第二节求导法则87976
求导法则与基本求导公式
求导法则与基本求导公式求导法则是微积分中常用的一些方法和规则，用来计算给定函数的导数。
它们是通过对基本求导公式的推广和应用得到的。
下面是一些常用的求导法则：一、常数乘积法则：如果f(x)是可导函数，c是常数，则有d/dx(cf(x)) = c * d/dx(f(x))二、和差法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，则有d/dx(f(x) + g(x)) = d/dx(f(x)) + d/dx(g(x))d/dx(f(x) - g(x)) = d/dx(f(x)) - d/dx(g(x))三、幂函数求导法则：如果f(x)=x^n，其中n是常数，则有d/dx(x^n) = nx^(n-1)四、乘积法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，则有d/dx(f(x) * g(x)) = g(x) * d/dx(f(x)) + f(x) * d/dx(g(x))五、商法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，并且g(x)不等于0，则有d/dx(f(x) / g(x)) = (g(x) * d/dx(f(x)) - f(x) * d/dx(g(x))) / (g(x))^2六、复合函数求导法则：如果y=f(g(x))，其中f和g都是可导函数，则y对x的导数为dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)七、反函数求导法则：如果y=f(x)的导数存在，并且f'(x)不等于0，则y对x的导数为dy/dx = 1 / (f'(f^(-1)(x)))八、指数函数求导法则：如果f(x)=a^x，其中a是常数，则有d/dx(a^x) = a^x * ln(a)九、对数函数求导法则：如果f(x) = log_a(x)，其中a是常数且大于0，则有d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))十、三角函数求导法则：(1) d/dx(sin(x)) = cos(x)(2) d/dx(cos(x)) = -sin(x)(3) d/dx(tan(x)) = sec^2(x)(4) d/dx(csc(x)) = -csc(x) * cot(x)(5) d/dx(sec(x)) = sec(x) * tan(x)(6) d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)以上是一些常用的求导法则和基本求导公式。
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点的变化率。
求导是求函数的导数的过程，求导的基本法则和公式有很多，下面详细介绍一些常用的基本法则和公式。
1. 常数法则：对于任意常数c，其导数为0。
即 d(c)/dx = 0。
2. 幂函数法则：对于任意实数n，以及常数a大于0，其导数公式为d(ax^n)/dx = nax^(n-1)。
3. 和差法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为两个函数的导数的和或差。
即d(f(x) ± g(x))/dx = f'(x) ± g'(x)。
4. 积法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再加上第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积。
即 d(f(x)g(x))/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
5. 商法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再减去第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积，然后除以第二个函数在x点的平方。
即 d(f(x)/g(x))/dx = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^26.反函数法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
7. 求导乘积法：对于一组函数的乘积f(x) = f1(x)f2(x)...fn(x)，其导数可以表示为 f'(x) = f1'(x)f2(x)...fn(x) +f1(x)f2'(x)...fn(x) + ... + f1(x)f2(x)...fn'(x)。
8.反函数求导法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
求导的法则
求导的法则求导是微积分中的一项重要内容，它可以用于研究曲线的变化率、极值、曲率等问题。
在求导的过程中，我们需要遵循一定的法则来求出函数的导数。
本文将详细介绍求导的法则，帮助读者掌握求导的方法和技巧。
一、导函数的定义在介绍求导的法则之前，我们首先会了解导函数的定义。
若函数y=f(x)在某一点x处可导，那么其导函数f'(x)定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h为极限的趋近值。
二、常数法则常数法则是求导的最基本法则之一。
根据常数法则，对于常数c，其导数为0。
即，若y=c，则dy/dx = 0。
假设有函数y=3。
根据常数法则，求导后得到dy/dx = 0。
幂法则是求导的重要法则之一。
根据幂法则，对于幂函数y=x^n，其中n为实数，其导数为：dy/dx = nx^(n-1)1. 假设有函数y=x^3。
根据幂法则，求导后得到dy/dx = 3x^2。
2. 假设有函数y=x^(-2)。
根据幂法则，求导后得到dy/dx = -2x^(-3)。
四、和差法则和差法则是求导的常用法则之一。
根据和差法则，对于函数y=u(x)±v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，其导数为：d(u±v) / dx = du/dx ± dv/dx假设有函数y=x^2 + 3x。
根据和差法则，求导后得到dy/dx = 2x + 3。
五、乘积法则乘积法则是求导的常用法则之一。
根据乘积法则，对于函数y=u(x)·v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，其导数为：d(uv) / dx = u·dv/dx + v·du/dx假设有函数y=x^2 · sin(x)。
