三角形全等的判定HL导学案

12.2 三角形全等的判定HL导学案

，或，这两个直角三角形也就全等了。
4．“HL”定理的应用：
四、问题解决：(10)
教学反思：
土城子中学____八_年级____数学__（学科）导学方案
课题
12.2三角形全等的判定HL
课型
问题解决课
总课时数
15
授课日期
9.16
第3周第5课时
主备教师
张晓梅
课前准备
导学单教材
学习目标
1知识与技能：会用“HL”定理证明两个三角形全等，能灵活运用全等三角形的证明方法解决线段或角相等的问题。2过程与方法：通过画，观察等过，探索，归纳证明直角三角形全等的条件，并在具体应用中感悟。3情感，态度价值观：通过实践比较，在探索中体验发现数学规律的乐趣。
重点
知道“HL”定理
学习方法
自主，合作
探究，展示
难点
用“HL”定理证明三角形全等．
关键
掌握方法
导学过程设计
一．问题回顾：（2分钟）
1．简写全等三角形的判定方法：
。
2、组内口述全等三角形的判定方法内容。
二、问题情景：(3分钟)
1、导入新课、呈现目标。
2.、预习交流。
三、问题探究：(20分钟)
（一）走进文本，阅读教材41页----------42页教材内容。
（二）问题探究
1、已知Rt△ABC，画Rt△AˊBˊCˊ,使BˊCˊ=BC，
AˊBˊ= AB,
方法步骤：（1）画∠M CˊN=90°
（2）在射线上取BˊCˊ=。
（3）以为圆心，为半径画弧，交射线
CˊN于点。
（4）连接。
2、由1可以得到判定两个三角形全等的方法是：
。
（可以简写为“”或“”）

12.2.4三角形全等的判定(HL)--新人教版初中数学导学案八年级上册《全等三角形》【一流精品】

12、2三角形全等的判定(HL)【学习目标】理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等.【学习重点】运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题.【学习难点】熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

【课前预习案】1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是2题图 3题图3、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据【课中探究案】活动、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。

已知：Rt△ABC求作：Rt△'''A B C，使'C=90°，''A B =AB, ''B C=BC作法：(2) 把△'''A B C与△ABC是否能够完全重合？A B C剪下来放到△ABC上，观察△'''(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）AD C(4)用数学语言表述上面的判定方法在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △(5)直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”例1、如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD. 求证：BC=AD.例2、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，求证：AB ∥CD例3.公路上A 、B 两站（视为直线上的两点）相距26km ，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=16km ，BC=10km ，现要在公路AB 上建一个土特产收购站E ，使CD 两村庄到E 站的距离相等，那么E 站应建在距A 站多远才合理？BA 11C1BDCBA 【课末达标案】1．判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（4）两边对应相等的两个直角三角形全等..（）（5）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等.（）图 12．如图1，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）, 3．判断两个直角三角形全等的条件不正确的是（）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一条直角边对应相等D. 两个锐角对应相等4. 已知如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.【课后拓展案】基础达标：1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？2、如图，AB=CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ， CE=BF.求证AE=DF.应用提高：.ABCD EF3如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.4. 如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.思维拓展：5．如图，在△ABC 中，∠ACB= 90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.ANABDCE F。

