R u t u ∈-=21(，则上式43163)43(432322≥+-=+-=u u u .二．填空题：6 ，80 ，7247， ),31[+∞， ⎪⎩⎪⎨⎧+-++-=为偶数为奇数m k m m k m m b k m ,122,124222,.三．解答题.16.（13分）解：（1）抽样比例为1005，故40510052001005500=+⨯+⨯=n ； （2）},,,,,,,,,{21231322122111323121b b b a b a b a b a b a b a a a a a a a =Ω，共10种可能的结果； （3）记事件“选出的2人中至少有1名女生”为A ，则},,,,,,{21231322122111b b b a b a b a b a b a b a A =，其含有7种结果，故107)(=A P （或解：A 表示两个都是男生，包含3个结果，1071031)(1)(=-=-=A P A P ）17.（13分）解：（1）2≥n 时，121-=-=-n S S a n n n ，又111==S a 满足此式， 故*,12N n n a n ∈-=，于是9,321==b b ，而{}n b 等比，故n n b 3=； （2）n n n n n b a c 3)12(⋅-=⋅=，由错位相减法，有：n n n n n T 3)12(3)32(353331132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ………………………①=n T 31323)12(3)32(3331+⨯-+⨯-++⨯+⨯n n n n …………②两式相减，得：()1323)12(333232+⨯--+++⨯+=-n n n n T1123)12(31]311[323+-⨯----⨯⨯+=n n n 63)22(1-⨯-=+n n ，因此*1,33)1(N n n T n n ∈+⨯-=+.18.（13分）解：（1）当21==μλ时，N M ,分别为CD BC ,的中点，3==且b a ,的夹角为 60，3===；32=321===-=-BD ；（2）=⋅b a )()(DN AD BM AB AN AM +⋅+=⋅⋅+⋅+⋅+⋅=)21(222222)21(222-⨯⨯+⨯+⨯+-⨯⨯=-⇒μλλμλμμλλμμλ=+⇒=+⇒)(22)(4，故2111=+=+λμμλμλ. 19.（12分）解：因为2=c ，故ab c b a B b C c B a A a =-+⇒-=-222sin sin sin sin ，由余弦定理可得 60212cos 222=⇒=-+=C ab c b a C ； （1）A A A B A B A A B C cos sin 2)sin()sin(2sin )sin(sin =-++⇒=-+A B A A A A B sin sin 0cos cos sin cos sin ==⇒=⇒或，即 90=A 或B A =当 90=A 时， 30=B ，332=b ，33221==∆bc S ABC ， 当B A =时，ABC ∆为等边三角形，360sin 2221=⨯⨯⨯=∆ ABC S ；（2）由于)(21CB CA CM +=)(41)(41222ab b a CB CA ++=+=因为 60,2==C c ，故由余弦定理知422+=+ab b a 121+=ab而42422≤⇒≥+=+ab ab b a ab 3≤3=，（当且仅当c b a ===2）时取等.20.（12分）解：（1）1)(22+≤≤x x f x 中令1=x 得2)1(2)1(2=⇒≤≤f f故b a c --=2，于是b a bx ax x f --++=2)(2，由题知02)2()(22≥--+-+⇔≤b a x b ax x f x 对R x ∈恒成立，有0448440)2(4)2(222≤+--++⇒≤----=∆b a b ab a b a a b ，整理得 220)22(04)2(4)2(22=+⇒≤-+⇒≤++-+b a b a b a b a ，又⇔+≤1)(2x x f 01)1(2≤--++-b a bx x a 对R x ∈恒成立，故必有1≤a 而*N a ∈，于是1=a ，而22=+b a 故0=b ，此时12=--=b a c ，1)(2+=x x f ，显然满足1)(2+≤x x f 对R x ∈恒成立，故存在0,1==b a 满足题意；（2）当1=a 时，方程⇔=x x f 2)(0)2(2=+-+c x b x ，令c x b x x g +-+=)2()(2，其两个零点为21,x x ，则⇔∈∈)2,1(),1,0(21x x ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+>⇔⎪⎩⎪⎨⎧><>020100)2(0)1(0)0(c b c b c g g g而4414412)1(4)12()1(2222--+-+++=+--++bc c c b b bc c b 2)2(2)2(2--+-=c b c b令c b t 2-=，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+>02010c b c b c 下，由线性规划知识易求得)1,5(2-∈-=c b t故)13,3[222)2(2)2(22-∈-+=--+-t t c b c b ， 也即：)13,3[)1(4)12()1(22-∈+--++bc c b . 21.（12分） 解：（1）由⇒-=+--+)(65111n n n n b S S S ⇒--=---+1116)(5n n n n n b S S S S 1165-+-=n n n b b b 2),3(2311≥-⋅=-⇒-+n b b b b n n n n ，且其首项02312≠=-b b ，故}3{1n n b b -+等比，公比为2；（2）先求n b ，由（1）知n n n n b b 222311=⋅=--+21223211+⋅=⇒++n n n n b b}12{12231211+⇒⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=+⇒++nn n n n n b b b 等比，其首项为23121=+，公比为23, 于是nn n n nn b b 23)23(12-=⇒=+；（或用特征根法求得） 由题可得51,11221=⋅==b b a a ， 由于)2(,)111()111(11211211≥=+++⋅+++⋅=++++n b b b b b b b b b b a a n n nn n n n n ，故)1(1111)11()11()11()11(143322121+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+=+⋅⋅+⋅+-n nn n a a a a a a a a a a a a =)111(2)111(52)111(52212122114332n n n n nn b b b b b b b b b b b b b b b b b +++=+++⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅⋅⋅⋅⋅-因此所证⇔211121eb b b n <+++ ， 而3≥n 时，113121)23(211)23(212311--⋅=⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=-=n n nn n n n n b ，保留前两项不动，从第三项开始利用上面的放缩公式，有：121511)311(12151131313121511111213221++<-⋅++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅++≤+++--n n n b b b ， 而=++121511235.135.0160171e<=+<+，。
重庆高一高中数学期中考试带答案解析
重庆高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知单位向量满足：，则（）A．B．C．D．2.已知五个数成等比数列，则的值为（）A．3B．C．D．3.直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．4.在中，分别是三内角的对边，且，则角等于（）A．B．C．D．5.在中，内角所对应的边分别为，若，且成等比数列，则的值为（）A．B．C．2D．46.在中，分别是三内角的对边，若，则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°的三角形C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形7.设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（）A．1006B．1007C．1008D．10098.给出下列四个命题，其中正确的命题是（）①若，则是等边三角形；②若，则是直角三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是等腰三角形；A．①②B．③④C．①③D．②④9.已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（）A．重心B．外心C．垂心D．内心10.设正数满足：，则的最小值为（）A．B．C．4D．211.设数列满足则（）A．8064B．8065C．8067D．806812.已知实数满足，设，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.在中，内角所对的边分别为，已知，如果这样的三角形有且只有一个，则的取值范围为________.2.有如下命题：①“”是“”成立的充分不必要条件；②，则；③对一切正实数均成立；④“”是“”成立的必要非充分条件.其中正确的命题为___________．（填写正确命题的序号）3.已知三角形中，过中线的中点任作一条直线分别交边于两点，设，则的最小值为___________.4.已知数列的前项和为且，则_________.三、解答题1.已知，与的夹角为.（1）求；（2）求为何值时，.2.已知，且.（1）求的最小值；（2）求的最小值，并求出、相应的取值.3.在中，角所对的边分别为，设为的面积，且.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.4.数列满足.（1）已知，若数列成等差数列，求实数；（2）求数列的前项和.5.在中，角所对的边分别为.（1）若、、成等比数列，，求的等差中项；（2）若，求.6.已知，点在函数的图像上，其中.（1）证明：数列是等比数列；（2）记，求数列的前项和.7.已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小.重庆高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知单位向量满足：，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，所以，故选D．【考点】向量的运算．2.已知五个数成等比数列，则的值为（）A．3B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，又，所以，故选B．【考点】等比数列的性质．3.直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，及，所以，故选C．【考点】直线的斜率与倾斜角．4.在中，分别是三内角的对边，且，则角等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理得，又由余弦定理得，故选B．【考点】正弦定理与余弦定理的应用．5.在中，内角所对应的边分别为，若，且成等比数列，则的值为（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】在中，由，利用正弦定理得，所以，得，由余弦定理得，又成等比数列，所以，所以，所以，故选C．【考点】正弦定理与余弦定理的应用．6.在中，分别是三内角的对边，若，则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°的三角形C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形【答案】C【解析】由，由正弦定理得，所以，则，所以，所以为等腰直角三角形，故选C．【考点】正弦定理的应用．7.设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（）A．1006B．1007C．1008D．1009【答案】D【解析】设等差数列的公差为，因为满足，，所以，所以，，对任意正整数，都有，则，故选D．【考点】等差数列的前项和的应用．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式的应用，不等式的性质，着重考查了学生分析解答问题的能力和转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中，设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式，可得，可得数列为递减数列，在利用，即可求解的值．8.给出下列四个命题，其中正确的命题是（）①若，则是等边三角形；②若，则是直角三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是等腰三角形；A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】C【解析】对于①中，因为余弦函数的值域为，所以由，则，又因为，所以，所以是等边三角形，是正确的；对于②中，，即，所以或，则或，所以是直角三角形，是错误的；对于③中，因为，所以中必有一个为负数，不妨设，则角为钝角，所以是钝角三角形，是正确的；对④中，由，所以或，即或，所以是等腰三角形，是错误的，故选C．【考点】三角形状的判定．9.已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（）A．重心B．外心C．垂心D．内心【答案】A【解析】作出如图的图形，由于，所以，由加法法则知，在三角形的直线上，所以动点的轨迹一定经过的重心，故选A．【考点】向量的运算及向量加法的几何意义．10.设正数满足：，则的最小值为（）A．B．C．4D．2【答案】A【解析】由，可得，且，所以，当且仅当，即时等号是成立的，故选A．【考点】基本不等式的应用求最值．11.设数列满足则（）A．8064B．8065C．8067D．8068【答案】B【解析】由，可得，两式作差得，，即，所以数列的奇数项与偶数项均构成等差数列，因为，所以奇数项的公差为，所以，故选B．【考点】数列的递推式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系是等差数列的定义及其通项公式的应用，着重考查了数列的递推关系的化简、分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中由数列的递推关系式，可得，即可说明数列的奇数项与偶数项均构成等差数列，由等差数列的通项公式，即可求解结果．12.已知实数满足，设，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设且，则，令，所以，当时上述不等式中的等号成立，所以.【考点】基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了基本不等式的应用，其中正确构造基本不等式的应用条件是使用基本不等式的基础和关键，试题思维量大，运算繁琐，属于难题，着重考查了构造思想和转化与化归思想的应用，本题的解答中，设且，得，即可利用基本不等式，可求得的值，即可求解取值范围．二、填空题1.在中，内角所对的边分别为，已知，如果这样的三角形有且只有一个，则的取值范围为________.【答案】或【解析】由题意得，在中内角所对的边分别为，由，所以，所以当或时，此时满足条件的三角形只有一个．【考点】正弦定理的应用．2.有如下命题：①“”是“”成立的充分不必要条件；②，则；③对一切正实数均成立；④“”是“”成立的必要非充分条件.其中正确的命题为___________．（填写正确命题的序号）【答案】①③【解析】由题意得，对于①中，“”是“”成立的，当“”时，则“”或“”所以是成立的；对于②时，则，所以是不成立的；对于③中，，所以对一切正实数均成立是成立的；对于④“”是“”成立的充分比必要条件，所是不成立的，故选①③．【考点】不等式的性质及命题的真假判定．3.已知三角形中，过中线的中点任作一条直线分别交边于两点，设，则的最小值为___________.【答案】【解析】因为且为的中点，所以,又因为，所以,所以，又三点共线，所以，于是．【考点】平面向量的运算及基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的运算及基本不等式的应用，中点考查了平面向量的加法运算、向量的共线及共面的基本定理，基本不等式求解最值等知识点，求解本题的关键在于构造基本不等式的条件，利用基本不等式求解最值，着重考查学生分析问题和解答问题的能力及运算推理能力，属于中档试题．4.已知数列的前项和为且，则_________.【答案】【解析】由题意得，所以．【考点】数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和及数列的递推式的化简、运算，其中正确化简数列的递推关系，合理裂项是解得此类问题的关键，试题思维量大，运算量大，难点多，有一定的难度，属于难题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，正确、合理化简数列的通项公式是解答的关键．三、解答题1.已知，与的夹角为.（1）求；（2）求为何值时，.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由向量的模的计算公式，可化简得，即可求解；（2）根据，所以，列出方程，即可求解．试题解析：（1），所以.（2）因为，所以，即，即，解得．【考点】向量的运算．2.已知，且.（1）求的最小值；（2）求的最小值，并求出、相应的取值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用基本不等式，可得，得，确定等号成立的条件，即可求解；（2）由，即可利用基本不等式，求解最值，确定等号成立的条件，得到的值．试题解析：（1）由，得：，即：；等号成立的充要条件是且，即，∴的最小值为2；（2）；等号成立的充要条件是且，即：；∴的最小值为；此时．【考点】基本不等式的应用求解最值．3.在中，角所对的边分别为，设为的面积，且.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据三角形的面积公式，根据余弦定理，求出，根据的范围利用特殊角的三角函数值即可得到的度数；（2）求周长的取值范围，利用余弦定理，结合基本不等式，即可求解．试题解析：（1）由已知得：，所以，（2）由正弦定理得：，所以，，因为，所以，所以周长的取值范围是．【考点】正项定理、余弦定理及三角形的面积公式．4.数列满足.（1）已知，若数列成等差数列，求实数；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，可变形为，即，令，则数列成等差数列，即可求解的值；（2）由（1）可得，再利用“乘公比错位相减法”，即可求解数列的和．试题解析：（1），令，则数列成等差数列，所以．（2）成等差数列，；得，①②①-②得．所以．解法二：（1）且数列成等差数列，所以有为常数．，要使为常数，需．【考点】等差数列的定义及通项公式；数列求和．5.在中，角所对的边分别为.（1）若、、成等比数列，，求的等差中项；（2）若，求.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，所以，再根据三角形的面积和余弦定理，求得；（2）由已知可得，，，进而可得，由，代入数据可得的值．试题解析：（1），所以，又，所以，又由，解得：．（2）．．．．．．．．．．．．．．．．①由得，又由得，可求得，所以代入①得由和，所以．【考点】等差、等比数列的性质及其余弦定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项及性质，涉及到三角形中正弦定理与余弦定理的应用，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用正弦定理可把，化为，进而可求解的值，同时计算出的值，代入题设条件，即可求解的值．6.已知，点在函数的图像上，其中.（1）证明：数列是等比数列；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由已知化为，同时两边取对数，即可判定数列为等比数列；（2）由（1）求出数列的通项公式，代入得，利用裂项求和．试题解析：（1）由已知，∴，∵，∴，两边取对数得，即，∴是公比为2的等比数列．（2）由（1）式得，，∴，∴，∴．又，∴，∴，∵，∴．【考点】等比数列的定义及数列的递推式；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等比数的通项公式及其递推关系的化简、数列的求和问题，其中熟练掌握利用取对数法把已知转化为的等比数列问题的求解、等比数列的定义及通项公式，“裂项求和”法等是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，把数列的通项公式合理裂项、准确计算是本题的一大易错点．7.已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）通过对合理变形，可得数列，求得数列的通项公式，即可求解数列的通项公式；（2）通过（1）作差可知，利用等比数列求和，即可计算，得到结论．试题解析：（1）原式可变形得：，则，记，则，易求得所以．（2），易知，当且时，与同号，所以．【考点】等比数列的定义及数列的递推式的应用．。
2020-2021学年重庆市某校高一(下)期中考试数学试卷
