第八讲 点群符号空间群

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点群格子及空间群

点群格子及空间群

单面 平行双面 轴双面 反映双面 斜方柱 斜方四面体 斜方单锥 斜方双
对称型符号
对称特点 对 称 型 种 类
圣弗利斯 符号
国际符号
晶类名称
9.L4
C4
4
10.L44L2
D4
42
有一个 L4或L4i
11.L4PC 12.L44P 13.L44L25PC
C4h
4/m
C4v
4mm
D4h
4/mmm
14.L4i
Oh5
226
228
Oh8
229
Oh9
230
Oh10
P31 m P3 c 1 P31 c R3 m R3 c
P23 F23 I23 P213 I213 Pm3 Pn3 Fm3 Fd3 Im3 Pa3 Ia3 P432 P4232 F 432 F4132 I 432 P4332 P4132 I 4132 P-43m F-43m I-43m P-43n F-43c I-43d Pm3m Pn3n Pm3n Pn3m Fm3m Fm3c Fd3m Fd3c Im3m Ia3d
对称型符号
对称特点 对 称 型 种 类
圣弗利斯 符号
国际符号
晶类名称
28.3L24L3
T
29.3L24L33PC
Th
有四个L3 30.3L4i 4L36P
Td
31.3L44L36L2
O
32.3L44L36L29PC
Oh
23 m3 -43m 43 m3m
五角三四面体 偏方复十二面体 六四面体 五角三八面体 六八面体
C6
6
D6
62
C6h
6/m
26.L66P

群论第8章

群论第8章
H (五维表示),", 一维复共轭表示实际上是二维表示(Mulliken 记号),物理上是不可约的。
能级简并(时间反演的结果). 实表示:Cn 的特征标为+1( A 表示),-1( B 表示)。 反演对称操作i 的特征标为 1(偶宇称,下标用 g ),-1(奇宇称,下标用u ).
除Ci ,有 10 个点群具有反演操作i 对称,它们均可以表示为Ci 群与另一正 则转动群的直积:
对 n = 2,4,6 ,它包含一个反演操作 I (≡ C2σ h )。
Sn 群:有一个 n 度转动反演轴( n = 4,6 ); 对 n = 2,3的 S2 和 S3 ,一般用 Ci 和 C3h 符号;
Dn 群:有一个 n 度转动轴及 n 个与之垂直的二度轴( n = 2,3,4,6 ); Dnd 群: Dn 群加 4 n 个垂直对交镜面( n = 2,3)镜面将二度轴角度平分。 Dnh 群: Dn 群加一个水平镜面( n = 2,3,4,6 ). n = 2,4,6 时, Dnh 包含反演操作。 除以上 27 个群外,还有Oh , O ,Td ,Th 和T 群。
群 论 讲 稿----吴 长 勤
第八章 点群和空间群 (Point Groups and Space Groups)
§1 点群 (Point Groups)
点群:使系统(如分子)不变的对称操作的集合构成的群。(某点固定,空 间任何两点距离不变的有限群)
一般,几何对称操作有:
E : 恒等操作;
Cn :转角 2π / n 的操作,转动轴称 n 度轴;
{ } C3v : {E}, C3,C32 , {σ1,σ 2 ,σ 3}; 三个共轭类。 { } { } C'3v : {E},{E}, C3,C32 , EC3, EC32 ,{σ1,σ 2 ,σ 3},{Eσ1, Eσ 2 , Eσ 3};

2.2.3点群和空间群

2.2.3点群和空间群

该图形显然具有一个对称中心
因此 3 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称中心
3 3i
4 次倒转轴
相当于旋转90后再对中 心反演而图形不变。
这是一个独立的对称操 作。它既没有 4 次旋转 轴也没有对称中心,不 能分解成其他基本对称 要素的组合。
注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在的, 也是过渡点。
对称面
对称面是一个假想的平面,相应 的对称操作为对此平面的反映。对 称面就像一面镜子,把物体的两个 相同的部分以互成镜像反映的关系 联系起来。 垂直于对称面作任意直线,位于 直线两侧等距离的两点是性质完全 相同的对应点 晶体中如果存在有对称面,则必 定通过晶体的几何中心并将晶体分 为互成镜像反映的两个相同部分 在结晶学中,对称面一般用符号 “m” 表示。
倒转轴
倒转轴是一种复合对称 要素,由一根假想的直线 和在此直线上的一个定点 组成。相应的对称操作是 绕此直线旋转一定角度以 及对此定点的倒反。 根据晶体对称轴定律,倒 转轴也只有 1 次、2 次、 3 次、4 次和 6 次 5 种
倒反类倒转轴 中,只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称操
点群:在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定 通过晶体的中心,因此不论如何进行对称操作,晶
体中至少有一个点是不变的,因此对称型也称为点
群。32点群
特征对称元素与7 大晶系
在32晶体学点群中,某些点群均含有一种相同的对称元素, 这样的对称元素叫做特征对称元素。
根据相应的对称性特征,晶体结构可以分为 7 类, 称为 7 大晶系。这 7 大晶系按对称程度增加的次序
在旋转操作中,使物体复原所需的最小旋转角 称为基转角。轴次 n 可以写成