八年级数学上册三角形全等的判定HL导学案新人教

三角形全等的判定自主学、合作学、展示学、点拨学、反馈（检测）学自主学、合作学、展示学、点拨学、反馈（检测）学主备人辅备人授课人使用时间 (1) 把△'''ABC 剪下来放到△ABC 上，观察△'''ABC 与△ABC 是否能够完全重合？ (2)归纳：由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：的两个三角形全等，简写为或 (3)用数学语言表述上面的判定方法：在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中, ∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △ （4）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、还有直角三角形特殊的判定方法 “ ” 三、展示交流：例1．如图，OA PC ⊥于C ，OB PD ⊥于D ，且PD PC =，求证：DPO CPO ∠=∠．变式训练：如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由分课时总课时姓名小组组号课题：12.2三角形全等的判定（HL ）课型：新授课学习目标： 1.理解直角三角形全等的判定方法“斜边直角边（HL ）”定理； 2.能灵活选择方法判定三角形全等 . 重点难点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题一、课前检测： (1) 判定两个三角形全等的定理有：、、、 . (2) 如图，A B ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ， ①若∠A=∠D ，AB=DE ，则△AB C 与△DEF （填“全等”或“不全等” ），根据（简写） ②若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ），根据（简写） ③若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（简写） ④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ，△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（简写）二、合作探究：【探究】斜边与直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？已知：Rt △ABC 求作：Rt △'''ABC ，使'C ∠=90°，''A B =AB, ''B C =BC （结合教材42页探究5的提示，尝试尺规作图）备注（教师个性备课；学生方法总结，易混点、易错点整理）A B C A 1 B 1 C 1八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在ABC ∆中，32B =︒∠，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（）A ．32︒B ．45︒C ．60︒D ．64︒【答案】D【分析】由翻折得∠B=∠D ，利用外角的性质得到∠3及∠1，再将∠B 的度数代入计算，即可得到答案.【详解】如图，由翻折得∠B=∠D ，∵∠3=∠2+∠D ，∠1=∠B+∠3，∴∠1=∠2+2∠B ，∵32B =︒∠，∴12∠-∠=64︒，故选：D.【点睛】此题考查三角形的外角性质，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，熟记并熟练运用是解题的关键.2．下列代数式中，属于分式的是（）A ．-3B ．a b --C ．1xD ．34a b -【答案】C【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解： -3；a b --；34a b -是整式；1x 符合分式的概念，是分式故选：C【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．3．分式2mnm n +中的m 、n 的值同时扩大到原来的5倍，则此分式的值（）A ．不变B ．是原来的15C ．是原来的5倍D ．是原来的10倍【答案】C【分析】分式2mnm n +的分子扩大到原来的25倍, 而分m+n 母扩大到原来的5倍, 利用分式的基本性质, 此分式的值扩大到原来的5倍.【详解】解：分式2mnm n +中的m 、n 的值同时扩大到原来的5倍，则分子扩大到原来的25倍, 而分m+n 母扩大到原来的5倍，利用分式的基本性质, 此分式的值扩大到原来的5倍.故选:C.【点睛】本题主要考查分式的基本性质.4．如图所示的两个三角形全等，则1∠的度数是( )A ．50︒B ．72︒C ．58︒D ．82︒【答案】A【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【详解】解：在△ABC 中，∠B=180-58°-72°=50°，∵两个三角形全等，∴∠1=∠B =50°．故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．5．一元二次方程2460x x --=,经过配方可变形为（）A ．2(2)10x -=B ．2(26)x -=C ．2(4)6x -=D ．2(2)2x -=【答案】A【解析】246x x --=x 2-4x+4-4-6=(x-2)2-10＝0,即（x-2）2=10;故选A ．6．已知 △ABC(如图1)，按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD 是平行四边形的依据是()A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】B【分析】根据尺规作图可知AC,BD 互相平分，即可判断.【详解】根据尺规作图可得直线垂直平分AC ，再可得到AC,BD 互相平分，故选B.【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知尺规作图的特点.7．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、是轴对称图形，故D符合题意．故选D.【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数据0.0000036用科学记数法表示正确的是（）A．3.6×10﹣5B．0.36×10﹣5C．3.6×10﹣6D．0.36×10﹣6【答案】C【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0000036的小数点向右移动6位得到3.6，所以0.0000036=3.6×10﹣6，故选C．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．对于不为零的实数a，b，现有一组式子：22ba，–324ba，0，438ba，–5416ba，0……，则第2019个式子是（）A．0 B．2021202020202baC．–2021202020202baD．–1347134613462ba【答案】A【分析】观察该组式子可以发现每三个一循环，且最后一个都为0，再根据2019是3的倍数可得结果.【详解】解：根据题意得：每三个式子中最后一个式子为0，而2019÷3=673，即第2019个式子是：0.故选A.【点睛】本题考查了代数式的规律，解答本题的关键仔细观察所给式子的特点，总结出规律，从而推出第n个式子．10．若分式211xx-+＝0，则x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2【答案】C【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．【详解】解：由题意得：x2﹣1＝1且x+1≠1，解得：x＝1，故选：C．【点睛】此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1．这两个条件缺一不可．二、填空题11．某鞋店有甲、乙两款鞋各30双，甲鞋每双200元，乙鞋每双50元，该店促销的方式为：买一双甲鞋，送一双乙鞋；只买乙鞋没有任何优惠．打烊后得知．此两款鞋共卖得2750元，还剩鞋共25双，设剩甲鞋x双，乙鞋y双，则依题意可列出方程组【答案】25{200(30)50[30(30)]2750 x yx x y+=-+---=．【解析】试题分析：设剩甲鞋x双，乙鞋y双，由题意得，25{200(30)50[30(30)]2750 x yx x y+=-+---=．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．12．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是6cm，8cm，则它的面积是__________2cm．【答案】48【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是8cm∴该直角三角形的斜边长为8×2=16cm∵直角三角形斜边上的高是6cm ∴该直角三角形的面积为：12×16×6=48cm 2故答案为：48【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和求三角形的面积，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的面积公式是解决此题的关键．13．若关于x 的分式方程133x mx x -=--无解，则m=_________．【答案】2【解析】因为关于x 的分式方程无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．【详解】两边同时乘以（x-3）去分母解得x=1+m ，∵方程无解，∴说明有增根x=3，所以1+m=3，解得m=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的增根产生的原因是解题的关键．14．分式23a b 与23cab 的最简公分母是____．【答案】223a b【分析】由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案．【详解】解：∵分式的分母2a b ，23ab 都是单项式， ∴分式23a b 与23cab 的最简公分母是223a b .故答案为：223a b .【点睛】本题考查的是最简公分母，熟知当各分母都是单项式时，即有最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里是解答此题的关键． 15．已知一次函数()12y k x =-+，若y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___．【答案】k ＜1．【分析】一次函数y=kx+b ，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．据此列不等式解答即可．【详解】解：∵一次函数y=（k-1）x+2中y 随x 的增大而减小，∴k-1＜0，解得k ＜1，故答案是：k ＜1．【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性．一次函数y=kx+b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．16．如图，已知点D ，F 分别在BAC ∠边AB 和AC 上，点E 在BAC ∠的内部，DF 平分ADE ∠．若70BAC BDE ∠=∠=︒，则AFD ∠的度数为______．【答案】1【解析】根据70BAC BDE ∠=∠=︒得到AC ∥DE ，110ADE ∠=︒，再根据DF 平分ADE ∠得到55FDE ∠=︒,根据平行的性质即可求出AFD ∠的度数．【详解】∵70BAC BDE ∠=∠=︒∴AC ∥DE ，18070110ADE ︒-︒=∠=︒，∵DF 平分ADE ∠∴55FDE ∠=︒又AC ∥DE∴AFD ∠=55FDE ∠=︒故答案为：1．【点睛】此题主要考查角度求解，解题的关键是熟知平行线的性质与判定．17．一次函数()25y m x =++，若y 随x 的增大而减小，则点()1,3A m m --在第______象限．【答案】二【分析】根据y 随x 增大而减小可得m 的范围，代入点A 坐标，得到点A 的横、纵坐标的范围，从而可以判断点A 所在象限.【详解】解：∵()25y m x =++中y 随x 增大而减小，∴m+2＜0，解得：m ＜-2，∴m-1＜-3，3-m ＞5，∴点()1,3A m m --在第二象限.故答案为：二.【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是根据y 随x 的增大的变化情况得出m 的取值范围.三、解答题18．如图，△ABC 中，AD 是角平分线，点G 在CA 的延长线上，GE 交AB 于F ，交BC 于点E ，并且∠G=∠AFG ．求证：AD ∥EF ．【答案】见解析．【分析】根据角平分线的性质求得∠BAD=∠CAD ，根据题意可得∠CAD=∠G ，即可得到结果；【详解】∵ AD 是角平分线，∴ ∠BAD=∠CAD ，又∵∠BAC=∠G+∠AFG ，而∠G=∠BFG ，∴ ∠CAD=∠G ，∴ AD∥EF（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，结合角平分线的性质证明是解题的关键．19．王阿姨到超市购买大米,元旦前按原价购买,用了105元,元旦后,这种大米8折出售,她用168元又买了一些,两次一共购买了45kg,这种大米的原价是多少? 【答案】7元/千克【分析】设这种大米原价是每千克x元，根据题意列出分式方程，解出并检验即可.【详解】解：设这种大米原价是每千克x元，根据题意得：105168450.8x x+=，解得x=7 经检验x=7是原分式方程的解，答：这种大米的原价是7元/千克.【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 20．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．(1)建立适当的平面直角坐标系后，若点A(1，3)、C(2，1)，则点B的坐标为______；(2)△ABC的面积为______；(3)判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】(1)(-2，-1)；(2)5；(3)△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．【解析】(1)首先根据A和C的坐标确定坐标轴的位置，然后确定B的坐标；(2)利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解；(3)利用勾股定理的逆定理即可作出判断．【详解】解：(1)则B的坐标是(-2，-1)．故答案是(-2，-1)；(2)S△ABC=4×4-12×4×2-12×3×4-12×1×2=5，故答案是：5；(3)∵AC2=22+12=5，BC2=22+42=20，AB2=42+32=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．【点睛】本题考查了平面直角坐标系确定点的位置以及勾股定理的逆定理，正确确定坐标轴的位置是关键．21．解答下列各题（1）如图1，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．①作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②如果P点的纵坐标为3，且P点到直线AA₁的距离为5，请直接写出点P的坐标．（2）我国是世界上严重缺水的国家之一为了倡导“节约用水，从我做起”，小丽同学在她家所在小区的200住户中，随机调查了10个家庭在2019年的月均用水量（单位：t），并将调查结果绘成了如下的条形统计图2①求这10个样本数据的平均数；②以上面的样本平均数为依据，自来水公司按2019年该小区户月均用水量下达了2020年的用水计划（超计划要执行阶梯式标准收费）请计算该小区2020年的计划用水量．【答案】（1）①详见解析；②点P的坐标为（﹣4，3）或（6，3）；（2）①6.8t；②该小区2020年的计划用水量应为16320t．【分析】（1）①由轴对称的性质先确定点A1，B1，C1的坐标，再描点，连线即可；②由P点到直线AA₁的距离为5，可知点P的横坐标为﹣4或6，由其纵坐标为3，即可写出点P坐标；（2）①根据加权平均数的计算方法求解即可；②可将①中所求10个样本数据的平均数乘以12个月，再乘以200户即可．【详解】解：（1）①如图1，△A1B1C1即为所求；②如图1，点P的坐标为（﹣4，3）或（6，3）；（2）①（6×2+6.5×4+7×1+7.5×2+8×1）÷10＝6.8t ，∴这10个样本数据的平均数为6.8t ；②6.8×12×200＝16320t ，∴该小区2020年的计划用水量应为16320t ．【点睛】本题考查了轴对称的性质，加权平均数的计算，样本估计总体等，解题关键是会认条形统计图以及在计算小区全年计划用水量时注意要乘以12个月．22．已知关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k k 0-+++=（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程的两个实数根，第三边BC 的长为1．当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值【答案】（5）详见解析（4）k 4=或k 5=【分析】（5）先计算出△=5，然后根据判别式的意义即可得到结论；（4）先利用公式法求出方程的解为x 5=k ，x 4=k+5，然后分类讨论：AB=k ，AC=k+5，当AB=BC 或AC=BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（5）证明：∵△=（4k+5）4-4（k 4+k ）=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（4）解：一元二次方程x 4-（4k+5）x+k 4+k=0的解为x=212k +，即x 5=k ，x 4=k+5， ∵k＜k+5，∴AB≠AC．当AB=k ，AC=k+5，且AB=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k=5；当AB=k ，AC=k+5，且AC=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k+5=5，解得k=4，所以k 的值为5或4．【点睛】5．根的判别式；4．解一元二次方程-因式分解法；5．