空间任意力系平衡
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空间力系的平衡
所示，重力G与三轮地面反力FNA、FNB、FNC构成空间平行力系。 （2） 选取坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。 （3） 列平衡方程求解。
∑Mx(Fi)=0 FNC·CH-G·ED=0 ∑My(Fi)=0 G·EF+FNB·HB-FNA·AH=0 ∑Fz=0 FNA+FNB+FNC-G=0
解得：ＦNA=0.95 kN, FNB=0.05 kN, FNC=0.5kN
力对轴之矩等于零的情形：① 当力与轴相交时（d=0）， ② 当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之 矩为零。
第3章 空间力系的平衡
z
z
＋
－
z －＋
图 3.6
第3章 空间力系的平衡 3.2.2 合力矩定理
设有一空间力系F１、F2、…、Fn，其合力为FR，则合力对 某轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和，表达式为
第3章 空间力系的平衡
C
D 45° B
45 ° FB
45 °
FC O
G
A
(a)
G2
0.8 m C G
1
0.6 m 0.6 m
0.2 m
A NA
NC B
2m
NB
(b)
160 200 160
FAz Fr2 A
Ft2 r2 r1
FB2 B
FAx
Fr1 F FBx
t1
(c)
图 3.1
第3章 空间力系的平衡
5 4 68.6N 34 5
F3y F3 cos cos 100
5 3 51.5N 34 5
F3z F3 sin 100
3 51.5N 34
第3章 空间力系的平衡 (2） 计算力对轴之矩。
∑Mx(Fi)=0 FNC·CH-G·ED=0 ∑My(Fi)=0 G·EF+FNB·HB-FNA·AH=0 ∑Fz=0 FNA+FNB+FNC-G=0
解得：ＦNA=0.95 kN, FNB=0.05 kN, FNC=0.5kN
力对轴之矩等于零的情形：① 当力与轴相交时（d=0）， ② 当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之 矩为零。
第3章 空间力系的平衡
z
z
＋
－
z －＋
图 3.6
第3章 空间力系的平衡 3.2.2 合力矩定理
设有一空间力系F１、F2、…、Fn，其合力为FR，则合力对 某轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和，表达式为
第3章 空间力系的平衡
C
D 45° B
45 ° FB
45 °
FC O
G
A
(a)
G2
0.8 m C G
1
0.6 m 0.6 m
0.2 m
A NA
NC B
2m
NB
(b)
160 200 160
FAz Fr2 A
Ft2 r2 r1
FB2 B
FAx
Fr1 F FBx
t1
(c)
图 3.1
第3章 空间力系的平衡
5 4 68.6N 34 5
F3y F3 cos cos 100
5 3 51.5N 34 5
F3z F3 sin 100
3 51.5N 34
第3章 空间力系的平衡 (2） 计算力对轴之矩。
第四章：力系的平衡条件与平衡方程
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
（未知量不能全部由平衡方程求解）
物体系的平衡·静定和超静定问题
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
∑ M B = 0 −8FAy + 5*8 +10*6 +10* 4 +10* 2 = 0
得 FAy = 20kN ∑ Fiy = 0 FAy + FBy − 40 = 0
得 FBy = 20kN
求各杆内力
取节点A
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
Fiy Fix
= =
0 0
→ →
FAD FAC
取节点C
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
解得 P3max=350kN
22mm 22mm
所以，平衡载重P3取值范围为：
75kN ≤ P3 ≤ 350kN
（2）P3=180kN时：
∑ M A = 0 4P3 − 2P2 −14P1 + 4FB = 0
解得 FB=870kN
∑ Fy = 0 FA + FB − P1 − P2 − P3 = 0
∑M =0
FA'
⋅r
sinθ
− M2
=
0
解得 M 2 = 8kN ⋅m
FB = FA = 8kN
例
已知：OA=R，AB=
l,
r F
,
不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡；
求: 力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，滑块给导 轨的侧压力.