点群和空间群

点群和空间群
国际符号 international symbol
采用国际符号,不仅可以表示出各种晶类 中有那些对称元素,而且还能表示出这 些对称元素在空间的方向。国际符号根 据各种晶类的对称性可以是三项、或二 项、或一项符号组成,它分别表示晶体 某三个、或二个、或一个方向上的对称 元素。如果在某一个方向上,同时具有 对称轴和垂直于此轴的对称面,则写成 分数形式。
8
小结 summary
❖ 密勒指数(Miller indices) ❖ 对称元素和对称操作 ❖ 晶体的三十二个点群 ❖ 对称性和点群对于压电铁电体非常重要! ❖ 只有晶体才会有压电铁电性,不存在非
晶压电铁电体。但是有非晶半导体和非 晶磁性材料。
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晶体中的点群
❖ 由于无限大周期性的限制,晶体中的对称 操作只能有:1,2,3,4,6,i,m,4 ;
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宏观对称元素的组合,可以导出32
种点群;宏观对称元素与微观对称元
素的组合,可以导出230种空间群。
空间群的国际符号由两部分组成,第
一部分为大写字母P、C、I、F,表
示14种布喇菲格子中的原始格子
(P)、底心格子(C)、体心格子
❖ 由于分子没有无限周期性的限制,所以 分子点群的数目要多于晶体中的点群数 目32个;
❖ 自然界对称性很多,例如:五度对称性, 足球,富勒烯C60, buckministerfullerence,碳管
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6
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❖ 由这些对称操作所构成的集合就是晶体中 的点群;
❖ 点:所有这些对称操作下,肯定有一个点 是不变的;
❖ 晶体中一共有32个这样的点群;

点群空间群和晶体结构

点群空间群和晶体结构

点群空间群和晶体结构晶体是由原子、分子或离子组成的固态物质。

在结晶过程中,这些粒子以一种有序的方式排列,形成了晶体的特定结构。

晶体结构的研究是固体科学的重要分支之一,可以帮助我们理解固体的物理、化学性质以及它们在各种应用中的作用。

点群是空间中对称性的一种表示方式。

点群描述了一个结构中的元素在一组操作下保持不变的方式。

这些操作可以是旋转、翻转或镜像。

常见的点群包括旋转群、镜面群和反演群。

每个点群由一组操作组成,这些操作在结构中的每个点上施加时,都可以保持结构的不变性。

点群对于确定晶体结构的对称性非常重要,因为它可以帮助我们预测晶体的物理性质,例如电学性、磁学性、光学性等。

空间群是点群在三维空间中的扩展。

它描述了一个晶体结构在所有操作下的对称性。

空间群由点群以及平移操作组成。

平移操作使得结构在空间中移动,形成了无穷多的平行结构。

这些平行结构可以通过空间群中的平移操作进行描述。

空间群的数量非常庞大,目前已知有230个不同的空间群。

每个空间群都有一个唯一的编号和名称,用于标识它的对称性。

晶体结构是晶体中离子、原子或分子的排列方式。

不同的晶体结构由不同的元素组成,以及不同的点群和空间群类型。

它们可以由晶体学的X射线衍射实验来确定。

X射线衍射会产生一种特殊的模式,称为衍射图样。

通过对衍射图样进行分析,可以确定出晶体中的原子或离子的位置,从而推断出晶体的结构。

晶体结构是固体科学的基础,它们在材料科学、化学、凝聚态物理学等领域中有着广泛的应用。

通过对晶体结构的研究,可以优化材料的性能,设计新型材料,解释物质的性质,并探索新的应用领域。

总而言之,点群、空间群和晶体结构是固体晶体学中的重要概念。

它们描述了晶体的对称性以及晶体中原子、离子或分子的排列方式。

通过对晶体结构的研究,我们可以了解晶体物质的性质和行为,并为材料科学和应用领域提供基础性的知识。

晶体点群、空间群简要归纳

晶体点群、空间群简要归纳

晶体点群、空间群简要归纳本⽂只是很简要的归纳,具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。

另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂,介绍了群论及后续的学习:若研究中涉及群论和物理性质相关,其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好,易懂,将主动变换和被动变换等分析得特别清晰,不过此书太厚,注意⽤到什么学什么,⽤minimized的知识来科研,否则被导师批评...1.对称操作、对称元素对称操作:保持系统不变的操作。

对称元素:它是⼀个⼏何实体,对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。

对称元素可以是点、直线、⾯等。

2.点群:1)定义:三维实正交群O(3)群的有限⼦群物理理解:实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。