2020-2021学年重庆市某校高一(下)期中考试数学试卷一、选择题1. 已知复数z 1=2−i ，z 1的虚部为( ) A.−1 B.1 C.−i D.i2. 设向量a →=(m,1)，b →=(1,−1)，如果a →与b →共线，则m 的值为( ) A.−1 B.1 C.−2 D.23. 在△ABC 中，a =1，b =2，A =π6，则c =( )A.1B.32C.√3D.24. 长方体的长、宽、高分别为√3，√2，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.3π B.6πC.12πD.24π5. 如图所示的△ABC 中，点D 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AD →=( )A.13AB →+23AC →B.−13AB →+43AC →C.23AB →+13AC →D.43AB →−13AC →6. 如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A.6B.8C.2+3√2D.2+3√37. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈.问积为粟几何？”意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈=106立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后 可得银子( )A.200两B.240两C.360两D.400两8. 已知单位向量OA →，OB →的夹角为60∘，若OC →=2OA →+OB →，则△ABC 为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、多选题以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面），其中错误的是( )A.若a // b ，b ⊂α，则a // αB.若a // α，b // α，则a // bC.若a // b ，b // α，则a // αD.若a // α，a ⊂β，α∩β=b ，则a // b已知复数z 0=1+2i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点为P 0，复数z 满足|z −1|=|z −i|，下列结论正确的是( )A.P 0点的坐标为(1,2)B.复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于虚轴对称C.复数z 对应的点Z 在一条直线上D.P 0与z 对应的点Z 间的距离的最小值为√22如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点E 在线段A 1C 1上，F ，M 分别是AD ，CD 的中点，则下列结论中正确的是( )A.FM//A 1C 1B.存在点E ，使得平面BEF//平面CC 1D 1DC.三棱锥B −CEF 的体积为定值D.存在点E ，使得C ，E ，F ，C 1共面若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b −2a +4a sin 2A+B 2=0，则下列结论正确的是( )A.角C 一定为锐角B.a 2+2b 2−c 2=0C.3tan A +tan C =0D.tan B 的最小值为√33三、填空题i 2021=_______.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB ，CD 所成角为________.已知|a →|=√6，|b →|=√2，(a →−b →)⋅b →=1，则向量a →，b →的夹角等于________.如图，从200m 高的电视塔塔顶A 测得地面上某两点B ，C 的俯角分别为30∘和45∘，∠BAC =45∘，则B ，C 两点间的距离为________m .（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）四、解答题已知复数z =3+bi(b ∈R )，且(1+3i)⋅z 为纯虚数．(1)求复数z ； (2)若w =z 2+i，求复数w 以及模|w|．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2b −a )cos C =c ⋅cos A ．(1)求角C ．(2)若c =7 ，△ABC 的面积为10√3， 求△ABC 的周长．如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，C 为底面圆周上一点．(1)若弧BC 的中点为D ．求证：AC // 平面POD ；(2)如果△PAB 面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥C −PAB 体积的最大值．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,CD =3AB =3.(1)若CA =CD ，且tan ∠ABC =−√5，求△ABC 的面积S ；(2)若cos ∠DAC =√24，cos ∠ACD =34，求BD 的长．如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，点P 在上底面A 1B 1C 1D 1内运动．(1)若PE//平面BDF ，请画出点P 的轨迹，并说明理由；(2)当PE//平面BDF 时，求三棱锥P −BDF 体积；(3)当PE//平面BDF 时，求PE 与BF 所成角余弦值的取值范围．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， sin A =√2sin C ，平面上的点P 满足AP →=2AB →+mAC →． (1)若点P 在角A 的角平分线上且m =1，求cos A ；(2)若点P 在直线BC 上， c =1，求|AC →|+|AP →|最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年重庆市某校高一(下)期中考试数学试卷一、选择题 1.【答案】 A【考点】复数的基本概念 【解析】由题意，在已知复数表达式，进而即可得到其虚部. 【解答】解：已知复数z 1=2−i ， 则z 1的虚部为−1. 故选A . 【点评】本题考查复数的基本概念；侧重于学生们对于实部和虚部的了解. 2.【答案】 A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据a →与b →共线即可得出m ⋅(−1)−1×1=0，从而可得出m 的值． 【解答】解：因为a →与b →共线，所以m ⋅(−1)−1×1=0 ， 解得m =−1. 故选A ． 【点评】本题考查了共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题． 3. 【答案】 C 【考点】 正弦定理 【解析】根据正弦定理求得B =π2，即可得到C =π3，三角形为直角三角形，即可求解c =√b 2−a 2的值. 【解答】解：在△ABC 中，A =π6，b =2，a =1，由正弦定理asin A=b sin B，则sin B =b sin A a=2×121=1，因为B ∈(0,π)， 所以B =π2，所以C =π3，所以c 2=b 2−a 2=3，所以c =√3. 故选C ． 【点评】本题考查正弦定理解三角形的应用，属于基础题. 4. 【答案】 B【考点】 球内接多面体 球的表面积和体积【解析】根据题意，由于长方体的8个顶点都在同一球面上，则长方体的对角线的长就是球的直径，计算可得长方体的对角线长，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，长方体的8个顶点都在同一球面上， 则长方体的对角线的长就是球的直径， 而长方体的长、宽、高分别为√3，√2，1， 则长方体的对角线长l =√3+2+1=√6， 即球的半径r =√62， 故球的表面积S =4πr 2=6π．故选B ． 【点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，注意本题中长方体的对角线的长就是球的直径． 5. 【答案】 C【考点】向量加减混合运算及其几何意义 向量的三角形法则【解析】利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出． 【解答】解：AD →=AB →+BD →=AB →+13BC →=AB →+1(AC →−AB →)=23AB →+13AC →．故选C . 【点评】熟练掌握向量的三角形法则和向量共线定理是解题的关键． 6.【答案】 B【考点】平面图形的直观图 【解析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求． 【解答】解：作出该直观图的原图形，如图，因为直观图中的线段C ′B ′ // x ′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x 轴且长度不变，点C ′和B ′在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O ′B ′的2倍，则OB =2√2， 所以OC =3，则四边形OABC 的周长为8． 故选B . 【点评】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形． 7.【答案】 D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设底面半径为r ，∴ 2πr =12，r =6π，∴ 米堆的体积为13πr 2⋅ℎ=13π⋅62π2⋅1=12π≈4.根据已知，4立方丈=4×106立方寸=4×1062700斛.∴ 卖得银子4×1062700×270÷1000 =400两. 故选D. 【点评】 此题暂无点评 8.【答案】 C【考点】向量在几何中的应用 平面向量数量积的运算 向量加减混合运算及其几何意义 【解析】根据题意，由向量加减法的意义，用向量OA →、OB →、OC →表示出向量BC →、AB →、AC →，结合题意，求出向量BC →、AB →、AC →的模，由三角形的性质，分析可得答案．【解答】解：根据题意，由OC →=2OA →+OB →， 可得OC →−OB →=BC →=2OA →， 则|BC →|=2|OA →|=2， 由AB →=OB →−OA →， 可得|AB →|2=|OB →−OA →|2 =OA →2−2OA →⋅OB →+OB →2 =1−2×1×1×12+1=1， 故|AB →|=1，由AC →=OC →−OA →=(2OA →+OB →)−OA →=OA →+OB →， 则|AC →|2=|OA →+OB →|2 =OA →2+2OA →⋅OB →+OB →2 =1+2×1×1×12+1=3，可得|AC →|=√3，在△ABC 中，由|BC →|=2，|AB →|=1，|AC →|=√3， 可得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2，则△ABC 为直角三角形. 故选C . 【点评】本题考查数量积的性质与运用，注意先用向量的加法、减法的性质，表示出△ABC 的三边的向量． 二、多选题 【答案】 A,B,C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系【解析】对于A ，a // α或a ⊂α；对于B ，a 与b 相交、平行或异面；对于C ，a // α或a ⊂α；对于D ，由线面平行的性质得a // b ． 【解答】解：由a ，b 表示直线，α表示平面，知：对于A ，若a // b ，b ⊂α，则a // α或a ⊂α，故A 错误；对于B ，若a // α，b // α，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误； 对于C ，若a // b ，b // α，则a // α或a ⊂α，故C 错误；对于D ，若a // α，a ⊂β，α∩β=b ，则由线面平行的性质得a // b ，故D 正确． 故选ABC . 【点评】本题考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 【答案】 A,C,D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 共轭复数复数代数形式的加减运算点到直线的距离公式【解析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性．根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性．设出乙，利用|z −1|=|z −i|，结合复数模的运算进行化简，由此判断出乙点的轨迹，由此判读C 选项的正确性结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性． 【解答】解：复数z 0=1+2i 在复平面内对应的点为P 0(1,2)，A 正确； 复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于实轴对称，B 错误；设z =x +yi (x,y ∈R )，代入|z −1|=|z −i|，得|(x −1)+yi|=|x +(y −1)i|， 即√2+y 2=√x 2+(y −1)2，整理得，y =x ，即Z 点在直线y =x 上，C 正确； 易知点P 0到直线y =x 的垂线段的长度即为P 0，Z 之间距离的最小值， 结合点到直线的距离公式可知，最小值为√2=√22，故D 正确． 故选ACD .【点评】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题． 【答案】 A,C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的结构特征【解析】依题意，根据几何体的结构特征，结合线面垂直，面面平行的判定定理，根据棱锥体积公式逐个判断即可. 【解答】解：如图，设CF 交BM 于点O ，A ，因为F ，M 分别是AD ，CD 的中点， 所以FM//AC//A 1C 1 ，故A 正确；B ，延长BF 与直线CD 一定有交点， 故BF 与平面CC 1D 1D 有交点，所以不存在点E ，使得平面BEF//平面CC 1D 1D ，故B 错误； C ，三棱锥B −CEF 以△BCF 为底，以AA 1为高， 所以三棱锥B −CEF 的体积为定值，故C 正确；D ，已知动点E 在线段A 1C 1上，点E ，C ，C 1在平面ACC 1A 1内， 所以点E ，C ，C 1共面， 又点F 不在平面ACC 1A 1内，所以不存在点C ，E ，F ，C 1共面，故D 错误.故选AC．【点评】本题考查棱柱及其结构特征，面面平行的判定，线线平行的判定，四点共面的判定以及定值问题，属于中档题.【答案】B,C【考点】余弦定理正弦定理两角和与差的正切公式基本不等式在最值问题中的应用二倍角的余弦公式【解析】根据余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．【解答】解：b−2a+4a sin2A+B2=0，cos(A+B)=1−2sin2A+B2，则b−2a+2a[1−cos(A+B)]=0，cos(A+B)=−cos C，则b−2a+2a(1+cos C)=0，即b+2a cos c=0，又cos C=a 2+b2−c22ab，则b+2a⋅a 2+b2−c22ab=0，整理得a2+2b2−c2=0，故B正确；cos C=a2+b2−c22ab =−b22ab=−b2a<0，故角C是钝角，故A错误；tan A tan C =sin A cos Csin C cos A=a2+b2−c2b2+c2−a2=−b23b2=−13，即tan A=−13tan C，则3tan A+tan C=0，故C正确；tan B=−tan(A+C)=−tan A+tan C1−tan A tan C =21tan A+3tan A，tan A>0，1tan A+3tan A≥2√3，当tan A=√33时等号成立，则1tan A+3tan A=2√3时，tan B取得最大值(tan B)max=2√3=√33，故D错误．故选BC．【点评】本题考查余弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质的应用等知识点，考查学生训练运用公式熟练变形的能力，属于中档题．三、填空题【答案】i【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】由题意，根据i4=1，进行化简求解即可.【解答】解：已知i4=1，所以i2021=i50×4+1=i.故答案为：i.【点评】本题考查复数的运算；侧重于学生们的运算能力.【答案】90∘【考点】异面直线及其所成的角【解析】由题意，根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：由正方体的展开图可知，AB和CD是异面直线，其相互对应，则所成角为90∘.故答案为：90∘.【点评】本题考查异面直线及其所成的角；侧重于学生们的逻辑思维和想象能力. 【答案】30∘【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：因为(a→−b→)⋅b→=a→⋅b→−b→2=1，得a→⋅b→=1+(√2)2=3，所以cos⟨a→,b→⟩=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=√6×√2=√32，所以向量a→，b→夹角的大小为30∘．故答案为：30∘.【点评】此题暂无点评【答案】200√2【考点】 余弦定理 解三角形【解析】本题首先可以根据题意得出AB 以及AC 的长度，然后根据余弦定理即可求出BC 的长度． 【解答】解：因为从200m 高的电视塔塔顶A 测得地面上某两点B ，C 的俯角分别为30∘和45∘, 所以AO =200m ， AB =AOsin 30∘=400(m)， AC =AO sin 45∘=200√2(m).因为∠BAC =45∘，所以BC =2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos ∠BAC =200√2(m). 故答案为：200√2. 【点评】本题主要考查余弦定理解三角形，余弦定理公式为a 2=b 2+c 2−2bc cos ∠A ，考查计算能力，是简单题 四、解答题【答案】解：(1)(1+3i)⋅(3+bi)=(3−3b)+(9+b)i ， ∵ (1+3i)⋅z 是纯虚数，∴ 3−3b =0，且9+b ≠0， ∴ b =1，∴ z =3+i .(2)w =3+i 2+i =(3+i)⋅(2−i)(2+i)⋅(2−i)=7−i 5=75−15i .∴ |w|=√(75)2+(−15)2=√2. 【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算 复数的模【解析】（1）把复数z 代入表达式，利用复数是纯虚数健康求出z ．（2）把z 代入复数w 的表达式，利用复数的除法运算的法则，化为a +bi 的形式，然后求出复数的模即可． 【解答】解：(1)(1+3i)⋅(3+bi)=(3−3b)+(9+b)i ， ∵ (1+3i)⋅z 是纯虚数，∴ 3−3b =0，且9+b ≠0， ∴ b =1，∴ z =3+i .(2)w =3+i 2+i =(3+i)⋅(2−i)(2+i)⋅(2−i)=7−i 5=75−15i .∴ |w|=√(75)2+(−15)2=√2.【点评】本题是基础题，考查复数的基本运算，复数求模的运算，复数的基本概念，正确的运算是解题的关键． 【答案】解：(1)由 (2b −a )cos C =c ⋅cos A ，得2sin B cos C −sin A cos C =sin C cos A ， ∴ 2sin B cos C =sin (A +C )=sin B ， ∵ 0<B <π，sin B ≠0， ∴ cos C =12 ，∴ C =π3． (2)S △ABC =12ab ⋅√32=√34ab =10√3，∴ ab =40，又 ∵ c 2=a 2+b 2−2ab ⋅12=a 2+b 2−ab=(a +b)2−3ab =49，∴ a +b =13，∴ C △ABC =a +b +c =20． 【考点】 正弦定理两角和与差的正弦公式 余弦定理 【解析】 无 无【解答】解：(1)由 (2b −a )cos C =c ⋅cos A ， 得2sin B cos C −sin A cos C =sin C cos A ， ∴ 2sin B cos C =sin (A +C )=sin B ， ∵ 0<B <π，sin B ≠0， ∴ cos C =12 ， ∴ C =π3．(2)S△ABC=12ab⋅√32=√34ab=10√3，∴ ab=40，又∵c2=a2+b2−2ab⋅12=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=49，∴ a+b=13，∴C△ABC=a+b+c=20．【点评】无【答案】(1)证明：如图，设BC∩OD=E，∵D是弧BC的中点，O是AB的中点，∴E是BC的中点，∴AC // OE，又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，∴AC // 平面POD．(2)解：设圆锥底面半径为r，高为ℎ，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴ℎ=r,l=√2r，∵由S△ABC=12×2r×ℎ=r2=9，得r=3，∴S表=πrl+πr2=πr×√2r+πr2=9(1+√2)π．设AC=b，BC=a，则a2+b2=36，则a2+b2≥2ab，即ab≤18，V C−PAB=V P−ABC=13×12ab×3=12ab≤9，当且仅当a=b时取等号，(V C−PAB)max=9．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】（1）证法1：设BC∩OD=E，由已知可证AC // OE，线线平行即可证明线面平行AC // 平面POD；证法2：由AB是底面圆的直径，可证AC⊥BC，利用OD⊥BC，可证AC // OD，即可判定AC // 平面POD．（2）设圆锥底面半径为r，高为ℎ，母线长为l，由圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，可求ℎ=r,l=√2r，利用三角形面积公式可求r，进而可求此圆锥的表面积．【解答】(1)证明：如图，设BC∩OD=E，∵D是弧BC的中点，O是AB的中点，∴E是BC的中点，∴AC // OE，又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，∴AC // 平面POD．(2)解：设圆锥底面半径为r，高为ℎ，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴ℎ=r,l=√2r，∵由S△ABC=12×2r×ℎ=r2=9，得r=3，∴S表=πrl+πr2=πr×√2r+πr2=9(1+√2)π．设AC=b，BC=a，则a2+b2=36，则a2+b2≥2ab，即ab≤18，V C−PAB=V P−ABC=13×12ab×3=12ab≤9，当且仅当a=b时取等号，(V C−PAB)max=9．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，考查了三角形面积公式，考查了圆锥的表面积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．【答案】解：(1)由tan∠ABC=−√5知，cos∠ABC=−√66，sin∠ABC=√306，在△ABC中，AB=1，AC=CD=3，由余弦定理，知AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC ， 所以9=1+BC 2+√63BC ，即3BC 2+√6BC −24=0，解得BC =√6或BC =−4√63（舍）， 所以△ABC 的面积S =12AB ⋅BC sin ∠ABC =12×1×√6×√306=√52． (2)在△ADC 中，因为cos ∠DAC =√24，cos ∠ACD =34， 所以sin ∠DAC =√1−cos 2∠DAC =√144，sin ∠ACD =√74． 由正弦定理CDsin ∠DAC=AD sin ∠ACD，所以AD =3×√74√144=3√22， 又cos ∠BAD =cos (∠DAC +∠ACD )=cos ∠DAC cos ∠ACD −sin ∠DAC sin ∠ACD =3√216−7√216=−√24， △ABD 中，由余弦定理，知BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos ∠BAD =1+92+2×3√22×√24=7，所以BD =√7． 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 无 无 【解答】解：(1)由tan ∠ABC =−√5知，cos ∠ABC =−√66，sin ∠ABC =√306， 在△ABC 中，AB =1，AC =CD =3，由余弦定理，知AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC ， 所以9=1+BC 2+√63BC ，即3BC 2+√6BC −24=0，解得BC =√6或BC =−4√63（舍）， 所以△ABC 的面积S =12AB ⋅BC sin ∠ABC =12×1×√6×√306=√52． (2)在△ADC 中，因为cos ∠DAC =√24，cos ∠ACD =34， 所以sin ∠DAC =√1−cos 2∠DAC =√144，sin ∠ACD =√74． 由正弦定理CDsin ∠DAC =ADsin ∠ACD ，所以AD =3×√74√144=3√22， 又cos ∠BAD =cos (∠DAC +∠ACD )=cos ∠DAC cos ∠ACD −sin ∠DAC sin ∠ACD =3√216−7√216=−√24， △ABD 中，由余弦定理，知BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos ∠BAD =1+92+2×3√22×√24=7，所以BD =√7．【点评】 无【答案】解：(1)如图，D 1B 1为P 的运动轨迹， 连接D 1B 1，EB 1，ED 1，∵ E ，F 为AA 1，CC 1的中点，∴ 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， EB 1//DF ，ED 1//BF ，又EB 1∩ED 1=E ，DF ∩BF =F ， ∴ 平面ED 1B 1//平面BDF ， 又点P 在上底面A 1B 1C 1D 1上，∴ 当点P 在D 1B 1上时，PE//平面BDF ． (2)由已知得：V P−BDF =V F−PDB ，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱长为1， ∴ S △BDP =√22， 可知点F 到平面PDB 的距离为√22，∴ V F−PDB =13S △BDP ⋅ℎ=13×√22×√22=16，∴ 三棱锥P −BDF 体积为16.(3)在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BF//ED 1， ∴ PE 与BF 所成角即为PE 与ED 1所成角， 又∵ P 在B 1D 1上运动，∴ 当P 与D 1重合时所成角最小，为0∘，∴ cos 0∘=1，当P 与B 1重合时，所成角最大， ∴ cos ∠D 1EB 1=15，∴ PE 与BF 所成角的余弦值取值范围为[15，1]． 