第10章-多维标度法
多维标度法介绍
A牌 B牌
B牌
1Hale Waihona Puke C牌32▪ 各种品牌的相似次序矩阵是多维标度法的输入 资料。在第四节中我们将介绍几种建立相似次 序矩阵的方法。
多维标度法的基本思想：
▪ 用r维空间(r待定)中的点分别表示各样品，使得各 样品间距离的次序能完全反映原始输入的相似次 序(两样品间的距离越短，则越相似)。通常，要 通过两步来完成。
2．计算初步图形结构中各点之间的距离
▪ 为叙述方便，有时我们将A，B，C三种品牌分 别称为第一、第二、第三品牌。
▪ 用欧氏距离公式计算A品牌和B品牌(第一品牌 和第二品牌)的距离
d12 （10 1）2 （5 - 5）2 9
▪ 同样计算d13，d23，并将它们排成矩阵形式 (dii=dii)，这个矩阵称为初步图形结构的距离矩 阵，如表3所示。
第十一章 多维标度法
(Multidimensional Scaling)
第一节 引 言
第一节 引 言
▪ 多维标度法(MDS)是著名计量心理学家谢泼 德(Shephard)和克鲁斯克 (Kruskal)分别于 1962年和1964年发展起来的一种计量心理学 技术。
▪ 多维标度法现在已经广泛应用于心理学、市 场调查、社会学、物理学、政治科学以及生 物学等领域的数据分析方法。
▪ 因此，多维标度法是用间接方法推断出品 牌有关的特性。
▪ 在许多情形中，我们可能不知道那些特性 与品牌有关，或者应答者不能够或不愿意 准确地回答，这时必须采用间接推断的方 法。
▪ 广义的MDS可以将聚类分析和对应分析 (Correspondence Analysis)也包括进 来。
▪ 根据它所利用的信息来看，多维标度法 可以分为两大类：
▪ 多维标度法可以说是上述问题的逆问题， 即给定样品两两之间的距离或相似度的排 序，反求各样品点的坐标。
多元统计分析及R语言建模-全书课件完整版ppt全套教学教程最全电子教案教学设计(最新)
#赋予数据框新的列标签 X=data.frame('身高'=x1,'体重'=x2)
2 多元数据的数学表达及R使用 2.5 多元数据的R语言调用
从
选择需要进行计算的数据块 （比如上例中名为UG的数据），
剪
拷贝之。
切
在R中使用dat <-
板
read.table("clipboard",header=T)
modreg mva nlme nls nnet rpart spatial splines
survival tcltk tools ts
Packages (继续）
Modern Regression: Smoothing and Local Methods
Classical Multivariate Analysis Linear and nonlinear mixed effects models Nonlinear regression Feed-forward neural networks and multinomial log-linear models Recursive partitioning functions for kriging and point pattern analysis Regression Spline Functions and Classes stepfun Step Functions, including Empirical Distributions
多元统计分析及R语言建模
第1章 多元统计分析概述
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多元统计分析及R语言建模 1 多元统计分析概述
多元统计分析及R语言建模
多元统计分析概述
多元统计分析及R语言建模(第五版)课件第一二章
2 多元数据的数学表达及R使用
数据框（data frame）是一种矩阵形式的数据，但数据框中各列可以是不同类型的数据。 数据框录入限制条件
数 据 框
在数据框中 以变量形式 出现的向量 长度必须一 致，矩阵结 构必须有一 样的行数。
（3）；金融（4）；工人（5）；农民（6）；个体 （7）；无业（8）。 教育（edu）：文盲（1）；小学（2）；中学（3）； 高中（4）；中专（5）； 大专（6）；大学（7）；研究生（8）。 投资结果（result）：赚钱（1）；不赔不赚（2）； 赔钱（3）。
2 多元数据的数学表达及R使用
一元数据
2
学习资料
教学教材： 王斌会编著《多元统计分析及R语言建模》
2016.1（第4版）暨南大学出版社
扩充资料: [1]王斌会编著《数据统计分析及R语言编程》
2017.6（第2版） 北京大学出版社，暨南大学出版社
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多元统计分析及R语言建模
多元统计分析及R语言建模
多元分析基本内容，以及本课程的主要安排。相关的补充
1 多元统计分析概述
R
3
免费的 数据分 析软件
01 功能强大 02 免费，开源
03
前景广阔
1 多元统计分析概述
R
优点
缺点
软
件
自由软件，统计功能强大
初学较为麻烦，需一
优
，可以看作Splus的免费
点
1 多元统计分析概述
#三窗口排列
#Rstudio界面
语句编程窗口 图形显示窗口
第十周：多维尺度分析——每周一讲多变量分析
第十周：多维尺度分析——每周一讲多变量分析多维尺度分析（MultiDimensional Scaling）是分析研究对象的相似性或差异性的一种多元统计分析方法。
采用MDS可以创建多维空间感知图，图中的点（对象）的距离反应了它们的相似性或差异性（不相似性）。
一般在两维空间，最多三维空间比较容易解释，可以揭示影响研究对象相似性或差异性的未知变量-因子-潜在维度。
在市场研究领域主要研究消费者的态度，衡量消费者的知觉及偏好。
涉及的研究对象非常广泛，例如：汽车、洗头水、饮料、快餐食品、香烟和国家、企业品牌、政党候选人等。
通过MDS分析能够为市场研究提供有关消费者的知觉和偏好信息。
MDS一般需要借助SPSS或SAS统计分析软件，输入有关消费者对事物的知觉或偏好数据，转换为一组对象或对象特征构成的多维空间知觉或偏好图——感知图。
应用MDS，收集的数据值大小必须能够反应两个研究对象的相似性或差异性程度。
这种数据叫做邻近数据，所有研究对象的邻近数据可以用一个邻近矩阵表示。
反映邻近的测量方式：•相似性-数值越大对应着研究对象越相似。
•差异性-数值越大对应着研究对象越不相似。
测量邻近性数据的类型：•两个地点（位置）之间的实际距离。
（测量差异性）•两个产品之间相似性或差异性的消费者心理测量。
（差异性或相似性）•两个变量的相关性测量。
（相关系数测量相似性）•从一个对象过渡到另一个对象的转换概率。
例如概率反应了消费者对品牌或产品偏好的变化。
（测量相似性）•反映两种事物在一起的程度。
例如：用早餐时人们经常将哪两种食品搭配在一起。
（测量相似性）•谁喜欢谁，谁是谁的领导，谁传递给谁信息，谁是谁的上游或下游等等社会网络数据等（测量相似性）邻近数据即可以直接测量（距离），也可以通过计算得到（变量间的相关系数）。
MDS最经典的案例就是用感知图表现美国主要城市的航空距离！我们采用SAS进行分析，选择Market模块，选择MDS方法，SAS可以直接处理矩阵数据！非常简单得到结果：你可以对着美国的地图和各个城市的地理位置，是否能够看出MDS给你的方位和差异感觉！请大家自己试一试用MDS分析中国主要省会城市之间航空距离的MDS分布。
三角模糊数多维标度分析及其应用_张菊花
其中 a ˉ i × = 1 å aij a ˉ ×j = 1 å aij a ˉ × × = 12 å å aij . n j=1 n i=1 n i=1 j=1 第三步： 求 B 的特征根 λ1 ³ λ 2 ³ × × × ³ λ n , 若无负特征 根， 表明 B ³ 0 ， 从而 D 是欧氏型的;若有负特征根, D 一 定不是欧氏型的。依据 λ + × × × +λk φ= 1 ³φ | λ1 | + × × × +| λn | 0 来确定最小的 k 值,但必要求 λ1 ³ × × × ³ λ k > 0 ,其中 φ0 为预先给定的阈值 （即变差贡献比例） 。 ̂ 第四步： 令 X = x(1) × × × x(k) ， 则 X̂ 的 行 向 量
n
n
n
n
bm ( λ) bu ( λ)] 为
[
] [
]
12
(al - bl )2 + (a m - bm)2 + (au - bu)2 ρ 2 (a͂ b͂ ) = ; 3 S (a͂ b͂ ) = 1 |al - bl | + |a m - bm| + |au - bu| 。 容 易 验 证 ρ1 和 3 ρ 2 都是距离, S 是相似度. 显然 S (a͂ b͂ ) 越大, 则 a͂ b͂ 相似 程度越大. 特别地, 当 S (a͂ b͂ ) = 1 时， 有 a͂ = b͂ , 即三角模糊
理论新探
三角模糊数多维标度分析及其应用
张菊花,魏立力
(宁夏大学 数学计算机学院,银川 750021) 摘 要： 多维标度法(MDS)是一种利用客体间的相似性去揭示其空间关系的统计分析方法。文章将经典的 MDS 扩展到了数据为三角模糊数的情形. 首先对多维标度理论、 三角模糊数的理论进行了概括; 其次依据三角 模糊数的两个距离和一个相似度, 构建了模糊数多维标度分析模型; 最后, 利用所得方法对我国中部省份计算 机拥有率、 计算机的联网率进行了分析。 关键词： 多维标度; 三角模糊数; 三角模糊数的距离; 距离阵 中图分类号： O212.4 文献标识码： A 文章编号： 1002-6487 （2014） 18-0028-04
【办公自动化】SPSS(第十章)：多元尺度法