第三章力系的平衡介绍
工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
空间力系的合成与平衡简介
M M
x y
(Fi (Fi
) )
0 0
M z (Fi ) 0
(3-31)
【例3-18】用图3-41a 所示的三铰架ABCD 和铰车E 起吊重G = 30 kN 的重物。三铰 架的无重杆在D 点用铰链连接，另一端铰接在地面上。各杆和绳索DE 与地面成 60o角， ABC 为一等边三角形，求平衡时各杆所受的力。
图3-38
于是可得结论：空间任意力系向一点简化，一般可得一个力和一力 偶。此力称为原力系的主矢，其值等于原力系中各力的矢量和，并作用 于简化中心；此力偶称为原力系的主矩矢，其值等于原力系中各力对简 化中心O点的矩的矢量和，如图3- 38c 所示。
图3-38
1.主矢 F 'R的计算 空间任意力系的主矢的大小和方向可用解析式求得
Fx Fy
0 0
Fz
0
(3-30)
图3-39
2. 空间平行力系的平衡方程
设图3-40所示的物体受一空间平行力系作用。令z 轴与力系各力作用线平行。则力系各力对z 轴之矩恒为 零；又因力系各力作用线平行于z 轴，必垂直于x 轴和y 轴，则各力对两坐标轴上的投影又恒为零，即
M z (Fi ) 0, Fx 0, Fy 0
Fz 0, ( FA + FB + FC FT ) cos 30o G 0 (d)
将式(a) 代入式(b)~ 式(d) ，解得
FA = FB 31.5 kN FC 1.55 kN
结算结果为负，假设力的方向与实际力的方向相反，三杆均受压力作用。
图3-41
【例3-19】图3-42所示的一三轮平板货车，其自重G=5 kN，载重货物重量 W=10 kN，各力作用点位置如图3-42 所示。求三轮平板货车处于静止时地面 对轮子的反力。
2、空间力系平衡、重心
解：取铰D 脱离体， 为 脱离体， 画受力图如 所示， 图b所示， 各力形成空 间汇交力系。 间汇交力系。
由ΣFx ＝0, cos60 sin60 60ºsin60º+ cos60 sin60 60ºsin60º= －NADcos60 sin60 + NBDcos60 sin60 =0 NAD=NAD 得 由ΣFy ＝0, Tcos60 +NCDcos60 －NADcos60 cos60 －NBDcos60 cos60 =0 cos60º+ cos60º－ cos60ºcos60 cos60º－ cos60ºcos60 cos60º=0 FG＋NCD－0.5NAD－0.5NBD=0 得 由ΣFz ＝0, NADsin60 +NCDsin60 +NBDsin60 ―T sin60 ―FG=0 sin60 60º+ sin60 60º+ sin60 60º― sin60 60º― 866( 866+ 得 0.866(NAD+ NCD+ NBD)－(0.866+1)FG=0 联立求解得 NAD =NBD =31.55kN ， NCD=1.55kN。 。
球形铰链
2、向心轴承 、
4、 、 向 心 推 力 轴 承
6、空间固定端 、
例 3 － 3 ： 用三角架 ABCD 和绞车提升一重物如图 所示。 为一等边三角形， 所示。设ABC为一等边三角形，各杆及绳索均与水 平面成60 的角。 60º的角 30kN, kN,各杆均为二力 平面成60 的角。已知重物FG＝30kN,各杆均为二力 滑轮大小不计。 杆 ， 滑轮大小不计 。 试求重物匀速吊起时各杆所 受的力。 受的力。
[例] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N。求： 例 平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
C·A上传 【理论力学】第三章 力系的平衡
BE CE FDC =0 0; ∑ Fix =FDB DB DC
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
大学理论力学__空间力系的平衡方程
二力矩式
X 0
M A 0
MB 0
条件是：AB两点的连线不能与 x 轴或 y 轴垂直
三力矩式
M A 0
MB 0
条件是：ABC三点不能共线
M C 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
平面平行力系的平衡条件和平衡方程
如图：物体受平面平行力系F1 ，
y
F2 ， …， Fn的作用。
如取 x 轴与各力垂直，不论力系是否
3.1.1平衡条件
从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡 的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主 矩为零，即：
'
FR 0
M0 0
3.1.2空间任意力系的平衡方程
Xi 0 ,Yi 0 , Zi 0
M x( Fi ) 0, M y( Fi ) 0, M z( Fi ) 0
空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系 中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零， 对每一坐标轴之矩的代数和为零。
解得：F 15.01kN Ax
FAy 5. 3 kN
F 17.33 kN
BC
A
D
B
E
3m
1m
2m
C
X 0，
FAx FBC cos30 0
FAy
M A(F ) 0，FBC AB sin30 P AD Q AE 0
A
M B (F ) 0，P DB Q EB FAy AB 0
距为4m。平衡荷重P3，到机中心
距离为6m。求：
P3
（1）保证起重机在满载
6m
和空载时都不致翻倒，平
衡荷重P3 为多少？
P1
P2
12m
（2）当平衡荷重P3 =180KN时，求满载时轨道A 、
空间力系的平衡方程式及其应用
即与各坐标轴相交。因此各力对坐标轴的矩均为零，即式（3-17）中，