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．23．我国边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶，边防部迅速派出快艇B 追赶(如图1) ．图2中12,l l 分别表示两船相对于海岸的距离S (海里)与追赶时间t (分)之间的关系．根据图象问答问题：（1）①直线1l 与直线2l 中表示B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系；②A 与B 比较速度快；③如果一直追下去，那么B ________ (填 “能”或“不能")追上A ；④可疑船只A 速度是海里/分，快艇B 的速度是海里/分；（2）1l 与2l 对应的两个一次函数表达式111s k t b =+与222s k t b =+中12,k k 的实际意义各是什么？并直接写出两个具体表达式．（3）15分钟内B 能否追上A ？为什么？（4）当A 逃离海岸12海里的公海时，B 将无法对其进行检查，照此速度，B 能否在A 逃入公海前将其拦截？为什么？【答案】（1）①1l ;②B ;③能;④0.2,0.5.（2）两直线函数表达式中的12,k k 表示的是两船的速度. A 船:20.25s t =+,B 船:10.5s t =.（3）15分钟内B 不能追上A .（4）B 能在A 逃入公海前将其拦截.【分析】（1）①根据图象的意义, 1l 是从海岸出发, 表示B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系;②观察两直线的斜率, B 船速度更快; ③B 船可以追上A 船; ④根据图象求出两直线斜率,即为两船的速度.（2）两直线函数表达式中的12,k k 表示的是两船的速度.（3）求出两直线的函数表达式,令时间15t =,代入两表达式,若12s s >,则表示能追上,否则表示不能追上.（4）联立两函数表达式,解出B 船追上A 船时的时间与位置,与12海里比较,若该位置小于12海里,则表示B 能在A 逃入公海前将其拦截.【详解】解: （1）①直线1l 与直线2l 中, 1l 表示B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系；②A 与B 比较, B 速度快；③B 船速度更快,可以追上A 船;④B 船速度15100.5v =÷=海里/分;A 船速度()275100.2v =-÷=海里/分.（2）由图象可得10b =,将点()10,5代入11s k t =,可得1510k =,解得10.5k =,表示B 船的速度为每分钟0.5海里,所以1l :10.5s t =.将点()0,5,()10,7代入222s k t b =+,可得2225710b k b =⎧⎨=+⎩,解得220.25k b =⎧⎨=⎩,所以2l :20.25s t =+,20.2k =表示A 船速度为每分钟0.2海里.（3）当15t =时,10.5157.5s =⨯=,20.21558s =⨯+=,12s s <,所以15分钟内B 不能追上A .（4）联立两表达式,120.50.25s ts t =⎧⎨=+⎩, 解得503t =, 此时1225123s s ==<,所以B 能在A 逃入公海前将其拦截.【点睛】本题结合追及问题考查了一次函数的图象与性质,一次函数的应用等,熟练掌握函数的图象与性质,理解图象所代表的的实际意义是解答关键.24．已知一次函数()0y kx b k =+≠的图像交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点B ，且AOB ∆的面积为3，求此一次函数的解析式．【答案】332y x =-+或332y x =-【分析】已知A(2,0)，S △AOB =3，得出OB=3，B(0,3)或(0,-3)，当B(0,3)时，A(2,0)、B(0,3)利用待定系数法求出一次函数解析式，当B(0,-3)时，A(2,0)、B(0,-3)利用待定系数法即可求出函数解析式．【详解】∵A(2,0)，S △AOB =3，∴OB=3，∴B(0,3)或(0,-3)①当B(0,3)时，把A(2,0)、B(0,3)代入y=kx+b 中得203k b b +=⎧⎨=⎩解得323k b⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴332y x =-+ ②当B(0,-3)时，把A(2,0)、B(0,-3)代入y=kx+b 中得203k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴332y x =- 故答案为：332y x =-+或332y x =- 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，已知直线上两点坐标即可利用待定系数法求出一次函数解析式．25．问题情景：如图1，在同一平面内，点B 和点C 分别位于一块直角三角板PMN 的两条直角边PM ，PN 上，点A 与点P 在直线BC 的同侧，若点P 在ABC ∆内部，试问ABP ∠，ACP ∠与A ∠的大小是否满足某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若55A ∠=︒，则ABC ACB ∠+∠=_________度，PBC PCB ∠+∠=________度，ABP ACP ∠+∠=_________度；（2）类比探索：请猜想ABP ACP ∠+∠与A ∠的关系，并说明理由；（3）类比延伸：改变点A 的位置，使点P 在ABC ∆外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出ABP ∠，ACP ∠与A ∠满足的数量关系式．【答案】（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A ，证明见解析；（3）结论不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A ，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A ．【分析】（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB ，∠PBC+∠PCB ，然后即可得出∠ABP+∠ACP ；（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A ；（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.【详解】（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB ）=125°-90°=35度；（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A ；证明：在△ABC 中，∠ABC+∠ACB ＝180°-∠A ，∵∠ABC=∠ABP+∠PBC ，∠ACB=∠ACP+∠PCB ，∴（∠ABP+∠PBC ）+（∠ACP+∠PCB ）=180°-∠A ，∴（∠ABP+∠ACP ）+（∠PBC+∠PCB ）=180°-∠A ，又∵在Rt △PBC 中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴（∠ABP+∠ACP ）+90°=180°-∠A ，∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A ．（3）判断：（2）中的结论不成立．证明：在△ABC 中，∠ABC+∠ACB ＝180°-∠A ，∵∠ABC=∠PBC-∠ABP ，∠ACB=∠PCB-∠ACP ，∴（∠PBC+∠PCB ）-（∠ABP+∠ACP ）=180°-∠A ，又∵在Rt △PBC 中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．【点睛】此题主要考查利用三角形内角和定理进行等角转换，熟练掌握，即可解题.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．在平面直角坐标系中，已知点A （2，m ）和点B （n ，－3）关于y 轴对称，则m n +的值是（）A ．－1B ．1C ．5D ．－5【答案】D【分析】利用“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出m 、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵A （2，m ）和B （n ，-3）关于y 轴对称，∴m=-3，n=-2，∴m+n=-3-2=-1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2．芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约有1．11111211千克，用科学记数法表示为（）A ．2.11×11-6千克B ．1.211×11-5千克C ．21.1×11-7千克D ．2.11×11-7千克【答案】A【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×11-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定．【详解】1.11111211=62.0110-⨯故选A ．3．小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s （单位：m ）与时间r （单位：min ）之间函数关系的大致图象是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可．【详解】小刚从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增长，故选B．【点睛】本题考查了函数的图象，认真分析，理解题意，确定出函数图象是解题的关键.4．下列各数中是无理数的是( )A．3 B．316C．38D．22 7【答案】B【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】A、3是整数，是有理数，故选项错误；B、316是无理数，选项正确．C、38=2是整数，是有理数，选项错误；D、227是分数，是有理数，故选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．5．如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（）A．10°B．20°C．30°D．50°【答案】B【解析】试题解析：如图：∵直线AB∥CD，∠AHG=50°，∴∠AKG=∠XKG=50°．∵∠CKG是△KMG的外角，∴∠KMG=∠CKG-∠G=50°-30°=20°．∵∠KMG与∠FMD是对顶角，∴∠FMD=∠KMG=20°．故选B．考点：平行线的性质．6．下列运算正确的是（）A．（2x5）2=2x10B．（﹣3）﹣2=19C．（a+1）2=a2+1D．a2•a3=a6【答案】B【解析】根据乘方的运算法则与完全平方公式进行计算即可. 【详解】A.（2x5）2=4x10，故本选项错误；B.（﹣3）﹣2=19，正确；C.（a+1）2=a2+2a+1，故本选项错误；D. a2•a3=a5，故本选项错误.故选：B.【点睛】本题考查乘方的运算，完全平方公式.熟练掌握其知识点是解此题的关键.7．学校为了了解八年级学生参加课外活动兴趣小组的情况,随机抽查了40名学生(每人只能参加一个兴趣小组),将调查结果列出如下统计表,则八年级学生参加书法兴趣小组的频率是( ) 组别书法绘画舞蹈其它人数8 12 11 9A ．0.1B ．0.15C ．0.2D ．0.3 【答案】C 【分析】根据频率=频数÷数据总和即可得出答案．【详解】解：40人中参加书法兴趣小组的频数是8，频率是8÷40=0.2，可以用此频率去估计八年级学生参加舒服兴趣小组的频率.故选：C ．【点睛】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和，频率=频数÷数据总和．8．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，有下列结论:①CD=ED ；②AC+ BE= AB ；③DA 平分∠CDE ；④∠BDE =∠BAC ；⑤ACD :S ABD S ∆∆=AB:AC ，其中结论正确的个数有()A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】A 【分析】由在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ．可得CD ＝DE ，继而可得∠ADC ＝∠ADE ，又由角平分线的性质，证得AE ＝AD ，由等角的余角相等，可证得∠BDE ＝∠BAC ，由三角形的面积公式，可证得S △ABD ：S △ACD ＝AB ：AC ．【详解】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，∴CD ＝ED ，故①正确；∴∠CDE ＝90°−∠BAD ，∠ADC ＝90°−∠CAD ，∴∠ADE ＝∠ADC ，即AD 平分∠CDE ，故④正确；∴AB＝AE＋BE＝AC＋BE，故②正确；∵∠BDE＋∠B＝90°，∠B＋∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，故③正确；∵S△ABD＝12AB•DE，S△ACD＝12AC•CD，∵CD＝ED，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，故⑤正确．综上所述，结论正确的是①②③④⑤共5个故答案为A．【点睛】本题考查了角平分线的性质．难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．9．某化肥厂计划每天生产化肥x吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，因此实际生产150吨化肥与原计划生产化肥120吨化肥的时间相等，则下列所列方程正确的是（）A．1201503=+x xB．1201503=-x xC．1201503=+x xD．1201503=-x x【答案】C【分析】表示出原计划和实际的生产时间，根据时间相等，可列出方程．【详解】解：设计划每天生产化肥x吨，列方程得120 x ＝1503x+．故选：C．【点睛】本题考查分式方程的应用，关键是掌握工程问题的数量关系：工作量=工作时间×工作效率，表示出工作时间．10．一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a+2，则a的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得到关于a 的一元一次方程，求解即可．【详解】解：根据题意可得：()2120a a -+-+=，解得1a =-，故选：B ．【点睛】本题考查了平方根的概念，正确理解一个正数的两个平方根的关系，求得a 的值是关键．二、填空题11．△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是____．【答案】1<m<1【详解】解：延长AD 至E ，使AD=DE ，连接CE ，则AE=2m ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD ，在△ADB 和△EDC 中，∵AD=DE ，∠ADB=∠EDC ，BD=CD ，∴△ADB ≌△EDC ，∴EC=AB=5，在△AEC 中，EC ﹣AC ＜AE ＜AC+EC ，即5﹣3＜2m ＜5+3，∴1＜m ＜1，故答案为1＜m ＜1．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．12．如图，△ABC 申，BC 的垂直平分线DP 与∠BAC 的角平分线相交于点D ，垂足为点P ，若∠BAC=82︒，则∠BDC=____.【答案】98【解析】首先过点D 作DF ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，易证得△DEB ≌△DFC （HL ），即可得∠BDC=∠EDF ，又由∠EAF+∠EDF=180°，即可求得答案；【详解】解：过点D 作DE ⊥AB ，交AB 延长线于点E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 是∠BOC 的平分线，∴DE=DF ，∵DP 是BC 的垂直平分线，∴BD=CD ，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，DB DCDE DF ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC ．∴∠BDE=∠CDF ，∴∠BDC=∠EDF ，∵∠DEB=∠DFC=90°，∴∠EAF+∠EDF=180゜，∵∠BAC=82°，∴∠BDC=∠EDF=98°，故答案为98°．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 13．分解因式：36xy x -=_______．【答案】3(2)x y -【分析】根据提公因式法即可解答．【详解】解：363(2)xy x x y -=-故答案为：3(2)x y -．【点睛】本题考查了分解因式，解题的关键是掌握提公因式法，准确提出公因式．14．已知点A 与B 关于x 轴对称，若点A 坐标为(﹣3，1)，则点B 的坐标为____．【答案】 (﹣3，﹣1)【分析】根据关于x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点A 与点B 关于x 轴对称，点A 的坐标为(﹣3，1)，则点B 的坐标是(﹣3，﹣1)．故答案为(﹣3，﹣1)．【点睛】本题考查关于x 轴对称的点的坐标，利用关于x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．15．用科学计数法表示1．111 1526＝_____________．【答案】55.2610-⨯【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×11-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定．【详解】解：1．111 1226=2.26×11-2；故答案为：2.26×11-2．【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×11-n ，其中1≤|a|＜11，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定． 16．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036。