如图10-9所示。此窗口的目的是要我们决定输出报表要呈 现什么。选「Common space coordinates」（共同空间 坐标）以及「Multiple stress measures」（多种压力测 量）。如果想要将有关数据储存起来，可在「Save to New File」方盒下的选项中勾选。
在SPSS内的甲牌就是甲牌与乙牌的相似度，乙牌就是乙 牌与丙牌的相似度，以此类推。何以上述没有甲牌与丙牌、 乙牌与丁牌的相似比较？因为比较甲牌与乙牌、乙牌与丙 牌就可以推断甲牌与丙牌；比较甲牌与乙牌、甲牌与丁牌 就可以推乙牌与丁牌。例如，如果小明认为甲牌与乙牌相 似、乙牌与丙牌相似，就可以推断甲牌与丙牌相似；如果 小明认为甲牌与乙牌相似、甲牌与丁牌相似，就可以推断 乙牌与丁牌相似。
在SPSS中，按〔Analyze〕、〔Scale〕、〔Multidimensional Scaling(PROXSCAL)〕（〔分析〕〔量尺法〕〔PROXSCAL多元尺 度方法〕），在所产生的「Multidimensional Scaling: Data Format」窗口中，我们所做的设定如图10-11所示
第10章多维标度分析
第10章多维标度分析10.1多维标度法的基本思想当维数p>3时，即使给出了p维空间R P中n个样本点的坐标，我们都难以想象这n个点的相互位置关系，因此自然希望在我们熟悉的低维空间R k(k<p,如k=1,2,3)中能以较高的相似度重新展示这n个点的数据结构，并由此对原始样本数据进行统计分析.另外，即使维数p≤3,有时问题也不容易解决.比如地图上任意两个城市之间的直线距离和实际道路距离不一样，若仅给了一组城市相互间的实际道路距离，你能否标出这些城市之间的相对位置呢?又假定只知道哪两个城市最近，哪两个城市次近，等等，你还能确定它们之间的相对位置吗?重新标度的位置与实际位置相似度达到多大?把上面的不同“城市”换作不同的“产品”、“品牌”、“指标”等，也会遇到类似的问题.多维标度法(multidimensional scaling,MDS)就是一类将高维空间中的研究对象(样本或变量)简化到低维空间中进行定位、归类和分析，同时又有效地保留研究对象间原始关系的多元数据分析技术的总称，是一种维数缩减方法.多维标度法于20世纪40年代起源于心理测度学，用于大致测定人们判断的相似性，1958年Torgerson在其博士论文中首先正式提出了这一方法.多维标度法现在已广泛应用于心理学、市场营销、经济管理、交通、生态学及地质学等领域.多维标度法内容丰富、方法较多，其理论分析手段与主成分分析有相通之处，但也有自己的特点.根据研究对象的相关指标是用距离、比例等度量化数据给出还是用顺序、秩等给出，相应的分析方法分为度量分析法和非度量分析法，而古典多维标度法是其中最常用的度量分析法.10.2古典多维标度法下面根据参考文献[2],用一个例子来介绍几个与多维标度法相关的基本概念.【例10.1】(数据文件为eg10.1)表10-1给出了我国部分城市间的距离，由于道路弯弯曲曲，这些距离并不是这些城市间的真正距离.我们希望在地图上重新标出这八个城市，使得它们之间的距离尽量接近表10-1中的距离.表10-1 我国八个城市间的距离单位：千米北京天津济南青岛郑州上海杭州南京北京0天津118 0济南439 363 0青岛668 571 362 0郑州714 729 443 772 0上海1259 1145 886 776 984 0杭州1328 1191 872 828 962 203 0南京1065 936 626 617 710 322 305 0 10.2.1多维标度法的几个基本概念定义10.1一个n×n阶矩阵,如果满足条件(1)(2)则称矩阵D为广义距离阵，dij称为第i点与第j点间的距离.注意：这样定义的距离不是通常意义下的距离，而是通常距离的拓广，比如人们熟悉的距离三角不等式在这里就未必成立.对于距离阵,多维标度法的目的是要寻找较小的正整数k(如k=1,2,3)和相应低维空间R k中的n个点x₁,x₂,…,xn ,记表示xi与xj在R k中的欧氏距离，使得与D在某种意义下尽量接近.将找到的这n个点写成矩阵形式称X为D的一个古典多维标度(CMDS)解.在多维标度分析中，形象地称xi为D的一个拟合构造点，称X为D的拟合构图，称为D的拟合距离阵.特别地，当=D时，称xi为D的构造点，称X为D的构图.又若X为D的构图，令式中，P为正交阵，a为常数向量，则Y=(y₁,y₂,…,yn)也为D的构图，这是因为平移和正交变换不改变两点间的欧氏距离，即若D的构图存在，那么它是不唯一的.定义10.2对于一个n×n的距离阵,如果存在某个正整数k和R k中的n个点x₁,x₂,…,xn,使得(10.1)则称D为欧氏距离阵.下面讨论如何判断一个距离阵D是否为欧氏距离阵；在已知D为欧氏距离阵的条件下，如何确定定义10.2中相应的k和R k中的n个构造点x₁,x₂,…,xn.令(10.2)(10.3)式中，In 为n×n阶单位阵，1n,为分量全为1的n维列向量.借助这些定义，下面给出一个距离阵D为欧氏距离阵的充要条件.定理10.1设D为n×n阶距离阵，B由式(10.3)定义，则D是欧氏距离阵的充要条件为B≥0.证明：(必要性)设D是欧氏距离阵，由定义和式(10.2)可知，存在正整数k 和R k中的n个构造点x₁,x₂,…,xn,使得又由式(10.3)可得(10.5)式中，为元素全为1的nxn阶矩阵.注意式中(10.6)将它们代入式(10.5)中，可得(10.7)由式(10.4)知,再结合式(10.6),可得(10.8)将代入式(10.8),化简可得式中，将式(10.9)表示为矩阵形式，得到这里乘积HX所得的结果是将X中心化，即(10.10)(充分性)反之，若B≥0,记k=rank(B),λ₁,λ₂,…,λk (λ₁≥λ₂≥…≥λk>0)为B的正特征值，x(1),(2),…,x(k)为相应的特征向量，且令注意：这里x₁,x₂,…,xn表示由X的各行转置后得到的k×1列向量.令A=diag(λ₁,λ₂,…,λk),,则,即P的列为标准正交化特征向量，于是(10.11)由此可得说明正好是D的构图，所以D是欧氏距离阵，充分性得证.注意：充分性的证明给出了从欧氏距离阵D出发得到构图X的方法，即D→A→B→X具体步骤为：由D知dij,由得A,再由得B,最后求B的特征值λ₁,λ₂,…,λk和相应的特征向量x(1),(2),…,x(k),n×k阶矩阵X=(x(1),(2),…,x(k))的行向量转置后得到的n个k×1列向量x₁,x₂,…,xn 即为D的n个构成点，而矩阵即为D的构图，据式(10.11),X 也可以由来计算.由定理10.1知，D是欧氏距离阵的充要条件是B≥0.因此若B有负特征值，那么D一定不是欧氏距离阵，此时不存在D的构图，只能求D的拟合构图，记作,以区别真正的构图X.在实际中，即使D为欧氏距离阵，记它的构图为n×k 矩阵X,当k较大时也失去了实用价值，这时宁可不用X,而去寻找低维的拟合构图.也就是说，在D的构图不存在和构图存在但k较大两种情形下都需要寻找D的低维拟合构图.令这两个量相当于主成分分析中的累积贡献率，我们希望k不要取太大，就可以使a₁.k和a₂.k比较大，比如说，大于80%就比较合适.当k取定后，用表示B的对应于特征值λ₁,λ₂,…,λk的正交化特征向量，使得.通常还要求λk >0,若λk<0,要缩小k的值.最后，令则即为D的拟合构图，或者说为D的古典多维标度解，(均为k×1列向量)即为D的n个拟合构造点.有的文献也把称为X的主坐标，把多维标度分析称为主坐标分析.下面用一个具体例子(参见参考文献[2])来说明上述求解步骤.【例10.2】设有距离阵D如下(为简洁起见，对称阵都只写出上三角部分):由于,可求得A,āig ,āgj及āgg如下：再由bij =aij-āig-āgj+āgg可得由于B的7个列b₁,b₂,…,b₇有如下线性关系b₃=b₂-b₁,b₄=-b₁,b₅=-b₂,b₆=b₁-b₂,b₇=0于是B的秩最多为2,注意到B的第一个二阶主子式非退化，故rank(B)=2=k,并且可求得B的7个特征值分别为：λ₁=λ₂=3,λ₃=λ₄=…=λ₇=0且对应于λ₁,λ₂的特征向量分别为：故7个拟合构造点在R²中的坐标分别为：(√3/2,1/2),(√3/2,-1/2),(0,-1),(-√3/2,-1/2),(-√3/2,1/2),(0,1 ),(0,0)因为B≥0,所以原矩阵D是欧氏距离阵，故这7个拟合构造点就是D的构造点.容易验证，这7个构造点在R²中的欧氏距离阵恰为D,即10.2.2已知距离矩阵时CMDS解的计算上面计算CMDS解的过程在R中可使用stats包中的cmdscale()函数来实现，也可以使用MASS包中处理非度量MDS问题的isoMDS()函数来实现，但cmdscale()函数的好处是可以同时计算出B的特征值和特征向量以及两个累积贡献率a₁.k 和a₂.k的值.【例10.3】(数据文件为eg10.3)根据表10-1给出的我国八个城市间的距离矩阵D,利用R软件stats包中的cmdscale()函数求D的CMDS解，给出拟合构图及拟合构造点.解：在R中的程序为：#例10.3打开数据文件eg10.3.xls,选取数据区域C2:K10,然后复制>eg10.3=read.table("clipboard",header=T) #在R中读入数据>D10.3=cmdscale(eg10.3,k=2,eig=T) #k取为2,eig=T给出矩阵B的前两个特征#向量和特征值>D10.3$points[,1] [,2]北京-658.14610 -52.301759天津-522.00992 -133.917153济南-229.30657 32.365307青岛-80.72182 -277.225217郑州-171.98297 474.047645上海610.52727 -102.636996杭州659.93216 5.717159南京391.70794 53.951014$eig[1]1.756015e+06 3.367695e+05 7.888679e+04 3.770390e+041.320482e+04 -4.001777e-11 -1.434722e+04 -3.259473e+04......