三重积分的定义及性质

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三重积分在物理上的意义：
占有空间区域 的物体,在点 x, y, z 处具有体密度
f x, y, z ,则其质量为 f x, y, z dv .
在直角系下用平行于坐标轴的直线划分 ,则有
dv dxdydz ,
f x, y, z dv = f x, y, z dxdydz .
f x, y, z dv

0



2
1
f
x,
y, zdv
f x, y, z f x, y, z f x, y, z f x, y, z
1 为 的对称部分中的一部分.
3、设积分区域 关于 xoz 坐标面对称，则
f x, y, z dv
最小值，V 是 的体积，则有
mV f x, y dv MV
性质 6 (中值定理)设 f x, y, z 在闭区域 上连续, 则在 上至少存在一点 ,, ,使得
f x, y, z dv f ,, V
三重积分的对称性定理：


例 计算

z
ln( x 2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dv
,
其中Ω为球面
x 2 y 2 z 2 1所围区域.
解 由对称性可知,原式=0.


( dxdydz 为直角系下的体积元素)
三重积分的性质
三重积分具有与二重积分类似的性质.
性质 1 设 Biblioteka Baidu 为常数，则
f x, y, z g x, y, z dv
f x, y, z dv g x, y, z dv
1.分割：将闭区域 任意分成 n 个小闭区域： v1 , v2 , …, vn
2.近似：在每个 vi 上任取一点 i ,i , i ,作乘积： i ,i , i vi
n
3.求和： i ,i , i vi i 1
n
4.逼近： lim 0 i1
1、设积分区域 关于 xoy 坐标面对称，则
f x, y, z dv


0



2
1
f
x,
y, z dv
f x, y,z f x, y, z f x, y,z f x, y, z
1 为 的对称部分中的一部分.
2、设积分区域 关于 yoz 坐标面对称，则


性质 2 设闭区域 可以分为两个闭区域 1 与 2 ，则
f x, y, z dv
f x, y, z dv f x, y, z dv
1
2
性质 3 1dv V ，其中V 表示 的体积.
性质 4 若在 上有 f x, y, z g x, y, z ，则有
i ,i , i
vi
定义 设 f x, y, z 是有界闭区域 上的有界函数.将
闭区域 任意分成 n 个小闭区域： v1 , v2 , …, vn ，其中 vi 也代表第 i 个小块的体积.
在每个 vi 上任取一点 i ,i , i ,作乘积：
f i ,i , i vi ( i 1, 2, , n ),

0
f x, y, z f x, y, z



2
1
f
x,
y, z dv
f x, y, z f x, y, z
1 为 的对称部分中的一部分.
4、设积分区域 关于原点对称，则
f x, y, z dv

0



2 1
f
x,
y, zdv
f x, y,z f x, y, z f x, y,z f x, y, z
1 为 的对称部分中的一部分.
5、设积分区域 具有轮换对称，则
f x, y, z dv
f y, z, x dv f z, x, ydv
三重积分
三重积分的定义 三重积分的性质 直角坐标系下三重积分的计算 柱面坐标系下三重积分的计算 球面坐标系下三重积分的计算
三重积分的定义
问题: 非均匀物体的质量 设有一质量非均匀分布的物体， 在空间直角坐标系中
占有空间区域 ，体密度 （x, y, z) 是 上的连续正值
函数，求此物体的质量.
n
即：

f
x, y, z dv = lim f 0 i1
i ,i , i
vi .
f x, y, z ：被积函数; f x, y, z dv ：被积表达式;
dv ：体积元素; x, y, z : 积分变量;
：积分区域;
n
f i ,i , i vi :积分和.
n
并作和： f i ,i , i vi , i 1
设 是各小区域的直径中的最大值. 如果极限：
n
lim f
0 i1
i ,i , i
vi 存在,
则称此极限为函数 f x, y, z 在区域 上的三重积分.
记作： f x, y, z dv
f x, y, z dv g x, y, z dv


由于 f x, y, z f x, y, z f x, y, z ，
f x, y, z dv f x, y, z dv


性质 5 设 M 与 m 分别是 f x, y, z 在 上的最大值和