28直角三角形全等的判定(HL)学案

《2.8直角三角形全等的判定（HL）》学案姓名班级组别【学习目标】1、掌握HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等2、探索并证明定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上一、【基础部分】1、写出已学的全等三角形的判定方法：_________________________________________2、我们知道当有两条边和一个角对应相等的两个三角形（SSA）是不能判定全等的，如果这个角是直角呢？这两个三角形全等吗？（证明过程详见P80）由此，针对直角三角形，我们还有如下判定定理：______________________________________________（可以简写成“__________”或“____”）几何语言表述为（如图标出的已知条件）：在Rt△ABC和_________中_____=__________=_____∴Rt△ABC≌_______(HL)3、针对练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点 F，且DE=DF.求证：AB=AC.二、【要点部分】回顾：角平分线的性质：______________________________________________请写出它的逆命题：__________________________________________________下面证明它是真命题，作为角平分线的又一个性质定理.（P81例题）图形：已知：求证：分析：要证明P在∠AOB的平分线上，可作射线OP，请完成这条辅助线我们只要证明OP是∠AOB的平分线即可，因此需要证明∠_____=∠_____.因此可先证△_______全等于△_______，而全等的依据是______.请写出完整的证明过程：三、【当堂检测】1、具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A’B’C’（其中∠C=∠C’=Rt∠）是否全等？如果全等，写出依据.（1）AC=A’C’，∠A=∠A’（2）AC=A’C’，BC=B’C’（3）∠A=∠A’，∠B=∠B’（4）AB=A’B’，∠B=∠B’（5）AC=A’C’，AB=A’B’2、如图，∠B=∠E=Rt∠，AB=AE，∠1=∠2. 求证∠3=∠4.3、已知：如图：AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC. 求证：△ABP≌△PDC.4、已知：如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2.求证AD平分∠BAC.5、已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF=AC，DF=DC.求证：BE⊥AC本节课你学会了什么。

三角形全等的判定(HL)导学案

四、谈谈你的收获把存在的疑惑写下来。五、课下作业：p16 页 8 题
编号 006 11.2 全等三角形判定（四）HL 检测题
姓名
1、判定两个三角形全等的方法：、、、
班级
、。、
2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（） A、两条直角边对应相等 B、斜边和一锐角对应相等 C、斜边和一条直角边对应相等 D、两个锐角对应相等 3、判断题：（1）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（（2）两边对应相等的两个直角三角形全等（）））
BC B 'C ' AB
∴Rt△ABC≌
C
B
C1
B1
3、教材 p14 页例 4 中要证明 BC=AD,要通过证明哪两个三角形全等？图中隐含什么条件？。三、牛刀小试。 1、教材 p14 页练习 1、2、题 5、如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为 E、F，（1）若 AC//DB，且 AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据（2）若 AC//DB，且 AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据（3）若 AE=BF，且 CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据（4）若 AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据（5）若 AC=BD，CE=DF（或 AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据 3、如图，B、E、F、C 在同一直线上，AF⊥BC 于 F，DE⊥BC 于 E， AB=DC， BE=CF，你认为 AB 平行于 CD 吗？说说你的 ' C ' 剪下来放到△ABC上，观察△ A ' B ' C ' 与△ABC是否能够完全重合？ (3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成 “ ”或“ ”） (4)用数学语言表述上面的判定方法 A1 A 在 Rt△ABC 和 Rt A ' B ' C ' 中, ∵