M x (F ) 0 ， M y (F ) 0， M z (F ) 0 。于是，空间汇交力系的平衡方程
只有三个，即
Fx 0
Fy
0
Fz
0
（3-18）
（2）空间平行力系
若取z轴平行于力系中各力的作用线，则 Oxy 坐标面与各力作用线
衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对于任意点的主矩矢
都等于零。即
FR 0
MO 0
根据式（3-14）和式（3-16），上述条件可写成
空间任意力系平衡的必要与充分条 件是：力系中各力在任一直角坐标 系中每一轴上的投影的代数和等于 零，以及各力对每一轴的矩的代数 和也等于零。
Fx 0
Fy 0
式中，负号表明 FB ，FC 的实际方向与假设相反，即两杆均受压力。
例3-4
O1 和 O2 圆盘与水平轴 AB 固连，O1 盘垂直于z轴，O2 盘垂直于x轴，
力的矢量和。
即
FR F1 F2 Fn Fi （3-11）
图3-9
附加力偶系可合成为一个空间力偶，其力偶矩 MO，等于各附加力
偶矩的矢量和，亦即等于原力系中各力对于简化中心O的矩的矢量和。
MO MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
F称R 为原力系的主矢，称为原力系对简化中心O的主矩矢 M。O
Fz 0
M
x
(F
)
0
M y (F ) 0
M
z
(F
)
0
（3-17）
空间任意力系是物体受力的最一般情况，其他类型的力系都可 以认为是空间任意力系的特殊情形，因而它们的平衡方程也可 由方程式（3-17）导出，具体如下。
工程力学第二章(力系的平衡)
{
平衡方程其他形式： 平衡方程其他形式：
Σ Fx = 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MC（F）= 0
A
B
x
A、B 连线不垂直于x 轴 连线不垂直于x
（两矩式） 两矩式）
{
C B A C
（三矩式） 三矩式）
A、B、C三点不 在同一条直线上
l FC C B F
∑F x
y
∑M ( F) = 0,
A
F cos 45 ⋅l − F ⋅ 2l = 0 C
y FAy AF
Ax
l C FC
l x
45
B F
3、解平衡方程，可得 解平衡方程，
FC = 2 F cos 45 = 28.28 kN
FAx = − FC ⋅ cos 45 = −2 F = −20 kN
平面任意力系平衡方程讨论： 平面任意系平衡方程讨论：
{
x
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO= 0
请思考：x , y 的选择是否有一定任意性？ 请思考： 的选择是否有一定任意性？
x y y x
y
例4 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连 支架的横梁AB与斜杆 彼此以铰链 与斜杆DC彼此以铰链C
FBC cos 60 − G − Fcos 30 = 0
FBC = 74.5 kN
联立求解得 FAB = −5.45 kN
约束力F 为负值， 约束力FAB为负值，说明该力实际指向与 图上假定指向相反，即杆AB实际上受 实际上受拉 图上假定指向相反，即杆AB实际上受拉力。
解析法的符号法则： 解析法的符号法则：
平面任意力系平衡的充分必要条件： 平面任意力系平衡的充分必要条件：
理论力学(大学)课件8.2 空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束
2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系的平衡方程:00xy z F FF ===ååå00xyzMMM===ååå空间任意力系平衡的充要条件：力系中各力在任一坐标轴上的投影的代数和等于零，以及各力对每一个坐标轴的力矩的代数和也等于零.该力系的主矢、主矩分别为零.(1) 空间任意力系的平衡方程(基本式)常见的空间约束00xy z F FF===ååå00xyzM M M ===ååå空间任意力系的平衡方程(基本式)平衡方程除了基本式之外，还有四矩式、五矩式、六矩式。
有几个力矩平衡方程，称之为几矩式。
各种形式应该根据实际情况灵活运用。
基本式以外的方程形式，通常不再给限定条件，一般的情况下只要列出的方程能求解出未知量即是未违反限制条件。
常见的空间约束00zxyF MM===ååå空间平行力系的平衡方程各种力系的独立平衡方程个数空间任意力系6个空间汇交力系3个空间平行力系3个空间力偶系3个平面任意力系3个平面汇交力系2个平面平行力系2个平面力偶系2(1)个最一般情形：空间、任意一级特殊情形（包含一种特殊情况）：空间问题+特殊力系，或者任意力系+平面情形二级特殊情形（包含两种特殊情况）：平面问题+特殊力系。
2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束(2) 空间常见约束类型柔索二力杆2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束径向轴承圆柱铰链铁轨蝶铰链球铰链导向轴承带有销子的夹板导轨空间任意力系及重心的计算f. 6个未知约束量空间固定端约束分析实际的约束时，需要忽略一些次要因素，抓住主要因素，做一些合理的简化。
比如导向轴承和径向轴承之间的区别；蝶铰链和止推轴承之间的区别。
如果刚体只受平面力系的作用，则垂直于该平面的约束力和绕平面内两轴转动的约束力偶都应该为零，相应减少了约束量的数目。
3章力系的平衡方程及应用
D
A
FAx
3m
P
1m
2m
由： 解得：
3 3FAy 3P 4 P 0 1
l
P1
FT 17.33kN FAx 15.01kN FAy 5.33kN
• 结果均为正，表明实际受力方向与假设方向相同。 • 为使平衡方程尽可能包含较少的未知量，避免联立求 解，通常将矩心取在两个未知力的交点。
M A (Fi ) 0 M B (Fi ) 0 M C (Fi ) 0