根据乘积法则，求导后得到dy/dx = 2x·sin(x) + x^2 · cos(x)。
六、商积法则商积法则是求导的常用法则之一。
求导法则与求导公式
求导法则与求导公式求导法则是用来求导数的基本方法和公式，它是微积分的基础，被广泛应用于数学、物理等领域。
在求导过程中，有一些基本的法则和公式可以帮助我们简化计算。
一、基本求导法则1.常数法则：如果f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2. 变量法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.常数倍法则：如果f(x)=Cg(x)，其中g(x)可导且C为常数，则f'(x)=Cg'(x)。
4.加减法则：如果f(x)=g(x)±h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)±h'(x)。
5.乘法法则：如果f(x)=g(x)h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)。
6.除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)可导且h(x)不等于0，则f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/h(x)^27.复合函数法则：如果f(x)=g(h(x))，其中g和h都是可导函数，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
8.反函数法则：如果f和g是互为反函数，则f'(x)=1/g'(f(x))。
二、常用的求导公式1. 幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1)。
2.指数函数求导：(e^x)'=e^x。
3. 对数函数求导：(lnx)' = 1/x。
4. 三角函数求导：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x。
5. 反三角函数求导：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)。
同济大学高等数学第六版上第二章第二节 函数的求导法则
(sin x ) cos x sin x (cos x ) cos
2
x
cos
2
x sin cos
2
2
x
x
1 cos
2
sec x
2
x
即
2 (tan x ) sec x .
同理可得
2 (cot x ) csc x .
一、和、差、积、商的求导法则
定理
如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零 )在点 x处也 可导, 并且
(1) [ u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [ u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); ( 3) [ u( x ) v( x ) ] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) v ( x)
f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i
n
n
④
作为（2）的特殊情况
若 v c ，则 ( cu ) c u
或
[Cf ( x )] Cf ( x );
即常数因子可以提到导数符号的外面
[ k i f i ( x ) ]
i 1 n
k i f i( x )
u( x h) u( x ) v( x h) v( x ) h v ( x h )v ( x )
h 0
v ( x ) u( x )
lim
h
h 0
导数的运算法则 课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
sinx cosx2
,所以
y｜
x
4
1 (sin cos )2
1 2
.
44
(3)选D.设g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a10), 则f(x)=xg(x), 所以f′(x)=g(x)+xg′(x),所以 f′(0)=g(0)+0g′(0)=a1a2…a10=(a1a10)5=85=215.
22
2
所以y′=2x- 1cos x.
2
【方法总结】利用导数的公式及运算法则求导的思路
类型二 求复合函数的导数 【典例2】(1)已知函数f(x)= eax2bx ,求其导数. (2)设函数f(x)=cos( 3 x+φ)(0<φ<π),且f(x)+ f′(x)为奇函数. ①求φ的值; ②求f(x)+f′(x)的最值.
x2 1
④y=x2- sin x cos x .
22
【解题指南】(1)先求导,再结合条件求P点横坐标,又 点P在函数f(x)上,可求P点纵坐标. (2)分析各个函数解析式的特点,应用和、差、积、商 的导数法则求导.
【解析】(1)选D.设点P(x0，y0),因为f(x) = x +2lnx,所
以f′(x)=
【解题指南】(1)f(x)= eax2bx 是y=eu与u=-ax2+bx的复 合. (2)先求出函数f(x)=cos( 3 x+φ)(0<φ<π)的导数, 再利用f(x)+f′(x)为奇函数求φ的值,进而求出f(x) +f′(x)的最值.
【解析】(1)令u=-ax2+bx,则y=eu. y′x=y′u·u′x=eu·(-ax2+bx)′ =eu·(-2ax+b)=(-2ax+b)·eax2bx .
第二节导数的运算ppt课件
(u v)' u' v u v'.
证 设自变量在x取得增量x 时，函数u，v分别取得增
量u，v ，则
(uv) u(x x) v(x x) u(x)v(x)
(u u) (v v) u v
u v u v u v,
dy dy du dx du dx
3u2 cos x 3sin 2 x cos x.
例9 设y=ln(cos x)，求 y'. 解 令 y ln u，u cos x，则
dy dy du dx du dx
1 (sin x) u
1 (sin x) cos x
例13 设y=ln(x+tan x)，求 y'.
解 y' (ln(x tan x))' 1 (x tan x)' x tan x 1 (1 sec2 x) x tan x 1 sec2 x . x tan x
(u )' v
u'v uv' v2
.
