求平面图形的面积常用四法

求平面图形的面积常用四法

1。直接公式法

当图形能够分割成几个直接可利用公式求面积的图形时，我们可直接用有关面积公式求解。

例1 已知弓形的弧的度数为240°，弧长是83π ，求弓形的面积．

解：如图1，根据弧长公式有

24081803O A ππ⋅= ．2O A ∴=

22402

83603OAmB S ππ⨯∴==

扇形 ， 122sin 602O A B S ∆=⨯⨯= ， 8

3A m B S π∴=+

弓形． 说明：（1）弓形面积的计算；（2）弓形面积可以看成是扇形面积和三角形面积的分解和组合，实际应用时，要注意公式的选择。

2．和、差法

对于求图形面积问题，计算时往往将所求图形的面积转化为规则图形的

面积和或差，这是求面积的常用方法．

例2 如图2，分别以边长为a 的三角形的顶点为圆心，a 为半径的三段圆

弧所围成的图形(即图中的阴影部分)的面积为_______．

分析：若将阴影面积看成三个弓形与一个三角形面积的和，计算比较麻烦．若

将其看成三个扇形与两个三角形面积的差，则计算简便．

解：222

13232642S S S a π∆=-=⋅-=阴影扇形 ．

3．等积转换法

一个图形的面积不易或难以求出时，可改求与其面积相等的图形面积．

例3 如图3，A 是半径为1的⊙O 外的一点，OA=2，AB 是⊙O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，则阴影部分的面积等于_______．

解：连结OB 、OC ．

∵BC ∥OA ，∴S △ABC =S △OBC ，∴S

阴影=S

扇形OBC ． ∵AB 是⊙O 的切线，∴∠BOA=90°，

∵OB=1，OA=2，∴∠OBC=∠BOA=60°， ∴∠BOC=1

(18060)602-= ，

∴扇形OBC 是圆的

1

6 ． ∴S

阴影=S 扇形OBC =2166R ππ= ．

4．割补法

将一个图形的一部分割下来，而移放到其他合适位置上，从而构成易求面积的图形，这

种求面积的方法叫做割补法．

例4 如图4，△ABC 是等腰直角三角形，D 为AB 的中点，AB=2，

扇形ADG 和BDH 分别是以AD 、BD 为半径的圆的1

4 ，求阴影部

分的面积．

分析：从表面上看图形异常繁杂，由于两扇形是同一圆的1

4 ，

若将其中一个扇形割下来，补在另一个扇形的旁边，构成半圆，如图

2，则阴影面积便容易求得．

解：将扇形BDH 绕点D 按顺时针方向旋转180°变成图5，