高中数学极坐标系教案

极坐标系

教学目标：

认识极坐标，能在极坐标中用极坐标刻画点的位置；

体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。

教学重点和难点：

重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。

教学基本流程：

建立问题情景，体会引进极坐标系的必要性

给出极坐标系的概念

极坐标系与直角坐标系的区别

极坐标系的历史

极坐标与直角坐标的互化公式

问题的提升，体会引进极坐标系的必要性

总结

一、建立问题情景，体会引进新坐标系的必要性。

开场白：大家有没有见过这种图片？！台风的卫星云

图。众所周知台风危害很大，所以我们非常关注台风中心

的位置。

气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风

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的路径图。根据路径图，及时播报台风中心的位置。从小到大我们听过很多次台风预报。今天也请大家来当一回主播，根据这张图你来描述一下台风中心位置。（学生参与描述）

看一下气象台是怎么播报的：“今年第8号台风“凤凰”，今天下午4时中心位置已经到达温州东南偏南方向大约800公里附近的洋面上，也就是在北纬22.3度，东经123.8度”（视频最好）。（评价学生的描述）

问：哪些条件刻画了台风中心的位置? 东经123.8度，北纬22.3度。温州东南偏南方向大约800公里的海面上。 经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置，在这张平面地图上，相交的两条经纬线，是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点。如

果把平面地图延伸开来，经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位

置？！你得到什么样的启发？

1637年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系,

用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。

平面直角坐标系我们研究得很透彻了，今天就不研究了。再来看天气预报，“也就是”，这三字说明两种定位方式都可以确定台风中心的位置

问：为什么台风预报时两个都会提及?（一个精确，一个通俗易懂形象）

我们就用大家熟悉的定位方式来刻画一下台风中心的位置。

（动手画一下）遇到困难补充方位角。用参照点、角度和距离刻画平面中的点的思想 就称为极坐标思想，这样建立起来坐标系就称为极坐标系（板书）

设计意图：引进学习极坐标系概念的需要，形成用角和距离刻画点的位置的直觉。

二、给出极坐标系的概念

给出概念：

在平面内取一个定点O,叫做极点;（板书）

自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴;（板书）

再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方

向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；

以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ；

有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ；

一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R （板书）

试一试：如图在平面地图上建立极坐标，试写出台风中心的极坐标

55(800,)(800,)(800,)(800,2)3333

k πππππ→-→→+（板书） 极点O 的极坐标？ (0,0)(0,)R θθ∈→（板书）

我们发现给出一个点对应的极坐标不唯一，反过来

思考:如果给出一个极坐标(2,π),那它对应的点是否唯一?唯一。

0,02ρθπ>≤<如果规定；

除极点外,平面内点可用唯一的极坐标(,ρθ)表示;同时,极坐标(,ρθ)表示的点也是唯一的。

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设计意图：引导学生通过类比尝试自己建立极坐标系，初步熟悉极坐标系的有关概念。

三、极坐标系与平面直角坐标系的区别 过渡：现在我们学习了两种坐标系，我们来比较一下它们有哪些区别？（学生） 平面直角坐标系 极坐标

定位方式 横坐标、纵坐标 角度和距离

点与坐标 点与坐标一一对应 点与极坐标不一一对应

外在形式 原点，x ，y 轴 极点，极轴

本质 两线相交定点

圆与射线相交定点

四、极坐标系的历史

过渡：平面直角坐标系是由笛卡儿创建的，问：又是谁第一个提出极坐标系？他为什么要提出极坐标系?

伯努利(瑞士)：1691年《教师学报》最先发表了上述有关极坐标系的理论；

牛 顿(英国)：完成于1671年，发表于1736年《流数法与无穷级数》---把极坐标看成是确

定平面上的点的位置的方法,并与其他9种坐标系的进行转换；

数学家们认为极坐标有着很大的作用，并实现了它与其他坐标系的转换，现在我们也学习了两种坐标系，那我们也来转换一下看看。

设计意图：通过数学史使学生进一步认识极坐标系的来源，并过渡至坐标系的转换。

五、极坐标与平面直角坐标的转换

过渡：为实现转换，要把两个坐标系放在同一个平面中，应当如何建立这两个坐标系呢？

原点与极点重合，极轴与x 轴的正半轴重合；取相同的单位长度。牛顿也是这样想的，具体来试一下；

试一试：试将刚才所描述的台风中心的极坐标5(800,)3

π化成直角坐标 55800cos ,800sin 33

x y ππ=⨯=⨯（板书） 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (,)x y ，极坐标是(,)ρθ那么两者之

间的关系？

cos ,sin x y ρθρθ==，222,tan (0)y x y x x

ρθ=+=≠（板书） 你能联想到过去所学的哪个知识？——————任意角的三角函数的定义

研究:如左图 ,假设当距离台风中心700公里时应当发布台风蓝色警报，问福州

4(200,)3

π是否已发布台风蓝色警报? 分析：本质是根据极坐标研究两点的距离。

解：根据图象：福州距离台风中心的距离为（板书）

228002002200800cos

3d π=+-⨯⨯⨯1006441610052700=⨯+-=>

所以还未发布橙色警报。