第八讲 点群符号空间群

[010] [100]/[010] [100]/[010]
[111]
[001] [110] [210]/[11 0]
[110]
[100] – Axis parallel or plane perpendicular to the x-axis. [010] – Axis parallel or plane perpendicular to the y-axis. [001] – Axis parallel or plane perpendicular to the z-axis. [110] – Axis parallel or plane perpendicular to the line running at 45 to the x and y axes. [11 0] – Axis parallel or plane perpendicular to the long face diagonal of the ab face of a hexagonal cell. [111] – Axis parallel or plane perpendicular to the body diagonal.
2
具体写法
设置三个位序（最多只有三个）,每个位序规定了写什么 方向上的对称要素。
3L44L36L29PC -> m3m 既有Ln又有m，写m 位序与方向对应，是国际符号最主要特色
对称意义完全相同方向上的对称要素，不管有多少，只 写一个即可。即在对称型的国际符号中凡是可以通过其它 对称要素可以派生出来的对称要素都省略了。
空间群国际符号
最前面大写英文字母(P，A，B，C，I，F)表示空间群的平移群 ，用以描述晶体结构周期性；
第二部分是与其同形点群相应的同形对称元素。由3个位序组 成，分别表示空间群中主导方向上的对称元素，规定的方向与 点群国际符号3个位序相应的方向相同。但增加了螺旋轴和滑移 面。如果空间群的微观对称元素用相应的宏观对称元素取代， 则得到晶体的点群。
故a+b方向的n滑移面只考虑前者，且该n滑移面与c滑移面同时存在。
不同空间群的国际符号特征
Cubic – The secondary symmetry symbol will always be either 3 or –3 (i.e. Ia3, Pm3m, Fd3m) Tetragonal – The primary symmetry symbol will always be either 4, (-4), 41, 42 or 43 (i.e. P41212, I4/m, P4/mcc) Hexagonal – The primary symmetry symbol will always be a 6, (-6), 61, 62, 63, 64 or 65 (i.e. P6mm, P63/mcm) Trigonal – The primary symmetry symbol will always be a 3, (-3) 31 or 32 (i.e P31m, R3, R3c, P312) Orthorhombic – All three symbols following the lattice descriptor will be either mirror planes, glide planes, 2-fold rotation or screw axes (i.e. Pnma, Cmc21, Pnc2) Monoclinic – The lattice descriptor will be followed by either a single mirror plane, glide plane, 2-fold rotation or screw axis or an axis/plane symbol (i.e. Cc, P2, P21/n) Triclinic – The lattice descriptor will be followed by either a 1 or a (-1).
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8
圣佛里斯符号——Schoenflies notation
主要规则：
只有一个旋转轴：Cn 多个二次轴：Dn 多个高次轴：T
(Cyclic group) (Dihedra group) (Tetrahedral group)
八面体（等轴）：O
(Octahedral group)
与轴平行的反映面：v （vertical）
Crystal System
Primary
Symmetry Direction Secondary
Tertiary
Triclinic
None
Monoclinic
[010]
Orthorhombic Tetragonal Hexagonal/ Trigonal
Cubic
[100] [001]
[001]
[100]/[010]/ [001]
与轴平行且平分两个2次轴的轴间夹角：d （diagonal）
垂直主轴：h （horizontal）
4次反轴： S4 反映面： Cs （spiegnl，德文 镜子）
Method of Classifying crystals into point groups
Cv, D h, Td, Oh, Ih, Ci, C1, Cs, D nd, D nh, D n, Cnh, Cnv, Cn,Sn
NaCl结构沿c方向的 投影及部分对称元素
空间群符号如果省略格子类型，只 标明三个方向的对称元素，则NaCl 结构的对称性可表示为：
4 m
3
2 m
或
42 b
3
2 m
等。显然，作为
表示同一结构对称性的这两种符号 都无法把微观对称性完全反映出来。
NaCl结构中4和42轴同时存在是由于F格子的平移对称与旋转轴 或螺旋轴组合的结果：
以点群为m3m的晶体为例： CsCl 垂直于a方向为m
NaCl 垂直于a方向m，b，c，n共存
金刚石 垂直于a方向为d
CsCl结构沿c方向投影 垂直于a方向为m
NaCl结构沿c方向的投影
垂直于a方向m，b，c，n共存
金刚石结构沿c方向的投影 垂直于a方向为d