(导学案)全等三角形判定HL

• 斜边直角边公理：
对应相等的两个直角三角形全等．（可以简写为“斜边、直角边” ＨＬ）
（二）巩固练习： 1.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ ≌△ 根据 2.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等
12．2．4 三角形全等的判定（五）
---直角三角形全等的判定
学习目标:
1、掌握直角三角形全等的判定方法： “斜边、直角边”； 2、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、• 纳获得数学结论的过程；归 3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
总结: 至此，我们学习的三角形全等的判定方法：
导入新课: （一）探索练习：（动手操作）：已知线段 a ，c (a<c) ，作一个Rt△ABC，使 ∠C=90°，AB=c ，CB= a ⑴按步骤作图： ①作∠MCN=90°，②在射线 CM上截取线段CB=a，③以B 为圆心， C为半径画弧，交射线CN于点A， ④连结 AB得△ABC． (2) 把你画的△ABC剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？由此可得：判定直角三角形全等的一种方法：
• 例1. 如图，B、E、F、C在同一直线上， AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC， BE=CF，求证：AB∥CD。
练习：课本练习：1, 2
3.如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD. 求证：BC=AD
4.如图，有两个长度相同的滑梯，边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
学习过程: 复习： 1.你学过的判定两个三角形全等的方法有：、、、 . 2.如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E， ① 若AB=DE，添一条件，可得 △ABC≌△DEF，根据是。 ② 若∠A=∠D，添一条件，可得 △ABC≌△DEF，根据是。 ③ 若AB=DE， AC=DF，添一条件，可得△ABC≌△DEF，根据是。

八年级数学上册三角形全等的判定HL导学案新人教

三角形全等的判定自主学、合作学、展示学、点拨学、反馈（检测）学自主学、合作学、展示学、点拨学、反馈（检测）学主备人辅备人授课人使用时间 (1) 把△'''ABC剪下来放到△ABC 上，观察△'''ABC 与△ABC 是否能够完全重合？(2)归纳：由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：的两个三角形全等，简写为或 (3)用数学语言表述上面的判定方法：在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中, ∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △ （4）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”三、展示交流：例1．如图，OA PC ⊥于C ，OB PD ⊥于D ，且PD PC =，求证：DPO CPO ∠=∠．变式训练：如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由分课时总课时姓名小组组号课题：12.2三角形全等的判定（HL ）课型：新授课学习目标： 1.理解直角三角形全等的判定方法“斜边直角边（HL ）”定理； 2.能灵活选择方法判定三角形全等 . 重点难点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题一、课前检测： (1) 判定两个三角形全等的定理有：、、、 . (2) 如图，A B ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ， ①若∠A=∠D ，AB=DE ，则△AB C 与△DEF（填“全等”或“不全等” ），根据（简写） ②若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF（填“全等”或“不全等” ），根据（简写） ③若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（简写） ④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ，△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（简写）二、合作探究：【探究】斜边与直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？已知：Rt △ABC求作：Rt △'''ABC，使'C ∠=90°，''A B =AB, ''B C =BC （结合教材42页探究5的提示，尝试尺规作图）备注（教师个性备课；学生方法总结，易混点、易错点整理）A B C A 1B 1C 12019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=78°，∠ACB=38°，则∠D的度数是（）A．52°B．64°C．78°D．38°2．如图，广场中心菱形花坛ABCD的周长是32米，∠A＝60°，则A、C两点之间的距离为（）A．4米B．43米C．8米D．83米3．一个多边形为八边形，则它的内角和与外角和的总度数为（）A．1080°B．1260°C．1440°D．540°4．下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（）．A．2019yx=B．3y x=C．0.11y x=-+D．214y x+=5．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折6．对四边形ABCD加条件，使之成为平行四边形，下面的添加不正确的是（）A．AB=CD，AB∥CD B．AB∥CD，AD=BCC．AB=CD，AD=BC D．AC与BD相互平分7．若关于x 的分式方程12242m xx x-=---的根是正数，则实数m 的取值范围（）.A ．且0m ≠B ．10m <且2m ≠C ．6m >-且2m ≠D ．6m <且2m ≠8．如图，ABCDEF ，70ABE ︒∠=，144DCE ︒∠=，则BEC ∠的度数为（）A ．34B ．36C ．44D ．469．如图,点P 是□ABCD 边上一动点,沿A→D→C→B 的路径移动,设P 点经过的路径长为x ，△BAP 的面积是y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．10．下列计算正确的是（） A ． B ．5=5C ．D ．二、填空题11．约分：342a bc6a c＝_________． 12．如图，在▱ABCD 中，BD 为对角线，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，连接 EF ．若EF=3，则CD 的长为_____________．13．如图，菱形ABCD 中，点O 为对角线AC 的三等分点且AO ＝2OC ，连接OB ，OD ，OB ＝OC ＝OD ，已知AC ＝3，那么菱形的边长为_____．14．计算12＝_____，（﹣6）2＝_____，37﹣7＝_____． 15．若点()1,2P m m +-在x 轴上，则点P 的坐标为__________．16．我市某一周每天的最低气温统计如下（单位：℃）：﹣1，﹣4，6，0，﹣1，1，﹣1，则这组数据的众数为__________．17．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD =BC ，∠FPE =100°，则∠PFE 的度数是______．三、解答题18．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB<AC ，M 是 BC 边的中点，MN ⊥BC 交 AC 于点 N ，动点 P 在线段 BA 上以每秒3 cm 的速度由点 B 向点 A 运动．同时，动点 Q 在线段 AC 上由点 N 向点 C 运动，且始终保持 MQ ⊥MP ．一个点到终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为 t 秒(t>0)． (1)△PBM 与△QNM 相似吗？请说明理由； (2)若∠ABC ＝60°，AB ＝4 3cm ．①求动点 Q 的运动速度；②设△APQ 的面积为 s(cm2)，求 S 与 t 的函数关系式．（不必写出 t 的取值范围） (3)探求 BP²、PQ²、CQ²三者之间的数量关系，请说明理由．19．（6分）随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对人民路某雷达测速区检测到的一组汽车的时速数据进行整理（速度在30﹣40含起点值30，不含终点值40），得到其频数及频率如表：数据段频数频率30﹣40 10 0.05 40﹣50 36 c 50﹣60 a 0.39 60﹣70 b d 70﹣80 20 0.10 总计2001（1）表中a 、b 、c 、d 分别为：a ＝； b ＝； c ＝； d ＝（2）补全频数分布直方图；（3）如果汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？20．（6分）如图，已知等腰三角形ABC 的底边BC 长为10，点D 是AC 上的一点，其中8,6BD CD ==．（1）求证：BD AC ⊥；（2）求AB 的长．21．（6分）某地重视生态建设，大力发展旅游业，各地旅游团纷沓而至，某旅游团上午6时从旅游馆出发，乘汽车到距离180km 的旅游景点观光，该汽车离旅游馆的距离()S km 与时间t(h)的关系可以用如图的折线表示.根据图象提供的有关信息，解答下列问题：（1）求该团旅游景点时的平均速度是多少？（2）该团在旅游景点观光了多少小时？（3）求该团返回到宾馆的时刻是几时？22．（8分）分解因式（1）214x x -+-（2）4(5)(5)a a x ---23．（8分）某中学开展“一起阅读，共同成长”课外读书周活动，活动后期随机调查了八年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：（1)本次调查的学生总数为______人，在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形圆心角度数是______；（2）请你补全条形统计图；（3）若全校八年级共有学生900人，估计八年级一周课外阅读时间至少为5小时的学生有多少人？24．（10分）如图，在边长12的正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在边AD 上，且AF=3DF ，连接BE ，BF ，EF ，请判断△BEF 的形状，并说明理由．25．（10分）随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高，外出旅游已成为时尚．某社区为了了解家庭旅游消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调査，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：组别家庭年旅游消费金额x(元) 户数A x≤400027B 4000< x≤8000 aC 8000< x≤1200024D 12000< x≤1600014E x>16000 6（1）本次被调査的家庭有户，表中a= ；（2）本次调查数据的中位数出现在组．扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角是度；（3）若这个社区有2700户家庭，请你估计家庭年旅游消费8000元以上的家庭有多少户？参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．B【解析】【分析】根据三角形内角和定理求得∠B的度数，再根据平行四边形的性质即可求得答案.【详解】在△ABC中，∠BAC=78°，∠ACB=38°，∴∠B＝(180-78-38)o=64°,∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=64° .故选：B.【点睛】考查了平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等得出答案是解题的关键．2．D【解析】分析：由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，将问题转化为求OA；根据∠BAD=60°得到△ABD为等边三角形，即可求出OB的长，再利用勾股定理求出OA即可求解. 详解：设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=32÷4=8米.∵∠BAD=60°，AB=AD，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=8米，∴OD=OB=4米.在Rt△AOB中，根据勾股定理得：3，.故选D.点睛：本题主要考查的是勾股定理，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.3．C【解析】【分析】直接利用多边形的内角和与外角和定义分析得出答案．【详解】八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，八边形的外角和为：360°，故八边形的内角和与外角和的总度数为：1440°．故选C．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，正确把握相关定义是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据正比例函数的定义来判断：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．【详解】A、该函数不符合正比例函数的形式，故本选项错误．B、该函数是y关于x的正比例函数，故本选项正确．C、该函数是y关于x的一次函数，故本选项错误．D、该函数是y2关于x的函数，故本选项错误．故选B．【点睛】主要考查正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．5．B【解析】【详解】设可打x 折，则有1200×10x-800≥800×5%，解得x≥1．即最多打1折．故选B ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解． 6．B 【解析】分析：根据平行四边形的判定定理即可得到结论. 详解：∵AB=CD,AB∥CD, ∴四边形ABCD 是平行四边形,∵AB∥CD,AD=BC, ∴四边形ABCD 是平行四边形或梯形, ∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形, ∵AC 与BD 相互平分, ∴四边形ABCD 是平行四边形, 故选B.点睛：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键. 7．D 【解析】【分析】先通分再化简，根据条件求值即可. 【详解】解：已知关于x 的分式方程12242m xx x-=---的根是正数，去分母得m=2x-2-4x+8, 解得x=6-2m,由于根为正数，则m<6,使分式有意义，m ≠2，答案选D.【点睛】本题考查分式化简，较为简单.8．A【解析】【分析】由//AB EF ，易求BEF ∠，再根据//CD EF ，易求CEF ∠，于是根据BEC BEF CEF ∠=∠-∠进行计算即可.【详解】//AB EF ，70ABE ∠=︒，∴70BEF ABE ∠=∠=︒，又//CD EF ，144DCE ∠=︒，180DCE CEF ∠+∠=︒，∴36CEF ∠=︒，∴703634BEC BEF CEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒.故选：A .【点睛】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.9．A【解析】点P 沿A→D 运动，△BAP 的面积逐渐变大；点P 沿D→C 移动，△BAP 的面积不变；点P 沿C→B 的路径移动，△BAP 的面积逐渐减小．故选A ．10．D【解析】【分析】按二次根式的运算法则分别计算即可.【详解】解：已是最简，故A 错误；5，故B 错误；，故C 错误；，故D 正确；故选择D.【点睛】本题考查了二次根式的运算.二、填空题11．3ba .【解析】【分析】由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．【详解】解：原式=3ba ，故答案为：3ba ．【点睛】本题考查约分，正确找出公因式是解题的关键．12．1．【解析】试题分析：在□ABCD 中，BD 为对角线，E 、F 分别是AD ，BD 的中点，所以EF 是△DAB 的中位线，因为EF ＝3，所以AB=1，所以DC=1.考点：中位线和平行四边形的性质点评：该题较为简单，主要考查学生对三角形中位线的性质和平行四边形性质的掌握程度．133【解析】【分析】如图，连接BD 交AC 于E ，由四边形ABCD 是菱形，推出AC ⊥BD ，AE=EC ，在Rt △EOD 中，利用勾股定理求出DE ，在Rt △ADE 中利用勾股定理求出AD 即可．【详解】如图，连接BD 交AC 于E ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AE ＝EC ，∵OA ＝2OC ，AC ＝3，∴CO ＝DO ＝2EO ＝1，AE ＝32，∴EO ＝12，DE ＝EB 2222131()22OD EO -=-=，∴AD 222233()()322AE DE +=+= 3【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理解决问题.14．23 6 7．【解析】【分析】根据二次根式的性质化简 126）2，利用二次根式的加减法计算77.【详解】 12＝3，6）2＝6，77＝7故答案为37．【点睛】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．15．()3,0【解析】【分析】根据x 轴上点的纵坐标等于1，可得m 值，根据有理数的加法，可得点P 的坐标．【详解】解：因为点P （m+1，m-2）在x 轴上，所以m-2=1，解得m=2，当m=2时，点P 的坐标为（3，1），故答案为（3，1）．【点睛】本题主要考查了点的坐标．坐标轴上点的坐标的特点：x 轴上点的纵坐标为1，y 轴上的横坐标为1．16．-1【解析】【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据．【详解】观察﹣1，﹣4，6，0，﹣1，1，﹣1其中﹣1出现的次数最多，故答案为：1- ．【点睛】本题考查了众数的概念，解题的关键在于对众数的理解．17．40°。