【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算 异面直线及其所成的角 余弦定理 【解析】 无 无 无【解答】解：(1)如图，D 1B 1为P 的运动轨迹， 连接D 1B 1，EB 1，ED 1，∵ E ，F 为AA 1，CC 1的中点，∴ 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， EB 1//DF ，ED 1//BF ，又EB 1∩ED 1=E ，DF ∩BF =F ， ∴ 平面ED 1B 1//平面BDF ， 又点P 在上底面A 1B 1C 1D 1上，∴ 当点P 在D 1B 1上时，PE//平面BDF ． (2)由已知得：V P−BDF =V F−PDB ，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱长为1， ∴ S △BDP =√22， 可知点F 到平面PDB 的距离为√22， ∴ V F−PDB =13S △BDP ⋅ℎ=13×√22×√22=16，∴ 三棱锥P −BDF 体积为16.(3)在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BF//ED 1， ∴ PE 与BF 所成角即为PE 与ED 1所成角， 又∵ P 在B 1D 1上运动，∴ 当P 与D 1重合时所成角最小，为0∘， ∴ cos 0∘=1，当P 与B 1重合时，所成角最大， ∴ cos ∠D 1EB 1=15，∴ PE 与BF 所成角的余弦值取值范围为[15，1]．【点评】 无【答案】 解：(1)设AP →=λ(AB→|AB →|+AC →|AC →|) ，则AP →=λ|AB →|AB →+λ|AC →|AC →=λc AB →+λb AC →=2AB →+AC →，∴ λc=2，λb=1，即b =2c ，又∵ sin A =√2sin C ，即a =√2c ， ∴ cos A =4c 2+c 2−2c 22⋅2c⋅c=34.(2)由点P 在直线BC 上，则m =−1，如图，CF//PE ，AB =BE ， ∴ ∠C =∠BPE ， 又∠ABC =∠EBP ，则△ABC ≅△EAP(AAS)，则BC =BP =a =√2c =√2，在△ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos (π−θ)=3+2√2cos θ，在△ABP 中， AP 2=AB 2+BP 2−2AB ⋅BP cos θ =3−2√2cos θ， ∴ |AP →|2+|AC →|2=6， |AC →|+|AP →|≤2√|AP →|2+|AC →|22=2√3.【考点】 余弦定理 解三角形相等向量与相反向量 余弦定理的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)设AP →=λ(AB→|AB →|+AC →|AC →|) ，则AP →=λ|AB →|AB →+λ|AC →|AC →=λc AB →+λb AC →=2AB →+AC →，∴ λc=2，λb=1，即b =2c ，又∵ sin A =√2sin C ，即a =√2c ， ∴ cos A =4c 2+c 2−2c 22⋅2c⋅c=34.(2)由点P 在直线BC 上，则m =−1， 如图，CF//PE ，AB =BE ， ∴ ∠C =∠BPE ， 又∠ABC =∠EBP ，则△ABC ≅△EAP(AAS)， 则BC =BP =a =√2c =√2，在△ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos (π−θ) =3+2√2cos θ，在△ABP 中， AP 2=AB 2+BP 2−2AB ⋅BP cos θ =3−2√2cos θ， ∴ |AP →|2+|AC →|2=6，|AC →|+|AP →|≤2√|AP →|2+|AC →|22=2√3.【点评】 此题暂无点评。
2020-2021学年重庆市第一中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知向量a ，b 满足()1a x =，，()12b =，，若//a b ，则2a b +（ ） A ．5,52⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,5C ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,52⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据向量平行的坐标关系，可求得x 的值.再根据向量加法和数乘的坐标运算即可求得2a b +.【详解】向量a ，b 满足()1a x =，，()12b =，，若a ∥b 则21x =，解得12x = 所以112a ⎛⎪⎭=⎫⎝，， 由向量加法和数乘的坐标运算可得 故选：A【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标关系，由平行关系求参数，平面向量加法和数乘的坐标运算，属于基础题.2．某城区为了了解中小学生的视力健康状况，决定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查，已知这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数之比为5：6：7，现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为n 的样本，样本中初中生的人数比小学生的人数多50，则n =（ ） A ．250 B ．300 C ．800 D ．900【答案】D【分析】根据分层抽样方法确定各层应抽取的人数，再由样本中初中生的人数比小学生的人数多50，列等式，求出n 的值.【详解】由分层抽样知，样本中初中生人数为65673nn ⨯=++，小学生人数为5556718nn ⨯=++.因为样本中初中生的人数比小学生的人数多50，所以550318n n-=，解得900n =. 故选：D.3．张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中不公平的是（ ）A ．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜B ．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜D ．张明、李华两人各写一个数字0或1，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜 【答案】B【分析】在四个选项中分别求出张明和李华获胜的概率，由此能求出结果． 【详解】解：张明与李华两人做游戏，在A 中，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜，则张明获胜与李华获胜的概率都是3162p ==，故A 中的游戏中公平； 在B 中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜，则张明获胜的概率为112p =，李华获胜的概率都为21p 4=，故B 中的游戏中不公平；在C 中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜，则张明获胜与李华获胜的概率都是261522p ==，故C 中的游戏中公平；在D 中，张明、李华两人各写一个数字0或1，如果两人写的数字相同张明获胜，否则李华获胜．则张明获胜与李华获胜的概率都是2142p ==，故D 中的游戏中公平． 故选：B ．4．圆台的上，下底面半径分别为3和4，母线长为6．则其表面积等于（ ） A ．72 B ．42πC ．67πD ．72π【答案】C【分析】由圆台表面积等于上底面积、下底面积、侧面积的和，根据已知条件及圆、扇形的面积公式，即可求其表面积. 【详解】由题意，得如下示意图： 知：6BC AD ==，而34OC OD OB OA ==，可得18OC OD ==， ∴表面积为上底面积、下底面积、侧面积的和，即11916(248186)6722S πππππ=++⨯⨯-⨯⨯=.故选：C5．.已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a 与b 的夹角等于（ ） A ．0120 B ．060C ．030D ．90o【答案】A【分析】由向量垂直可得数量积为0，代入化简可得1cos 2θ=-，结合向量夹角的取值范围可得答案． 【详解】解：c a ⊥，∴0c a =，即()0a b a +=，20a a b +=设向量a ，b 的夹角为θ，则有2||||||cos 0a a b θ+⋅⋅=，即12cos 0θ+=解得1cos 2θ=-，又[0θ∈，]π，所以120θ故选：A ．6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）的和，例如：8=3+5，在不超过14的质数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为（ ） A ．16B ．112C ．114D ．115【答案】D【分析】先确定不超过14的质数，再用列举法求事件的概率. 【详解】不超过14的质数有2，3，5，7，11，13共6个数， 在这6个数中随机选取两个不同的数，有以下15种情况： 2，3；2，5；2，7；2，11；2，13； 3，5；3，7；3，11；3，13； 5，7；5，11；5，13； 7，11；7，13； 11，13.其和等于14的只有1种情况：3，11.故在不超过14的质数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115. 故选：D.7．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A 出发，沿南偏东70︒的方向航行40海里后到达海岛B ，然后再从海岛B 出发，沿北偏东35︒的方向航行了C .若巡逻舰从海岛A 出发沿直线到达海岛C ，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）A ．北偏东80︒，B ．北偏东65︒，2)C ．北偏东65︒，D ．北偏东80︒，2)【答案】C【分析】在ABC 中，7035105ABC ︒︒︒∠=+=，40AB =，BC =理求出边AC 的长度，在ABC 中，可由正弦定理建立方程sin 105BC ACCAB sin ︒=∠，求出CAB ∠．【详解】据题意知，在ABC 中，7035105ABC ︒︒︒∠=+=，40AB =海里，BC =海里，所以2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠3200=+所以AC =海里，又sin CAB =∠sin 2CAB ∠=， 又因为CAB ∠为锐角，所以45CAB ︒∠=，所以航行的方向和路程分别为北偏东65︒，海里. 故选：C .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.8．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，090BAC BCD ∠=∠=，AB AC =，112CD BC ==，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30°的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．(]0,1D ．⎛ ⎝⎦【答案】C【分析】向量法. 以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，根据各点的坐标写出向量(1,1,1)AD =--，点(),0,0Q q ()01q ≤≤，对于点P 的设法，采用向量式AP AB λ=，而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解.【详解】如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴， 建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤， 则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---， (1,1,1)AD =--，异面直线PQ 与AD 成30的角， 22||3cos30||||223PQ AD PQ AD q λ⋅∴===⋅++⋅22182516q q λ∴+=-+， 201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈，即22182018211λλ⎧+≥⎨+≤⎩，解得22λ≤≤ 201,0λλ<≤∴<≤可得2||||22(0,1]PA AP λλ===∈. 故选：C. 二、多选题9．已知复数z 满足()1i 2i z -=，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ） A ．2z =B ．复数z 的共轭复数为1i z =-C ．复平面内表示复数z 的点位于第四象限D ．复数z 是方程2220x x ++=的一个根 【答案】AD【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，然后逐一分析四个选项得答案．【详解】解：因为()1i 2i z -=，所以()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z +===-+--+所以z ==1i z =--复平面内表示复数z 的点的坐标为(1,1)-，位于第二象限；2(1i)2(1i)22i 22i 20-++-++=--+=，∴复数z 是方程2220x x ++=的一个根．故选：AD ．10．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A =“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：根据以上信息，下面说法正确的有（ ）A ．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性B ．试验次数较小时，频率波动较大 试验次数较大时，频率波动较小；所以试验次数越少越好；C ．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近D ．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率 【答案】AC【分析】根据频率和概率的关系判断.【详解】A. 试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故正确；B.试验次数较小时，频率波动较大 试验次数较大时，频率波动较小；所以试验次数越多越好，故错误；C. 随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近，故正确；D. 我们要得到某事件发生的概率时，需要多次实验才能得到概率的估计值，故错误. 故选：AC11．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．直线AM 与BN 是平行直线 B ．直线BN 与1MB 是异面直线C ．直线MN 与AC 所成的角为60°D ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为92【答案】BCD【分析】根据异面直线的定义直接判断AB 选项，根据1//MN D C ，转化求异面直线所成的角，利用确定平面的依据，作出平面BMN 截正方体所得的截面，并求面积. 【详解】A.直线AM 与BN 是异面直线，故A 不正确； B.直线BN 与1MB 是异面直线，故B 正确；C. 由条件可知1//MN D C ，所以异面直线MN 与AC 所成的角为1ACD ∠，1ACD △是等边三角形，所以160ACD ∠=，故C 正确；D.如图，延长MN ，并分别与1DD 和DC 交于,E F ，连结,EA GB 交于点F ，连结1,A M BN ，则四边形1A BNM 即为平面BMN 截正方体所得的截面，由对称性可知，四边形1A BNM 是等腰梯形，1MN A B ==1A M BN =22232522h ，所以梯形的面积1922S =⨯=，故D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查以正方体为载体，判断异面直线，截面问题，本题关键选项是D ，首先要作出平面BMN 与正方体的截面，即关键作出平面EFG .12．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos c b b A -=，则下列结论正确的有（ ） A ．2A B = B ．B 的取值范围为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．ab的取值范围为)2D ．112sin tan tan A B A-+的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭【答案】AD【分析】先利用正弦定理从条件2cos c b b A -=中求出2A B =，得到选项A 正确.选项B 利用ABC 为锐角三角形求解；选项C 先用二倍角公式化简，再结合角B 的范围求解；选项D 先对式子化简，再换元利用对勾函数的性质求范围. 【详解】在ABC 中，由正弦定理可将式子2cos c b b A -=化为 sin sin 2sin cos C B B A -=，把()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入整理得，()sin sin A B B -=，解得A B B -=或A B B π-+=，即2A B =或A π=(舍去). 所以2A B =. 选项A 正确.选项B ：因为ABC 为锐角三角形，2A B =，所以3C B π=-.由0,202,2032B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩解得,64B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选项B 错误.选项C ：sin sin 22cos sin sin a A BB b B B===， 因为,64B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos B ∈⎝⎭，2cos B ∈，即ab的取值范围.故选项C 错误.选项D ：112sin tan tan A B A -+()sin 2sin sin sin A B A A B-=+12sin sin A A =+. 因为,64B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,32A B ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，sin A ⎫∈⎪⎪⎝⎭. 令sin t A =，t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则()12f t t t =+. 由对勾函数的性质知，函数()12f t t t =+在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增.又f =⎝⎭()13f =，所以()f t ⎫∈⎪⎪⎝⎭.即112sin tan tan A B A -+的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭.故选项D 正确. 故选：AD.三、填空题13．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是111,,643，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为____________. 【答案】712. 【分析】运用事件相互独立性的概率计算公式，得出甲，乙，丙三人都没有被录取的概率，从而可间接求出他们三人中至少有一人被录取的概率. 【详解】因为甲，乙，丙三人被该公司录取的概率分别是111,,643，且三人录取结果相互之间没有影响，所以他们三人都没有被录取的概率为111511164312⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故他们三人中至少有一人被录取的概率为5711212-=. 故答案为：712. 14．一组样本数据按从小到大的顺序排列为-1，0，4，x ，y ，14，若这组数据的平均数与中位数均为5，则其方差为________. 【答案】743【分析】由中位数和平均数计算出,x y ，然后由方差公式计算． 【详解】数据-1，0，4，x ，y ，14的中位数为5，∴452x+=，∴6x =，∴这组数据的平均数是10461456y -+++++=，∴7y =，∴这组数据的方差是174(362511481)63⨯+++++=， 故答案为743. 【点睛】本题考查方差与标准差的计算，设n 个数据：12,,,n x x x ，平均值为x ，则方差为()()(2222121)n s x x x x x x n ⎡⎤=⨯-+-++-⎦⎣()2222121212n n x x x nx x x x x n⎡⎤=++++-+++⎦⎣．15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】84π【分析】由题若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，求出半径长再求表面积．【详解】若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，即2R =所以R =球形容器的表面积2484S R ππ==【点睛】本题考查球体表面积，解题的关键是求出球体的半径．16．在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB BC CD ===，P 是腰AD 上的动点，则2PB PC -的最小值为______________.【分析】以A 为原点，射线AB 为x 轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出2PB PC -，即可求出．【详解】解：以A 为原点，射线AB 为x 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 因为222AB BC CD ===，过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ，所以12AE =， 所以1cos 2AE EAD AD ∠==，即60EAD ∠=︒，所以(2,0)B ，3(2C ，设()P a ，其中102a ，(2,)PB a =-，3()2PC a =-，52(,)2PB PC a ∴-=-，||4PB PC a ∴-==∴当14a =时，||PB PC -四、解答题17．目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是[]0,120，样本数据分组为[)[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100,100,120. （1）求频率分布直方图中x 的值；（2）利用频率分布直方图估计样本的众数、中位数. 【答案】（1）0.014；（2）众数为70，中位数为65； 【分析】（1）由频率分布直方图的性质得到方程即可求出x ．（2）众数即直方图中最高一组的组中值，首先判断中位数位于[)60,80，再设中位数为x ，即可得到方程，解得即可；【详解】解：（1）由频率分布直方图得：(0.020.0080.0040.0020.002)201x +++++⨯=， 解得0.014x =．（2）由频率分布直方图可知众数为6080702+= 因为()0.0020.0040.014200.40.5++⨯=<，所以中位数位于[)60,80，设中位数为x ，则()()0.0020.0040.01420600.020.5x ++⨯+-⨯=，解得65x =，故中位数为65；18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，11,3AA AB ==，点D 为BC 的中点. （1）求证：1//A B 平面1AC D ； （2）求三棱锥1B AC D -的体积.【答案】（1）见解析；（2. 【分析】（1）连接1CA 交1AC 于M ，连接DM ，通过证明1//BA DM 即可得证； （2）转换顶点11B AC D C ABD V V --=即可得解.