大学物理习题册及解答第二版第一章质点的运动

解：υ烟船 υ烟(风）地 υ船地
北
υ船水 υ船地
υ风地
(υ船水
υ水地）
υ烟船
西
υ风地
υ水地
东
υ烟船 υ船水 20(m / s)
南
方向：南偏西30o
第一章 质点运动学（二）
一、选择题
1．某物体的运动规律为 d k 2t ，式中的k为大于零的常
dt
数．当t＝0时，初速为0 ，则速度 与时间t的函数关系是
与其速度矢量恰好垂直；(4) 在什么时刻电子离原点最近．
x Ae t cost (SI)
(A,皆为常数)
(1)任意时刻ｔ质点的加速度 (2) 质点通过原点的时刻 .
解： x Ae t [ cost sin t](SI)
a x Ae t 2 2 cost 2 sin t
质点通过原点时，x Ae t cost 0
t (2n 1)
2
t 1 2n 1π/ (n = 0, 1, 2,…)
0
dy
0t12t 3dt
x t 2 , y 3t 4
质点的运动方程为：
x t 2
y
3t
4
r t 2 i 3t 4 j
质点的运动方程为：
x t 2
y
3t
4
r t 2 i 3t 4 j
(2) 上式中消去t,得y=3x2, 即为轨道方程。可知是抛物线。
(３)求切向加速度
v 2t v 12t3
1.88m / s2
a at2 an2 2.23m / s2
tan an 1.5667
at
8. 半径为R的圆盘在固定支撑面上向右滚动，圆盘质心C的运动速 度为 ，圆盘绕质心转动的角速度为 ，如图所示.则圆盘边
缘上A点的线速度为 线速度为
；B点的线速度为 .
；O点的
A •
分析：刚体上某质点的运动可看为随质心的 平动和绕质心转动的合成
3．已知质点的运动方程为 r A1 costi A2 sint j，其中A1，A2，均 为常数,（1）试证明质点的运动轨迹为一椭圆；
（2）证明质点的加速度恒指向椭圆中心；
（3）试说明质点在通过图中M点时，其速率是增大还是减小？
证明： （1）xy
x2 y2
A 1
A 2
cos sin
t t
消去t得轨道方程为 y
x
y
v v2 v2 4t 2 144t 6
x
y
a dv 1 dt 2
8t 864t 6 2 216t 2 4t 2 144t 6 1 36t 4
2. 一电子在电场中运动，其运动方程为
,
(SI)
(1) 计算电子的运动轨迹；(2) 计算t=1s时电子的切向加速度、法
向加速度及轨道上该点处的曲率半径；(3) 在什么时刻电子的位矢
an
v2 R
1 (b ct)2 R
(m / s2 )
由 1 (b ct)2 c R
t b Rc (s) c
3. 一物体作如图的斜抛运动，测得在轨道A点处速度的
大小为v，其方向与水平方向夹角成30°．则物体在A点
a 的切向加速度 g/ 2 t
轨道的曲率半径
a υ2 ρ n
a
g 300 n
解：(1)从运动方程中消去时间就得到轨道方程
2
y x2 5
3
(2) t1=0s时
vx
dx dt
3,
v 3i (m / s)
-4
-2
-2
2
4
-4
vy
dy dt
t1=120s时
6t
v
3i
720
j (m
/
ax
dvx dt
0,
ay
dvy dt
6
a(t 0s) a(t 120s) 6 j(m / s2)
第一章 质点的运动（一）
一、选择题
1 某质点作直线运动的运动学方程为x＝3t-5t3+6(SI)，则
该质点作 (A)匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (B)匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向． (C)变加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (D)变加速直线运动，加速度沿x轴负方向．
2
一质点在某瞬时位于位矢 r(
(A) dr
(B)
dt
d
r
(C)
(D)
dt
xd, yr) 的端点处，其速度大小为
dt
( dx )2 ( dy )2
dt
dt
3 质点作半径为R的变速圆周运动时的加速度大小为(v表 示任一时刻质点的速率)
(A) d
dt
d 2
(C) dt R
2
(B) R
(D)
d 2
d
t
1/ 2
4
R2
a rr
2
4 一质点沿x方向运动，其加速度随时间变化关系为a =3+2t(SI) , 如果初始时质点的速度v0为5m/s，则当ｔ为3s时，质点的速度v
=_2__3_m_/_s_
5.一质点作半径为 0.1 m的圆周运动，其角位置的运动学方程为：
π
1 t2
(SI)
42
则其切向加速度为 a
R
R d 2
0.1m / s2