直角三角形全等的判定导学案

2.7 直角三角形全等的判定1、全等三角形的对应边---------------------，对应角--------------------；2、判定三角形全等的方法有：------------------------------------------；3、“斜边、直角边”定理的内容是：-----------------------------------------------------------，作用是-----------------------；4、下列判断对吗?并说明理由:（1）、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; （2）、斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; （3）、两直角边对应相等的两个直角三角形全等; （4）、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.【反思小结】---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。

【类型之一】已知:如图,D是△A B C的B C边上的中点,D E⊥A C,D F⊥A B,垂足分别为E,F,且D E=D F.求证:△A B C是等腰三角形.【反思小结】DB AF E【类型之二】如图,已知∠ACB= ∠BDA=90,要使△ACB与△BAD全等,还需要什么条件?把它们分别写出来. 【类型之三】如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。

请说明理由。

【反思小结】你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？【学习笔记】【当堂测评】1、用三角尺作角平分线A B PODE【能力提升】【课堂小结】2、如图，在△A B C 中，A B =2A C ，A D 是∠B A C 的平分线，且A D =B D ，试说明C D ⊥A C的理由。

全等三角形的判定(HL)导学案5

《全等三角形》导学案使用说明：学生利用自习先预习课本探究7部分内容15分钟，然后30分钟独立做完学案。

正课由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理落实，对于有疑问的题目教师点拨、拓展。

课题:全等三角形的判定（HL）章节第11章节次第2节课时 5课型新授/预习编写审核学习目标1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

学习重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习过程一、复习思考(1)、判定两个三角形全等的方法：、、、(2)、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是(3)、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）二、课内探究：如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。

已知线段a ，c (a<c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c，CB= a .按步骤作图： a c①作∠MCN=∠α=90°.②在射线CM上截取线段CB=a .③以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A .α④连结AB.(2) 把△'''A B C剪下来放到△ABC上，观察△'''A B C与△ABC是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）(4)用数学语言表述上面的判定方法在Rt△ABC和Rt'''A B C∆中,∵''BC B CAB=⎧⎨=⎩∴Rt△ABC≌Rt△（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法“”、“”、“”、“”、还有直角三角形特殊的判定方法“”三、我的疑惑ABCA1B1C1四、学以致用1．如图1，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与 △ADC （填“全等”或“不全等” ）, 根据（用简写法）.2．判断两个直角三角形全等的条件不正确的是（） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等3．如图2，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由.五、检测反馈 1．判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（4）两边对应相等的两个直角三角形全等..（）（5）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等.（）2．如图3，已知：△ABC 中，DF=FE ，BD=CE ，AF ⊥BC 于F ，则此图中全等三角形共有（） A .5对 B . 4对 C . 3对 D .2对3．如图4，已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AD=BD ，BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：BF 是△ABC 中AC 边上的高.（提示：关键证明△ADC ≌△BDE ）4、如图1，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E 点，BF ⊥AC 于F 点，若AB=CD,AF=CE,BD 交AC 于M 点。