【详解】（1）连接1A C ,与1AC 相交于M ，连接DM ，则M 是1CA 的中点，又D 为BC 的中点所以1//BA DM ，1BA ⊄平面1AC D ，DM ⊂平面1AC D ， 所以1//A B 平面1AC D ；（2）在正三棱柱111ABC A B C -中，11,3AA AB ==，点D 为BC 的中点.故三棱锥1B AC D -的体积11111133B AC D C ABD ABDV V SCC --==⋅==. 19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 为ABC 的面积，且sin sin sin A b cB C b a+=--.（1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，A 为CD 的中点，线段BD 的长度为2，求S 的最大值.【答案】（1）3π;（2【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，a b cb c b a+=--即222a b c ab +-=，由余弦定理可得1cos 2C =即可求出3C π=；（2）在BCD △中，根据余弦定理可得2244a b +=+，再利用基本不等式即得.【详解】（1）∵sin sin sin A b cB C b a+=--，由正弦定理得a b c b c b a +=--， ∴()()()a b a b c b c -=+-，即222a b c ab +-=∴1cos 2C =，∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）在BCD △中，由余弦定理知： 222(2)22cos602a b a b ︒+-⨯⨯⨯=，即22424a b ab +-= 即22442a b ab +=+又22a 4b 4ab +≥当且仅当2a b =即2a =，1b =时取等号. 即424ab ab +≥ 即2ab ≤1sin 602S ab ∴=⋅︒=≤.所以S20．图1是直角梯形ABCD ，//AB DC ，90D ︒∠=，2,3,2AB DC AD CE ED ====，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC = 2. （1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）已知点P 为线段1DC 上一点，且12PC PD =，求直线BP 与平面1ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【分析】（1）连接AC 与BE 相交于点O ，过点B 作BF EC ⊥交EC 于点F ．依题意可得BCE 是等边三角形，从而得到OC EB ⊥，OA EB ⊥，再利用勾股定理逆定理可得1OA OC ⊥，即可得到OA ⊥平面1BC E ，从而得证．（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线与平面所成角的正弦值； 【详解】（1）证明：如图所示，连接AC 与BE 相交于点O ，过点B 作BF EC ⊥交EC 于点F ．3DC =，2CE ED =，则1DE =，2EC =．四边形ABFD为矩形，可得BF AD ==1FC =．2BC ∴．60BCF ∴∠=︒．BCE ∴△是等边三角形．OC ∴=，//EC AB ，2EC AB ==，OC EB ⊥．可得：OA OC ==OA EB ⊥．222116OA OC AC ∴+==，1OA OC ∴⊥．又1OB OC O =，1,OB OC ⊂平面1BC E ．OA ∴⊥平面1BC E ．又OA ⊂平面ABED ，∴平面1BC E ⊥平面ABED ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．()0,0,0O，)A，()0,1,0B ，3,02D ⎫-⎪⎪⎝⎭，(1C ，所以()AB =，(1AC =-，132DC ⎛= ⎝，35,022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设面1ABC 的法向量为(),,n x y z=，所以13030AB n x y AC nx ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则y =1z =，所以()1,3,1n =因为点P 为线段1DC 上一点，且12PC PD =，所以113DP DC =，所以13513,0223213BP BD DP BD DC ⎛⎫⎛-+=-⎪ =+=+⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭= 设直线BP 与平面1ABC 所成角为θ，则sin 42BP n BP nθ⋅===⋅所以直线BP 与平面1ABC 21．某规划部门拟在一条河道附近建设一个如图所示的“创新产业园区”，已知整个可用建筑用地可抽象为ABC ，其中折线ABC 为河岸，经测量河岸拐弯处23ABC π∠=，4BA =千米，且ABC 为等腰三角形.根据实际情况需要在该产业园区内再规划一个核心功能区PMN ，其中M ､N 分别在BA ､BC (不包括端点)上，P 为AC 中点，且2MPN π∠=，设APM θ∠=.（1）若6πθ=，求MN 的长度；（2）求核心功能区PMN 的面积的最小值.【答案】（1(千米)；（2）最小值为12-【分析】（1）当6πθ=时，则2BM =，得M 为BA 中点，从而//PM BA 且122PM BA ==，由90MPN ︒∠=，得90PNC ︒∠=，然后在Rt PNC △和Rt PMN △求解即可；（2）由已知得150,90,60AMP NPC PNC θθθ︒︒︒∠=-∠=-∠=+，在APM △和CPN 中，分别利用正弦定理求得PM =PN =，从而可表示出()()1322sin 150sin 60PMNSPM PN θθ︒︒=⋅=-+，化简得PMNS =得答案【详解】（1）若6πθ=，则2BM =，所以M 为BA 中点，所以//PM BA 且122PM BA ==， 又因为90MPN ︒∠=，所以90PNC ︒∠=.因为ABC 为等腰三角形且120ABC ︒∠=，所以30C A ︒∠=∠=，AC =所以在Rt PNC △中，PN =所以Rt PMN △中，MN =千米)（2）设,0,2APM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则150,90,60AMP NPC PNC θθθ︒︒︒∠=-∠=-∠=+在APM △中，()sin30sin 150AP PM θ︒︒=-，所以PM =在CPN 中，()sin30sin 60PC PN θ︒︒=+，所以PN = 所以()()1322sin 150sin 60PMNSPM PN θθ︒︒=⋅==-+⎝⎭⎝⎭因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 2(0,1]θ∈，所以4πθ=时，PMN 的面积的最小值为12-【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和三角恒等变换公式的应用，解题的关键是分别在APM △和CPN 中，分别利用正弦定理求得PM =PN =，在利用三角形的面积公式和三角恒等变换公式可得PMNS=，从而可求出三角形的面积的最小值. 22．如图，在七面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，其中60BAD ∠=，,,BCE CEF CDF 为等边三角形，且AB BE ⊥，G 为CD 的中点.（1）证明：AB ⊥平面EFG ；（2）求平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1) 证明见解析； (2)79. 【分析】(1)利用线面垂直的判定证AB ⊥ 平面BEG ，得到AB EG ⊥，再证AB ⊥平面EFG ；(2)几何法求解.先确定二面角的平面角，再利用解三角形知识求角. 【详解】(1) 连接BG ，FG ，因为G 为菱形ABCD 的边CD 上的中点，所以1122CG CD CB ==，又60BCD BAD ∠=∠=︒，由余弦定理得222232cos604BG CG CB CG CB CB =+-⋅=，由222223144CB CB BG CG CB ++==，知BG CG ⊥，即BG CD ⊥，又//AB CD ，所以AB BG ⊥ . 根据题意，有AB BE ⊥又BG ，BE 都在平面BGE 内，且相交于点B 所以AB ⊥ 平面BEG又EG ⊂平面BEG ，所以AB EG ⊥.在等边三角形CDF 中，因为G 为CD 的中点，所以CD GF ⊥. 又在菱形ABCD 中，//AB CD ，所以AB GF ⊥. 因为EG ，GF 都在平面EFG 内，且相交于点G ， 所以AB ⊥ 平面EFG .(2) 因为平面 ABCD 与平面CDF 的交线为CD ， 由(1)知，BG CD ⊥，FG CD ⊥，所以BGF ∠为二面角A CD F --的平面角，设2AB = ，则有2BE EF == ，BG GF =由(1)知，AB ⊥ 平面BEG ，又AB平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥ 平面BEG ，过点E 作EM BG ⊥交BG 于点M ，则有EM ⊥平面ABCD ，又BEC △ 为等边三角形，所以BM CM =GM EM =，EG =. 在BEG 和EFG 中，由余弦定理得2221cos 23BG EG BE BGE BG EG +-∠==⋅，2221cos 23EG FG EF EGF EG FG +-∠==⋅，所以BGE EGF ∠=∠则27cos cos 22cos 19BGF BGE BGE ∠=∠=∠-=-，所以平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为7cos 9BGF ∠= .【点睛】立体几何图形证明线面、面面位置关系或求线面、面面角可从以下几点考虑： (1)证明线面、面面位置关系的一般方法是利用相关的判定定理和性质定理，需注意二者的相互转化.若有坐标系也可利用向量法证明.(2)求线面、面面角的一般方法是向量法，若图形容易确定所求角，也可利用几何法，结合解三角形知识求角.。
重庆市重庆一中高一下学期期中考试(数学).doc
重庆市重庆一中高一下学期期中考试（数学）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题.(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.已知角θ满足sin 0θ>,tan 0θ<,则角θ为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.已知sin (,)2πααπ=∈,则tan α=( ) A.12 B.2 C.12- D.2- 3.已知2AC CB =u u u r u u u r ,则B 分AC u u u r所成的比为( )A.12-B.2C.32- D.3- 4.已知点(2,1),(1,3),(2,5)A B C ----,且2OD OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r,则D 点坐标为( )A.(2,12)-B.(2,10)-C.(1,9)-D.(2,12) 5.已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈,下面结论错误的是( )A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 在区间[0,]2π上为增函数C.函数()f x 为奇函数D.函数()f x 的图象关于直线0x =对称 6.2225log sinlog sinlog sin12612πππ++=( ) A.3- B.1- C.1 D.37.已知向量,a b u u r u r可作为平面向量的一组基底,若12,AB a b AC a b λλ=+=+u u u r u u r u r u u u r u u r u r ,12(,)R λλ∈,则A,B,C 三点共线的充要条件为( )A.121λλ==B.121λλ==-C.121λλ=D.121λλ=-8.将函数()y f x =的图象F 沿(2,2)a =-u u r 平移至F′,所得F′的函数解析式为22(2)2y x =-+,则()y f x =的解析式为( )A.22(4)4y x =-+ B.224y x =+ C.22(4)y x =- D.22y x =9.在△ABC 中,AB=6, AC=8, ∠BAC=90°,AD,BE 分别为边BC,AC 上的中线,则向量,AD BE u u u r u u u r间夹角的余弦值为( )A.65B.2C.65-D.12- 10.数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S =( ) A.470 B.490 C.495 D.510二.填空题.(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.已知(2,1),(3,2)a x b =+=-u u r u r ,且a b ⊥u u r u r,则x = .12.已知函数3()sin 1,(,,)f x ax bx c x a b c R =+++∈若(2)4f =,则(2)f -= .13.arcsinarctan 23+＝ . 14.设D 为△ABC 的边AB 上一点,P 为△ABC 内一点,且满足:34AD AB =u u u r u u u r , AP =u u u r25AD BC +u u u r u u u r ,则APD ABC SS ∆∆= .15.已知函数()f x =若对任意实数,x ()f x 均有意义,则θ的取值范围为 . 三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.(13分)已知||4,||3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=u u r u r u u r u r u u r u r. (1)求a u u r 与b u r的夹角θ; (2)求||a b +u u r u r .17.(13分)求函数2()2sin cos 1()f x x x x x R =+⋅+∈的值域,最小正周期及单调递增区间.18.(13分)在△ABC 中,A,B,C 所对的边的长分别为,,a b c ,设,,a b c 满足条件222b c bc a +-=和72c b =,求A 和tan B .19.(13分)已知函数()sin(),(0,0,||)2y f x A x x R A πωϕωϕ==+∈>><其中的图象在y 轴右侧的第一个最值点(最高点或最低点)为(2,M ,与x 轴在原点左侧的第一个交点为N (2,0)-. (1)求函数解析式;(2)若()f x 的图象在M,N 之间与x 轴有交点,解不等式()2f x ≤.12分)已知向量2(2sin ,1),(sin (),cos 2)42x a x b x π==+u u r u r ,设()f x a b =⋅u u r u r ,当2[,]63x ππ∈时,不等式|()|2f x m -<恒成立.求实数m 的范围.21.(12分)已知一列非零向量n a u u r 满足:11111111(,),(,)(,)2n n n n n n n a x y a x y x y x y ----===-+u r u u r ,(2)n ≥.(1)求证:{||}n a u u r为等比数列; (2)求向量1n a -u u u r 与n a u u r的夹角(2)n ≥;(3)设1(1,2)a =u r ,记12...n n OB a a a =+++u u u u r u r u u r u u r ,设点4n B 为(,)n n t r ,则当n 为何值时22n n r t +有最小值,并求此最小值.参考答案二.填空题.(本大题共5个小题,每小题5分,共25分) 11. 2 12. 2- 13. 2π 14. 31015. 3(2,2][2,2),44k k k k k Z πππππππ+++∈U三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.解:由已知22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=u u r u r u u r ur u u r uu r u r u r∴6ab ⋅=-u u r u r(1)61cos 432||||a b a b θ⋅-===-⨯⋅u u r u r u u r u r ∴120θ=︒(2)||a b +====u u r u r17.解:已知:()1cos 2212cos 22f x x x x x =-++=-+ 2sin(2)26x π=-+∴值域为[0,4] 最小正周期22T ππ== 令222262k x k πππππ-≤-≤+∴[,],63x k k k Z ππππ∈-+∈ ∴函数的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈.18.解:由已知2221cos 22b c a A bc +-== ∴60A =︒ 由正弦定理:sin sin(180)sin()sin sin sin cC A B A B b B B B︒--+=== 1sin sin(60)1722sin sin 22B BB B B +︒+==== ∴tan B =19.解:(1)(注意两种情况)sin()84y x ππ=+或3sin()84y x ππ=-(2)当()f x 的图象在M,N 之间与x 轴有交点可知3()sin()284f x x ππ=⋅-≤∴3sin()842x ππ-≤ ∴53224844k x k ππππππ-≤-≤+∴168164[,],3333k k x k Z ∈-+∈:由已知2()2sin sin ()1cos 242x f x a b x x π=⋅=⋅++⋅u u r u rsin [1cos()]cos 22x x x π=⋅-++2sin (1sin )12sin x x x =⋅++- 2sin sin 1x x =-++设sin t x = ∵2[,]63x ππ∈ ∴1sin [,1]2x t =∈ ∴25()1[1,]4f x t t =-++∈∵|()|2f x m -< 恒成立 ∴2()2m f x m -<<+恒成立∴21524m m -<⎧⎪⎨<+⎪⎩ ∴334m -<<21.解:(1)由已知:1||||n n a a -===u u r u u u r ∴{||}n a u u r为等比数列(2)11111(,)(,)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y -----⋅=⋅=⋅+⋅u u u r u u r11111111()()22n n n n n n x x y y x y ------=-+⋅+222111111()||||||222n n n n n x y a a a ----=+==⋅u u u r u u r u u u r∴cos 2θ=∴4πθ= (3)由已知:(,)n n n a x y =u u r , 则11(,)(,)222n n n nn n n n n x y x y a x y x y +-+=-+=u u u r21(,)(,)2222222n n n n n n n n n n n x y x y x y x y y x a +-+-+=-+=-u u u u r3(,)44n n n n n x y x y a ++-=-u u u r , 41(,)4n n n a x y +=-u u u u r∴159261037114812,,,......;,,,......;,,......;,,,......a a a a a a a a a a a a u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r.构成公比为14-的等比数列 ∴12345678,a a a a a a a a ++++++u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r,……亦构成公比为14-的等比数列由条件可知1(1,2)a =u r ,23131(,),(1,)222a a =-=-u u r u u r ,431(,)44a =--u u r∴1234515(,)44a a a a +++=-u r u u r u u r u u r∴51151[1()][1()]1144441(),3[1()]11441()1()44n n n n n n t r -⋅--⋅--==-+-==------ ∴2219[1()]4121()4n n n n r t --=++-设11()4n u =+- ∴229(2)2n n r u t u-+=+49(4)u u =+- 显然4()9(4)g u u u =+-在(0,2)上], 在(2,)+∞Z 且11()24n u =+-< ∴当2n =时, 2max1171()416u =+-=时 2min 2025()2272n n r t =+。
人教新课标版数学高一-重庆一中2020至2021学年高一上学期期中数学试卷
重庆一中2020-2021学年高一上学期期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分．每题只有一个正确答案）1．（5分）以下表示正确的是（）A．∅=0 B．∅={0} C．∅∈{0} D．∅⊆{0}2．（5分）函数f（x）=﹣ln（2﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，2）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，2）D．（2，+∞）3．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称4．（5分）已知a=，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）6．（5分）x＞1的充分不必要条件是（）A．x＞0 B．x≥1 C．x=0 D．x=27．（5分）已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（）A．±2 B．2C．﹣2 D．48．（5分）函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围为（）A．（﹣5，4]B．（﹣5，3）C．（﹣1，4）D．（﹣1，3]9．（5分）已知函数y=lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[﹣2，﹣1]C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f[f（x）]=xf（x）+1，则方程f（x）=0的实根个数为（）A．0B．1C．2D．4二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）函数y=x2+1，x∈[﹣1，2]的值域为．12．（5分）已知函数f（x）=+a为奇函数，则常数a=．13．（5分）函数y=log2（4x﹣x2）的递增区间是．14．（5分）一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为，对于a，b，c有以下几个结论：①a＞0，②b＞0，③c＞0，④a+b+c＞0，⑤a﹣b+c＞0．其中正确结论的序号是．15．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2（m+n）x+n，（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是．三、解答题（共75分）16．（13分）计算下列各式：（要求写出必要的运算步骤）（1）；（2）3．17．（13分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|2x2+（2k+5）x+5k＜0}；（1）若k=﹣1时，求A∩B；（2）若A∪B=R，求实数k的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣，x∈（0，+∞），且f（2）=．（1）用定义证明函数f（x）在其定义域上为增函数；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（3x﹣2﹣1）＜f（9ax﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x+c，（a，c∈N*）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求函数f（x）的解析表达式；（2）若对任意x∈[1，2]，都有f（x）﹣2mx≥1成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=，a∈R．