江苏高考圆锥曲线专题汇编

第10讲 圆锥曲线

历年高考分析：

回顾2009～2013年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2010、2011、2012年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A 级要求相符合． 预测在2014年的高考题中：

(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及．

(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解． 题型分类：

(1)圆锥曲线的几何性质，如a ，b ，c ，p 的几何性质以及离心率的值或范围的求解； (2)解答题中简单的直线与椭圆位置关系问题；

(3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题； (4)综合出现多字母等式的化简，这类问题难度较高．

例1：若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10

5，则m 的值是________．

解析：当m >5时，105＝m －5m ，解得m ＝253；当m <5时，105＝5－m 5

，解得m ＝3. 答案：3或253

例2：若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________． 解析：设M 的坐标为(x ，±2x )(x >0)，则x 2＋2x ＝3，解得x ＝1，所求距离为1＋12＝3

2.

例3：双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．

解析：双曲线方程化为y 26－x 2

3＝1.设P 到另一焦点的距离为d ，则由|4－d |＝26得d ＝4＋26，或d ＝4－26(舍去)．

例4：(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2

m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．

解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，

∴c ＝m 2

＋m ＋4，由e ＝c

a ＝5得m 2＋m ＋4m

＝5，解得m ＝2.

例5：已知椭圆()22

2210x y a b a b

+= >>的离心率2e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，则椭圆

的方程为 ．

例

6：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1:C ()22

2210x y a b a b

+= >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其中2F 也

是抛物线22

:4C y x =的焦点，点M 为1C 和2C 在第一象限的交点，且25

3

MF =

,则1C 的方程为 ．

例7：(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．

例8：(2013南京二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22

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x y -=．设过点M(0,1)的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若

2AM MB =，则直线的斜率为_____．

例9：已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为6

3，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，

以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．

(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．

解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝6

3.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝

4.

所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2

4＝1.

(2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m.

由⎩⎨⎧

y ＝x ＋m ，x 212＋y 2

4＝1，

得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①

设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1

4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，

所以PE ⊥AB.所以PE 的斜率k ＝2－

m

4

－3＋

3m 4

＝－1.解得m ＝2.

此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB|＝3 2.此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2

＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝9

2.

例10：(2011南京一模)直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →

.求过O 、A 、B 三点的圆的方程．

解：(1) 由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3.

因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以812＋1b 2＝1，解得b ＝3，故所求椭圆方程为x 212＋y 2

3＝1.

(2) 如图设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F(3,0)．

由AF →＝3FB →

，得⎩⎨⎧ 3－x 1＝3(x 2－3)，－y 1＝3y 2，即⎩⎨⎧

x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2，①

又A 、B 在椭圆C 上，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

(－3x 2＋12)2

12＋(－3y 2)2

3

＝1，x 2

212＋y 223＝1，

解得⎩⎪⎨

⎪

⎧

x 2＝103，

y 2＝2

3

.

所以B ⎝⎛

⎭

⎫103，2

3，代入①得A 点坐标为(2，－2)． 因为OA →·AB →＝0，所以OA ⊥AB.

所以过O 、A 、B 三点的圆就是以OB 为直径的圆， 其方程为x 2＋y 2－103x －2

3

y ＝0.

典例1：

(1)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22

22:1(0,0)x y E a b a b

-=>>的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与

实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点， 若ABC ∆为直角三角形，则双曲线E 的离心率为 ．

(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1

PF 2

＝e ，则该椭圆离

心率e 的取值范围是________．

解析：(1)2 (2)∵

PF 1PF 2＝e ，∴PF 1＝ePF 2＝e (2a －PF 1)，PF 1＝2ae

1＋e

. 又a －c ≤PF 1≤a ＋c ，∴a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，a (1－e )≤2ae 1＋e ≤a (1＋e )，1－e ≤2e

1＋e ≤1＋e ，解得e ≥2－1.

又0

演练1：设12,F F 分别为椭圆()22

22:10x y C a b a b

+= >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B

两点，直线l 的倾斜角为60ο

，1F 到直线l 的距离为如果222AF F B =,则椭圆C 的方程为 ．

典例2：(1)(2012·四川高考)椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB

的面积是________．

(2)(2011·福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于________．