如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置的速度
为
．
a
d
dt
d
dx
dx dt
d
dx
d adx (3 6x2 )dx
d
x (3 6x2 )dx
0
0
6x 4x3
2．一质点沿半径为R的圆周运动，其路程S随时间t变化的规律为：
(S I)S，式bt中b0、.5cct为2 大于零的常数，且b2>R c．
（ 1 ） 质 点 运 动 的 切 向 加 速 度 at ＝ -c(m/s2) , 法 向 加 速 度 an
＝ (b ct)2 /R (m / s2 ) ．
（2）质点经过t＝ (b Rc ) / c (s) 时at＝ an。
解：速率为： v dS b ct dt
at
dv dt
c
(m/s2 )
5 以下五种运动形式中，a保持不变的运动是
(A) 单摆的运动．
(B) 匀速率圆周运动．
(D) 抛体运动．
(C) 行星的椭圆轨道运动．
(E) 圆锥摆运动．
6 下列说法哪一条正确？ (A) 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变．
(B) 平均速率等于平均速度的大小．
(C) 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成 v v1 v 2 / 2
N
30°
V人地
W
E
V风人 V风地
S
二、填空题
1. 在表达式v lim r中，位置矢量是 ；位移矢量是 。 r r t0 t
2 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为s=5+4t-t2(SI),则小球运
动到最高点的时刻是 2s 。 分析：求极值的问题
3 一质点沿直线运动，其坐标x与时间t有如下关系：
Δt
2 1
“-”表示平均速度 方向沿x轴负向。
dx
(2) 第2秒末的瞬时速度 v 10t 9t 2 16m/s
dt
t2
(3) 由2秒末的加速度 a dv 10 18t 26m/s2
dt
t2
2.一质点在Oxy平面上运动，运动方程为x=3t, y=3t2-5(SI), 求(1)质 点运动的轨道方程,并画出轨道曲线;(2)t1=0s和t2=120s时质点的 的速度、加速度。
7 汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的路程
随时间的变化关系为 S 20t 0.2t3(SI)，汽车在t=1s时的切向加速
度
，法向加速度大小为 ，加速度的大小和方向为
和
。
at
d 2S dt 2
1.2t
1.2m / s2
an
2
R
1 dS R dt
2
(20 0.6t 2 )2 R
(A)
1 2
kt 2
0
(C)
1 1 kt2 1
2
0
(B)
1 2
kt 2
0
(D)
1 1 kt2 1
2
0
解: d k 2t
dt
d 2
ktdt
d t
ktdt
0 2
0
1 1 1 kt 2
0 2
2. 下列说法中，哪一个是正确的？ (A) 一质点在某时刻的瞬时速度是2m/s，说明它在此后1s内一
a
ρ υ2 a υ2 gcos30 0
t
n
2 3 2 /3g
三、计算题
1． 一质点在xOy平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数
ax=2,ay=36t2。已知t=0 时，r0=0,v0=0,求：(1)此质点的运动方程； (2)此质点的轨道方程，(3)此质点的切向加速度。
解：(1)
ax
dvx dt
B•
C•
O
A C R
B
2 R2 C
•
0 C R
三计算题
1．有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为 x=5t2-3t3（SI）．试求(1)在第2秒内的平均速度；(2)第 2秒末的瞬时速度；(3)第2秒末的加速度．
解： （1）第2秒内的平均速度表示为：
v Δx x(t 2) x(t 1) 6(m / s)
4 质点作曲线运动， 表示位置矢量， 表示速度， 表示加速度，
S表示路程，at表示切向加速度，下列表达式中，
(1) d a
dt
(3) dS
dt
(2) dr
(4)
ddtr
dt
at
（A）只有(1)、(4)是对的．
（B） 只有(2)、(4)是对的．
（C）只有(2)是对的．
（D） 只有(3)是对的．
t
dt 2
6 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路
程S随时间的变化规律为 S v 0t 12 bt ，2 其中v0和b都是正的常
量．则t时刻齿尖P的速度大小为v0 bt，加速度大小为 .