（1）若f（x）在[a，+∞）上为减函数，求a的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=（x+3）﹣1在（1，3）内有两不等实根，求a的取值范围．21．（12分）设函数f（x）满足：①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）f（n）；②对任意m∈R，有f（1+m）=f（1﹣m）；③f（x）不恒为0，且当x∈（0，1]时，f（x）＜1．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并给出你的证明；（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数F（x）定义域中的任意一个x，均有F（x+T）=F（x），则称F（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出的值．重庆一中2020-2021学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分．每题只有一个正确答案）1．（5分）以下表示正确的是（）A．∅=0 B．∅={0} C．∅∈{0} D．∅⊆{0}考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：本题考察集合与集合，集合与元素间的关系，要注意空集∅，然后注意判断．解答：解：A，空集∅只能等于集合，等于0，不正确，B，{0}中有一个元素0，不等于∅，不正确，C，{0}中没有元素∅，不能使用∈符号表示其关系，不正确，D，∅是任意集合的子集，D正确，故选：D．点评：∅是集合，但不含有任何元素，它是任意集合的子集．2．（5分）函数f（x）=﹣ln（2﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，2）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，2）D．（2，+∞）考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．解答：解；∵函数f（x）=﹣ln（2﹣x），∴；解得﹣1≤x＜2，∴f（x）的定义域为[﹣1，2）．故选A．点评：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数f（x）的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集来．3．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称考点：奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．解答：解：因为═，所以f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称．故选A．点评：本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．4．（5分）已知a=，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：判断a、b、c与1，0的大小，即可得到结果．解答：解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查函数值的大小比较，基本知识的考查．5．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=x n，代入点（4，2），解出n，再判断单调增区间．解答：解：设幂函数f（x）=x n，则4n=2，解得，n=，即有f（x）=，则有x≥0，则增区间为（0，+∞）．故选C．点评：本题考查幂函数的解析式和单调区间，注意运用待定系数法，属于基础题．6．（5分）x＞1的充分不必要条件是（）A．x＞0 B．x≥1 C．x=0 D．x=2考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用充分必要条件的定义判断．解答：解：根据充分必要条件的定义可判断：x=2，是x＞1的充分不必要条件，故选：D点评：本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题．7．（5分）已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（）A．±2 B．2C．﹣2 D．4考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：设，则x=（t﹣1）2，t≥1，从而f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1，由此能求出a．解答：解：∵f（+1）=x+2，且f（a）=3，设，则x=（t﹣1）2，t≥1，∴f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1，∴a2﹣1=3，解得a=2或a=﹣2（舍）．故选：B．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．（5分）函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围为（）A．（﹣5，4]B．（﹣5，3）C．（﹣1，4）D．（﹣1，3]考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先画出函数的图象，得到x2+x3的值，求出x1的取值范围，从而得到答案．解答：解：画出函数f（x）的图象，如图示：，不妨设则x1＜x2＜x3，则x2+x3=4，﹣5＜x1≤﹣1，∴﹣1＜x1+x2+x3≤3，故选：D．点评：本题考查了函数的零点问题，考查了函数的对称性，是一道中档题．9．（5分）已知函数y=lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[﹣2，﹣1]C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）考点：一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，应使对数函数的真数取到所有的正数，由此讨论真数的值域即可．解答：解；∵函数y=lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，∴当a2﹣1=0时，a=1或a=﹣1，验证a=1时不成立；当a2﹣1≠0时，，解得﹣2≤a＜﹣1；综上，﹣2≤a≤﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]．故选：B．点评：本题考查了对数函数的应用问题，解题时应根据理解数函数的解析式以及定义域和值域是什么，属于基础题．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f[f（x）]=xf（x）+1，则方程f（x）=0的实根个数为（）A．0B．1C．2D．4考点：根的存在性及根的个数判断．分析：设设函数的零点为x0，则f（x0）=0，赋值思想：x=0，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得f（1）=1，x=1，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得：f[f（1）]=1×f（1）+1，即f（1）=1×1+1=2，与f（1）=1，矛盾，判断无零点．解答：解：∵f[f（x）]=xf（x）+1，∴设函数的零点为x0，则f（x0）=0，∴f[f（x0）]=x0f（x0）+1，f（0）=x0×0+1=1，把x=0代入f[f（x）]=xf（x）+1可得f（1）=1，x=1，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得：f[f（1）]=1×f（1）+1，即f（1）=1×1+1=2，与f（1）=1，矛盾．∴函数f（x）无零点，方程f（x）=0的实根个数为0故选：A点评：本题考查了抽象函数的零点的求解判断，赋值思想，反正法，属于难题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）函数y=x2+1，x∈[﹣1，2]的值域为[1，5]．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数y=x2+1，x∈[﹣1，2]在[﹣1，0]上递减，在[0，2]上递增，计算即可得到最值和值域．解答：解：函数y=x2+1，x∈[﹣1，2]在[﹣1，0]上递减，在[0，2]上递增，则x=0取最小为1，x=﹣1时，y=2，x=2时，y=5．则最大为5．则值域为：[1，5]．故答案为：[1，5]．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，注意对称轴和区间的关系，运用单调性解题，属于基础题和易错题．12．（5分）已知函数f（x）=+a为奇函数，则常数a=．考点：有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：运用函数的性质得出f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，代入即可求解．解答：解：∵函数f（x）=+a为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（0）=0，+a=0，a=，故答案为：．点评：本题考查了函数的定义、性质，属于容易题．13．（5分）函数y=log2（4x﹣x2）的递增区间是（0，2]．考点：对数函数的单调性与特殊点；二次函数的性质．专题：计算题．分析：由﹣x2+4x＞0可求定义域，根据复合函数的单调性，要求函数y=log2（﹣x2+4x）的单调增区间，只要求t=﹣x2+4x在0＜t≤4的单调增区间．解答：解：由﹣x2+4x＞0，得0＜x＜4，（2分）即定义域为x∈（0，4）．设t=﹣x2+4x（0＜t≤4），则当x∈（0，2]时，t为增函数；（8分）又y=log2t（0＜t≤4）也为增函数，（9分）故函数的单调递增区间为（0，2]．（10分）故答案为：（0，2]．点评：本题主要考查了对数函数域二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调区间的求解，解题的关键是灵活利用对数函数的定义域及复合函数的单调性．14．（5分）一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为，对于a，b，c有以下几个结论：①a＞0，②b＞0，③c＞0，④a+b+c＞0，⑤a﹣b+c＞0．其中正确结论的序号是（2），（3），（4）．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：由题意知：x=，x=2是方程ax2+bx+c=0的两根，由韦达定理可得到系数a，b，c之间的关系．结合函数的图象可以解决．解答：解：由题意，x=，x=2是方程ax2+bx+c=0的两根，且开口向下，利用函数的图象可知，f（1）＞0，f（﹣1）＜0，又对称轴为，∴b＞0，故答案为：（2），（3），（4）点评：本题主要考查一元二次不等式的运用，应注意不等式的解集与方程解之间的关系，同时应正确利用函数的图象．15．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2（m+n）x+n，（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是[，2）．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（0）•f（1）＞0，即n（m+n）＜0，再由二次方程的韦达定理，得到|x1﹣x2|===2=2，再由﹣1＜＜0，即可得到范围．解答：解：函数f（x）=mx2﹣2（m+n）x+n，（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，即有n（﹣m﹣n）＞0，即n（m+n）＜0，由于x1，x2是方程f（x）=0的两根，则4（m+n）2﹣4mn＞0，x1+x2=，x1x2=，则|x1﹣x2|===2=2，由于n（m+n）＜0，即有＜﹣1，则﹣1＜＜0，当，取得最小值2=，→0时，|x1﹣x2|→2，则有|x1﹣x2|∈[，2）．故答案为：[，2）．点评：本题考查二次函数的值域的求法，考查二次方程的韦达定理和运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（共75分）16．（13分）计算下列各式：（要求写出必要的运算步骤）（1）；（2）3．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则和换底公式即可得出．解答：解：（1）原式=﹣62+﹣+1=﹣36+64﹣+1=32．（2）原式=•log43=+===1．点评：本题考查了指数幂与对数的运算法则和换底公式，属于基础题．17．（13分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|2x2+（2k+5）x+5k＜0}；（1）若k=﹣1时，求A∩B；（2）若A∪B=R，求实数k的取值范围．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：集合．分析：（1）先解出A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），将k=﹣1带入集合B并解得B=（），所以进行交集的运算即可得到A∩B；（2）2x2+（2k+5）x+5k=0的两实数根为﹣k，，所以通过讨论k可得到B=，所以根据A∪B=R即可得到k＜﹣2，所以便求出了k的取值范围．解答：解：（1）由已知得，A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；当k=﹣1时，B={x|2x2+3x﹣5＜0}=；∴；（2）由于方程2x2+（2k+5）x+5k=0的两根为﹣k，；∴；∵A∪B=R；∴；∴k＜﹣2；∴实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2）．点评：考查解一元二次不等式，集合的交集运算，以及并集的概念及运算．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣，x∈（0，+∞），且f（2）=．（1）用定义证明函数f（x）在其定义域上为增函数；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（3x﹣2﹣1）＜f（9ax﹣1）．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）得m=1，根据，判断出即可．（2）等价于0＜3x﹣2﹣1＜9ax﹣1，求解，分类讨论分解即可得出解集．解答：解：（1）由得m=1，∴．对任0＜x1＜x2，即f（x2）＞f（x1），故f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；（2）由（1）知，f（3x﹣2﹣1）＜f（9ax﹣1）等价于0＜3x﹣2﹣1＜9ax﹣1，即．当1﹣2a＞0即时，由于，此时；当1﹣2a=0即时，x＞2；当1﹣2a＜0，即时，，此时x＞2；所以当时，不等式解集为；当时；解集为（2，+∞）．点评：本题考查了指数函数的性质，运用不等式求解问题，分类讨论，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x+c，（a，c∈N*）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求函数f（x）的解析表达式；（2）若对任意x∈[1，2]，都有f（x）﹣2mx≥1成立，求实数m的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）f（1）=5可得c=3﹣a．①，由6＜f（2）＜11，得6＜4a+c+4＜11，②联立①②可求得a，c，进而可得函数f（x）的解析表达式；（2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得：当m﹣1≤1即m≤2时，g min（x）=g（1）=4﹣2m≥0，解得m的取值范围．（2）法二：不等式f（x）﹣2mx≥1恒成立等价于2m﹣2≤x+在[1，2]上恒成立．只需求出（x+）min．解答：解：（1）∵f（1）=5∴5=a+c+2，即c=3﹣a，又∵6＜f（2）＜11∴6＜4a+c+4＜11，∴∴，又∵a∈N*，∴a=1，c=2．所以f（x）=x2+2x+2．（2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得：当m﹣1≤1即m≤2时，g min（x）=g（1）=4﹣2m≥0，此时m≤2；当1＜m﹣1＜2即2＜m＜3时，△≤0，解得：无解；当m﹣1≥2即m≥3时，g min（x）=g（2）=9﹣4m≥0，此时无解．综上所述，m的取值范围为（﹣∞，2]．法二：由已知得，在x∈[1，2]上恒成立．由于在[1，2]上单调递增，所以，故2（m﹣1）≤2，即m≤2．点评：本题考查二次函数的性质、二次不等式恒成立，考查转化思想，属中档题．20．（12分）已知函数f（x）=，a∈R．（1）若f（x）在[a，+∞）上为减函数，求a的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=（x+3）﹣1在（1，3）内有两不等实根，求a的取值范围．考点：复合函数的单调性；对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由真数在[a，+∞）上为增函数且恒大于0列不等式组求得a的取值范围；（2）由对数的运算性质化简，得到ax2﹣4ax+2=0在（1，3）内有两不等实根，然后借助于“三个二次”的结合列不等式组得答案．解答：解：（1）要使f（x）在[a，+∞）上为减函数，一方面g（x）=x2﹣2（2a﹣1）x+8递增，另一方面g（x）＞0，∴2a﹣1≤a且g（a）=a2﹣2a（2a﹣1）+8＞0，解得；（2）由已知得=（x+3）﹣1在（1，3）内有两不等实根，即x2﹣4ax+2=0在（1，3）内有两不等实根，令F（x）=x2﹣4ax+2，则，即，解之得．点评：本题考查了复合函数的单调性，考查了对数的运算性质，训练了利用“三个二次”的结合求解参数的范围，是中档题．21．（12分）设函数f（x）满足：①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）f（n）；②对任意m∈R，有f（1+m）=f（1﹣m）；③f（x）不恒为0，且当x∈（0，1]时，f（x）＜1．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并给出你的证明；（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数F（x）定义域中的任意一个x，均有F（x+T）=F（x），则称F（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出的值．考点：函数的周期性；抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由于f（x）不恒为0，故存在x0，使f（x0）≠0，令m=x0，n=0，可得f（0），令m=n=1，即得f（1）；（2）令m=0，n=x，由条件，即可得到奇偶性；（3）由f（1+m）=f（1﹣m）得f（﹣x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，则f（x+2）=f（x），即f （x）以2为周期的周期函数，运用周期，即可得到所求值．解答：解：（1）由于f（x）不恒为0，故存在x0，使f（x0）≠0，令m=x0，n=0，则f（x0）+f（x0）=2f（x0）f（0），则f（0）=1．令m=n=1，则f（2）+f（0）=2f2（1），又f（0）=f（2），则f2（1）=1，则f（1）=±1，由已知，f（1）＜1，故f（1）=﹣1；（2）令m=0，n=x，得，f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），即有f（﹣x）=f（x），即有f（x）为偶函数；（3）由f（1+m）=f（1﹣m）得f（﹣x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，令m=n=，f（）+f（0）=2f2（），即f（）+1=2f2（），再令m=，n=得，f（1）+f（）=2f（）f（），即f（）﹣1=2f（）f（）．而f（）＜1，解得，f（）=，f（）=﹣，由条件得，f（）=f（），f（）=f（），故f（）+f（）+…+f（）=0，f（x）以2为周期的周期函数，则=336×0+f（）=f（）=．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性及运用，考查运算能力，考查抽象函数的解决方法：赋值法，属于中档题．。
【精准解析】重庆市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