限制条件：A、B、C矩心不能在同一直线上（共线）。
y
C B A O
FR
因为平衡方程
满足，但不能排除图 示不平衡的情形。
x
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
• 以上三种形式的平衡方程均为平衡的 必要与充分条件。
F X 0
x
F Y 0
y
•两个独立平衡方程，可以求解两个未知数。
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程 2. 空间平行力系的平衡方程
z
F1 F2
O x
y
F
iz
0
M x ( Fi ) 0
M y ( Fi ) 0
可以求解三个未知数。
F3
Fn F4
平面平行力系的平衡方程
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
六个方程相互独立。联立，可求解六个未知量。 由平衡条件导出的方程称为平衡方程的基本形式。 • • 空间任意力系平衡方程：基本形式、四矩 应当注意：每一种形式最多只能列6个独立 式、五矩式和六矩式。
平衡方程，解6个未知数，任何多于6个的方程都
是这些方程的线性组合。
y
(Fi ) 0
A
FAx
3m
P
1m
2m
由： 解得：
3 3FAy 3P 4 P 0 1
l
P1
FT 17.33kN FAx 15.01kN FAy 5.33kN
• 结果均为正，表明实际受力方向与假设方向相同。 • 为使平衡方程尽可能包含较少的未知量，避免联立求 解，通常将矩心取在两个未知力的交点。
M A (Fi ) 0 M B (Fi ) 0 M C (Fi ) 0
限制条件：A、B、C矩心不能在同一直线上（共线）。
y
C B A O
FR
因为平衡方程
满足，但不能排除图 示不平衡的情形。
x
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
• 以上三种形式的平衡方程均为平衡的 必要与充分条件。
F X 0
x
F Y 0
y
•两个独立平衡方程，可以求解两个未知数。
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程 2. 空间平行力系的平衡方程
z
F1 F2
O x
y
F
iz
0
M x ( Fi ) 0
M y ( Fi ) 0
可以求解三个未知数。
F3
Fn F4
平面平行力系的平衡方程
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
六个方程相互独立。联立，可求解六个未知量。 由平衡条件导出的方程称为平衡方程的基本形式。 • • 空间任意力系平衡方程：基本形式、四矩 应当注意：每一种形式最多只能列6个独立 式、五矩式和六矩式。
平衡方程，解6个未知数，任何多于6个的方程都
是这些方程的线性组合。
y
(Fi ) 0
空间力系的平衡方程_工程力学_[共2页]
![空间力系的平衡方程_工程力学_[共2页]](https://img.taocdn.com/s3/m/0c50dac9650e52ea551898e2.png)
果未知力的个数超过 6 个则为静不定问题。
例 4-3 一三轮货车自重 FG =5kN，载重 F =10kN，作用点位置如图 4-6 所示。求静止时地 面对轮子的反力。
解：自重 FG、载重 F 及地面对轮的反力组成空间平行力系。
由 ∑ Fz = 0
FA + FB + FC − FG − F = 0主矢和主矩均等于零，即必须满足
= FR ∑=F 0
∑ MO = ( F ) 0
写作投影（分量）的形式为
= ∑ Fx 0= , ∑ Fy 0= , ∑ Fz 0 ∑ M x (F ) = 0 ∑ M y ( F ) = 0 ∑ M z ( F ) = 0
（4.7）
以上 6 个方程即为空间任意力系的平衡方程，显然，通过该方程可以求得 6 个未知量。如
FA ×1.5 − FG × 0.5 − F × 0.6 =0
由 ∑My(F) = 0
−FA × 0.5 − FB ×1+ FG × 0.5 + F × 0.4 = 0
61
4.3
空间力系的平衡方程
图 4-5 曲拐轴受力示意图
根据合力矩定理，力 F 对 z 轴之矩为 M z (F ) =M z (Fx ) + M z (Fy ) + M z (Fz ) =−Fx × (200 + 200) + Fy × 400 + 0 =0
4.3 空间力系的平衡方程
空间力系向一点简化同样可以简化为一个主矢和一个主矩，根据静力平衡条件，物体受空
工程力学第四章2
FAx
FAy
A
P
P
B 6m 6m
6m
FBx
FBy
CF Cx
取[左]受力分析
∑MC=0
FAx·6–FAy·6+3P=0
P
FAx
FAy
A
F Cy
F Ax
P = 2
FBx
P = 2
[左] 左
上固定销子C,可在杆 的光滑直槽中滑动， 例：图示杆BE上固定销子 可在杆 的光滑直槽中滑动，已知： 图示杆 上固定销子 可在杆AD的光滑直槽中滑动 已知： L=0.2m，M1=200N·m，α = 300，求：结构平衡时 2。 结构平衡时M ， ，
iy
ix iy
=0 =0
平面平行力系的平衡方程 （设各力线都 // y轴）： 轴
∑F = 0 ∑ m (F ) = 0
o i
5
例：图示导轨式汽车提升机构，已知提升的汽车重P=20kN， 图示导轨式汽车提升机构，已知提升的汽车重 ， 求：导轨对A、B轮的约束反力（不计摩擦）。 导轨对 轮的约束反力（不计摩擦）。 轮的约束反力
∑MC=0, –F·a–3a · FD=0 ∑Fiy=0, –F+ FD+FC=0 FD=F/3, FC=2F/3, 3a C FC 3a A E D FD B FEX FAY FEY D [AD] FD FC [CB] E
FEY’ FCX
B
取[AD]
3 ∑ M A = 0, 3aFD − a ⋅ 2 FEx = 0 2 2 FEx = F, A 3
F
60cm
F FA P P
A
400cm
FB B
力偶仅 能被力 偶平衡