a
a2 a2
t
n
(d/dt)2 [(dS/ dt)2 / R]2
b2 (v bt)4 / R2 0
( v1, v2分别为初、末速率)
(D) 运动物体速率不变时，速度可以变化．
7 一质点从静止出发绕半径为R作圆周运动，角加速度为 ，该
质点走完一圈回到出发点，所经历的时间为：
(A) 1 2R (B) 4
2
(C) 2
(D) 条件不够，不能确定
分析 1 t 2
2
8. 某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风以相同速率从北偏东 30° 方 向 吹 来 ， 试 问 人 感 到 风 从 哪 个 方 向 吹 来 ？ （A）北偏东30° (B)南偏东30° (C)北偏西30°(D)西偏南30°．
解：小球与斜面碰撞时的速度为: v1 2 gh
h
v2
H H'
因为完全弹性碰撞，小 υ υ 2gh
球弹射的速度大小为:
2
1
S
v2的方向是沿水平方向，故小球与斜面碰撞后作平抛运动，弹出 的水平距离为:
s v2t 式中t 2(H h) g
s 2gh 2(H h) g 2 h(H h )
据极值条件 ds dh
H 2h
hH h 0
h H 2,
d 2s d h2 4 H 0 所以上条件为Ｓ极大的条件
H2
H'1H
2
5．河水自西向东流动，速度为10km/h．一轮船在水中航行，船 相对于河水的航向为北偏西300，相对于水的航速为20km/h．此 时风向为正西，风速为10km/h．试求在船上观察到的烟囱冒出 的烟缕的飘向．（设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度）
止坐标系方向相同的坐标系 ( x、y方向单位矢量用i，j表示 ),
那么在 A 船上的坐标系中, B 船的速度（以 m/s 为单位）为
(A) 3i 3 j (B) - 3i 3 j
(C) - 3i 3 j (D) 3i 3 j
二、填空题
1.一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为 a 3 6x2 (SI),
定要经过2m的路程． (B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大． (C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零． (D) 物体加速度越大，则速度越大．
3． 在相对地面静止的坐标系内, A、B 二船都以3m/s 的速率匀
速行驶, A 船沿x轴正向, B船沿y轴正向,今在船 A 上设置与静
, ay
dvy dt
dv 2dt, dv 36t 2dt
x
y
dv vx
0
x
t
0
2 dt
,
vy 0
dv y
0t36t 2dt
v 2t ,v 12t3 v 2ti 12t3 j
x
y
v dx ,v dy dx 2tdt, dy 12t 3dt
x dt y dt
x
0
dx
t
0
2tdt
,
y
质点位于
t
2
时，
x
A cos
1
2
0,
y A sin A
2
2
2
质点位于图中的Q点,
显然质点在椭圆形轨道上沿反时针方向运动。 而在M点，切向加速度的方向与速度的方向相反。 所以，质点在通过M点速率减小。
4. 如图，有一小球从高为H处自由下落，在途中h处碰到一个45o的 光滑斜面与其作完全弹性碰撞(且碰后速度大小不变，方向变为水 平向右)。试计算斜面高 H’为多少时能使小球弹得最远？
（2）A12dAr221A
（椭圆）
sinωt i A
cosωt
M
j
o
o
x
a
ddt
1
2A
cosωt
2
i 2A
sinωt
j
2r
dt
1
2
上式表明：加速度恒指向椭圆中心。
质点在通过图中M点时，其速率是增大还是减小？
x
y
A 1
A 2
cost sin t
y
at Q
ຫໍສະໝຸດ Baidu
M
Ｖ an a o
o
P
x
（3）当t=0时，x=A1，y=0，质点位于图中P点