课题：全等三角形的判定(HL)导学案(2课时)

课题：三角形全等的判定（四）（ HL）导学案设计者 :八年级数学组自研课（课前完成）SAS1、旧知链接： SSS定理：定理：件ASA定理：AAS定理：2、新知自研：自研教材 P42 的“ HL”定理。

展示课（课时： 2时间： 90 分钟）学习主题： 1. 通过作图、观察比较等方法得出“HL”定理； 2. 会用“ HL”定理解决实际问题。

一、【定向导学·互动展示，45 分钟】前几天我们学习了三角形全等的四种判定方法，然而在实际生活中，常常存在着特殊情况，例如在我们三角形的世界中，直角三角形就别树一帜！【学法指导一】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，如果满足以下的条件三角形是否全等？并说明所用判定方法。

（1）两直角边相等时是否全等？（2）一个角和一条边对应相等是否全等 ?（3）一条直角边和斜边相等是否全等？【学法指导二】1、自研教材 P42的“探究 5”，完成下列操作：（1）画一个角等于 90°；（2）再在这个角的一边截取一条线段等于已知线段；（3）再取所画线段的另一端点为圆心，已知三角形的斜边为半径画弧；（4）连接相应端点。

2、把画好的两个图加以观察比较，你有什么发现？归纳“斜边、直角边”定理：。

总结：判定两个直角三角形全等的方法有。

3、自研教材P42 的“例 5”，思考：在证明 BC=AD ，先证明利用定理【同类演练】1. 如图，△ ABC中， AB=AC，AD是高，求证：（1）BD=CD；（ 2）∠ BAD=∠CAD。

AB CD二“堂堂清巩固达标训练题”（时间：45分钟）基础题训练（ 35 分钟）1. 如图， AB⊥AC 于 A，BD⊥CD于 D，AC交 BD于点 O，若 AC=DB，则下列结论不正确的是（）A. ∠A=∠DB. ∠ABC≌∠ DCBC.OB=ODD.OA=OD A DOB C2.在 Rt△ABC和 Rt△ DEF中，∠C=∠ F=90°，下列条件中能判定 Rt△ABC≌Rt△ DEF的个数有个(1)AC=DF ,∠A=∠ D；（2）AC=DF，AB=DE；（ 3） AC=DF， BC=EF ；（4）AB=DE,∠A=∠ D3. 已知，如图， AB⊥BD，CD⊥BD， AD=CB，求证：△ ABD≌△ CDB。

人教初中数学八上《三角形全等的判定HL》导学案

直角三角形全等的判定1.掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”).2.能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等.阅读教材P42“探究5及例5”，掌握判定直角三角形全等的特殊方法“HL”，学生独立完成下列问题：(1)判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是直角边，斜边.(2)直角三角形全等的判定方法有HL(用简写).自学反馈(1)如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF.则△ABC≌△DFE，全等的根据是HL.(2)判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由.①一个锐角和这个角的对边对应相等；(AAS)②一个锐角和这个角的邻边对应相等；(AAS或ASA)③一个锐角和斜边对应相等；(AAS)④两直角边对应相等；(SAS)⑤一条直角边和斜边对应相等.(HL)(3)下列说法正确的是(C)A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.斜边相等的两个直角三角形全等C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等D.一边长相等的两等腰直角三角形全等直角三角形除了一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”.活动1 小组讨论例1 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：(1)AB＝DC;(2)AD∥BC.证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在Rt△ABD与Rt△CDB中,∵AD=CB，BD=DB，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).∴AB=DC.(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB(已证)，∴∠ADB＝∠CBD.∴AD∥BC.善于发现隐藏条件“公共边”.例2 已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.证明：连结CD.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°.在Rt△ADC与Rt△BCD中,∵AC=BD，DC=CD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD.∴AD=BC.一般三角形全等的证明方法对于特殊的直角三角形同样适用，同时要善于发现隐藏条件“对顶角相等”. 活动2 跟踪训练(小组合作完成后交流)1.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝A B，ED＝AC.求证：ED⊥AC.证明：先证Rt△AED≌Rt△BAC(HL),∴∠E=∠CAB.∵∠E+∠EDA=90°,∴∠CAB+∠EDA=90°,∴∠DFA=90°.∴ED⊥AC.2.已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.证明：先证Rt△AED≌Rt△CFB，得AE=CF.∴AF=CE.再证Rt△ABF≌Rt△CDE，∴∠BAC=∠DCA.∴AB∥DC.3.已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？解：需添加AC=DB或∠1＝∠2或∠E=∠F均可，理由依次为SAS、AAS、ASA.具体方法要根据条件来选择，但要做到有依有据.活动3 课堂小结1.“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法.2.证明两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，以及用HL，注意SSA和AAA条件不能判定两个三角形全等.11.1.3 三角形的稳定性1.通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.2.稳定性与不稳定性在生产、生活中广泛应用.自学指导：阅读教材P6—7，回答下列问题.1.下列图形中具有稳定性的是(C)A.正方形B.长方形C.直角三角形D.平行四边形2.要使下列木架变稳定各至少需要多少根木棍？自学反馈1.下列图中具有稳定性的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个2.人站在晃动的公共汽车上,若你分开两腿站立,则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳,这是利用了三角形的稳定性.3.下列设备,没有利用三角形的稳定性的是(A)A.活动的四边形衣架B.起重机C.屋顶三角形钢架D.索道支架活动1 思考如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？(防止窗框变形)家里的门窗最怕变形.观察下面的图片，有什么共同点？(都具有三角形的形状.)活动2 讨论观察上面这些图片，你发现了什么？发现这些物体都用到了三角形.这说明三角形有它所独有的性质.到底是什么性质呢？下面我们通过实验来探讨三角形的特性.活动3 动手操作探究三角形的稳定性1.用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？(不会)2.用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？(会)3.在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？(不会)从上面实验过程你能得出什么结论？与同学交流.解：三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.第一个三角形不变形，第二个四边形变形，当在四边形的木架上再钉一根木条，然后扭动它，不变形.通过对比得出三角形具有稳定性的结论.还有什么发现？解：还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.原因是斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.现在你知道为什么窗框未安装好之前，要先在窗框上斜钉一根木条了吧.其实就是利用了三角形的稳定性.活动4 理解三角形的稳定性只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性.”这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.活动5 四边形的不稳定性的应用四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？活动6 跟踪训练1.下列图形中哪些具有稳定性？判断一个图形是否稳定，关键是看图形中是否都是三角形.2.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了(C)A.节省材料,节约成本B.保持对称C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮第2题图第3题图3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF和EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是(D)A.两点之间线段最短B.矩形的对称性C.矩形的四个角都是直角D.三角形的稳定性教学至此，敬请使用学案当堂训练部分。

三角形全等的判定导学案(HL) 人教版数学

三角形全等的判定导学案（HL）人教版数学
课题：«11.2三角形全等的判定»(HL)导学案
运用说明：先生应用自习先预习课本第13、14页10分钟，然后35分钟独立做完学案。

正课由小组讨论交流10分钟，25分钟展现点评，10分钟整理落实，关于有疑问的标题教员点拨、拓展。

【学习目的】
1、了解直角三角形全等的判定方法HL，并能灵敏选择方法判定三角形全等;
2.经过独立思索、小组协作、展现质疑，体会探求数学结论的进程，开展合情推理才干;
3. 极度热情、高度责任、自动自发、享用成功。

教学重点：运用直角三角形全等的条件处置一些实践效果。

教学难点：熟练运用直角三角形全等的条件处置一些实践效果。

【学习进程】
一、自主学习
1、温习思索
(1)、判定两个三角形全等的方法：、、、
(2)、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是
(3)、如图，ABBE于B，DEBE于E，
①假定D，AB=DE，
那么△ABC与△DEF (填全等或不全等 )
依据 (用简写法)
②假定D，BC=EF，
那么△ABC与△DEF (填全等或不全等 )
依据 (用简写法)
③假定AB=DE，BC=EF，
那么△ABC与△D EF (填全等或不全等 )依据 (用简写法) ④假定AB=DE，BC=EF，AC=DF
那么△ABC与△DEF (填全等或不全等 )依据 (用简写法) 2、假设两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗?
(1)入手试一试。