重庆一中高2022级高一（下）学期期中考试数学试题卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A. ()5,7 B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9【答案】A 【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2. 在ABC ∆中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，则b =（ ） A. 2 B. 326D. 56【答案】A 【解析】 【分析】先求出45,A =再利用正弦定理求解即可. 【详解】30B =︒，105C =︒，45A ∴=，由正弦定理可得4sin 45sin 30b=，解得142222b ⨯==，故选：A.【点睛】本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.3. 某外卖企业两位员工今年3月某10天日派送外卖量的数据（单位：件），如茎叶图所示针对这10天的数据，下面说法错误的是（ ）A. 阿朱的日派送量的众数为76B. 阿紫的日派送量的中位数为77C. 阿朱的日派送量的中位数为76D. 阿朱的日派送外卖量更稳定【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图的数据计算出阿朱和阿紫的日派送量的众数和中位数，可判断A 、B 、C 选项的正误，根据阿朱和阿紫的日派送量数据的分布情况可可判断D 选项的正误.【详解】由茎叶图可知，阿朱的日派送量由小到大分别为63、64、72、76、76、77、78、84、86、94，众数为76，中位数为76.5，阿紫的日派送量由小到大分别为54、58、63、72、73、81、86、89、95、99，中位数为77，由茎叶图可知，阿朱的日派送量数据相对集中，阿紫的日派送量数据相对分散，所以，阿朱的日派送外卖量更稳定.所以，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查利用茎叶图计算众数和中位数，同时也考查了利用茎叶图的数据分布来比较样本的稳定性，考查数据分析能力，属于基础题.4. 如果(1,3)A 关于直线l 的对称点为(5,1)B -，则直线l 的方程是( ) A. 340x y ++= B. 380x y -+= C. 340x y +-= D. 380x y -+= 【答案】A 【解析】【详解】因为已知点(1,3)A 关于直线l的对称点为(5,1)B -，故直线l 为线段AB 的中垂线， 求得AB 的中点坐标为(2,2)-，AB 的斜率为131513-=--，故直线l 的斜率为3-， 故直线l 的方程为23(2)y x -=-+，即340x y ++=. 故选：A.5. 直线l 经过()2,1A ，()23,B t ，(t ≤≤点，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ）A. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B. 0,C. 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD.30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】求出斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围．【详解】由已知直线的斜率为221132t k t -==--，∵t ≤11k -≤≤，记直线l 的倾斜角为θ,[)0,θπ∈，即1tan 1θ-≤≤，所以3[0,][,)44ππθπ∈． 故选：A ．【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的倾斜角的范围是[0,]π，斜率为正时，倾斜角为锐角，斜率为负时，倾斜角为钝角，因此一般要分类讨论．6. ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a c b +=，3sin 5sin B A =，则角C =（ ）A. 60︒B. 120︒C. 135︒D. 150︒【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边的关系，然后由余弦定理求出cos C ，即可得．【详解】因为3sin 5sin B A =，所以35b a =，35a b =，代入2a c b +=得75c b =， ∴22222294912525cos 32225b b b a bc C ab b b +-+-===-⨯⨯，∴120C =︒． 故选：B ．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，用正弦定理化角为边，用余弦定理求角，属于基础题．7. 已知12a =，121n n a a n +-=+（*n N ∈），则n a =（ ） A. 1n + B. 21nC. 21n +D. 221n +【答案】C 【解析】 【分析】利用累加法即可求出通项公式．【详解】解：∵121n n a a n +-=+，则当2n ≥时，121n n a a n --=-，……325a a -=， 213a a -=，∴132212153n n a a a a a a n --+⋅⋅⋅+-+-=-+⋅⋅⋅++， 化简得()()21121312n n n a a n --+-==-，又12a =， ∴21n a n =+，经检验12a =也符合上式， ∴()2*1n n N a n =+∈，故选：C ．【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．8. 为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为0.7y x a =+，则当8x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A. 4.9 B. 5.25C. 5.95D. 6.15【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，求出,x y ，再由回归直线必过样本中心，求出a ，将8x =代入回归方程，即可求出结果.【详解】由题中数据可得：3456 4.54x +++==， 2.534 4.53.54y +++==，因为回归直线必过样本中心(),x y ， 所以0.7 3.50.7 4.50.35a y x =-=-⨯=， 因此0.70.35y x =+，所以当8x =时，0.780.35 5.95y =⨯+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查用回归直线求预测值，熟记回归直线的特征即可，属于基础题型. 9. 直线:1x yl a b+=中，{}1,3,5,7a ∈，{}2,4,6,8b ∈.则l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10的概率为（ ） A.716B. 732C.1116D.1132【答案】A 【解析】 【分析】记事件为(,)a b ，可用列举法列出事件空间，从而得出面积不小于10的事件的个数，计算出概率． 【详解】,a b 构成一对有序数对(,)a b ，则事件空间为{(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6,),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8)}，其中使得三角形面积不小于10的事件有：(3,8),(5,4),(5,6),(5,8),(7,4),(7,6),(7,8)共7个， ∴所求概率为716P =． 故选：A ．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是写出事件(,)a b 构成的事件空间．列举法是解决此类问题的常用方法．10. 若ABC ∆中，1cos 2A =，2BC =，则BA BC CA CB AB AC ⋅⋅+的最大值是（ ）A. B. 1 C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】首先根据向量数量积运算，将原式变形为()2cos cos B C +，再根据23B C π+=化简，变形为2sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭，再求函数的最值. 【详解】cos cos BA BC BA BC B ac B ⋅==⋅cos cos CA CB CA CB C ab C ⋅==⋅， AB c =，AC b = ，∴原式()cos cos 2cos cos a B a C B C =⋅+⋅=+，1cos 2A =，3A π∴=， 23B C π∴+= ,∴原式22cos cos 3B B π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos B B =2sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,203B π<< ,5666B πππ∴<+<12sin 26B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，∴BA BC CA CB ABAC⋅⋅+的最大值是2.故选：D【点睛】本题向量数量积和三角函数恒等变形和性质，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型.11. 已知等差数列{}n a 满足22a =，3710a a +=，数列{}n b 满足11n nn n na ab a a ++-=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对于任意的[]2,2a ∈-，*n N ∈，不等式223n S t at <+-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. (][),21,-∞-+∞ B. (](),22,-∞-+∞ C. (][),12,-∞-⋃+∞ D. []22-,【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列基本量法求出通项公式n a ，用裂项相消法求得n S ，求出{}n S 的最大值，然后利用关于a 的不等式是一次不等式列出t 满足的不等关系求得其范围．【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，则由已知得2137122810a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，∴n a n =，11111n n n n n n n a a b a a a a +++-==-，∴122311111111111111n nn n S a a a a a a a a n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=-⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 易知数列{}n S 是递增数列，且1n S <，∴若对于任意的[]2,2a ∈-，*n N ∈，不等式223n S t at <+-恒成立，即2231t at +-≥，又[2,2]a ∈-，∴2222312231t t t t ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得2t ≤-或2≥．故选：B ．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握不等式恒成立问题的转化与化归思想，不等式恒成立首先转化为求数列的单调性与最值，其次转化为一次不等式恒成立．12. 已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量1x ，2x ，3x ，4x ，5x 和1y ，2y ，3y ，4y ，5y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值，max S 表示S 所有可能取值中的最大值.下列说法中正确的个数是（ ）①S 有5个不同的值；②若a b ⊥，且1a b ==则max 5S =；③若4b a >，则min 0S >；④若2b a =，2min 8S a =，则a 与b 的夹角为3π. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意S 有3种结果，故①错误，由12230S S S S -=->，得到3S 最小，1S 最大，再根据条件对②③④判断即可得到答案.【详解】对①，S 有3种结果，分别是：22123S a b =+，22222S a a b b =+⋅+，234S a b b =⋅+，故①错误.因为()222221223220S S S S a b a b a b a b a b -=-=+-⋅≥+-⋅=-≥，所以S 中，3S 最小，1S 最大.对②，若a b ⊥，且1a b ==，则2222max 123235S S a b a b ==+=+=，故②正确. 对③，若4b a >，则22222min 344cos 40S S a b b a b b a b b b b θ==⋅+=+≥-+>-+=，故③正确.对④，若2b a =，2min 8S a =，则2222348cos 48S a b b a a a θ=⋅+=+=， 所以1cos 2θ=，3πθ=，故④正确.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量数量积的综合应用，考查学生推理，分析问题的能力，属于难题.第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知一组数1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______. 【答案】265【解析】 【分析】先根据平均数计算出m 的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差. 【详解】依题意12674,45m m ++++==.所以方差为()()()()()22222114244464745⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦[]126944955=+++=. 故答案为265. 【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.14. 以下四个命题中：①直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2；10y ++=的倾斜角为60︒，③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件.其中正确的是________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据直线方程，直线的倾斜角的定义，方差公式，对立事件的概念分别判断各命题． 【详解】①直线()32y ax a a R =-+∈中，令3x =，则2y =，∴直线必过定点()3,2，①正确；②直线310x y ++=的斜率为3k =-，倾斜角为120︒，②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差变为原来的2a 倍，③错误；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 不可能同时发生，为互斥事件，但事件3发生时，,A B 都不发生．因此它们不是对立事件，④正确． 故答案为：①④【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握直线方程，直线的倾斜角，方差，对立事件等概念是解题关键．本题属于中档题．15. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽炫图”，可类似地构造如图所示的图形：由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若213AB =，则EDF 的面积为________.【答案】43【解析】 【分析】根据正三角形和全等三角形的性质得DB AF =，再运用余弦定理可求得DF 的长，运用三角形的面积公式可求得其值.【详解】由题可知：在DEF 中，3EDA π∠=，则23ADB π∠=， 不妨设2DF k =，由2DF AF =知，AF k =，则3AD k =， 又因为AFC BDA ≅，所以DB AF k ==，由余弦定理可知：()22222231cos 2232k k AB AD BD AB ADB AD BD k k +-+-∠===-⋅⨯⨯，解得2213AB k =，而AB =2k =，所以4DF =，所以144sin 23DEF S π∆=⨯⨯⨯=，故答案为：【点睛】本题考查运用余弦定理和三角形的面积公式求解三角形，属于中档题.16. 已知点M 为直线1:20l x y a +-=与直线2:210l x y -+=在第一象限的交点，经过点M 的直线l 分别交x ，y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当AOB S取得最小值为1425时，a 的值为________.【答案】32【解析】 【分析】先求出点M 的坐标，然后设直线AB 的方程，得出,A B 坐标后可得三角形面积，由面积的最小值可求得a ．【详解】由20210x y a x y +-=⎧⎨-+=⎩，得21525a x a y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即212(,)55a a M -+，M 在第一象限，则12a >，设直线l 方程为221()55a a y k x +--=-，显然k 0<， 令0x =得2(21)55B a a k y +-=-，令0y =得21255A a a x k-+=-， 所以112122(21)225555AOB A B a a a a k S x y k -++-⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△221(2)2(2)(21)(21)()50a a a a k k ⎡⎤+=+-++--⎢⎥-⎣⎦12(2)(21)50a a ⎡≥+-+⎢⎢⎣2(2)(21)25a a +-=，当且仅当22(2)(21)()a a k k+=---，即221a k a +=--时等号成立． 所以OABS最大值为2(2)(21)142525a a +-=，解得32a =或3a =-（舍去）．故答案为：32． 【点睛】本题考查求直线的交点坐标，考查求直线方程，三角形面积，考查用基本不等式求最值．本题考查了学生运算求解能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知向量()()2cos ,sin ,1,2a b θθ==-.（1）若//a b ，求3sin 2cos 2sin cos θθθθ-+的值；（2）若45,2a tb θ=-b +垂直，求实数t 的值. 【答案】（1）2 （2）t =【解析】试题分析：（1）由//a b 得出，tan 4θ=-，由3sin 2cos 3tan 22sin cos 2tan 1θθθθθθ--=++得出结果;（2）由45θ=︒得2,2a ⎛= ⎝⎭，利用向量坐标运算法则求出2a tb -b +，再由b +与2a b +垂直，能求出t .试题解析：解：（1）//sin 4cos tan 4a b θθθ⇒=-⇒=-，()()3423sin 2cos 3tan 222sin cos 2tan 1241θθθθθθ⨯----∴===++⨯-+.（2）45,2,2a θ⎛=∴= ⎭,()()222,22,23,1a tb t t a b ∴-=-++=-,2a tb -b +垂直，())()3210t t ⨯+⨯-=，t ∴=18. 已知直线12:310,:(2)0l ax y l x a y a ++=+-+=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离．【答案】（1）32a =；（2）3． 【解析】 【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线1l 与2l 之间的距离. 【详解】（1）由12l l ⊥知3(2)0a a +-=，解得32a =． （2）当12l l //时，有(2)303(2)0a a a a --=⎧⎨--≠⎩，解得3a =．此时12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即233:90x y l ++=，则直线1l 与2l 之间的距离3d ==． 【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题. 19. 2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分.根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图.已知评分在[80,100]的居民有600人.（1）求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数；（2）定义满意指数η=满意程度的平均分/100，若0.8η<，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[40,50)、[50,60)）中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，求这2人中仅有一人对防疫工作的评分在[40,50)内的概率.【答案】（1）0.025a =，所调查的总人数为1000人；（2）不需要；（3）815. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，即可求得a ；再结合评分在[80,100]的居民有600人，用频率除以总数即为频率的公式计算，即可求得结果； （2）根据频率分布直方图求得平均数，再求得η，即可判断；（3）先求得在[40,50)，[50,60)的人数，列举出所有抽取2人的可能性；再找出满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图得：(0.0020.0040.0140.020.035)101a +++++⨯=， 解得0.025a =， 设总共调查了n 人，则6001000(0.0350.025)10n ==+⨯，即调查的总人数为1000人；（2）由频率分布直方图知，满意程度的平均分为450.02550.04650.14750.2850.35950.2580.7x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以，满意指数80.70.8070.8100η==>， 因此，该区防疫工作不需要大的调整；（3）由题意可知，评分在在[40,50)、[50,60)的频率之比为0.0210.042=， 所以，所抽取的6人中评分在[40,50)的人数为1623⨯=，分别记为,a b ， 评分在[50,60)的人数为2643⨯=，分别记为A 、B 、C 、D ，抽取2人的基本事件为：ab 、aA 、,,,,,,,,,,,,aB aC aD bA bB bC bD AB AC AD BC CD CD 、 共15个，而仅有一人来自[40,50)的基本事件有：,,,,,,,,aA aB aC aD bA bB bB bC bD 共8个， 因此，所抽取的2人中仅有一人对防疫工作的评分在[40,50)内的概率为815P =. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均数、参数值，涉及古典概型的概率计算，属综合中档题.20. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+；（2）()1212nn +-⋅【解析】 【分析】()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出21n a n =+．(2()111)2,2212n n n nn n nb b a n a ---==⋅=+⋅，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ．【详解】解：(1)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．()()1121113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+，21n a n ∴=+ (2)n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列， ()1112,2212n n n nn n nb b a n a ---∴==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②两式相减得：()()12123221212n n n T n --=--⨯++⋅-()1212n n =+-⋅【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题． 21. OPQ △中，2POQ π∠=，4PQ =，点M ，N 在边PQ 上，且6MON π∠=.（1）求OPQ △面积的最大值；（2）当OPQ △面积取得最大值时，求OMN 面积的最小值. 【答案】（1）4，（2）16-【解析】 【分析】（1）根据基本不等式得||||OP OQ ⋅最大值，再根据三角形面积公式得结果；（2）设点M 靠近P ，且POM θ∠=，根据正弦定理表示||,||OM ON ,再根据三角形面积公式建立函数关系式，最后利用三角函数性质求最小值. 【详解】（1）因为2POQ π∠=，||4PQ =，所以222||+||=||16OP OQ PQ =22||+||2||||||||8OP OQ OP OQ OP OQ ≥⋅∴⋅≤（当且仅当||||OP OQ ==时取等号），因此||||412OPQOP Q SO ⋅=≤,即OPQ △面积的最大值为4； （2）当OPQ △面积取得最大值时，||||OP OQ ==设点M 靠近P ，且[0,]3POM πθθ∠=∈，，则||sin24||,sin()sin()44OP OM πππθθ==++||sin24||,sin()sin()4646OP ON πππππθθ==++++12sin(2)sin()44||6||OMNN SOM O πππθθ=+++⋅====16≥=-6πθ=时取等号， 即OMN面积的最小值为16-【点睛】本题考查基本不等式求最值、正弦定理、辅助角公式、二倍角正弦与余弦公式，考查综合分析求解能力，属中档题. 22. 已知数列{}()*n a n N ∈的22a=，前n 项和为n S ，且2n n nS a =对于任意的*n N ∈恒成立.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记()2n n b a n λ=+-，且前m 项和为m T ，不等式21m T m m -<+有且仅有两个不同的正整数解，求λ的取值范围.【答案】（1）22n a n =-；（2）112λ-<≤-或952λ≤<． 【解析】 【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，然后用连乘法求得通项公式，验证12,a a 也适合此表达式；（2）化简n b ，由分组求和法求得m T ，观察不等式21m T m m -<+，发现3m =时不等式恒成立，因此2m =或4m =是不等式的另一个整数解，其他的整数m 都不是不等式的解，分离参数后通过研究新数列的单调性得出结论． 【详解】（1）由已知11112S a a ==，10a =， 因为2n n n S a =，∴2n ≥时，1112n n n S a ---=，两式相减得11122n n n n n n n a S S a a ---=-=-，1(2)(1)n n n a n a --=-， ∴当3n ≥时，112n n a n a n --=-，∴34223123122(1)122n n n a a a n a a n a a a n --=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=--，1,2n =也适合， 所以2(1)n a n =- ，*n N ∈；（2）由（1）2(1)(2)(2)22n b n n n λλλ=-+-=-+-，(1)(2)2(1)2m m m T m λλ+=-⨯+-， 2(1)22(2)2(2)(3)22m m m T m m m m λλλ+--=-⨯+-=⨯-， 不等式21m T m m -<+为22(3)12m m m λ-⨯-<+，3m =时，不等式恒成立，在3m >时，22123m m m λ-+<-，记21()3m f m m m+=-，222222132(1)()0(1)3(1)3(2)(3)m m m m f m f m m m m m m m m m +++-+-=-=-<+-+----， ∴在3m >时，数列{()}f m 递减，5(4)4f =，不等式为2524λ-<①， 2m =时，不等式为2322λ-<②， 1m =时，不等式为212λ-<③， 因此只要不等式②成立，不等式①不成立即可．不等式①不成立时，5m ≥，不等式都不成立， ∴523422λ-≤<，解得112λ-<≤-或952λ≤<． 【点睛】本题考查由n S 与na 的关系求数列的通项公式，考查数列不等式有解问题．掌握连乘法是求数列通项公式的基础．还考查了分组求和法，数列的单调性，考查学生的运算求解能力，分析问题解决问题的能力．。