这些对称操作会保持⼀个点不动。

2)点群分类第⼀类点群:只包含纯转动元素的点群。

第⼆类点群:点群中,除了纯转动元素,还包含转动反演元素的点群。

因为点群是O(3)群的⼦群,⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。

3)点群的性质{()}性质1:点群这个集合可以写成C k(2π/n)、IC k′2π/n′的形式,其中n,→k′,n′取有限个⽅向和值;C k(2π/n)是绕→k轴转2π/n⾓的操作。

性质2:设G是点群,K是G的纯转动部分,由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即K=G∩SO(3)∘.点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况:1.G=K, 即点群只包含纯转动操作;称为第⼀类点群。

2.若点群G中除了纯转动操作,还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。

3.若点群G中除了纯转动操作,且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+同构,其中,G+=K∪K+, ⽽K+定义为:K+={Ig∣g∈G,但g∉K}根据这⾥的第3点,可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法:根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+,即可以构造⼀个第⼆类点群K∪I K+.还可以证明K必须是K∪K+的不变⼦群,其阶数是K∪K+的⼀半。

32种点群

32种点群
表 1 32 种点群的符号及对称情况[2]
晶序
晶 类
符 号


熊夫利符号
国际符号 (全写)
国际符号 (简写)
三1
C1
1
1
斜2
Ci (S2)
1
1
对称素 —— γi
对称 素数目
具体对称操作
对称 操作数
—— E= 1
1
1
E= 1 反演
2
3
C s (C 1h)
m (= 2)
m

4
C2
2
2
斜5
C 2h
32 种点群按是否为纯旋轴对称, 可分为两类: 第一类是纯旋转轴点群; 第二类是除旋转轴外, 还可以 通过其它对称操作与自身重合.
第一类点群——纯旋转轴点群, 包括单轴点群 Cn, D n 点群和多面体群. Cn 点群指只有 1 根 n 次旋转 对称轴的点群. 由于晶体中只能有 5 种旋转轴, 所以它只有 5 种, 即 C1, C2, C3, C4, C6; D n 点群即指具有 n 次旋转轴及 n 个与之垂直的 2 次旋转轴, 共 4 种: D 2, D 3, D 4, D 6 (D 1 即 C2 已并入 Cn 群内) ; 多面体群只有 2 种: 即四面体群 T 和八面体群O. 四面体群 T 表示有 4 个 3 次旋转轴和 3 个 2 次轴. 八面体群O 表示 3 个 互相垂直的 4 次旋转对称轴及 6 个 2 次旋转轴, 4 个 3 次旋转轴. 至此, 我们已找出了点群中所有可能的 纯旋转群, 合计 11 种.
D nh点群是在 D n 群的基础上, 再加上 (n+ 1) 个平面形成的. (这些平面分别垂直主轴和 2 次轴) 共有 4 种: D 2h , D 3h , D 4h 和 D 6h (D 1h 等效于 C 2v).

晶体结构空间群点群

晶体结构空间群点群

(二)点群、单形及空间群点群:晶体可能存在的对称类型。

通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。

只能有32种对称类型,称32种点群表1- 3 32种点群及所属晶系*2/m表示其对称面与二次轴相垂直,/表示垂直的意思。

其余类推同一晶系晶体可为不同点群的原因:阵点上原子组合情况不同。

如错误!未找到引用源。

,对称性降低,平行于六面体面的对称面不存在,4次对称轴也不存在。

理想晶体的形态―单形和聚形:单形:由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。

32种对称型总共可以导出47种单形,如错误!书签自引用无效。

,错误!书签自引用无效。

,错误!书签自引用无效。

所示聚形:属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。

大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体,如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态空间群:描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。

属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群,空间群有230种,见教材中表1- 4国际通用的空间群符号及其所代表的意义为:P:代表原始格子以及六方底心格子(六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有)。

F:代表面心格子。

I:代表体心格子。

C:代表(001)底心格子(即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布)。

A:代表(100)底心格子(即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布)。

R:代表三方原始格子。

其它符号:意义与前述相同表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4点群符号m 43m2晶 系 等轴晶系 晶 族高级晶族/k/174/stu/content/1.1.3.2.htm。

点群、空间群和晶体结构介绍

点群、空间群和晶体结构介绍

群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合,群的元素可 以是字母、数字、对称操作、点阵等。
任何一个群都应具有以下4个基本性质:

封闭性(Closure)
群G的n个不等效元素中,任两个元素组合或一个同类元素自 身组合都是群中的一个元素。
群中所有元素都遵循组合律,但组合次序不能变。
有唯一的单位元素(E)。它和群中任何一个元素的组合是元素 本身。 群中每一个元素,必有一个相应的逆元素(Inverse Element) 使得两者相乘为其本身。 以一个4次对称轴C4的全部操作所构成的群G来说明4个基本性 质。 两个独立群的直接积 设有两个独立群 GA和GB,其中GA是n阶群,GB是m阶群。两个 群中除了恒等元素外,没有其它共有元素,两个群的元素间相乘有 ai · bj=bj · ai 交换律,即 两个群的直接积G以 G G A G B 表示:
立方系各晶类的投影图
在(e)所示:在投影面上{111)位置4个3轴,单胞3个轴为4次轴, 过单胞3个轴两两构成3个镜面及6个{110}的镜面。一般位置点的等 效点系共有48个点。 5种点群中(e) 是该晶系的全对称点群。从这5种点群可以看 到立方晶系不一定有4次轴,例如点群(a) 和(b) 就没有4次轴。另 外,立方晶系并不一定总是具有最高的对称性,例如四方晶系的 点群D4h-4/mmm(16阶)和六方晶系的点群D6h-6/mmm(24阶)就 比立方晶系的点群T-23(12阶)的对称性高。
这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。 图 (a)是正交点阵的阵 点 上 放 上 对 称 性 为 C2vmm2 的物体的空间群的俯 视图。
(a)正交晶系的Pmm2空间群
图中画出单胞的轮廓,原点选在左上角,a轴指向页底,b 轴指向右, c 轴从页面指出来。以圆圈排列来表示它的对称性 ,在左边的图中每个阵点的对称性用一般位置点的等效点系表 示。其中每一个圆圈既可以代表晶体中单个原子,也可以代表 原子集团。在右边的图上给出对称元素的配置。在原点有一个 沿 c 方向的2次轴和 2个镜面 (用粗线表示 )。 P- 初基点阵, mm2基本操作。非基本操作(附加的2次轴和镜面)未表示。

230种空间群

230种空间群

空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。

点群表示晶体外形上的对称关系,空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。

空间群一共230个,它们分别属于32个点群。

晶体结构的对称性不能超出230个空间群的范围,而其外形的对称性和宏观对称性则不能越出32个点群的范围。

属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间群。

230种晶体学空间群的记号
Ci
I
2m
2m P P P I
m 1m P
m2 m2
m
3m 3m I P
Pm Im m
1 三斜晶系
2 单斜晶系
3 斜方晶系
4 四方晶系
为2,
为⊥m,5 三方晶系
6 六方晶系
(191) P6/mmm 7 等轴晶系。

点群和空间群

点群和空间群

国际符号international symbol 采用国际符号,不仅可以表示出各种晶类中有那些对称元素,而且还能表示出这些对称元素在空间的方向。

国际符号根据各种晶类的对称性可以是三项、或二项、或一项符号组成,它分别表示晶体某三个、或二个、或一个方向上的对称元素。

如果在某一个方向上,同时具有对称轴和垂直于此轴的对称面,则写成分数形式。

熊夫利斯(Sch öenfles )符号C n :字母表示旋转的意思,组标n 表示旋转的次数,n=1、2、3、4、6。

例如C 2代表二次旋转轴。

C nh :表示除了n 次旋转轴外,还包括一个与此轴垂直的对称面。

C nv :表示除了n 次旋转轴外,还包括一个与此轴重合(即平行)的对称面。

C ni :表示除了n 次旋转轴外,还包括一个对称中心。

C i:表示有一个对称中心。

S4:表示有一个四次旋转倒反轴。

D n:表示除了n次主旋转轴外,还包括n 个与之轴垂直的二次旋转轴。

D nh:表示除了D n的对称性外,还包括一个与主旋转轴垂直的对称面,和n个与二次旋转轴重合(即平行)的对称面。

D nd:表示除了D n的对称性外,还包括n个T:除了四个三次旋转轴外,还包括三个正交的二次旋转轴。

T h:除了T的对称性外,还包括与二次旋转轴垂直的三个对称面。

T d:除了T的对称性外,还包括六个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。

O:包括三个互相垂直的四次旋转轴,六个二次旋转轴,和四个三次旋转轴。

O h:除了O的对称性外,还包括T d与T h的对国际符号与熊氏符号对比国际符号熊氏符号1C 12C 23C 34C 46C 6m C sC i ,S 2S 14其它注意事项由于分子没有无限周期性的限制,所以分子点群的数目要多于晶体中的点群数目32个; 自然界对称性很多,例如:五度对称性,足球,富勒烯C 60,buckministerfullerence ,碳管小结summary密勒指数(Miller indices)对称元素和对称操作晶体的三十二个点群对称性和点群对于压电铁电体非常重要! 只有晶体才会有压电铁电性,不存在非晶压电铁电体。

空间群符号

空间群符号

空间群符号230种晶体学空间群的记号Symbols of the 230 Crystallographic Space Groups空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。