属于同一点群的晶体，可以属于不同的空间群。属于同 一宏观点群的所有空间群，称为与该点群同形的空间群。
空间群的全部对称操作是由点对称操作和平移操作组成。
以{D/t)表示空间操作算符，则空间操作对一般位矢作用可表示 为:
D是点对称操作的变换算符
t是平移操作
• 点阵的空间对称操作中除了使单胞平移到每一个其它 单胞的操作(对于有限群操作数为一数值N，对于无限群操 作数则为无穷大)之外，还有使初基单胞所含的实体(晶体结 构中的结构基元)变换到本身的h个对称操作，所以，空间 群共有Nh个对称操作。
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12
Part 2 空间群
• 晶体的微观对称元素有以下七类： 1、旋转轴：1，2，3，4，6 2、反映面：m 3、对称中心： 1 4、反轴：4 5、螺旋轴：21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65 6、滑移面：a，b，c，n，d 7、点阵（平移轴） 这七类对称元素的在空间的组合所表现出的对称性的集合
4 • (a+c)/2 = 4 • a/2 • c/2 = 4(a+b)/4 • c/2 = 42 因此，空间群符号中加入格子类型，并结合三个方向的特征对 称元素，即可以反映晶体的全部对称性。
对称元素选取的一般原则：
1、反映面m -- 滑移面a，b，c，n，d
2、旋转轴 -- 螺旋轴 -- 反轴
NaCl结构沿c方向的 投影及部分对称元素
对于简单点群的同形空间群，因为对称元素少，用一个位序也 不至引起混乱，这些空间群符号的第二部分只用一个位序。
例 如 ， 空 间 群 P21/m ， P 代 表 平 移 群 ， 它 属 于 单 斜 初 基 点 群 ， 21/m表示在点阵平行c轴有2次螺旋轴(21)和垂直于b轴的镜面， 相应空间群的点群为2/m。P21/m是点群2/m的同形空间群。
۩ 特点：省略了一些可以派生出来的对称要素。
国际符号中：
1,2,3,4,6——对称轴；1, 2,3, 4, 6 ——旋转反伸轴，m——对称面。 若对称面与对称轴垂直，以斜线或横线隔开，如L2PC——2／m(或m2 ） 对称中心用1
(对称中心C不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面 定会产生一个C)。
即为空间群，它反映了晶体微观结构的全部对称性。
• 空间群与点群的关系及表示方法
晶体外形所具有的宏观对称元素，在微观晶体结构中， 加入平移成分，可以表现为不同的微观对称元素。如宏观 的反映面，在晶体微观结构中可以为反映面，也可以是不 同的滑移面，或者是相互平行排列的反映面和滑移面；旋 转轴既可以表现为旋转轴，也可以为螺旋轴。
Herman-Mauguin Space Group Symbol
F
41

3
2
dc
空间群概念及其描述
能使三维周期物体(无限大晶体)自身重复的几何对称操作的集合 就是空间群。
用途：描述晶体(假设是无限大的)结构的空间对称性。
一个周期性物体的对称操作必然包含平移操作。用平移矢量来 描述点阵的周期性，所有平移矢量的集合构成1个平移群，是无限 群。
以NaCl结构为例： a方向：有平行的4次轴、42次螺旋轴和 垂直的反映面、b、c、n滑移面等。
a+b+c方向：有平行的3次轴。
a+b方向：有平行的2次轴和垂直的反 映面等。 其空间群符号为：F 4 3 2
mm
空间群表示的一些特殊情况：
• I222 = I21212, I2221 = I212121，两种空间群分别写成I222和I212121 。 • Pn3n = Pn3c, Pm3n = Pm3c, Pn3m 前两个空间群表示为Pn3n和Pm3n，其中a+b方向的n的平移分量为 (a+b+c)/2，而非(a+b)/2。 n滑移面的平移分量为(a+b+c)/2，则：
σ
Yes
Байду номын сангаасD h
No
Cv
No
D nd, D nh, D n, Cnh, Cnv, Cn
nC2⊥Cn
Yes Yes
Sn (n=even) Cs
No
Ci, C1
Yes
D nd, D nh, D n
No
Cnh, Cnv, Cn
Yes
Ci
No
C1
σh
nσv
σh
nσv
D nh
D nd
D n Cnh Cnv
Cn
点群的国际符号和圣佛里斯符号
对称型的一般符号（也即对称型的全面符号）： 按一定顺序将对称型中所有的对称要素都书写出来， 不管方向性，且比较烦琐。
国际符号——一种比较简明的符号，也称HM符号。
（International notation 或者 Hermann-Mauguin notation）
۩ 对称型的国际符号很简明：1）它不将所有的对称要素都写出来； 2）并且可以表示出对称要素的方向性；3）不容易看懂。
Linear molecules
Special symmetry
Proper axis Cn.n=maximum
Cv, D h C2⊥Cv
Td, Oh, Ih
Yes
D nd, D nh, D n, Cnh, Cnv, Cn,Sn
S2n(alone,or with i)
No
Ci, C1, Cs
简化，是国际符号的另一特色
注意
不同晶系中，这三个序号位所代表的方向完全不同。故不同晶系的国 际符号的写法也完全不同,一定不要混淆!!
每个晶系的国际符号写法见表4－3。
3
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4
Three symbols denote symmetry elements present in certain directions
n • a = m/(a+b) • (a+b+c)/2 • a = m/(a+b) • (a+b+c)/2 • (a+b)/2 • (a-b)/2 = m/(a+b) • (a-b)/2 • c/2 = m(a-b)/4 • c/2 = c(a-b)/4
n滑移面的平移分量为(a+b)/2，则：
n • a = m/(a+b) • (a+b)/2 • a = m/(a+b) • (a+b)/2 • (a+b)/2 • (a-b)/2 = m/(a+b) • (a-b)/2 = m(a-b)/4