>sum(abs(D10.3$eig[1:2]))/sum(abs(D10.3$eig)) #计算a1.2[1] 0.9221257>sum((D10.3$eig[1:2])~2)/sum((D10.3$eig)~2) #计算a2.2[1] 0.9971656>x=D10.3$points[,1]>y=D10.3$points[,2]>plot(x,y,xlim=c(-700,800),ylim=c(-300,600)) #绘散点图(见图10-1)#根据两个特征向量的分量大小>text(x,y,labels=s(eg10.3),adj=c(0,-0.5),cex=0.8) #名标出#将拟合点用行#名标出图10-1我国八城市距离阵的拟合构图由R计算结果可见，矩阵B的八个特征值分别为：1756015,336770,78887,37704,13205,0,-14347,-32595最后两个特征值为负，表明距离矩阵D不是欧氏距离阵.a1.2=92.2%,a2.2=99.7%,故k=2就可以了.由前两个特征向量可得八个拟合构造点分别为：(-658.1,-52.3),(-522.0,-133.9),(-229.3,32.4),(-80.7,-277.2) (-172.0,474.0),(610.5,-102.6),(659.9,5.7),(391.7,54.0)容易计算出八个拟合构造点在R²中的欧氏距离阵，如表10-2所示.将它们与表10-1中城市间的原始距离数据进行比对，可以发现大多数距离数据拟合较好，少数数据误差较大.表10-2我国八个城市间的距离阵的拟合构图10.2.3已知相似系数矩阵时CMDS解的计算定义10.3一个n×n阶的矩阵,如果满足条件(1)(2)则称C为相似系数矩阵，cij称为第i点与第j点间的相似系数.在进行多维标度分析时，如果已知的数据不是n个对象之间的广义距离，而是n个对象间的相似系数，则只需将相似系数矩阵C按式(10.12)转换为广义距离阵D,其他计算与上述方法相同.令(10.12)由定义10.3可知，,显见,故D为距离)为欧氏距离阵. 阵，可以证明，当C≥0时，由式(10.12)定义的距离阵D=(dij【例10.4】(数据文件为eg10.4)为了分析下列六门课程之间的结构关系，找到了由劳雷和马克斯维尔得到的相关系数矩阵(见表10-3).其中，相关系数的值越大(小),表示课程越(不)相似.易见相关系数矩阵也为相似系数矩阵，记为C,求C的CMDS解，并给出拟合构图及拟合构造点.表10-3六门课程相关系数矩阵盖尔语英语历史算术代数几何盖尔语 1 0.439 0.41 0.288 0.329 0.248 英语0.439 1 0.351 0.354 0.32 0.32g 历史0.41 0.351 1 0.164 0.19 0.181 算术0.288 0.354 0.164 1 0.595 0.47 代数0.329 0.32 0.19 0.595 1 0.464 几何0.248 0.329 0.181 0.47 0.464 1解：据表10-3知，.于是由变换式(10.12)知(10.13)由式(10.13)易得六门课程的广义距离阵D,如表10-4所示.表10-4由六门课程相关系数矩阵转化所得的距离阵盖尔语英语历史算术代数几何盖尔语0 1.059 1.086 1.193 1.158 1.226英语 1.059 0 1.139 1.137 1.166 1.158 历史 1.086 1.139 0 1.293 1.273 1.280 算术 1.193 1.137 1.293 0 0.900 1.030 代数 1.158 1.166 1.273 0.900 0 1.035 几何 1.226 1.158 1.280 1.030 1.035 0余下工作可以仿照例10.3进行，在R中的程序为：#例10.4打开数据文件eg10.4.xls,选取数据区域A10:G16,然后复制>eg10.4=read.table("clipboard",header=T) #在R中读入数据>D10.4=cmdscale(eg10.4,k=2,eig=T) #k取为2,eig=T给出矩阵B的前两个特#征向量和特征值>D10.4$points[,1] [,2]盖尔语0.4028583 0.26570653英语0.2415986 0.48339407历史0.6210937 -0.50817963算术-0.4575066 0.03803193代数-0.4216733 -0.04017726几何-0.3863706 -0.23877565$eig[1]1.142825e+00 6.225908e-01 6.022539e-01 5.245848e-013.963587e-01 1.998401e-15......>sum(abs(D10.4$eig[1:2]))/sum(abs(D10.4$eig)) #计算a1.2[1] 0.5368268>sum((D10.4$eig[1:2])^2)/sum((D10.4$eig)~2) #计算a2.2[1] 0.6805523>x=D10.4$points[,1]>y=D10.4$points[,2]>plot(x,y,xlim=c(-0.6,0.8),ylim=c(-0.6,0.7)) #根据两个特征向量的分量大小绘制拟合图>text(x,y,labels=s(eg10.4),adj=c(0,-1),cex=0.8) #将拟合点用行名标出由R计算出的B的六个特征值按大小顺序依次为：λ₁=1.1428,λ₂=0.6226,λ₃=0.6023,λ₄=0.5246,λ₅=0.3964λ₆=0.0000因为a1.2=53.68%,a2.2=68.06%,不足80%,可考虑取k=3(这里从略).由前两个特征向量可得8个拟合构造点，分别为：(0.403,0.266),(0.242,0.483),(0.621,-0.508),(-0.458,0.038),(-0.422,-0. 040),(-0.386,-0.239).图10-2大体反映了这六门课程的基本结构，从图中可以直观地看出，算术、代数、几何较为接近，英语和盖尔语较为相近，而历史课程与其他课程的差异较大.图10-2六门课程相似系数矩阵的古典拟合构图10.3非度量多维标度法在实际问题中，涉及更多的可能是不易量化的相似性测度，如两种颜色的相似性，虽然我们可以用较小(大)的数字表示颜色非常(不)相似，但是这里的数字只表示颜色之间的相似或不相似程度，并不表示色彩实际的数值大小，因而这是一种非度量的定序尺度，能够利用的唯一信息就是这种顺序(秩).古典多维标度法基于主成分分析的思想，在低维空间上利用主坐标重新标度距离，这时式中，是距离dij 的拟合值；eij是拟合误差.但有时dij和之间的拟合关系可以表示为：(10.14)式中，f为一个未知的单调递增函数.这时，我们用来构造的唯一信息就是{dij }的秩，将{dij,i<j}从小到大排列为：与(i,j)所对应的dij 在上面的排列中的名次(由小到大)称为(i,j)的秩或dij的秩.我们欲寻找一个拟合构图(或一组拟合构造点),使后者相互之间的距离也有如上的次序，即并记为：这种模型大多出现在相似系数矩阵的场合，因为相似系数强调的是研究对象之间的相似，而不是它们的距离.在处理这种模型的各种方法中，最为流行的是Shepard-Kruskal算法，它的计算步骤如下：(1)已知相似系数矩阵D=(dij)(这里仍用D来记相似系数矩阵),并将其非对角元素从小到大排列为：(2)设是k维拟合构造点，相应的距离阵为,令(10.15)极小是对一切而言的，使上式达到极小的称为对的最小二乘单调回归.如果,在式(10.15)中取,这时是D 的构图.若对X作一正交平移变换yi =Pxi+b,P为正交阵，b为常数向量，则式(10.15)的分子不变.(3)若k固定，且能存在一个,使得则称为k维最佳拟合构图.(4)由于Sk (也称为压力指数，stress)是k的单调下降序列，取k,使Sk适当地小.例如Sk ≤5%最好，5%<Sk≤10%次之，Sk>10%较差.求解可用梯度法进行迭代(参见参考文献[2]).10.4案例分析与R实现案例10.1(数据文件为case10.1)表10-5给出了2010年我国31个省、直辖市、自治区农村居民家庭人均生活消费支出的统计数据.一共选取8个指标：x₁为食品消费；x₂为衣着消费；x₃为居住消费；x₄为家庭设备用品及服务；x₅为交通通信；x₆为文教娱乐用品及服务；x₇为医疗保健；x8为其他商品和服务支出.试用多维标度法对其进行统计分析，并对分析结果的实际意义进行解释.