基于新课标的“初等数论”课程教学实践

师： 一般情况， １ ５ 点钟， 我们常说下午 ３ 点钟， 那么 １ ８ 点钟， 常说下午几点钟？ 生： （ 共 同 回答 ） 下 午 ６点 钟． 师： 晚上 ８ 点钟应该说几点钟呢？ 生： （ 共 同 回答 ） ２ ０点钟 ． 师： １ ５ 与３ ， １ ８ 与６ ， ２ ０ 与８ 有什么关系呢？ 请某某 同学回答．
知识， 重点介绍密码学 中的基本概念（ 如 明文 、 密文 、 密钥和单向函数） 、 基本问题（ 如保密 、 数字签名、 密钥管 理和分配） 和基本 的密码体制（ 私钥 、 公钥密码体制） ； 剩余学时介绍整除理论（ ６ 学时） 、 同余理论（ １ ８ 学时， 包括： 同余 、 同余方程 、 二次同余 和平方剩余） 、 不定方程（ ６ 学时） 和连分数（ ４学时） ． 这些 内容都是初等数论 的基本 内容， 其中整除理论是初等数论的基础， 它是在带余数除法的基础上建立起来 的； 同余理论是初等数 论 的核心 ， 它是 数论 特有 的思想 、 概念 和方 法 ； 而不 定方 程 的求 解是 推动 数论 发展 的最 主要课 题 ．
生： 它们两两之 间相差 １ ２ ， 进一步地说， １ ５ 被１ ２除的余数是 ３ ， ｌ ８ 被１ ２ 除的余数是 ６ ， ２ ０ 被１ ２ 除的余 数是 ８ ． 师： 回答的非常正确． 我们也可以说 １ ５ 与３ 或１ ８ 与６ 或２ ０与 ８ 是关于模 ｌ ２ 是同余的， 今天我们就来 研 究 同余 的概念及 其 基本 性质 ． 师： （ 幻灯片） 介绍 同余的概念及其基本性质． 接下来， 给学生介绍同余在古典密码中的一个例子——凯撒密码： 将字母 ａ ， ｂ ， ｃ ， ｄ ， …， ， ， Ｙ ， ｚ 的自 然顺序保持不变， 但使之与 ｄ ， ｅ ， ｇ ， …， ， ａ ， ｂ ， Ｃ 分别对应 （ 即将字母表中的每个字母用该字母后面的第
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Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ３
基于新课标 的“ 初等 数论 ＂ 课程教 学实践
卓泽朋 ， 崇金凤
（ 淮北师范大学 数学科学学院， 安徽 淮北 ２ ３ ５ ０ ０ ０ ）
摘
要： 新课标对高师数学教育提出新 的挑 战， 针对初等数论教学 中存在的问题， 结合新课标对 教师的要求 和课堂教
从２ ０ ０ ３ 年教育部颁布 的《 普通高中数学课程标准（ 实验 ） 》 （ 以下简称： 新课标） 以来， 新一轮数学课程改 革从理念、 内容到实施， 都有较大变化， 要实现数学课程改革 的 目 标， 教师是关键． 教师应首先转变观念， 充
分认识数学课程改革的理念和 目 标， 以及 自己在课程改革 中的角色和作用 ． 为了更好地实施新课程， 教师应 积极地探索和研究， 提高 自身的数学专业素质和教育科学素质［ １ 】 ． 这些新理念和新要求的提出， 为提高高师 院校数学专业师范生的素质指明方 向． 为了适应课程改革 中的新变化， 接纳新的教育思想， 数学专业师范生 要努力把握新课 程标准的精神实质， 适应新世纪高 中数学教学的挑战． 初等数论心 是高师院校数学专业师范生一 门重要 的数学专业课， 它是古老的却至今仍充满活力的数
第３ ４卷第 ２ 期 ２ ０ １ ３ 年 ６月
淮北师 范 大学 学报 （ 自然 科学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｕ ａ ｉ ｂ ｅ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
学分支， 在现代密码学 、 通信 、 数字信号处理和计算机科学等领域有着广泛的应用 ． 一方面， 学生通过学习初 等数论可以加强他们的数学训练， 加深对数的性质的进一步了解与认识； 另一方面， 初等数论课程包含了现 行普通高 中数学课程标准选修系列 四 一 ６ “ 初等数论初步” 模块 的全部 内容， 同时初等数论 的有关知识和数 论在信息安全中的应用也是选修系列三 一 ２ “ 信息安全与密码” 模块 的主要 内容， 因此该课程对 培养中学数
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３—０ ２—２ ２
作者简介： 卓泽朋 （ １ ９ ７ ８ 一 ） ， 男， 安徽灵璧人， 博士， 副教授， 研究方 向： 密码学及信息安全
第２ 期
卓泽朋等 ： 基于新课标的“ 初等数论” 课程教学实践
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ห้องสมุดไป่ตู้
２ 教 学实践 中的几个案例
２ ． １ 同余 的概念 及 其基 本性 质
学实践， 给出几个 课程教学案例， 对激发学生学习兴趣 ， 提高课堂教 学效果具有重要意义． 关键 词： 新课 标； 初等数论； 教学实践 ； 密码学
中 图 分 类号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ０ 文献 标 识 码 ： Ｃ 文 章 编号 ： ２ ０ ９ ５— ０ ６ ９ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ —０ ０ ７ ８— ０ ５
学教师和从事数学研究人员具有特别重要 的作用． 本文结合笔者的研究方向（ 密码学及信息安全） 和多年来 讲授初等数论这门课程的教学实践， 谈谈几点体会．
１ 课 程 现 状
随着我国高等教育改革 的深入开展， 为了适应当前本科通才教育的办学理念——“ 宽 口径” ， 必须在大学 中增设课程． 为此， 许多专业 的培养方案需要进行调整， 增加许多选修课程， 压缩一些专业课程的学时． 初等 数论课程安排在第五学期开设， 共３ ６ 学时， 学时非常少． 我们在教学过程中边摸索边改进， 根据初等数论与 其它相关课程（ 如高等代数 和近世代数【 １ ） 的关系和实际需要， 在尽量不减少授课内容、 不降低教学要求的 情况下， 合理安排教学进度 、 调整教学内容、 灵活安排习题课， 充分调动学生的学习积极性， 提高课堂教学效 果 和教 学水 平 ． 结合新课标中关于“ 信息安全与密码” 的内容与要求， 在授课 内容 的开始部分安排 ２ 学时的密码学基本