点群表示晶体外形上的对称关系,空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。

空间群一共230个,它们分别属于32个点群。

晶体结构的对称性不能超出230个空间群的范围,而其外形的对称性和宏观对称性则不能越出32个点群的范围。

属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间群。

230种晶体学空间群的记号Symbols of the 230 Crystallographic Space Groups晶系(Crystal system)点群(Point group)空间群(Space group) 国际符号(HM)圣佛利斯符号(Schfl.)三斜晶系1 C1P1C i P单斜晶系2 P2 P21 C2m P m P c C m C c2/m P2/m P21/m C2/m P2/c P21/C C2/c正交晶系222 P222 P2221 P21212 P212121 C2221 C222 F222 I222 I212121 mm2Pmm2 Pmc21 Pcc2 Pma2 Pca21 Pnc2 Pmn21 Pba2 Pna21Pnn2 Cmm2 Cmc21 Ccc2 Amm2 Abm2 Ama2 Aba2 Fmm2Fdd2 Imm2 Iba2 Ima2mmmPmmm Pnnn Pccm Pban Pmma Pnna Pmna Pcca PbamPccn Pbcm Pnnm Pmmn Pbcn Pbca Pnma Cmcm CmcaCmmm Cccm Cmma Ccca Fmmm Fddd Immm Ibam IbcaImma四方 4 P4 P41 P42P43 I4 I41晶系P I4/m P4/m P42/m P4/n P42/n I4/m I41/a422P422 P4212 P4122 P41212 P4222 P42212 P4322 P43212 I422 I41224mmP4mm P4bm P42cm P42nm P4cc P4nc P42mc P42bc I4mm I4cm I41md I41cd2mP2m P2c P21m P21c P m2 P c2 P b2 P n2 I m2I c2 I2m I2d4/mmm P4/mmm P4/mcc P4/nbm P4/nnc P4/mbm P4/mnc P4/nmm P4/ncc P42/mmc P42/mcm P42/nbc P42/nnm P42/mbc P42/mnm P42/nmc P42/ncm I4/mmm I4/mcm I41/amd I41/acd 三方晶系3 P3 P31P32R3P R32 P312 P321 P3112 P3121 P3212 P3221 R32 3m P3m1 P31m P3c1 P31c R3m R3cm P1m P1c P m1 P c1 R m R c六方晶系6 P6 P61P65P62P64P63P6/m P6/m P63/m622 P622 P6122 P6522 P6222 P6422 P6322 6mm P6mm P6cc P63cm P63mcm2P m2 P c2 P2m P2c6/mmm P6/mmm P6/mcc P63/mcm P63/mmc立方晶系23 P23 F23 I23 P213 I213m Pm3 Pn3 Fm3 Fd3 Im3 Pa3 Ia3432 P432 P4232 F432 F4132 I432 P4332 P4132 I41323m P3m F3m I3m P3n F3c I3dm mPm m Pn n Pm n Pn m Fm m Fm c Fd m Fd c Im mIa d。

空间群PPT课件

空间群PPT课件

63
Pmm2
点对称和平移对称操作产生新的非基本操作
2020/1/15
64
P222
2020/1/15
65
PMMM
2020/1/15
66
Cmm2
出现滑移面
2020/1/15
67
2020/1/15
68
2020/1/15
69
2020/1/15
70
2020/1/15
71
各晶系空间群特征概要
• 空间群: 国际符号: 空间群符号的意义: 空间群的熊夫利推导方法:
俯视图
方向
原点
2020/1/15
112
2020/1/15
113
2020/1/15
114
原点位置
• 点式空间群:对称性等于空间群点群的点 上,非点式:取在最高对称性的点上,有反 演中心则取在
不对称单位( Asymmetric Unit )
商群与点群一一对应商群不一定是点群商群中不含整数平移操作空间群中的任何操作都可以用h个基本操作与平移群的操作组合而得202011753一般等效位置商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点点阵类型加一般等效点系描述空间群等效位置确定商群的对称性及所属的晶系由点阵类型便知道平移群的对称性确定单胞内的原子数及位置202011754国际表中对称操作的表示202011755对称操作的分类及几何符号202011756由对称操作的矩阵求对应的几何符号1查表确定对应点对称操作2确定对称元素的取向和位置a反映b纯旋转c旋转倒反202011757反映面滑移面滑移分量平行滑移面滑移面的位置分量垂直滑移面滑移面位置
独立原子位置
加心产生新的对称操作:滑移线
33
2020/1/15

点群和空间群

点群和空间群

7
六方晶系 正交晶系 三斜晶系
59
60
61
62
63
64
重要对称元素的书写与图形记号
A4
A3
4
3
A2
A1
A
整数;T为沿u轴方向上的周期矢量)。
晶体只能有1,2,3,4,6度螺旋轴。
如图所示,为4度螺旋轴。晶体绕
轴转900后,再沿该轴平移a/4,能自身
2 1
26
重合。
2.滑移反映面 经过该面的镜象操作
A2
M
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是 该方向上的周期矢量,n为 2或4),晶体中的原子和相 同的原子重合。
47
49
230种晶体学空间群
除了宏观对称要素之外,还有平移、平移与旋转结合形成
的螺旋对称轴、平移和反映结合形成的滑移面等微观对称
要素。 宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合,称为空 间群。 经过严格证明可以得出,晶体中可能存在230种空间群,任
何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
单胞中结点数目: 简单(原始)点阵: 1 面心点阵: 4 底心点阵: 2 体心点阵: 2
按照结点在7大种晶系上的不同分布方式,可形成14种布拉菲点阵。
简单点阵 : 1 [[000]]
体心点阵: 2 [000] [1/2 1/2 1/2 ]
底心点阵:2 [000] [1/2 1/2 0 ]
面心点阵: 4 [000] [1/2 1/2 0] [1/2 0 1/2] [ 0 1/2 1/2]
点群和空间群
1
晶体对称性
2
3
4
5
§1 晶体的特殊对称性——对称操作