：Rt△ABC。

全等三角形的判定(HL)导学案

11.2全等三角形的判定（HL）一、展示教学目标1.掌握全等三角形的判定方法——HL2.能用HL的判定方法判断两个三角形是否全等3.培养学生的知识迁移能力二、阅读教材P13---P14，并完成以下预习提纲1.“斜边直角边”的内容是______________________________________2.思考：直角三角形有哪些判定方法？_______________________________3.下列说法中：（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等；（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；（3）判定两个三角形全等到，至少需要一对对应边相等（4）三个角对应相等的两个三角形全等；（4）三条边对应相等的两个三角形全等以上说法中，正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个4.已知△ABC中，AB=AC，AE=AF，A D⊥BC于D，且E、F在BC上，则图中共有（）对全等三角形A、1B、2C、3D、45.已知C在BD上，AC⊥BD，且AB=DF，AC=DC，则BC和CF相等吗？若相等请说出根据。

三、小组讨论并展示预习提纲四、教师点拨释疑1.“HL”的判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等2题图3题图4题图EB CD A12B D E C A A BC D A E F P C B 2.直角三角形的判定方法：SAS ASA AAS HL五、课堂测试1.下列条件能判断丙俱直角三角形全等的条件是（）A 、一个锐角对应相等B 、两个锐角对应相等C 、一条边对应相等D 、两条直角边对应相等2.已知AB=AD ，那么添加一个条件后，仍无法判定△AB C ≌△ADC 的是（）A 、CB=CDB 、∠BAC=∠DACC 、∠BCA=∠DCAD 、∠B =∠D=90°3.如图，AD=AE ，BE=CD ，∠1=∠2=110°，∠BAE=80°，则∠CAE=________4.已知：如图，在△ABC 中，CE 、BD 分别是AB 、AC 边上的高，且BD=CE ，则AB=________,∠ABC=________5.P 是∠BAC 内的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是点E 、F ，AE=AF ，求证：PE=PF六：课堂小结请写出你本节课所学到的知识_____________________________________七、作业：课时作业本P10—P11八、反思：。

12.2.4三角形全等的判定-HL(教案)

5.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论和互动，使学生学会倾听、表达和交流，共同探讨解决问题的方法。
本节课将围绕这些核心素养目标进行教学设计，旨在提高学生的综合素养，为学生的终身发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握HL（斜边和直角边）判定法的条件：两个直角三角形，当斜边和直角边分别相等时，这两个三角形全等。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了三角形全等的判定-HL这一章节。通过引导学生们从日常生活出发，思考三角形全等的应用，我发现他们对这个概念产生了浓厚的兴趣。在讲授过程中，我尽量用简洁明了的语言解释HL判定法的原理，并结合具体案例进行分析，让学生能够更好地理解这一判定法的实际运用。
在实践活动中，学生们分组讨论并操作实验，我注意到他们在交流与合作中，对HL判定法的理解得到了加深。但同时，我也发现有些学生在运用HL判定法时仍然存在一些困难，比如容易混淆斜边和直角边的概念，或者在复杂图形中难以找到符合条件的关键信息。
2.提高学生的逻辑推理能力，让学生在运用HL判定法证明直角三角形全等的过程中，学会分析问题、解决问题，形成严谨的逻辑思维。
3.增强学生的数学建模能力，通过解决实际例子，培养学生将现实问题转化为数学模型的能力，并运用数学知识解决这些问题。
4.培养学生的数学运算能力，让学生在运用HL判定法解题时，熟练掌握相关运算，提高解题效率。
举例：在非直角三角形的情况下，学生可能会错误地尝试使用HL判定法。
（4）熟练运用HL判定法进行证明和计算。学生在证明过程中，可能会出现逻辑不严谨、步骤不完整等问题。
举例：在证明过程中，学生需要明确表述判定条件，并按照严谨的逻辑顺序进行证明。
为帮助学生突破难点，教师可以采取以下教学方法：

用HL证明三角形全等

课题：《11.2三角形全等的判定》(HL)导学案编审:主备审核数学组学科数学年级八年级时间【学习目标】姓名：班级；第组 1、理解直角三角形全等的判定方法“HL ”，并能灵活选择方法判定三角形全等；2．独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；【学习过程】一、学（一）、自主学习：1、复习思考(1)、判定两个三角形全等的方法：、、、(2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是、，斜边是(3)、如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，①若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）②若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）③若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)自行预习：见书上13-14页探究8 ；动手画一画。

(2)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个特殊方法:斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“ ”或“ ”）(3)用数学语言表述上面的判定方法在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △ ( ) （5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”3、自行欣赏书上14页例题4（二）、合作学习： 1、书上14页练习1、2题、2、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？答：，说说你的理由A B C A 1 B 1C 1理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）∵BE=CF ，∴BF=CE在Rt △ 和Rt △ 中∵⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌ （）∴ = （）∴ （内错角相等，两直线平行）、二、展 1、组内展示： 2、全班展示：三、点 1、学生点评： 2、教师点拨：四、练1、当堂训练：（1）、书上16页练习7、8题2、当堂检测：（1）、如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，若AC//DB ，且AC=DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据若AC//DB ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。

12.2.4用“HL”判定三角形全等(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了HL判定法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对HL判定法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调HL判定法的原理和适用条件这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与HL判定法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示HL判定法的基本原理。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了HL判定法的教学，尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握这个几何判定全等的重要工具。我发现，通过引入日常生活中的实例，学生们能够更快地理解抽象的几何概念，并且对HL判定法的兴趣明显增加。然而，我也注意到，学生在实际应用这一判定法时，仍然存在一些困难。
在讲授过程中，我尽量用简洁明了的语言解释HL判定法的原理，并通过案例分析和实验操作来加深学生的理解。我观察到，大多数学生在听到原理介绍后，能够跟上思路，但在自己动手解题时，却容易忽视HL判定法只适用于直角三角形这一关键点。这说明我在教学中需要更多地强调这一点，确保学生能够清晰地区分不同判定法的适用范围。
2.抽象思维与问题解决能力：引导学生从具体的直角三角形全等案例中抽象出HL判定法的通用原理，培养学生从特殊到一般的抽象思维能力，并能运用该原理解决实际问题。
3.数学表达与交流能力：通过课堂讨论、例题解析和习题练习，鼓励学生用准确、规范的数学语言表达思考过程和解题步骤，提升数学表达和交流能力。

徐闻县和安中学数学教学导学案设计：11.2 三角形全等的判定(HL)

徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂我作主！第周星期第节本学期学案累计: 5 课时姓名：________课题：《11.2三角形全等的判定》（HL ）学习目标我的目标我实现1、理解直角三角形全等的判定方法“HL ”，并能灵活选择方法判定三角形全等；2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

突破：【重点】运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

【难点】熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

导学过程我的课堂我作主☆☆导学活动1☆☆自主学习我探索我快乐1、复习思考 (1)、判定两个三角形全等的方法：、、、(2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是、，斜边是(3)、如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，①若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）②若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）③若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。

已知：Rt △ABC求作：Rt △'''A B C ，使'C ∠=90°，''A B =AB, ''B C =BC作法：(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“ ”或“ ”）(4)用数学语言表述上面的判定方法在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt△A B C A 1 B 1C 1◆八年级数学导学案设计：林朝清设计时间 2013年9月3日D C B A（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、“ ”、 “ ”、 “ ”、还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”☆☆导学活动2☆☆合作探究我合作我成功1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？☆☆导学活动3☆☆学以致用我尝试我成功1、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A 、两条直角边对应相等B 、斜边和一锐角对应相等C 、斜边和一条直角边对应相等D 、两个锐角对应相等3、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由答：AB 平行于CD理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）∵BE=CF ，∴BF=CE 在Rt △ 和Rt △ 中∵⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌（）∴ = （）∴（内错角相等，两直线平行）徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂我作主！4、能力提升：（学有余力的同学完成）如图1，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E 点，BF ⊥AC 于F 点，若AB=CD,AF=CE,BD 交AC 于M 点。