表10-5 2010年我国各地区农村居民家庭人均生活消费支出单位：元地区x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇x8北京2994.66 699.42 1990.21 473.62 1112.44 950.61 840.61 193.21天津2060.83 365.86 888.32 233.02 467.48 462.25 360.47 98.50河北1351.41 250.92 839.66 218.90 464.80 462.25 360.47 78.87山西1372.49 315.78 614.70 173.62 357.74 420.21 328.92 80.40内蒙古1675.04 317.71 751.99 177.91 598.61 374.19 467.97 97.41辽宁1714.15 369.15 745.03 185.23 448.97 500,28 413.83 112.87吉林1523.32 309.75 752.79 171.92 368.64 454.05 462.42 104.47黑龙江1483.95 387.17 793.80 164.63 455.90 560.71 443.16 101.86上海3806.82 554.13 2020.25 528.01 1459.45 997.65 584.51 209.66 江苏2491.51 350.01 1170.88 327.69 785.53 908.10 362.28 146.87浙江3055.59 551.53 2044.32 410.62 1145.99 839.19 709.30 172.34安1632.96 232.20 867.51 231.23 338.99 363.92 264.39 82.10 徽2537.15 310.14 865.50 292.71 638.07 462.17 251.36 141.23 福建江1812.66 174.61 782.72 205.27 331.81 285.23 243.84 75.48 西1804.45 305.56 832.95 324.70 649.21 421.91 383.89 84.51 山东河1371.17 261.52 765.18 254.47 401.44 250.47 287.83 90.14 南湖1763.05 217.61 816.42 262.26 331.35 288.12 295.24 116.73 北湖2087.85 209.85 719.20 243.90 343.82 315.93 293.59 96.23 南2630.05 215.51 986.70 235.01 637.08 326.53 307.43 177.27 广东1675.41 110.46 692.51 192.77 310.30 182.55 228.99 62.30 广西1724.47 117.36 609.77 135.22 312.53 318.04 138.35 90.49 海南1750.01 224.13 548.00 260.71 281.73 239.03 270.31 50.70 重庆1881.18 226.62 625.28 239.48 360.70 218.62 276.06 69.59 四川1319.43 137.49 621.80 135.64 229.66 186.19 178.07 44.21 贵州云1604.50 160.72 638.09 167.66 337.85 206.45 239.94 43.11 南西1325.71 326.65 352.88 181.27 282.43 51.06 71.16 75.77藏1299.22 237.87 837.54 233.37 336.22 397.61 376.20 75.77 陕西1315.25 184.23 551.63 146.93 256.70 238.03 203.13 46.0g 甘肃1442.88 255.19 944.23 193.59 369.60 198.53 307.92 62.55 青海1541.77 302.61 776.44 188.12 444.02 241.08 417.92 101.22 宁夏1394.38 303.66 695.17 137.69 382.14 170.15 314.73 59.94 新疆解：本案例我们采用R软件MASS包中的isoMDS()函数来实现分析计算(当然也可以用前面使用的cmdscale()函数),在R中的操作过程如下：#打开数据文件case10.1.xls,选取A2:I33区域，然后复制>case10.1<-read.table("clipboard",header=T) #将eg10.1.xls数据读入到#Case10.1中>D1=as.matrix(case10.1) #需要将数据转换成矩阵形式>D=dist(D1) #求距离阵>library(MASS) #载入MASS包，这样才能使用isoMDS()函数>fit=isoMDS(D,k=2)>fit$points[,1] [,2]北京-1882.08165 -405.5501799天津-181.18356 83.5568197河北378.06842 -316.9090361山西519.63551 -161.3723531内蒙古140.53475 -118.3236722辽宁239.59269 -57.3466211 吉林311.06135 -196.5769112 黑龙江257.18237 -303.2689490 上海-2574.54791 164.4633867 江苏-864.88942 19.9653109 浙江-1891.26840 -273.7180203 安徽241.99333 -56.7533361 福建-562.74468 426.2460037 江西187.41927 149.4628003 山东-23.94055 -68.0772001 河南480.52386 -165.0996828 湖北186.03261 68.3345125 湖南-11.86522 317.5767900 广东-645.99328 471.6486570 广西377.05811 164.2765177 海南362.23481 229.5403989 重庆360.53994 226.6307228 四川206.07019 261.9414880 贵州708.60794 -0.5224843 云南435.30179 117.9074584 西藏836.32175 163.8641180 陕西475.58204 -309.3702220 甘肃712.09253 -10.0972309 青海372.00020 -192.4072738 宁夏321.09711 -124.8186386 新疆529.56410 -105.2031733 $stress[1] 3.267686>x=fit$points[,1]>y=fit$points[,2]>plot(x,y) #画散点图(见图10-3)>text(x,y,labels=s(case10.1),adj=c(0.5,1.5),cex=0.7) #设置标签位#置大小>abline(h=0,v=0,lty=3) #采用虚线划分四个象限从图10-3可以比较直观地看出在总支出方面，上海、北京、广东、浙江、江苏、天津、福建等沿海地区是我国传统的经济发达地带，又是改革开放的前沿，雄厚的经济实力为农业和农村经济发展奠定了坚实的基础，农村居民的人均消费水平相对较高.北京在享受型消费方面领先于其他省区，说明北京的农民比较重视文化生活，由于他们身处祖国的政治文化中心，因此在文化、教育、医疗等方面有很高的消费和投入.而广东农民更重视物质上的消费，尤其在食物方面，广东人很下工夫，但是他们在文化生活上支出却不高，也不太注重这方面的投入.从总体来看，我国绝大多数地区农村居民家庭的消费水平比较低，消费结构不合理，我国农村居民家庭消费水平在不同地区间存在着明显的差异.图10-3 2010年我国农村居民家庭人均生活消费支出古典拟合构图习题10.1证明当C≥0时，由式(10.12)定义的距离阵D=(d₂)为欧氏距离阵.10.2(数据文件为ex10.2)在R中利用古典多维标度法对表10-6中的六个经济发展指标数据进行分析评价.其中，x₁为农业产值，x₂为林业产值，x₃为牧业产值，x₄为企业人数，x₅为企业总产值，x₆为利润总额.表10-6 2003年广东省各地区农村经济发展状况指标城市x₁x₂x₃x₄x₅x₆广州市97.84 1.28 38.86 141.98 2089.55 121.07深圳市11.20 0.66 12.59 156.52 418.16 50.12珠海市 5.67 0.11 3.60 17.39 360.58 10.58汕头市29.87 0.57 17.26 52.45 673.74 24.07佛山市52.39 0.29 32.14 90.77 1649.81 62.74韶关市47.82 4.47 18.44 27.91 144.51 16.14河源市33.57 3.10 12.84 12.62 51.25 4.73梅州市57.10 2.74 28.02 44.12 226.65 19.75惠州市61.57 4.70 25.20 70.38 568.79 40.39汕尾市29.82 1.70 12.09 30.52 189.00 6.78东莞市20.97 0.14 20.35 134.63 1380.42 74.01中山市16.87 0.21 5.33 91.43 1148.14 52.10江门市57.33 1.79 39.21 85.64 1252.07 32.68阳江市47.72 3.27 21.39 19.52 191.64 11.08湛江市87.20 4.72 34.07 40.60 390.06 20.96茂名市112.00 7.85 81.36 76.47 739.34 40.85肇庆市76.06 16.45 46.77 52.97 569.93 19.40清远市57.35 6.67 28.47 17.95 75.29 6.76潮州市27.05 1.63 14.88 35.22 501.63 20.97揭阳市71.08 2.09 26.43 50.52 891.76 17.79云浮市44.07 4.65 38.97 22.23 188.47 8.7010.3(数据文件为ex10.3)表10-7给出了2011年全国31个省、直辖市、自治区的城镇居民家庭人均消费性支出的8个主要指标数据，根据这些数据，采用多维标度法进行分析评价.