2020年重庆市高一(下)期中数学试卷解析版
16. 在数列{an}中：已知 a1=1，n2an-Sn=n2an-1-Sn-1（n≥2，n∈N*），记 bn= ，Tn 为数列{bn}
B：-1×5-2×7≠0，即 与 不共线，可以作为平面内的所有向量的基底；
C：因为 3×10-6×5=0，则 ，不能作为平面内的所有向量的基底；
D：因为
=0，则 ，不能作为平面内的所有向量的基底；
故选：B． 由于向量基底的条件：不共线的非零向量，然后结合向量平行的坐标表示检验各选项． 本题主要考查了向量基地的条件的判断，属于基础试题．
2a2=a1+4． （1）分别求数列{an}和{bn}的通项公式． （2）设 cn=an•bn，求数列{cn}的前 n 项和 Sn．
，且 b1=4，
21. 已知向量
，
（其中 ω＞0），设函数
，且函数 f（x）的最小正周期为 π．
（1）将函数 f（x）的表达式化成 f（x）=ksin（mx+φ）+n（其中 k、m、n 为常数） 的形式；
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，
3. 如图：在平行四边形 ABCD 中，已知
，
，则
=（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，若向量
，
，且 ，则角 C=（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 在数列{an}中：已知 a1=1，an-an-1=n（n≥2），则数列{an}的通项公式为（ ）
2020-2021重庆第一中学高一数学下期中模拟试题(带答案)
2020-2021重庆第一中学高一数学下期中模拟试题(带答案)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073π B ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 3．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面4．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③5．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β 6．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离7．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或18．若直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则a 的值为（ ） A ．1-或2 B ．1- C ．2 D ．不存在9．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm10．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 12．如图，正四面体ABCD 中，,EF 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 二、填空题13．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于 ． 14．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）15．已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．16．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ．17．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________18．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______19．直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________．20．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题21．如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=o ，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为3，求AP PC 的值. 23．在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =u u u v u u u v ，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.24．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -.（1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．25．已知圆22:20M x y x a +-+=（1）若8a =-，过点(4,5)P 作圆M 的切线，求该切线的方程；（2）当圆22:(1)(23)4N x y ++-=与圆M 相外切时，从点(2,8)Q -射出一道光线，经过y 轴反射，照到圆M 上的一点R ，求光线从点Q 经反射后走到点R 所走过路线的最小值.26．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明；(2)求三棱锥E －ABC 的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果. 2．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 3．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.4．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．5．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.6．B解析：B【解析】 化简圆到直线的距离， 又 两圆相交. 选B 7．D解析：D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--， 由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a 2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8．C解析：C【解析】【分析】直接根据直线平行公式得到答案.【详解】直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则()12a a -=，解得2a =或1a =-.当1a =-时，两直线重合，排除.故选：C .【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，意在考查学生的计算能力，多解是容易发生的错误.9．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）．考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.10．C解析：C【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半， 即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.11．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD ＝2 由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径3DE = 234()3S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．C解析：C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误；在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确；在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60解析：3【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O．在三角形ABD中，因为∠A＝120°，AB＝2．可得AO＝1．过A作面BCD的垂线，垂足E，则AE即为所求．由题得，∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60°．在RT△AOE中，AE＝AO•sin∠AOE＝3．14．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD⊥平面ADC可推知BD⊥AC数量积为零②由折叠后AB＝AC＝BC三角形为等边三角形得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③【解析】【分析】①由折叠的原理，可知BD⊥平面ADC，可推知BD⊥AC，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC＝BC，三角形为等边三角形，得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC和平面ABC不垂直．【详解】BD⊥平面ADC，⇒BD⊥AC，①错；AB＝AC＝BC，②对；DA＝DB＝DC，结合②，③对④错．故答案为②③【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．15．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的 解析：【解析】 根据抛物线的定义，可知1PR PF =-，而PQ 的最小值是1PC -，所以PQ PR +的最小值就是2PF PC +-的最小值，当,,C P F 三点共线时，此时PF FC +最小，最小值是()()2231305CF =--+-= ，所以PQ PR +的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.16．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所 解析：【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为33r =，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：22273R r d =+=，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为22843S R ππ==． 考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离． 【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．17．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正 解析：13- 【解析】【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论.【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小，正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，AM MC ==P ABCD -中，AC =在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅. 故答案为:13-. 【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.18．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析：0x y -=【解析】【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解.【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，1||||sin ||210||221||||10||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠V V ， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--u u u r u u u r ，解得55,33a b ==， 55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=. 故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题. 19．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题解析：1-【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可.【详解】因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，所以110a ⨯+=解得1a =-.故填1-.【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.20．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：,1515⎡-⎢⎣⎦【解析】【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围．【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-，因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点． 所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径 ∴1解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．三、解答题21．（Ⅰ）略；（Ⅱ）60o【解析】试题分析：（Ⅰ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，先证明//OH BD ，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD 平面HDF ；思路二：先证明平面//FGH 平面ABED ，再由平面与平面平行的定义得到//BD 平面HDF .（Ⅱ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，证明,,GB GC GD 两两垂直, 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH ，证明MNH∠即为所求的角，然后在三角形中求解.试题解析：（Ⅰ）证法一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE G =为AC 的中点可得//,DF GC DF GC =所以四边形DFCG 为平行四边形则O 为CD 的中点又H 为BC 的中点所以//OH BD又OH ⊂平面,FGH BD ⊂平面,FGH所以//BD 平面FGH ．证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点可得//,,BH EF BH EF =所以四边形BHFE 为平行四边形可得//BE HF在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以//GH AB又GH HF H ⋂=，所以平面//FGH 平面ABED因为BD ⊂平面ABED所以//BD 平面FGH（Ⅱ）解法一：设2AB =，则1CF =在三棱台DEF ABC -中，G 为AC 的中点由12DF AC GC ==， 可得四边形DGCF 为平行四边形，又FC ⊥平面ABC所以DG ⊥平面ABC在ABC ∆中，由,45AB BC BAC o⊥∠=，G 是AC 中点，所以,AB BC GB GC =⊥因此,,GB GC GD 两两垂直,以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -所以())()()0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,1G BC D 可得()22,2,1H F ⎫⎪⎪⎝⎭ 故()22,2,122GH GF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 设(),,n x y z r =是平面FGH 的一个法向量，则由0,{0,n GH n GF ⋅=⋅=u u u r r u u u r r 可得0{20x y z +=+= 可得平面FGH 的一个法向量(1,2n r =-因为GB uuu r 是平面ACFD 的一个法向量，)2,0,0GB =u u u r 所以21cos ,222GB n GB n GB n ⋅===⋅u u u r r u u u r r u u u r r 所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为60o解法二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥又FC AC C ⋂=所以HM ⊥平面ACFD所以MNH ∠即为所求的角在BGC ∆中,12//,,22MH BG MH BG == 由GNM ∆∽GCF ∆ 可得,MN GM FC GF= 从而66MN =由MH ⊥平面,ACFD MN ⊂平面ACFD得,MH MN ⊥ 因此tan 3HM MNH MN∠==所以60MNH ∠=o所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60o .考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.22．（1）证明见解析；（2）3．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得AP PC．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）．试题解析：（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =I ，∴BC ⊥平面11AA B B ，∵1A B ⊂平面11AA B B ，∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥.∵2AB BC ==，∴AC BE ==∴122PBC S BE CP x ∆=⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上，∴1AD A B ⊥∵1,2AA BA AD AB ⊥=，在Rt ABD ∆中，1BD ==，又21AD BD A D =⋅，∴13A D =，在1Rt ADA ∆中，1AA ===∴1113A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -x =，解得4x =.∴4AP =，∴53AP PC =.23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）205. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意1l ⊥平面SAB ，得到所以1l SA ⊥，同理可证2l SA ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得SA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）分别以AB u u u r 、AD u u u r 、AS u u u r 所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，求得向量EF u u u r 和平面SCD 的一个法向量为n r ，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成的角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）证法1：在平面ABCD 内过点C 作两条直线1l ，2l ，使得1l AB ⊥，2l AD ⊥.因为AB AD A ⋂=，所以1l ，2l 为两条相交直线.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面ABCD ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面SAB .所以1l SA ⊥.同理可证2l SA ⊥.又因为1l ⊂平面ABCD ，2l ⊂平面ABCD ，12l l C ⋂=，所以SA ⊥平面ABCD .证法2：在平面SAB 内过点S 作1l AB ⊥，在平面SAD 内过点S 作2l AD ⊥. 因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面SAB ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面ABCD .同理可证2l ⊥平面ABCD .而过点S 作平面ABCD 的垂线有且仅有一条，所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面SAD .所以，直线1l 为平面SAB 与平面SAD 的交线.所以，直线1l 与直线SA 重合.所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）如图，分别以AB u u u v 、AD u u u v 、AS u u u v 所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.设6SA =，则2AB =，3AD =，()2,0,0B ，()2,3,0C ，()0,3,0D ，()0,0,6S .由F 为SC 的中点，得31,,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；由23BE BC =u u u v u u u v ，得()2,2,0E .所以11,,32EF u u u v ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2,3,6SC =-u u u v ，()2,0,0DC =u u u v .