i FA·400–P·60=0； 解: ∑Mi=0: ； 得：FA=3kN FB=FA ∑Fx=0; F= P ∑Fy=0;
FAy
A
P
P
B 6m 6m
6m
FBx
FBy
CF Cx
取[左]受力分析
∑MC=0
FAx·6–FAy·6+3P=0
P
FAx
FAy
A
F Cy
F Ax
P = 2
FBx
P = 2
[左] 左
上固定销子C,可在杆 的光滑直槽中滑动， 例：图示杆BE上固定销子 可在杆 的光滑直槽中滑动，已知： 图示杆 上固定销子 可在杆AD的光滑直槽中滑动 已知： L=0.2m，M1=200N·m，α = 300，求：结构平衡时 2。 结构平衡时M ， ，
iy
ix iy
=0 =0
平面平行力系的平衡方程 （设各力线都 // y轴）： 轴
∑F = 0 ∑ m (F ) = 0
o i
5
例：图示导轨式汽车提升机构，已知提升的汽车重P=20kN， 图示导轨式汽车提升机构，已知提升的汽车重 ， 求：导轨对A、B轮的约束反力（不计摩擦）。 导轨对 轮的约束反力（不计摩擦）。 轮的约束反力
∑MC=0, –F·a–3a · FD=0 ∑Fiy=0, –F+ FD+FC=0 FD=F/3, FC=2F/3, 3a C FC 3a A E D FD B FEX FAY FEY D [AD] FD FC [CB] E
FEY’ FCX
B
取[AD]
3 ∑ M A = 0, 3aFD − a ⋅ 2 FEx = 0 2 2 FEx = F, A 3
F
60cm
F FA P P
A
400cm
FB B
力偶仅 能被力 偶平衡
i FA·400–P·60=0； 解: ∑Mi=0: ； 得：FA=3kN FB=FA ∑Fx=0; F= P ∑Fy=0;
空间任意力系
称为空间力偶系的主矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
Mo Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
式中，各分别表示各 Mx (F), M y (F), Mz (F)力
对 x，y，z ,轴的矩。
12
FRx —有效推进力
FRy —有效升力 FRz —侧向力
MOx —滚转力矩
力偶矩 M rBA F
Mo (F, F) Mo (F) Mo (F) rA F rB F
因 F F
Mo (F, F) (rA rB ) F M
5
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的 作用效果不变.
1
方向余弦
cos(FR , i )
Fx FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR ,k Nhomakorabea)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.
知识要点回顾
空间汇交力系的平衡条件
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
Fx 0 Fy 0
称为空间汇交力系的平衡方程.
=
=
=
M
(
F1 ,
F1)
rBA
F1
M (FR , FR) rBA FR rBA (F1 F2 )
rBA F1 rBA F2 rBA F1 M (F1, F1)
6
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.
Mo Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
式中，各分别表示各 Mx (F), M y (F), Mz (F)力
对 x，y，z ,轴的矩。
12
FRx —有效推进力
FRy —有效升力 FRz —侧向力
MOx —滚转力矩
力偶矩 M rBA F
Mo (F, F) Mo (F) Mo (F) rA F rB F
因 F F
Mo (F, F) (rA rB ) F M
5
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的 作用效果不变.
1
方向余弦
cos(FR , i )
Fx FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR ,k Nhomakorabea)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.
知识要点回顾
空间汇交力系的平衡条件
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
Fx 0 Fy 0
称为空间汇交力系的平衡方程.
=
=
=
M
(
F1 ,
F1)
rBA
F1
M (FR , FR) rBA FR rBA (F1 F2 )
rBA F1 rBA F2 rBA F1 M (F1, F1)
6
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.
03-8.2 空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束(课件)
量与 其余未知力垂直；选取矩轴时应尽量与其余的未知力平行或相交。投影轴不必相互
垂直， 取矩轴也不必与投影轴重合，力矩方程的数目可取3个至6个。
空间任意力系及重心的计算
例2 已知均质水平长方板重为P,用六根无重直杆支承，直杆两端各用球铰链与
板和地面连接，板长宽分别为b，a，离地面高度为b. A点作用水平力F=2P，
空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零. 空间任意力系的平衡方程:
Fx 0 Fy 0 Fz 0 Mx 0 My 0 Mz 0
(基本式)
2、空间任意力系的平衡方程及 常见的空间约束
空间任意力系平衡的充要条件：力系中各力在任一坐标轴上 的投影的代数和等于零，以及各力对每一个坐标轴的力矩的 代数和也等于零.