表10-7全国31个省、直辖市、自治区城镇居民家庭人均消费性支出数据(2011年)单位：元地区食品x₁衣着x₂居住x₃家庭设备及用交通通信x₅文教娱乐x₆医疗保健x7其他x8品x₄北京6905.512265.881923.711562.553521.23306.821523.32975.37天津6663.311754.981763.441174.622699.532116.011415.39836.82河北3927.261425.991372.25809.85 1526.61203.99955.95 387.40山西3558.041461.91327.78832.74 1487.661419.43851.30 415.44内蒙古4962.42514.091418.61162.872003.541812.071239.36765.13辽宁5254.961854.631385.62929.37 1899.061614.521208.3643.15吉林4252.851769.471468.29839.31 1541.371468.341108.51562.48黑龙江4348.451681.881185.96723.58 1363.621190.871082.96476.89上海8905.952053.812225.681826.223808.413746.381140.821394.86江苏6060.911772.061187.741193.812262.192695.52962.45 647.06浙江7066.222138.991518.061109.423728.232816.121248.9811.51安徽5246.761371.011501.39690.66 1365.011631.28907.58 467.77福建6534.941494.961661.841179.842470.181879.02773.26 667.00江西4675.161272.881114.49914.88 1310.211429.3641.23 389.06山东4827.612008.841510.841013.822203.991538.44938.86 518.27河南4212.761706.941087.08977.52 1573.641373.94919.83 484.76湖北5363.681677.911172.11814.81 1382.21489.67915.72 347.68湖南4943.891499.021292.55940.79 1975.51526.1790.76 434.25广东7471.881404.62005.151370.283630.622647.94948.18 773.17广西5074.491019.341237.91884.85 2000.571502.65779.08 349.48海南5673.65 780.101342.29729.86 1830.81141.81783.34 360.91重庆5847.92056.791205.661079.271718.731474.881050.62540.63四川5571.691483.541226.141020.161757.521369.47735.26 532.52贵州4565.851209.881102.99857.55 1395.281331.43578.33 311.57云南4802.261587.18827.84 570.46 1905.861350.65822.41 381.38西藏5184.181261.29781.12 428.03 1278.0514.44 424.10 527.74陕西5040.471673.241193.81914.26 1502.441857.61100.51500.42甘4182.41470.21139.8660.48 1289.81158.3874.05 413.37肃7 6 5 0 0青海4260.271394.281055.15723.23 1293.45967.90 854.25 406.93宁夏4483.441701.731247.14885.36 1637.611441.18978.12 521.47新疆4537.461715.94888.16 791.43 1377.671122.18912.99 493.56 10.4(数据文件为ex10.4)对表10-8给出的我国12个城市间的航空距离矩阵D,利用R软件中的cmdscale()函数求D的CMDS解，并给出拟合构图X及拟合构造点.表10-8我国12个城市间的航空距离矩阵10.5(数据文件为ex10.5)在R中利用古典多维标度法对表10-9中给出的2006年我国东部和西部地区20省区工资水平数据.请对相关经济发展指标数据进行分析评价.其中x₁为国有单位工资，x₂为城镇集体单位工资，x3为股份合作单位工资，x₄为联营单位工资，x5为有限责任公司工资，x₆为股份有限公司工资，x₇为其他单位工资，x8为港、澳、台商投资单位工资，x9为外商投资单位工资.表10-9我国2006年20个省区工资水平数据单位元地区x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇x8X 9北京41313 17550 14603 20154 30732 54595 28023 52593 64192 河北17057 10255 12947 23894 17580 15835 10362 17282 18014 山西18540 12014 10208 16308 20554 15917 11883 14583 17363 内蒙古19275 12404 11216 12238 17439 18211 12966 14222 19041 辽宁20305 10793 13175 11859 18852 24453 10095 19206 19756 吉林16983 9106 9698 10413 15249 20657 10381 13461 22562 上海40141 22959 20912 30984 31305 43673 42206 26244 42556 江苏28143 15279 16199 17302 20453 25487 15954 18200 23446 浙江41920 22006 19220 32979 19903 26994 21657 19593 20950 江西16227 10000 12118 13939 14710 17365 10388 10982 13731 山东22552 13024 13588 27823 15732 17440 12798 15602 18248 湖北17708 10265 10787 14262 14683 14985 9671 12545 23261 湖南18459 12490 14442 14328 15754 18228 15525 15812 17574 广西18384 12025 11071 13637 16549 17854 13231 12910 22427 重庆21168 13471 14460 16283 15637 21497 13368 17098 25037 四川19884 12624 13522 14962 13251 16606 10693 16909 20749 贵州17248 12590 14796 12306 14227 19361 12482 13436 15359 云南19520 11859 12806 14890 16308 19720 10833 15054 20944 陕西16894 8879 19713 14943 18215 18856 13613 14634 18077 甘肃17836 11411 9832 6439 13998 22076 8407 16877 20139。
模糊托格森多维标度法
多维 标 度 法 是 多 元 统 计 分 析 中 用 于 数 据 可 而且 着重 反 映它们 的非 线 性关 系 的强 弱 ， 同时 也
视化 的图 标 技 术 ， 的研 究 起 源 于 心 理 测 验 学 ， 反 映定性 变 量之 间 的相似性 。 它
现在广 泛应用 于地 质 学… 、 环境 分 析 【 ［］ ２ ３和知 识 ］ 结 构分 析 ＿ 等众 多 难 以取 得 准 确 定 量 资 料 的 领 ４ Ｊ
域 。 文 中提 出 了相 异 度 的 概 念 ， 并将 其作 为 一 种 非 相似 度 量 应 用 在 经 典 的 托 格 森 多 维标 度 法 中 。 关键词 ： 多维标 度 法 ； 异 度 ； 格 森 方 法 ； 糊 集 相 托 模 中图 分 类 号 ： ５ ０１９ 文献标识码 ： Ａ
（ ，） 虽 ＝
ｕ ）＿Ｂ （ｉＪ（） ｌ （ｉ Ａ ｕ） ２
～
～
当论 域 Ｕ 为无 限域 时
（ 皂 ＝ ， ）
）ｄ ｌ ｕ 设 Ｂ两模 糊集 ， 们 在论 域 Ｕ 他 上 的格 相异 度可 以定 义为 ：
（ ， ＝１ Ａ。 八（ Ｂ） Ａ Ｂ） 一（ Ｂ） Ａ （） ４
２ ０ 年 ９ 月 ０１
太 原 大 学 学 报
Ｊ ｕ ａ ｏ ｉｕ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ｌ ｆＴａｙ ａ ｉｅｓｔ ｎ ｙ Ｖｏ． Ｎｏ ３ Ｓ ｍＮｏ ４ １１ １ ． ｕ ．３
第 １ １卷 第 ３期 总 第 ４ ３期
文 章编 号 ：６ １ ９ ７ ２ １ ）３—０ ２ —０ １ ７ —５ ７ （ ０ ０ ０ １９ ３
况。
ＤｓＡ， ＝１ （ Ｂ） 一Ｄ（ ， Ａ Ｂ）
（） １
其 中 ， （ Ｂ） 示 模 糊 集 Ａ ， Ｄ Ａ， 表 Ｂ的 贴 近
典型相关分析与多维标度法
分别对 a, b 求偏导并令为零, 得到 { ΣXY b − λ1 ΣXX a = 0 ΣY X a − λ2 ΣY Y b = 0 由此得到 λ1 = λ1 a′ ΣXX a = a′ ΣXY b = λ2
1 因此记 λ = λ1 = λ2 , 将 λb = Σ− Y Y ΣY X a 带入得到
广义特征根问题
A−1 ai , b∗ i = B −1 bi , ai , bi 为 X, Y 的第 i 对典型相关变量的系数.