《点群和空间群》课件

《点群和空间群》课件

5. 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
—— 正六面柱的对称操作有24个
《点群和空间群》
37
《点群和空间群》
38
《点群和空间群》
39
32种点群
晶体中不包括平移在内,只能有8种独立的基
本对称元素, 即C1 , C2 , C3, C4 , C6 , m,
i 和4。一个晶体可以有不只一个对称元素,
对称要素。
有的
《点群和空间群》
《点群和空间群》
52
《点群和空间群》
53
《点群和空间群》
54
7大晶系
按照晶胞6个点阵常数(a, b, c, , , )之间的关系特点 ,将晶体划分为7种晶系。
立方晶系 abc,900
四方晶系 abc,900
四方晶系 菱方晶系
单斜晶系
菱方晶系 abc,900
六方晶系 a1a2 a3c,900 1200
(5)六个和2度轴垂直的对称面
《点群和空间群》
31
例题2:金刚石的对称性简析—正四面体的对称操作
四个原子 位于正四 面体的四 个顶角上
《点群和空间群》
32
1.绕三个立方轴转动
《点群和空间群》
33
2. 绕4个立方体对角线轴转动 2 , 4
33
《点群和空间群》
34
3. 绕三个立方轴转动 , 3
❖ 经过严格证明可以得出,晶体中可能存在230种空间群,任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
《点群和空间群》
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群,而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之,空间群

空间群、点群

空间群、点群

一些物理对象能够在一定的操作下保持不变,这种性质称为对称性,使物理对象保持不变的操作O叫做对称操作。

按顺序先做对称操作O1,再做对称操作O2,显然物理对象保持不变,因此连做两次对称操作是一个新的对称操作O3,可以记为O3 O2O1,O2O1称为对称操作的乘积。

对称操作O的逆操作也保持物理对象不变,因此也是一个对称操作,记为O−1,按照数学上的定义,对称操作全体关于前面定义的乘法成为一个群,称为对称群,对称操作O称为对称元素。

使晶体保持不变的空间变换构成的群称为空间群。

空间群的元素一般写成 R| ,其中R是一个3 3矩阵,代表对称操作的旋转部分(包括空间反演), 是一个矢量, R| 把空间矢量r 变为 R| r Rr 。

乘法规则R2| 2 R1| 1 r R2| 2 R1r 1R2R1r R2 1 2R2R1|R2 1 2 r就是说R2| 2 R1| 1 R2R1|R2 1 2因此R−1|−R−1 R| I|0R| −1 R−1|−R−1一般来说即使 R| 是一个对称操作,单纯的转动R也不是对称操作,但是按照上面的乘法和取逆规则,空间群元素的旋转部分全体也构成一个群,这个群叫做点群。

晶体的点群的元素R一般不能保持晶体不变,点群一般不是晶体的空间群的子群。

下面证明几个基本事实:1.对任意格矢l 和对称操作 R| ,都有Rl l ′,也就是说虽然 R|0 一般不能保持晶体不变,但是 R|0 可以保持空间点阵不变。

证明: R| 、 I|l 和 R| −1 R−1|−R−1 都是对称操作,因此它们的乘积也是对称操作,按照上面的乘法规则,我们有R| I|l R−1|−R−1R|Rl R−1|−R−1I|Rl这是一个单纯的平移,因此Rl l ′必定是一个格矢。

2.对称操作的旋转角只能取0,60∘,90∘,120∘,180∘及其整数倍。

证明:首先任取一个不平行于转轴的格矢l ,按照上面的结论,Rl 也是格矢,因此非零矢量Rl −l (如果det R −1,R包含空间反演或镜面反射,则取Rl l )也是格矢,且从几何关系易知格矢Rl −l (如果det R −1,R包含空间反演或镜面反射,则取Rl l )垂直于转轴。