件的半径r=30mm,卡盘及工件等自重不计，其余尺寸如图所示。当主轴匀速转
动时。
求：(1) 齿轮啮合力Ft及Fr；(2) 径向轴承A和止推轴承B的约束力；(3) 三爪
卡盘E在O处对工件的约束力。
z
解: (1) 取主轴及工件组成的整体为研究对象， 分析受力。 在Axyz坐标系下，列平衡方程：
FB z R C
空间任意力系及重心的计算
2、空间任意力系的平衡方程及 常见的空间约束
空间任意力系的
Fx 0 Fy 0
Fz 0
平衡方程(基本式)
Mx 0
My 0
Mz 0
平衡方程除了基本式之外，还有四矩式、五矩 式、六矩式。
有几个力矩平衡方程，称之为几矩式。
基本式以外的方程形式，通常不再给限定条件，一般的情况 下只要列出的方程能求解出未知量即是未违反限制条件。
FAz E
Fx 0
Fy 0
空间力系的平衡方程及应用
（3-8） 式（3-8）说明空间任意力系平衡时，力系中的各 力在直角坐标系中的各轴上的投影代数和为零，对各 轴之矩的代数和也为零。
空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系的平衡方程组由六个 方程组成，对于受空间任意力系作用而 处于平衡的物体，运用方程组最多求出 六个未知量。
根据空间任意力系的平衡方程，可 以推出空间汇交力系和空间平行力系的 平衡方程。
工程力学
பைடு நூலகம்
空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系向一点简化也得到一 个主矢R和一个主矩M，但主矩M是矢量。 其平衡的充要条件与平面任意力系的平衡 条件完全相同，即R=0，M=0。
空间力系的平衡方程及应用
1.1 空间任意力系的平衡方程
由空间任意力系的平衡条件，可以得到空间任意 力系的平衡的解析表达式为
求解空间力系作用下的平衡问题，其步骤与求 解平面力系的平衡问题一样：首先选取研究对象， 进行受力分析，画受力图；其次建立合适的坐标系， 根据力系的特点选择对应的方程组，列方程，求出 未知量。需要指出的是，要根据力系的特点建立坐 标系，尽可能地使方程中的未知量最少，以方便计 算，另外根据实际问题的需要，方程组中的方程可 以不必都列出，只要求出所有未知量即可。
当空间平行力系中的各力的作用线与三维直角坐标系 的z轴平行时，无论力系是否平衡，力系中各力在x，y轴 上的投影都是零，且各力对z轴的力矩也是零，因此，空 间平行力系的平衡方程组为
（3-10） 可见，空间平行力系的平衡方程组也是由三个方程组 成，最多只能求出三个未知量。
空间力系的平衡方程及应用
1.2 空间力系平衡方程的应用
工程力学
空间力系的平衡方程及应用
1. 空间汇交力系的平衡方程
由于空间汇交力系的简化结果只有一个合力R， 因此，力系平衡的平衡条件是力系的合力R为零， 对应的平衡方程为
空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系的平衡方程组由六个 方程组成，对于受空间任意力系作用而 处于平衡的物体，运用方程组最多求出 六个未知量。
根据空间任意力系的平衡方程，可 以推出空间汇交力系和空间平行力系的 平衡方程。
工程力学
பைடு நூலகம்
空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系向一点简化也得到一 个主矢R和一个主矩M，但主矩M是矢量。 其平衡的充要条件与平面任意力系的平衡 条件完全相同，即R=0，M=0。
空间力系的平衡方程及应用
1.1 空间任意力系的平衡方程
由空间任意力系的平衡条件，可以得到空间任意 力系的平衡的解析表达式为
求解空间力系作用下的平衡问题，其步骤与求 解平面力系的平衡问题一样：首先选取研究对象， 进行受力分析，画受力图；其次建立合适的坐标系， 根据力系的特点选择对应的方程组，列方程，求出 未知量。需要指出的是，要根据力系的特点建立坐 标系，尽可能地使方程中的未知量最少，以方便计 算，另外根据实际问题的需要，方程组中的方程可 以不必都列出，只要求出所有未知量即可。
当空间平行力系中的各力的作用线与三维直角坐标系 的z轴平行时，无论力系是否平衡，力系中各力在x，y轴 上的投影都是零，且各力对z轴的力矩也是零，因此，空 间平行力系的平衡方程组为
（3-10） 可见，空间平行力系的平衡方程组也是由三个方程组 成，最多只能求出三个未知量。
空间力系的平衡方程及应用
1.2 空间力系平衡方程的应用
工程力学
空间力系的平衡方程及应用
1. 空间汇交力系的平衡方程
由于空间汇交力系的简化结果只有一个合力R， 因此，力系平衡的平衡条件是力系的合力R为零， 对应的平衡方程为
理论力学第3章力系平衡方程及应用
a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（ 图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】 杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx
第4章空间力系平衡
5 FR 0
M 0
M 0
R // M
力螺旋 o
FR
力螺旋 o Mo
M FR
O
M
FR
M
FR
O O
oo M
M FR
FR
空间力系简化结果分析
主矢(O)
FR 0
FR 0
FR 0
FR 0
Fx
Fz
例题
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
因为力在坐标轴上的投影分别为： Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
力作用点D 的坐标为： x l, y l b, z 0
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
cos( MO , k)
Mz MO
0.064
§3-3 空间力偶理论
一. 空间力偶的性质
作用于同一物体上的 大小相等,方向相反 且不共线的两个力 组成的特殊力系.
力偶对刚体的转动效应（大小和转
向，力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。
M
F
r
1. 直接求解法
例 列传动轴的平衡方程。 解：画受力图。列出各力在轴上的投影及对轴之矩。
y
FAy
FCr FCt
FBy
A
FAx z FAz
C
FDt
D
Bx
FBz
FDr
由表中各行可列出六个 平衡方程为：
Fx=FAx=0
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空间任意力系 的平衡
教案 2004.3.26
1
内容提要
空间任意力系
3-5.空间任意力系的平衡
3-6.物体的重心
2
3-5.空间任意力系的平衡
(1)空间任意力系平衡的必要和充分条件: R' = 0 , Mo = 0 (2)空间任意力系的平衡方程: Xi = 0 Yi = 0 Zi = 0
my = 0 mz = 0
(4-27)
4
(c)对于空间平行力系 Zi = 0 , mx(Fi) = 0,my(Fi) = 0 则其平衡方程为: Zi = 0 mx(Fi) = 0
(4-28)
my(Fi) = 0 其他各种力系的平衡方程也可以从方程
(7-1)用同样的方法导出.