∗ ∗′ ′ ′ (2) corr(a∗′ i X , b i Y ) = corr (ai X, bi Y ), 即线性变换不改变相
关性. 注: 若在定理中取 A = (diag ΣXX )1/2 , B = (diag ΣY Y )−1/2 , 则 前面关于协方差矩阵的结果都可以应用到相关系数矩阵下.
多维标度法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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1
1.1
典型相关分析
• 典型相关分析 (Canonical correlation analysis, CCA) 研究多 个变量与多个变量之间的相关性 • 工厂对原料的主要质量指标 X = (X1 , . . . , Xp )′ 和产品质量的 主要指标 Y = (Y1 , . . . , Yq )′ 之间的关系很感兴趣 • 婚姻研究中, 小伙子对他所追求姑娘的主要指标 X 和姑娘向往 的主要指标 Y 之间的关系 • 直接使用 Cov (X, Y)(或者相关系数矩阵) 在多元场合无法从整 体上合适解释两者之间相关性 • Hotelling (1935,1936) 最早提出使用它们的线性组合变量 (典 型变量)a′ X 和 b′ Y 之间的相关性来度量 X 和 Y 之间的相关 性. 什么样的 a, b 合适呢? Previous Next First Last Back Forward 1
多维标度法在企业战略决策中的应用
多维标度法在企业战略决 策 中的应 用
阳 长 征 周 永 生 李 慧 敏 （ ． 林 理 工 大 学 管 理 学 院 ， 西 桂 林 ５ １ ０ ；２ 右 江 民族 医 学 院 附 属 医 院 ， 西 百 色 ５ ３ ０ ） １桂 广 ４０ ４ ． 广 ３ ０ ０ 摘 要 ： 文 通 过 对 企 业 战 略 决 策 特 点 的 分 析 ，阐 述 了传 统 的 聚 类 分 析 法 在 市 场 战 略 决 策 分 析 中 的 局 限 性 ， 出 了 多 本 引 维 标 度 法 的 使 用 ， 克 服 了过 去 常 使 用 的传 统 分 析 法 的 不 足 。接 着 对 多 维 标 度 法 基 本 理 论 作 了 详 细 说 明 ， 对 “ ０ ０ 它 并 ２ １ 年 ２月 某 奶 业 集 团股 份 有 限 公 司 对 目前 ９种 牛 奶 品 牌 的 调 查 资 料 报 告 ” 行 了 实 例 分 析 ， 体 展 示 了 该 方 法 在 实 际 进 具
多 维 标 度 法 的 目的 ， 以 空 间 图 的 方 式 用 最 少 的 维 数 最 是
１ 多 维 标 度 法 概 述 ．
１ １多 维 标 度 法 基 本 原 理 ． 多 维 标 度 法 的 基 本 思 想 是 ： ｒ 空 间 （ 待 定 ） 的 点 用 维 ｒ 中 分 别 表 示 各 样 品 ， 得 各 样 品 间 距 离 的 次 序 能 完 全 反 映 原 始 使 输 入 的 相 似 次 序 （ 样 品 间 的距 离 越 短 ， 越 相 似 ） 两 则 。通 常 要 通 过 两 步 来 完 成 ： 先 ， 造 一 个 ｆ 坐 标 空 问 ， 用 该 空 间 首 构 维 并 中 的 点 分 别 表 示 各 样 品 ， 时 点 间 的 距 离 未 必 和 原 始 输 入 次 此 序 相 同 ， 常 把 这 一 步 称 为 构 造 初 步 图 形 结 构 ； 次 ， 逐 步 通 其 是 修 改 初 步 图 形 结 构 ， 得 到 一 个 新 图 形 结 构 ， 得 在 新 结 构 以 使 中， 各样 品的点 间距 离次 序和原 始输 入次 序尽量 一致 。 多 维 标 度 的特 点 是 将 消 费 者 对 品 牌 的 感 觉 或 偏 好 以 点 的 形 式 反 映 在 多 维 空 间 上 ， 对 不 同 品 牌 的 感 觉 或 偏 好 的 差 而 异 程 度 是 通 过 点 与 点 之 间 的距 离 体 现 的 ， 种 品 牌 或 项 目 的 这 空 间定 位 点 团 称 为 空 间 团 ， 间 的 轴 代 表 形 成 感 觉 或 偏 好 的 空 各种 因素或 变量 。 １ ２多 维 标 度 法 步 骤 ． （ ） 定 问 题 １界 品牌及 相关 指标 或变 量 的选 择 ， 往 基 于调 研 问题 、 往 相 关 理 论 以 及 研 究 人 员 的 判 断 力 等 。 问 题 的 界 定 与 多 维 标 度
多维标度法在地震动空间特性分析中的应用
ｂａ ｅ ｎ ｍ ｕ ｔｄ ｍｅ ｉ ｎａ ｃ ｌ ｓ ｄ ｏ ｌｉ ｉ ｎｓｏ ｌｓ ａ ｉ （ ＤＳ） ａ ｈｅ ｄ ａ ｃ ｔｍｅ ｗａ ｐ ｎｇ ｄ ｓａ ｅ （ ｎｇ Ｍ ｎｄ ｔ ｙｎ ｍｉ ｉ ｒ ｉ ｉ ｔ ｎｃ ＤＴＷ ） ｗａ ｏ ｓ ｄ， ｓ ｐｒ ｐｏ ｅ ｗｈｉ ｈ ｒ ｐｒ ｓ ｎ ｓ ｈ ｄｉｓｍ ｉ ｒｔｅ ｏｆ ａ ｔ ｕａ ｉ ａ ｏｗ ｄ ｍ ｅ ｉ ｎａ ｓ ａ ｅ ｎ ｖ ｓ ｌ ｅ ｗａ ａ ｄ ｃ ｅ ｅ ｅ ｔ ｔ ｅ ｓ ｉ ｌ ｉｉ ｓ ｅ ｒ ｈｑ ｋｅ ｎ ｌ ａ ｉ ｎｓｏ ｌ ｐ ｃ ｉ ａ ｉｕａ ｉ ｄ ｚ ｙ ｎ ｕ ｏｖ ｒ ｉ ｅ ｓ ｒ ｔ ｅ ｏ ｅ ｒ ｈｑ ｋｅ Ｔｈｅ ａ ａ ｙｓｓ ｆ ｅ ｏ ｄ ｆ ｏ ｎｃ ｅ ｓ ｈ ｄｄ ｎ ｔ ｕｃ ｕｒ ｆ ａ ｔ ｕａ ． ｎ ｌ ｉ ｏ ｒ ｃ ｒ ｒ ｍ ｔ ｓ ｉｍｉ ｒ ａ ｈ ｈｅ ｅ ｓ ｃ ａ ｒ ｙ ｓ ｏｗｓ ｈ ｔ ｈ ｔ ａ ｔ ｅ
多维标 度 法 （ 称 ＭＤ ） 一 种 在 低 维 空 间 展 简 Ｓ是 示“ 离” 距 数据 结 构 的多 元 数 据 分 析 技 术 ］ 它 通 过 ，
作 为 与该 台站 记 录存 在 较 大差 异 的 已 知 奇 异记 录 ， 记 为 Ｅ 让 Ｃ Ｏ台阵记 录人 为 的使其 时 间轴 上压 缩 Ｌ， Ｏ
第 ３ ４卷 第 ５期
２１ ０ ２年 １ ０月
Ｖｏ ． ４ ＮＯ ５ １３ ．
０ｃ ． ２Ｏ１ ｔ ２
多维 标 度 法在 地 震 动 空 问特 性 分析 中 的应 用
李 英 民 吴 哲骞 陈辉 国 ， ，
（ ． 庆 大 学 土 木 工 程 学院 ， 庆 ４０ ４ ；． 勤 工程 学 院 军事 建 筑 工 程 系 ， 庆 ４ １ １ ） １重 重 ００５２后 重 ０３１ 摘 要 ： 寻 找 适 于 工 程 应 用 的 空 间 地 震 动 输 入 合 理 性 的 判 定 工 具 ， 出 了 一 种 将 多 维 标 度 法 为 提 （ Ｄ ） 动 态 时 间 弯 曲 距 离 （ Ｔ ） 结 合 揭 示 空 间 地 震 动 相 关 结 构 的 方 法 。 该 方 法 可 将 多 点 地 Ｍ Ｓ和 Ｄ Ｗ 相
多维标度法
多维标度法内容丰富、方法较多。 按相似性（距离）数据测量尺度的不同MDS可分为： 度量MDS：当利用原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺 度和比率尺度时称为度量MDS(metric MDS) 非度量MDS：当利用原始相似性（距离）的等级顺序（即有 序尺度）而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetric MDS) 按相似性（距离）矩阵的个数和MDS模型的性质MDS可分
2
Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法 现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物 理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。 多维标度法解决的问题是：当n个对象（object）中各对对象 之间的相似性（或距离）给定时，确定这些对象在低维空间 中的表示（感知图Perceptual Mapping），并使其尽可能与 原先的相似性（或距离）“大体匹配”，使得由降维所引起 的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个 对象，因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是 说，两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示， 而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。 多维空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏 三维以上空间。
整数 r 和 R r 中的 n 个点 X1 , X 2 ,
2 dij ( X i X j )( X i X j )
, X n ，使得
i, j 1,2,
,n
则称 D 为欧氏距离阵 3．相似系数阵
定义 10.3 一个 n n 阶的矩阵 C (cij )nn ，如果满足条件：
定义10.1 一个n n阶的矩阵D=(dij ) n n ，如果满足条件：
8
（ 1） D D （ 2） dij 0, dii 0,
多维标度法MDS及R使用
强定义：Agent不仅具有以上的特性，而且具有知识、信念、义务、 意图等人类才具有的特性。强定义更加强调人格化概念的Agent的心 智要素。
一般而言，可以认为Agent是一个能够感知外界环境并具有自主行为 能力的以实现其设计目标的自治系统。它运行于复杂和不断变化的动 态环境中，能有效地利用环境中各种可以利用的数据、知识、信息和 计算资源，准确理解用户的真实意图，为用户提供迅捷、准确和满意 的服务。
多元统计分析及R语言建模
第12章 多维标度法MDS及R使用
- 1-
多元统计分析及R语言建模
包括多维标度法的基本理论、方法、古典解和非度量方法，