设平面SCD 的一个法向量为(),,n x y z =v ，则00n SC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =.所以()0,2,1n =v .所以cos ,EF n u u u v v EF n EF n ⋅=⋅u u u v v u u u v v ()110231⎛⎫-⨯+-⨯+⨯ ⎪=205=. 所以，直线EF 与平面SCD所成角的正弦值为205. 24．（1）34230x y --=; （2）4310x y ++=.【解析】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=.试题解析：（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34 ∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --= （2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++= 25．（1）815430x y -+=或4x =;（22.【解析】【分析】（1）把8a =-代入圆的方程中，可得圆心坐标和半径，当直线斜率不存在时，可得:4l x =，此时和圆相切符合题意；当直线斜率存在时，由点斜式设出直线方程，由圆心3=，进而可求出815k =，则切线方程可求. （2）由两圆外切可知圆心距为半径之和，即可求出a 的值，从而可得22:(1)4M x y -+=，求出点Q 关于y 轴对称的点为(2,8)Q -'-，求出Q M '的值，即可求出所求路线的最小值.【详解】解：（1）当8a =-时，圆22:280M x y x +--=，即22(1)9x y -+=，当切线斜率不存在时，直线:4l x =，点()1,0M 到直线l 距离为3，等于半径r ，符合题意.当切线斜率存在时，设直线:5(4)l y k x -=-，即450kx y k --+=，由题意点M 到直线l 距离等于半径r3=，解得815k =.843:1515l y x ∴=+，整理得815430x y -+=. 综上：切线方程为815430x y -+=或4x =.（2）圆22:(1)1M x y a -+=-，则圆心为(1,0)M ，半径()111r a a =-<. 圆22:(1)(23)4N x y ++-=，则圆心(1,23)N -，半径22r =.Q 圆M 和圆N 相外切，12MN r r ∴=+即()()22112312a --+=-+⎡⎤⎣⎦，3a ∴=-.此时圆22:(1)4M x y -+=，圆心(1,0)M ，半径12r =.由点Q 关于y 轴对称的点为(2,8)Q -'-，73Q M '=Q ，∴所走路线的最小值为732-.【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了圆圆的位置关系的应用.由直线和圆相切可得等量关系为，圆心到直线的距离等于半径；由圆圆外切可得等量关系为，圆心距为两圆的半径之和.本题的易错点是，在求第一问的切线方程时，没讨论直线斜率不存在的情况.26．（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明EN ∥AH ，MN ∥BC 可得平面EMN ∥平面ABC 即可（2）因为点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，求三棱锥E －ABC 的体积可转化为求三棱锥N －ABC 的体积，根据体积公式计算即可.【详解】(1)如图所示，取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求.证明：连接EM ，EN ，取BC 的中点H ，连接AH ，∵△ABC 是腰长为3的等腰三角形，H 为BC 的中点，∴AH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，AH ⊂平面ABC ， ∴AH ⊥平面BCD ，同理可证EN ⊥平面BCD ，∴EN ∥AH ，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴EN ∥平面ABC .又M ，N 分别为BD ，DC 的中点，∴MN ∥BC ，∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ∩EN ＝N ，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴平面EMN ∥平面ABC ，又EF ⊂平面EMN ，∴EF ∥平面ABC ，即直线MN 上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行.(2)连接DH ，取CH 的中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ，由(1)可知EN ∥平面ABC ，∴点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，又△BCD 是边长为2的等边三角形，∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，易知DH ，∴NG又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12×，∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG . 【点睛】 本题主要考查了线线平行，线面平行，面面平行的判定，面面垂直的性质，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.。
重庆一中第二学期高一期中考试数学试题参考答案
2012-2013学年度重庆一中第二学期高一期中考试数学试题参考答案一、选择题：1---5 CBAAC 6---10 DBDBA二、填空题：11．21； 12．2； 13．3； 14．-2； 15．4027 三、解答题：16．解：（1）由条件3362422=-•-•+→→→→→→b b a b a a ，即3344=-•-→→b a ， 21-=•∴→→b a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）=-→→22b a 2244→→→→+•-b b a a 7)21(414=-⨯-+=，所以72=-→→b a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为，426=s ，2475=+a a ，，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=⨯+2410242256611d a d a ,解得：2,21==d a ,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以n a n 2=,()n n n n n S n +=⨯-+=22212；．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （2）n n a n n b ---===4222,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n T 4113141141141．．．．．．．．．．．13分 18．解：（1）→→⊥∴b a ，01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ，化简得0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ， 即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ，故21cos =A ,又︒<<︒1800A ， 所以︒=60A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由余弦定理得21260cos 222=-+=︒bc a c b ，42422-≥=-+∴bc bc c b ，故 ,4≤bc 当c b =时取等号；面积34434360sin 21=⨯≤=︒=bc bc S ，当c b =时面积有最大值3。
重庆市大学城第一中学校2021_2021学年高一数学下学期期中试题文(含解析)
重庆市大学城第一中学校2021-2021学年高一数学下学期期中试题文〔含解析〕一、单项选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的1.1.a,b为非零实数，且，那么以下不等式成立的是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】此题考察不等式的性质及推理能力.因为，当时，所以A错误；当时，所以B错误；所以C正确；当时，2.2.数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，那么a2为〔〕.A. －2B. －3C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】用表示，利用求出.【详解】.因为成等比数列，故即，解得，应选D.【点睛】等差数列中，是根本量，一般地，我们可把等差数列的问题归结为两个根本量的方程或方程组.需要注意的是等差数列的任意两项都可以作为根本量.中，分别是内角的对边，假设，，，那么〔〕A. 14 B. 6 C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得，，∴，应选D．【考点】此题主要考察解三角形．4.4.?九章算术?“竹九节〞问题:现有一根节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面节的容积共升,下面节的容积共升,那么第节的容积为〔〕A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】B【解析】设该等差数列为，公差为．由题意得，即，解得．∴．选B．5.5.实数x，y满足条件，那么3x＋5y的最大值为〔〕.A. 12B. 9C. 8D. 3【答案】A【解析】【分析】画出可行域，平移动直线可得最大值.【详解】可行域如下图：令，当动直线过时，有最大值且，应选A.【点睛】一般地，二元一次不等式组条件下二元线性目标函数的最值，可以利用线性规划来求解，注意动直线的斜率与直线斜率的大小关系.满足，那么A. -2B. -1C. 2D.【答案】C【解析】因为数列满足，同理可得，数列是周期为的数列，那么，应选C. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，假设a cos B＋b cos A ＝c sin C，S＝ (b2＋c2－a2)，那么B等于〔〕.A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin〔A+B〕=2RsinC=2RsinC•sinC∴sinC=1，C=90°．∴S=〔b2+c2-a2〕，解得a=b，因此∠B=45°．考点：正弦定理的应用.视频中，假设，那么的形状是( )A. 等腰或直角三角形B. 直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】题设中的边角关系可以转化为，故可判断三角形的形状.【详解】有正弦定理有，因，故化简可得即，所以或者，.因，故或者，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.应选A.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，那么实数m的取值范围是〔〕.A. (－2,2]B. (－2,2)C. (－∞，－2)∪[2，＋∞)D. (－∞，2]【答案】A【解析】【分析】原不等式可以转化为在上恒成立，分三种情形讨论即可.【详解】原不等式可整理为〔★〕.当时，★对应的二次函数的开口向下，其在上不可能恒成立.当时，★恒成立，故符合.当时，有，解得.综上，，应选A.【点睛】上的含参数的不等式的恒成立问题，可先确定不等式的类型，在根据不等式对应的函数图像得到相应的判断条件即可.中，，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，那么抽走的项是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可知，再根据前21项的均值和抽取一项后的均值可知抽取的一项的大小为，故可确定抽走的是哪一项.【详解】因为，所以即.有得，设抽去一项后余下的项的和为，那么，故抽取的一项的大小为，所以抽走的项为，应选A.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，那么有性质：〔1〕假设，那么；〔2〕且；〔3〕且为等差数列；〔4〕为等差数列.，距离为海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，那么此时灯塔C位于游轮的( )A. 正西方向B. 南偏西方向C. 南偏西方向D. 南偏西方向【答案】C【解析】【分析】根据题设中的方位角画出，在中利用正弦定理可求出的长，在中利用余弦定理求出的长，利用正弦定理求的大小〔即灯塔的方位角〕.【详解】如图，在中，，由正弦定理有，.在中，余弦定理有，因，，，由正弦定理有，，故或者.因，故为锐角，所以，应选C.【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差异.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.中,,,分别是角,,的对边,=,那么的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由求出，然后可把化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数的性质得取值范围.详解：由得，即，∴，∴，从而，∴，又，∴，∴，，∴.应选B.点睛：求三角函数的取值范围及其他性质问题，一般都要把它变形为一个角的一个三角函数形式即的形式，其中可能要用到二倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式、诱导公式等等，掌握这些公式是解题的根底.填空题，本大题共4个小题，每题5分，总分值20分.13.13.不等式的解集是________.【答案】〔-7,3〕【解析】【分析】分式不等式转化为一元二次不等式后再求解即可.【详解】原不等式等价于，故不等式的解为，故填.【点睛】一般地，等价于，而那么等价于，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.中，假设，那么＝ _______．【答案】1【解析】【分析】先利用正弦定理计算出，利用内角和为得到，最后利用等腰三角形求出．【详解】因，所以，故为锐角.由正弦定理有，故，故，所以，因此，所以，填1.【点睛】三角形中共有七个几何量〔三边三角以及外接圆的半径〕，一般地，知道其中的三个量〔除三个角外〕，可以求得其余的四个量.〔1〕如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；〔2〕如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理〔也可以用余弦定理求第三条边〕；〔3〕如果知道两角及一边，用正弦定理.的前项和为，假设，那么______________【答案】【解析】因为等比数列的前n项和为，那么构成等比数列，那么利用关系式可知16.16.在等差数列｛a n｝中，S n为它的前n项和，假设a1＞0，S18＞0，S19＜0，那么当S n最大时，n的值为________________.【答案】9【解析】【分析】利用等差数列的性质可得，，从而，所以最大.【详解】因为是等差数列，所以，所以.又，故，因此，所以，填.【点睛】〔1〕一般地，数列的前项和的最值取决于项何时开场变号.〔2〕如果等差数列的前项和为，那么，，解题中应用这个性质可快速得到中间项的性质.三、解答题，本大题共6个小题，第17题10分，其余均为12分每题，总分值共70分为等差数列，且，．〔1〕求的通项公式；〔2〕假设等比数列满足，，求数列的前项和公式．【答案】(1);(2).【解析】本试题主要是考察了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。
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故答案为：8.
【点睛】本题考查了二元化一元的思想，以及均值不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
16.已知数列 前 项和为 ，且有 （ ）， ，则数列 的前 项和 _______.
B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。
D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
【答案】B
【解析】
【分析】
根据课本中的相关概念依次判断选项即可.
【详解】对于A选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.
代入不等式并且化简得到：
对这个函数求导得到：
原问题对于n是恒成立问题，对于 是有解问题，故原不等式等价于
，
函数 代入得到
故答案为：D.
【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题，涉及多个变量的问题；一般恒成立或有解求参，首选变量分离，对于多个变量的问题一般是先看成其中一个变量的函数，再看成另一个变量的函数.
19.如图，已知菱形 的边长为2， ，动点 满足 ， .
（1）当 时，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
分析】
(1) 时， 分别为 的中点，可得 ，根据模长的计算公式得到结果；（2）根据平面向量基本定理得到 按照向量点积公式展开得到结果.
【详解】（1）当 时， 分别为 的中点，
故答案 ：B.
【点睛】本题考查了数列通项公式的求法，以及等差数列的通项的求法，求数列通项，常见的方法有：构造新数列，列举找规律法，根据等差等比公式求解等.
8.已知单位向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将原式平方，再由向量点积的计算公式得到结果.
【详解】单位向量 满足 ,两边平方得到 .
，
（2）由题意可知 ，
由余弦定理可知， ，则 即 ，故周长为 ，面积
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
因为等差数列 的前 项和 有最大值，源自以 ，又 ，所以 ， ，且 ，
所以 ，
，
所以满足 的最大正整数 的值为10
【点睛】本题主要考查使等差数列前 项和最大的整数，熟记等差数列求和公式以及等差数列的性质即可，属于常考题型.
11.三角形 中， , ， 为线段 上任意一点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
20.设向量 ， ，在 中 分别为角A,B,C的对边，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ，边长 ，求 的周长 和面积 的值.
【答案】（1） （2）周长为6，面积
【解析】
【分析】
(1)根据正弦定理得到 ，再根据余弦定理得到结果；（2）根据向量点积的坐标运算得到 ，结合余弦定理得到 ，进而求得面积.
【详解】（1）由已知可得： ,即 ，
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.
6.数列 的通项公式为 ,其前 项和为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数列通项依次列举出数列的项，进而发现，每4项之和为0，从而求解.
【详解】数列 的通项公式为 , ,
可知每四项之和为0，故得到
故答案为：C.
重庆市重庆一中2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法得到集合B，再由集合的交集运算得到结果.
【详解】集合 ，集合 ，
根据集合的交集运算得到 .
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：利用作差法比较实数大小即得解.
详解： -（ ）= ，因为 ，所以
所以 .故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.
二、填空题.
13.已知 ， ， 与 共线，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
已知向量的坐标，根据向量共线得到表达式，进而求解.
【详解】 ， ， 与 共线,则 .
故答案为：2.
【点睛】这个题目考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.
14. 内角 的对边分别为 ，若 ，则角 等于_____.
【答案】
【点睛】这个题目考查了数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：列项求和，倒序相加求和，错位相减求和，以及列举数列的项，找规律求和.
7.已知数列 满足： ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将原式子变形为 结合等差数列的通项公式的求法得到结果.
【详解】数列 满足： ， ,
是以 为首相 为公差的等差数列，
【解析】
【分析】
根据三角形正弦定理得到结果.
【详解】根据三角形中的正弦定理得到
故答案为： .
【点睛】本题考查了三角形的正弦定理的应用，属于基础题.
15.已知 是 与 的等差中项，则 的最小值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质得到 ，原式可化为 进而得到结果.
【详解】 是 与 的等差中项,故得到
此时易得 且 的夹角为 ，则
;
（2）
，故 .
【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
12.点C是线段AB上任意一点， 是直线AB外一点， ，不等式 对满足条件的 及 恒成立，则实数 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据结论得到 代入不等式并且化简得到： ，对其求导得到单调性和最值，进而得到结果.
【详解】根据向量中的共线定理得到 ，根据等式两边均为正，得到 ，
10.已知等差数列 的前 项和 有最大值，且 ，则满足 的最大正整数 的值为（ ）
A. 6B. 7C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
先设等差数列 的公差为 ，根据前 项和 有最大值，得到 ，再由 ，得到 ， ，且 ，根据等差数列的求和公式以及性质，即可得出结果.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
故答案为：C.
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
2.在等差数列 中， ，则 （ ）
A. B. 9C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质得到
【详解】等差数列 中， ,根据等差数列的运算性质得到
故答案为：A.
【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.
3.如果 ,那么下列不等式成立的是（ ）
A. 里B. 里C. 里D. 里
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得到马每天所走的路程是 ，是公比为 的等比数列，这些项的和为700，由等比数列的求和公式求得首项，再由等比数列的通项公式得到结果.
【详解】设马每天所走的路程是 ，是公比为 的等比数列，这些项的和为700，
故答案为：A.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的线性表示得到 ，由向量点积公式得到原式等于： ， 根据二次函数的性质得到结果.
【详解】设 ， ，
结合题目中 条件得到原式等于： ,
结合二次函数的性质得到范围是： .
故答案为：B.
【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
【答案】
【解析】
【分析】
原式可以转化为 化简得到 是等比数列公比为2，进而得到 之后裂项求和即可.