2 2
2 2
S1
2 2
2 2
a
a S5 k
2 2 a S3 k
a S5 i
a S3 i
a S3 j
m A (S6 ) a S6 i a S6 j
9
应用平衡方程计算:
Xi = 0 Yi = 0 Zi = 0 mx(Fi) = 0 my(Fi) = 0
2 2
2 2 a S 3 S 5 0
(5)
mz(Fi) = 0
(6)
10
联立(1)(2)(3)(4)(5)(6)式得:
S1 = S6 - P
S2 = S3 = S4= P S5 = - 2 P
2 P
11
(2)取薄板为研究对象画受力图 1)只有力P和S3能
投影到轴AD上. FAD = 0
S5 k
S6 S6 k
8
B
C
计算各力对A点的矩.
m A (P) 0 m A ( S1 ) 0 m A (S 2 ) 0 m A ( S 4 ) aS 4 i
m A (S5 )
m A (S 3 )
z
A y S5 S4 D' S6 C'
P
x
S2 S3
B'
D
a
A'
15m 5m
18
C2
20m
B
o
5 15 2 . 5 15 5 12 . 5 5 15 15 5
5 15 7 . 5 15 5 2 . 5 5 15 15 5
7 .5
5
y
(2)负面积法
取坐标如图.使平面 图形组合成矩形A. C1(10,7.5) 以及负面积的矩形B. C2(12.5,10)
P 2 2 S3 0
A B C
P
S2
S3 B'
S6 D
S5
S4 D'
C'
a
A'
S1
S3
2 P
a
12
B
C
2)由于S1 、 S4 和 S6均为铅垂方向,力 矩轴应选铅垂方向. 3)力矩轴应选在过
a
A' S1 A
P
S2 B'
S6
D S3
S4 D' S5 C'
另三个力线的交点
B'或C´ . mB'B(Fi) = 0 mC'C(Fi) = 0
mx(Fi) = 0
my(Fi) = 0 mz(Fi) = 0
(4-25)
3
(3)讨论:
(a)对于空间汇交力系则其平衡方程为 Xi = 0 , Yi = 0 , Zi = 0 : Xi = 0 Yi = 0
(4-26)
Zi = 0 (b)对于空间力偶系 mx(Fi) = 0 , my(Fi) = 0 , mz(Fi) = 0 则 其平衡方程 为: mx = 0
a P 2 2
a P 2 2
a
a S5 0
S5 = S2
2 P
a S2 0
2 P
13
B
C
mAD(Fi) = 0
A
2 2
a S3 a S6 0
P
S2
S6
D S3
B' D' S4 S5 C'
a
S6 = - P mCD(Fi) = 0
a S1 2 2 a S2 0
P P j
B
(-a,a,0) C
z
A (0,0,0) y S6 C'
P
S1 S1 k
S2 2 2 S2i 2 2 S2k
D (0,a,0)
x
a
A' S1
S2 B'
S3 S4 D'
S5
S3
2 2
S3 j
2 2
S3 k
a
S4 S4 k
S5 2 2 S5i 2 2
A'
S1
a
S1 = - P
14
B
C
mB'C'(Fi) = 0
a S1 + a S4 = 0
A
P
S2
S6
D S3
B' D' S4 S5 C'
a
A'
S1
S4 = P
a
15
3-6.物体的重心 (1)物体重心的定义：
rc
w
W
i
ri
rc
r A
i
i
A
均质物体的重心位置完全决定于物体的几
何形状,而与物体的重量无关.由物体的几何形
xc
o
5m
C2
B
A
C1 5m 20m
x
20 15 10 15 10 12 . 5 20 15 15 10
7 .5
yc
20 15 7 . 5 15 10 10 20 15 15 10
5
19
再
见
20
S 2
2 2
S5 0
(1)
P
S3 0
(2)
S1 S 4 S 6
2 2
S 2
S3 S5 0
(3)
2 2 a S S4 S5 S6 0 2 3 2
(4)
2 a S3 S6 0 2
5
例题3-5. 一不计重量的正方形薄板,由六根直杆支
持如图所示 .假设这六根杆都可以看作两力杆 ,求 在力P作用下各杆的内力.
B C
A
P
a
A' B'
D
C'
D'
a
6
解: (1)取薄板为研究对象画受力图并选取坐标.
B C
z
A y
P x a
A' S1 S2 B' S3
S6
C'
D
S5 S4
D'
a
7
写出各力的解析式及 力线上任一点的坐标.
状和尺寸所决定的物体的几何中心,称为物体
的形心.
16
(2)计算物体形心的方法:分割法和负面积法 例题4-8.求图示平面图形的形心.
5m
15m 5m
20m
17
y
解:(1)分割法 取坐标如图且把平 面图形分为 A和 B两 部分. C1(2.5,7.5) C2(12.5,2.5)
xc
yc
5m
C1 A
教案 2004.3.26
1
内容提要
空间任意力系
3-5.空间任意力系的平衡
3-6.物体的重心
2
3-5.空间任意力系的平衡
(1)空间任意力系平衡的必要和充分条件: R' = 0 , Mo = 0 (2)空间任意力系的平衡方程: Xi = 0 Yi = 0 Zi = 0
my = 0 mz = 0
(4-27)
4
(c)对于空间平行力系 Zi = 0 , mx(Fi) = 0,my(Fi) = 0 则其平衡方程为: Zi = 0 mx(Fi) = 0
(4-28)
my(Fi) = 0 其他各种力系的平衡方程也可以从方程
(7-1)用同样的方法导出.