内 计算程序中有关多维标度法的算法基础；多维标度法的基本步 容 与 骤以及实证分析。
要
求
了解多维标度的基本思想和实际意义，以及它的数学模型
和二维空间上的几何意义；掌握多维标度法的基本性质；能够
（4）MAS是一个集成系统，各Agen之间互相通信彼此协调，并行地求解 问题，能有效地提高问题求解的能力；
（5）多Agent技术打破了人工智能领域仅仅使用一个专家系统的限制，在 MAS环境，各领域的不同专家可能协作求解某一个专家无法解决或无法很好 解决的问题，提高系统解决问题的能力。
8 of 31
9.1多Agent系统简述
定义12.1 一个n×n矩阵 D=（dij），若满足 D’=D，dii=0，dij ≥0，
（i,j=1,2, …,n ; i ≠ j ) ，则称D为距离阵。
对于距离阵D=（dij），多维标度法的目的是要寻找p和Rp中的n个点x1，…，
xn，用 表示xi与xj的欧氏距离，
, 使得 与D在某种意义下相近。
2）系统拓扑结构改变 ➢Agent数目不变，每个Agent的微结构稳定，可以修改Agent间的关系和组 织形式； ➢可增减Agent数目，可以动态创建和删除Agent。
多维标度法的聚类分析_问题与解法
（5）模 糊 净 现 值 期 望 值 之 和 最 大 的 组 合 为 最 优 组 合 。 由 于 E(NP軌 V1+2)=8040.5>E(NP軌 V3)=8030.3，选 择 方 案 1 和 方案 2 组合。
3 结论
本文讨论了如何利用模糊净现值和模糊数排序方法对 模糊条件下资金有限独立方案进行评价选优。 给出了模糊净 现值和模糊数排序法选择资金有限独立方案的一般过程。 该 法主要适用于方案的现金流量或参数为模糊数的情况。 该方
大 学 出 版 社 ，1999． [8] 何 晓 群．多 元 统 计 分 析 [M]．北 京 ：中 国 人 民 大 学 出 版 社 ，2004． [9]J F Hair, et al．Multivariate data analysis with reading [M]．4th ed．
fuzzysets文讨论了如何利用模糊净现值和模糊数排序方法对模糊条件下资金有限独立方案进行评价选优解决方法mds将研究数据转换为距离数据后就需要运用研究对象在各维度上的坐标值进行聚类分析了34个城市聚类树形图最好选择几种聚类法再选择一种比较euclideandistance用常用的组间联结法betweengroupslinkagespss120处理得到的聚类树形图如图聚过程表中的系数coefficients数据绘制成不相似34个城市分合并为14个城市归为一类能有效减少依据空间分布图难以聚类或者聚类不一致的现象在大部分研究中以使用平均联结法kmeanscluster相用多维标度法进行聚类分析时如果依据空间分布图类发生困难或感到可能产生偏差就可以运用研究对象在各维度上的坐标值进行进一步的聚类分析mds的改进及其在国际市场
第十章 多维标度法
美国10城市间的飞行距离
4 701 940 879 0 1374 968 1420 1645 1891 1220 5 1936 1745 831 1374 0 2339 2451 347 959 2300 6 604 1188 1726 968 2339 0 1092 2594 2734 923 7 748 713 1631 1420 2451 1092 0 2571 2408 205 8 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442 9 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329 10 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0
第十章
第一节 引言
多维标度法
第二节 第三节
第四节
古典多维标度法(Classical MDS) 权重多维标度(WMDS)
实例分析与计算实现
第一节 引 言
在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总
能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城 市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你 知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还 能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了10种饮 料产品在消费者心中的相似程度，你能否确定这些产品在消 费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类 似这样的问题。 多维标度法（Multidimensional Scaling）就是解决这类问题 的一种方法，它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的 多元数据分析技术，简称MDS。 多维标度法起源于心理测度学，用于理解人们判断的相似性。 Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在三、四十年 代的研究，具有突破性地提出了多维标度法，后经
基于分而治之的多维标度算法
基于分而治之的多维标度算法屈太国;蔡自兴【期刊名称】《模式识别与人工智能》【年(卷),期】2014(000)011【摘要】作为一种典型的多元统计分析方法，多维标度法( MDS)广泛应用于降维和可视化研究中。
MDS从n个样本间的距离距阵出发，求取它们在低维欧氏空间的坐标。
经典MDS算法( CMDS)的时间复杂度为Θ( n3)，影响MDS的速度。
文中基于分而治之的思想提出一种新的MDS算法。
首先将距离矩阵沿对角线分成若干子矩阵，然后对每个子矩阵求解，最后通过正交变换和平移变换整合各子矩阵的解，从而得到原距离矩阵的全局解。
该算法的结果与CMDS完全一致。
当样本维数远小于样本个数时，其时间复杂度仅为Θ( nlgn)。
与CMDS 算法相比，该算法的速度大大提高，从而使MDS可应用于更大规模数据集。
%As a typical method for multivariate statistical analysis, multidimensional scaling(MDS) has been widely used in dimensionality reduction and visualization. Based on a distance matrix of n samples, the coordinates of MDS in a low-dimensional Euclidean space are obtained. The time complexity for classical MDS algorithm( C MDS) is Θ( n3 ) , which affects the speed of MDS.A new MDS algorithm based on the idea of divide-and-conquer is proposed. The distance matrix is divided into several submatrices along its diagonal, then the submatrices are solved respectively. With orthogonal transformation and translation transformation, all of these subproblem solutions are aligned to get the global solution to the original distancematrix. The result of the proposed algorithm is completely the same as that of CMDS. When the dimensionality of sample space is far less than the number of samples, the time complexity of the proposed algorithm is only Θ( nlgn) . Thus, compared with CMDS, the speed of the proposed algorithm is greatly improved, which makes MDS applicable to larger datasets.【总页数】9页(P961-969)【作者】屈太国;蔡自兴【作者单位】中南大学信息科学与工程学院长沙410083;中南大学信息科学与工程学院长沙410083【正文语种】中文【中图分类】O212.4【相关文献】1.基于分而治之及Hash链表的图分类算法 [J], 孙伟;朱正礼2.基于分而治之的快速多维尺度定位算法 [J], 吕宏达;李克清;戴欢3.基于改进拼合策略的分布式多维标度定位算法 [J], 贾丹;李卫华;王鹏;焦志强4.基于分簇和融合补偿策略的多维标度定位算法 [J], 王静;仇晓鹤5.基于向量相似性的多维标度定位算法 [J], 郑天;冯秀芳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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di2j
1 n
n i 1
di2j
1 n2
n i 1
n
di2j )
j 1
di2j 为 i 城市与 j 城市之间的距离。那么，如果一个 n × n 的
距离阵 D是欧氏距离阵的充要条件是 B 0。 首先考虑必要性，设 D 是欧氏距离阵，则存在
X1, X 2 , , X n Rr ，使得