点群、空间群和晶体结构介绍

点群、空间群和晶体结构介绍

3.3点群的推导方法
通过对晶体外形的研究,人们发现共有32种晶态,每一种晶态 对应着一种点群。可以用不同方法导出32种点群。 A)从五种循环群1(C1)、2(C2)、3(C3)、4(C4)、6(C6)开始,再在 每种循环群上加进各种新的对称操作,最终导出32种点群。 例如: 在垂直于循环群对称轴的方向加上 2次对称轴;在垂直于循环 轴的方向或包含循环轴加上镜面;用非真旋转轴代替真旋转轴等。 用这些操作或者这些操作的某一种组合可能会得出一些新的点群。
附表1 32种点群
附 表
极 射 种投Leabharlann 点影 群图 投 影2 32
续 附 表极
射 种投 点影 群图 投 影
2 32
3.4空间群概念及其描述
能使三维周期物体(无限大晶体)自身重复的几何对称操作的集合 就是空间群。 用途:描述晶体(假设是无限大的)结构的空间对称性。 一个周期性物体的对称操作必然包含平移操作。用平移矢量来 描述点阵的周期性,所有平移矢量的集合构成 1 个平移群,是无限 群。 空间群的全部对称操作是由点对称操作和平移操作组成。 以{D/t)表示空间操作算符,则空间操作对一般位矢作用可表 示为:
把 32 种点群的符号、对称组合、主导生殖元素的 方向、阶数以及点群导出方法综合列于附表 1 中,把 它们的极射投影图综合列于附表 2 中,其中四方晶系 采用第二定向的。在附表 2 中的每一方格,中间的圆 是极射投影图,左上角是国际符号,右上角的i表示该 点群具有中心对称,左下角给出这个点群的基本对称 元素,右下角是国际完全符号。
dd是点对称操作的变换算符tt是平移操作?点阵的空间对称操作中除了使单胞平移到每一个其它单胞的操作对于有限群操作数为一数值n对于无限群操作数则为无穷大之外还有使初基单胞所含的实体晶体结构中的结构基元变换到本身的h个对称操作所以空间群共有nh个对称操作
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Crystal System
Primary
Symmetry Direction Secondary
Tertiary
Triclinic
None
Monoclinic
[010]
Orthorhombic Tetragonal Hexagonal/ Trigonal
Cubic
[100] [001]
[001]
[100]/[010]/ [001]
以点群为m3m的晶体为例: CsCl 垂直于a方向为m
NaCl 垂直于a方向m,b,c,n共存
金刚石 垂直于a方向为d
CsCl结构沿c方向投影 垂直于a方向为m
NaCl结构沿c方向的投影
垂直于a方向m,b,c,n共存
金刚石结构沿c方向的投影 垂直于a方向为d
属于同一点群的晶体,可以属于不同的空间群。属于同 一宏观点群的所有空间群,称为与该点群同形的空间群。
27
8
圣佛里斯符号——Schoenflies notation
主要规则:
只有一个旋转轴:Cn 多个二次轴:Dn 多个高次轴:T
(Cyclic group) (Dihedra group) (Tetrahedral group)
八面体(等轴):O
(Octahedral group)
与轴平行的反映面:v (vertical)
点群的国际符号和圣佛里斯符号
对称型的一般符号(也即对称型的全面符号): 按一定顺序将对称型中所有的对称要素都书写出来, 不管方向性,且比较烦琐。
国际符号——一种比较简明的符号,也称HM符号。
(International notation 或者 Hermann-Mauguin notation)
۩ 对称型的国际符号很简明:1)它不将所有的对称要素都写出来; 2)并且可以表示出对称要素的方向性;3)不容易看懂。
۩ 特点:省略了一些可以派生出来的对称要素。
国际符号中:
1,2,3,4,6——对称轴;1, 2,3, 4, 6 ——旋转反伸轴,m——对称面。 若对称面与对称轴垂直,以斜线或横线隔开,如L2PC——2/m(或m2 ) 对称中心用1
(对称中心C不必再表示出来了,因为偶次轴垂直对称面 定会产生一个C)。
空间群国际符号
最前面大写英文字母(P,A,B,C,I,F)表示空间群的平移群 ,用以描述晶体结构周期性;
第二部分是与其同形点群相应的同形对称元素。由3个位序组 成,分别表示空间群中主导方向上的对称元素,规定的方向与 点群国际符号3个位序相应的方向相同。但增加了螺旋轴和滑移 面。如果空间群的微观对称元素用相应的宏观对称元素取代, 则得到晶体的点群。
与轴平行且平分两个2次轴的轴间夹角:d (diagonal)
垂直主轴:h (horizontal)
4次反轴: S4 反映面: Cs (spiegnl,德文 镜子)
Method of Classifying crystals into point groups
Cv, D h, Td, Oh, Ih, Ci, C1, Cs, D nd, D nh, D n, Cnh, Cnv, Cn,Sn
4 • (a+c)/2 = 4 • a/2 • c/2 = 4(a+b)/4 • c/2 = 42 因此,空间群符号中加入格子类型,并结合三个方向的特征对 称元素,即可以反映晶体的全部对称性。
对称元素选取的一般原则:
1、反映面m -- 滑移面a,b,c,n,d
2、旋转轴 -- 螺旋轴 -- 反轴
NaCl结构沿c方向的 投影及部分对称元素
空间群的全部对称操作是由点对称操作和平移操作组成。
以{D/t)表示空间操作算符,则空间操作对一般位矢作用可表示 为:
D是点对称操作的变换算符
t是平移操作
• 点阵的空间对称操作中除了使单胞平移到每一个其它 单胞的操作(对于有限群操作数为一数值N,对于无限群操 作数则为无穷大)之外,还有使初基单胞所含的实体(晶体结 构中的结构基元)变换到本身的h个对称操作,所以,空间 群共有Nh个对称操作。
2
具体写法
设置三个位序(最多只有三个),每个位序规定了写什么 方向上的对称要素。
3L44L36L29PC -> m3m 既有Ln又有m,写m 位序与方向对应,是国际符号最主要特色
对称意义完全相同方向上的对称要素,不管有多少,只 写一个即可。即在对称型的国际符号中凡是可以通过其它 对称要素可以派生出来的对称要素都省略了。
简化,是国际符号的另一特色
注意
不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同。故不同晶系的国 际符号的写法也完全不同,一定不要混淆!!
每个晶系的国际符号写法见表4-3。
3
27
4
Three symbols denote symmetry elements present in certain directions
即为空间群,它反映了晶体微观结构的全部对称性。
• 空间群与点群的关系及表示方法
晶体外形所具有的宏观对称元素,在微观晶体结构中, 加入平移成分,可以表现为不同的微观对称元素。如宏观 的反映面,在晶体微观结构中可以为反映面,也可以是不 同的滑移面,或者是相互平行排列的反映面和滑移面;旋 转轴既可以表现为旋转轴,也可以为螺旋轴。
Linear molecules
Special symmetry
Proper axis Cn.n=maximum
Cv, D h C2⊥Cv
Td, D nh, D n, Cnh, Cnv, Cn,Sn
S2n(alone,or with i)
No
Ci, C1, Cs
故a+b方向的n滑移面只考虑前者,且该n滑移面与c滑移面同时存在。
不同空间群的国际符号特征
Cubic – The secondary symmetry symbol will always be either 3 or –3 (i.e. Ia3, Pm3m, Fd3m) Tetragonal – The primary symmetry symbol will always be either 4, (-4), 41, 42 or 43 (i.e. P41212, I4/m, P4/mcc) Hexagonal – The primary symmetry symbol will always be a 6, (-6), 61, 62, 63, 64 or 65 (i.e. P6mm, P63/mcm) Trigonal – The primary symmetry symbol will always be a 3, (-3) 31 or 32 (i.e P31m, R3, R3c, P312) Orthorhombic – All three symbols following the lattice descriptor will be either mirror planes, glide planes, 2-fold rotation or screw axes (i.e. Pnma, Cmc21, Pnc2) Monoclinic – The lattice descriptor will be followed by either a single mirror plane, glide plane, 2-fold rotation or screw axis or an axis/plane symbol (i.e. Cc, P2, P21/n) Triclinic – The lattice descriptor will be followed by either a 1 or a (-1).
NaCl结构沿c方向的 投影及部分对称元素
空间群符号如果省略格子类型,只 标明三个方向的对称元素,则NaCl 结构的对称性可表示为:
4 m
3
2 m