2 2
2 2
S1
2 2
2 2
a
a S5 k
2 2 a S3 k
a S5 i
a S3 i
a S3 j
m A (S6 ) a S6 i a S6 j
9
应用平衡方程计算:
Xi = 0 Yi = 0 Zi = 0 mx(Fi) = 0 my(Fi) = 0
2 2
2 2 a S 3 S 5 0
(5)
mz(Fi) = 0
(6)
10
联立(1)(2)(3)(4)(5)(6)式得:
S1 = S6 - P
S2 = S3 = S4= P S5 = - 2 P
2 P
11
(2)取薄板为研究对象画受力图 1)只有力P和S3能
投影到轴AD上. FAD = 0
S5 k
S6 S6 k
8
B
C
计算各力对A点的矩.
m A (P) 0 m A ( S1 ) 0 m A (S 2 ) 0 m A ( S 4 ) aS 4 i
m A (S5 )
m A (S 3 )
z
A y S5 S4 D' S6 C'
P
x
S2 S3
B'
D
a
A'
15m 5m
18
C2
20m
B
o
5 15 2 . 5 15 5 12 . 5 5 15 15 5
5 15 7 . 5 15 5 2 . 5 5 15 15 5
7 .5
5
y
(2)负面积法
取坐标如图.使平面 图形组合成矩形A. C1(10,7.5) 以及负面积的矩形B. C2(12.5,10)
P 2 2 S3 0
A B C
P
S2
S3 B'
S6 D
S5
S4 D'
C'
a
A'
S1
S3
2 P
a
12
B
C
2)由于S1 、 S4 和 S6均为铅垂方向,力 矩轴应选铅垂方向. 3)力矩轴应选在过
a
A' S1 A
P
S2 B'
S6
D S3
S4 D' S5 C'
另三个力线的交点
B'或C´ . mB'B(Fi) = 0 mC'C(Fi) = 0
mx(Fi) = 0
my(Fi) = 0 mz(Fi) = 0
(4-25)
3
(3)讨论:
(a)对于空间汇交力系则其平衡方程为 Xi = 0 , Yi = 0 , Zi = 0 : Xi = 0 Yi = 0
(4-26)
Zi = 0 (b)对于空间力偶系 mx(Fi) = 0 , my(Fi) = 0 , mz(Fi) = 0 则 其平衡方程 为: mx = 0
a P 2 2
a P 2 2
a
a S5 0
S5 = S2
2 P
a S2 0
2 P
13
B
C
mAD(Fi) = 0
A
2 2
a S3 a S6 0
P
S2
S6
D S3
B' D' S4 S5 C'
a
S6 = - P mCD(Fi) = 0
a S1 2 2 a S2 0
P P j
B
(-a,a,0) C
z
A (0,0,0) y S6 C'
P
S1 S1 k
S2 2 2 S2i 2 2 S2k
D (0,a,0)
x
a
A' S1
S2 B'
S3 S4 D'
S5
S3
2 2
S3 j
2 2
S3 k
a
S4 S4 k
S5 2 2 S5i 2 2
A'
S1
a
S1 = - P
14
B
C
mB'C'(Fi) = 0
a S1 + a S4 = 0
A
P
S2
S6
D S3
B' D' S4 S5 C'
a
A'
S1
S4 = P
a
15
3-6.物体的重心 (1)物体重心的定义：
rc
w
W
i
ri
rc
r A
i
i
A
均质物体的重心位置完全决定于物体的几
何形状,而与物体的重量无关.由物体的几何形
xc
o
5m
C2
B
A
C1 5m 20m
x
20 15 10 15 10 12 . 5 20 15 15 10
7 .5
yc
20 15 7 . 5 15 10 10 20 15 15 10
5
19
再
见
20
S 2
2 2
S5 0
(1)
P
S3 0
(2)
S1 S 4 S 6
2 2
S 2
S3 S5 0
(3)
2 2 a S S4 S5 S6 0 2 3 2
(4)
2 a S3 S6 0 2
5
例题3-5. 一不计重量的正方形薄板,由六根直杆支
持如图所示 .假设这六根杆都可以看作两力杆 ,求 在力P作用下各杆的内力.
B C
A
P
a
A' B'
D
C'
D'
a
6
解: (1)取薄板为研究对象画受力图并选取坐标.
B C
z
A y
P x a
A' S1 S2 B' S3
S6
C'
D
S5 S4
D'
a
7
写出各力的解析式及 力线上任一点的坐标.
状和尺寸所决定的物体的几何中心,称为物体
的形心.
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(2)计算物体形心的方法:分割法和负面积法 例题4-8.求图示平面图形的形心.
5m
15m 5m
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y
解:(1)分割法 取坐标如图且把平 面图形分为 A和 B两 部分. C1(2.5,7.5) C2(12.5,2.5)
xc
yc
5m
C1 A