di2j ( Xi X j )( Xi X j )
（2）根据 bij 构造出内积矩阵 B；
（3）计算内积矩阵 B 的特征值 1 2 n 和 r 个最大
特征值 1 2 r 0 对应的单位特征向量。其中，r
的确定有两种方法：一是事先确定 r =1,2 或 3；二是通过计
算前 r 个大于零的特征值占全体特征值的比例 确定。
1 2 1 2
j 1
（10.3）
1
n
n (1 j1 n
n i 1
di2j )
1 n2
n i 1
n
di2j
j 1
1 n
n i 1
X
iX i
1 n
n j 1
X
j X
j
2 n
n i 1
n
பைடு நூலகம்X iX j
j 1
由（ 10.1）、（ 10.2）、（ 10.3）和（ 10.4）式，得知
（10.4）
这里，我们称 B 为 X 的中心化内积阵。 再来考虑充分性，如果假设 B 0 ，我们欲指出 X 正好为D 的
整数 r 和 Rr 中的 n 个点 X1, X 2 , , X n ，使得
di2j (Xi X j )(Xi X j )
i, j 1, 2, , n
则称 D 为欧氏距离阵
3．相似系数阵
定义 10.3 一个 n n 阶的矩阵 C (cij )nn ，如果满足条件：
（1） C C
（2） cij cii i, j 1, 2, , n
4 701 940 879 0
1374 968 1420 1645 1891 1220
5 1936 1745 831 1374 0
2339 2451 347 959 2300
6 604 1188 1726 968 2339 0
1092 2594 2734 923
7 748 713 1631 1420 2451 1092 0
r n
0
0 预先给定的变差贡献比例。
（4）根据（10.7）式计算 Xˆ ,得到r维拟合构图（简称古典
解）。 这里需要注意,如果λi中有负值,表明D是非欧氏型的。
（一）已知距离矩阵的CMDS计算
以前述美国10城市间的飞行距离数据来说明古典度量多维标 度法的计算过程。
表10.1美国10城市间的飞行距离为比率测度。数值越大表明 距离越远,数值越小表明距离越短,符合广义距离阵的定义,又 只涉及一个距离阵,因此为度量CMDS。
第二节 古典多维标度法 (Classical MDS)
一 相似与距离的概念 二 古典多维标度分析的思想及方法 三 度量MDS的古典解 四 非度量MDS的古典解(nonmetric MDS)
首先我们提出这样一个问题,表10.1是美国十城市之间的飞行 距离,我们如何在平面坐标上据此标出这10城市之间的相对 位置,使之尽可能接近表中的距离数据呢?
多维标度法内容丰富、方法较多。按相似性（距离）数据测 量尺度的不同MDS可分为:度量MDS和非度量MDS。当利用 原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺度和比率尺度时称 为度量MDS(metric MDS),当利用原始相似性（距离）的等
级顺序（即有序尺度）而非实际数值时称为非度量 MDS(nonmetric MDS)。按相似性（距离）矩阵的个数和 MDS模型的性质MDS可分为:古典多维标度CMDS（一个矩 阵,无权重模型）、重复多维标度Replicated MDS（几个矩 阵,无权重模型）、权重多维标度WMDS（几个矩阵,权重模 型）。本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。
根据上述度量古典CMDS的计算方法,首先可求得内积矩阵, 结果见表10.2。
表10.2 美国10城市内积矩阵
537138 227674.7
227674.7 262780.5
-348122 -174029
198968.7 -134310
-808343 -593986
894857.1 234414.3
设 r 维空间中的 n 个点表示为 X1, X 2 , , X n ，用矩阵表示为
X ( X1, X 2 , , X n ) 。在多维标度法中，我们称 X 为距离
阵 D的一个拟合构图，求得的 n 个点之间的距离阵Dˆ 称为 D 的拟合距离阵，Dˆ 和 D 尽可能接近。如果Dˆ D ，则称 X 为 D 的一个构图。
值得注意的是,由于多维标度法求解的n个点仅仅要求它们的 相对欧氏距离与D相近,也就是说,只与相对位置相近而与绝 对位置无关,根据欧氏距离在正交变换和平移变换下的不变 性,显然所求得解并不唯一。
三、度量MDS的古典解
根据上述古典多维标度法的基本思想及方法，可给出求古典 解的一般步骤：
（1）根据距离阵数据，按照公式（10.5）计算出 bij ；
Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法 现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物 理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。
多维标度法解决的问题是:当n个对象（object）中各对对象 之间的相似性（或距离）给定时,确定这些对象在低维空间 中的表示（感知图Perceptual Mapping）,并使其尽可能与原 先的相似性（或距离）“大体匹配”,使得由降维所引起的 任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个对 象,因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是说, 两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示,而两 个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。多维 空间通常为二维或三维的欧氏空间,但也可以是非欧氏三维 以上空间。
696696.2 585085
-1005131 -580732
-1050183 -315384
656444.9 488486.2
-348122 -174029 235561.7 -92439.5 569636.6 -563061 -504420 681440.4 658370.2 -462937
198968.7 -134310 -92439.5 352200.4 B 29298.47 516284.3 -124221 -162952 -550030 -32799.4
则矩阵 C 为相似系数阵， cij 称为第 i 点与第 j 点间的相似系数。
在进行多维标度分析时,如果数据是多个分析变量的原始数 据,则要根据聚类分析中介绍的方法,计算分析对象间的相似 测度;如果数据不是广义距离阵,要通过一定的方法将其转换 成广义距离阵才能进行多维标度分析。
二、古典多维标度分析的思想及方 法
这里需要特别注意,并非所有的距离阵都存在一个r维的欧氏 空间和n个点,使得n个点之间的距离等于D。因而,并不是所 有的距离阵都是欧氏距离阵,还存在非欧氏距离阵。
当距离阵为欧氏时,可求得一个D的构图X,当距离阵不是欧氏 时,只能求得D的拟合构图。在实际应用中,即使D为欧氏,一 般也只求r =2或3的低维拟合构图。
XiXi X j X j X j Xi XiX j
（10.1）
XiXi X j X j 2XiX j
1
n
n i 1
di2j
X j X j
1 n
n i 1
X iX i
2 n
n i 1
XiX j
（10.2）
1
n
n
di2j
j 1
X iX i
1 n
n
X j X j
j 1
2 n
n
X iX j
我们假设有 n 个城市对应欧氏空间的 n 个点，其距离阵为
D，它们所对应的空间的维数为 r ，第 i 个城市对应的点记
为 X i ，则 X i 的坐标记作 X i ( X i1, X i2 , , X ir ) 。
设 B (bij )nn ，其中：
bij
1 2
(di2j
1 n
n j 1
第十章 多维标度法
第一节 引 言
第二节 古典多维标度法(Classical MDS)
第三节 权重多维标度(WMDS) 第四节 实例分析与计算实现
第一节 引 言
在实际中我们会经常遇到这些的问题,给你一组城市,你总能 从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城市 的距离,你能否确定这些城市之间的相对位置呢?假定你知道 只是哪两个城市最近,哪两个城市次近等等,你是否还能确定 它们之间的相对位置呢?假定通过调查了解了10种饮料产品 在消费者心中的相似程度,你能否确定这些产品在消费者心 理空间中的相对位置呢?在实际中我们常常会遇到类似这样 的问题。
2571 2408 205
8 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0
678 2442
9 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0
2329
10 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0
1＝Atlanta , 2＝Chicago, 3＝Denver, 4＝Houston, 5＝Los Angeles 6＝Miami , 7＝New York, 8＝S an Francisco , 9＝Seattle, 10＝Washington. DC
一、相似与距离的概念
在解决上述问题之前,我们首先明确与多维标度法相关的数 据概念。 1．相似数据与不相似数据 相似数据:如果用较大的数据表示非常相似,用较小的数据 表示非常不相似,则数据为相似数据。如用10表示两种饮 料非常相似,用1表示两种饮料非常不相似。 不相似数据:如果用较大的数值表示非常不相似,较小的数 值表示非常相似,则数据为不相似数据,也称距离数据。如 用10表示两种饮料非常不相似,用1表示两种饮料非常相似。 2．距离阵