42 b
3
2 m
等。显然,作为
表示同一结构对称性的这两种符号 都无法把微观对称性完全反映出来。
NaCl结构中4和42轴同时存在是由于F格子的平移对称与旋转轴 或螺旋轴组合的结果:
以NaCl结构为例: a方向:有平行的4次轴、42次螺旋轴和 垂直的反映面、b、c、n滑移面等。
a+b+c方向:有平行的3次轴。
a+b方向:有平行的2次轴和垂直的反 映面等。 其空间群符号为:F 4 3 2
mm
空间群表示的一些特殊情况:
• I222 = I21212, I2221 = I212121,两种空间群分别写成I222和I212121 。 • Pn3n = Pn3c, Pm3n = Pm3c, Pn3m 前两个空间群表示为Pn3n和Pm3n,其中a+b方向的n的平移分量为 (a+b+c)/2,而非(a+b)/2。 n滑移面的平移分量为(a+b+c)/2,则:
σ
Yes
D h
No
Cv
No
D nd, D nh, D n, Cnh, Cnv, Cn
nC2⊥Cn
Yes Yes
Sn (n=even) Cs
No
Ci, C1
Yes
D nd, D nh, D n
No
Cnh, Cnv, Cn
Yes
Ci
No
C1
σh
nσv
σh
nσv
D nh
D nd
D n Cnh Cnv
Cn
n • a = m/(a+b) • (a+b+c)/2 • a = m/(a+b) • (a+b+c)/2 • (a+b)/2 • (a-b)/2 = m/(a+b) • (a-b)/2 • c/2 = m(a-b)/4 • c/2 = c(a-b)/4
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