证 设自变量在x取得增量 x时，函数u，v分别取得
增量u，v ，则
(u) u(x x) u(x) v v(x x) v(x)
u u u v v v
u v u v , v(v v)
因此
x0 x
x0 x
lim u lim v x0 x x0 x
u' v'.
此定理可以推广到有限个函数相加减的情况.例
如，若u,v,w分别可导，则
(u v w)' u' v' w' .
高等数学第二章第二节函数的求导法则课件
h0
h
h0
h
u(x) v(x)
故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(2) (uv) uv u v
证: 设 f (x) u(x)v(x) , 则有
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f
( x)
[
f
1 1 (
y)]
或 d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y f (x x) f (x) 0, y x
1
x y
且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0, 因此
f (x) lim y lim x0 x y0
1 ln
a
(arcsin x) 1
1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uv uv
3. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
注意: 1)
(uv) uv,
u v
u v
2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
思考与练习
1.
1 x
x
1 x
3
4
3 4
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1) (C ) 0 ,
2) ( x ) x1 ,
3) (a x ) a x lna , 5) (sin x) cos x , 7) (ln x) 1 .
x
4) (e x ) e x , 6) (cos x) sin x ,
第二节 求导法则
一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的导数 三、复合函数的导数
h0
h
h0
h
u( x h)v( x) u( x)v( x h)
lim
h0
v( x h)v( x)h
lim [u( x h) u( x)]v( x) u( x)[v( x h) v( x)]
h0
v( x h)v( x)h
u( x h) u( x) v( x) u( x) v( x h) v( x)
且 (a y ) a y ln a 0, 在 I x (0,)内有,
(log a
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
基本导数公式 P113
(常数和基本初等函数 的导数公式)
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
,
y
y 0 (x 0),
f ( x)连续,
又知 ( y) 0
f ( x) lim y lim 1 1
x0 x y0 x ( y)
即 f ( x) 1 .
y
( y)
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)
u( x)v( x) u( x)v( x)
[v( x)]2
f ( x)在x处可导.
1)，2) 可推广到有限个函数运算形式
(1)
n
fi(x)
n
fi( x);
i1
i1
(2)
n
fi ( x) f1( x) f2( x) fn ( x)
i1
cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
例4
设
f (x)
sin x e x 1
x0 ,
求
f ( x) .
x0
解 当x 0时, f ( x) (sin x) cos x ,
当x 0时, f ( x) (e x 1) e x , 当x 0时, f (0) 0
3) u( x) v(x)
u( x)v( x) u( x)v( x) v2(x)
(v( x) 0) .
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x) f ( x) lim f ( x h) f ( x)
u( x h) u( x) lim v( x h) v( x)
f(0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
sin x 0
lim
x0
x
1,
f(0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
lim e x
x0
10 x
1,
f (0) 1 ,
f
( x)
cos x e x
x x
0 0
.
二、反函数的导数
定理 如果函数 x ( y) 在某区间 I y 内单调、可
f1( x) f2( x) fn( x)
nn
fi( x) fk ( x);
i1 k1 ki
2)中当 v( x) C 时 , 有 [Cu( x)] Cu( x) ;
2) 中当 v( x) u( x) 时 , 有 [u2( x)] 2u( x)u( x) ;
3) 中当 u( x) C 时 , 有 C v(x)
(arcsin
x)
1 (sin
y)
1 cos y
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)
1
1 x2
.
例2 求函数 y log a x 的导数.
解 x a y 在 I y (,)内单调、可导 ,
导且 ( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应
区间I x内也可导 , 且有 f ( x)
1
.
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
(e x ) e x
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
(arccot
x)
1
1 x
2
求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x),v v( x)可导，则
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x) , v( x) 在点 x 处可导 , 则它 们的和、差、积、商(分母不为零) 在点 x 处也 可导 , 并且有:
1) [u( x) v( x)] u( x) v( x) ;
2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x) ;
Cv( x) v2(x)
(v( x)
0).
求导举例
例1 求下列函数的导数 1. y 2x2 3sin x ln 3
2. y x cos x
3. y e x sin x 5. y e x
x
4. y x x 6. y 1 x
1 x
例2 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
(sec x) sec x tan x
(a x ) a x ln a
(loga
x )
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
1 x2
( x ) x 1
(cos x) sin x
(cot x) csc2 x
(csc x) csc x cot x
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
例3 求 y sec x 的导数 .
解 y (sec x) ( 1 )