第三章 常微分方程的差分方法

xi x0 ih, i 1,2,, n
数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点 的数值解。
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第 三 章
常微分方程的差分方法
对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数
值解法有两个基本特点，它们都采用“步进式”，即求解过 程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法， 要求给出用已知信息 yi , yi 1 , yi 2 ,, y0 计算 y i 1 的递推 公式。建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值 积分、数值微分、泰勒展开等离散化方法，对初值问题

xi 1
xi
y dx
xi 1
xi
f ( x, y)dx
xi 1 xi
y( xi 1 ) y( xi )
xi 1
xi
f ( x, y)dx y( xi )
f x, y( x)dx (3.3)
选择不同的计算方法计算上式的积分项
会得到不同的计算公式。
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xn
相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示。 过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方程为
y y0 f ( x0 , y0 )(x x0 )
当 x x1时,得
y1 y0 f ( x0 , y0 )(x1 x0 )
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第 三 章
常微分方程的差分方法
从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主要依靠数值解 法来解决。本章主要讨论一阶常微分方程初值问题 y f ( x, y ) ( 3.1 ) y ( x0 ) y 0 在区间a ≤ x ≤ b上的数值解法。 可以证明,如果函数在带形区域 R=a≤x≤b,-∞＜y＜∞}内连续， 且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L(它与x,y 无关)使
yi+1的一个直接的计算公式， 这类数值方法称为显式方法。
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这样就获得了P1点的坐标。
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常微分方程的差分方法
x0
x1
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第 三 章
P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn y=y(x) Pi Pn Pi+1 Pi
常微分方程的差分方法
对常微分方程初值问题(7.1)式的数值解法，就是要算出精确
解y(x)在区间a,b上的一系列离散节点
a x0 x1 xn1 xn b 处的函数值 y( x0 ), y( x1 ),, y( xn ) 的近似值 y 0 , y1 ,, y n
相邻两个节点的间距 h xi 1 xi 称为步长，步长可以相等， 也可以不等。本章总是假定h为定数，称为定步长，这时节点 可表示为
中的导数
y 进行不同的离散化处理。
y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
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第 三 章
常微分方程的差分方法
y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0 的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离
y( xi 1 ) y( xi )
xi 1
xi
f x, y( x)dx
( 3.4 )
改用梯形方法计算其积分项，即 xi 1 xi 1 xi xi f x, y( x)dx 2 f ( xi , y( xi )) f ( xi1 , y( xi1 ))

xi 1
xi
f x, y( x)dx ,就
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第 三 章
常微分方程的差分方法
用左矩形方法计算积分项

xi 1
xi
f x, y( x)dx ( xi 1 xi ) f xi , y( xi )
代入(3.3)式,并用yi近似代替式中y(xi)即可得到向前欧拉 （Euler）公式
x0
x1
xi
xi+1
xn
这样,从x0 逐个算出 对应的数值解
x1 , x2 , xn y1 , y 2 , y n
从图形上看,就获得了一条近似于曲线y=y(x)
的折线 P P P P 。 1 2 3 n
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第 三 章 3.1 欧拉（Euler）法
常微分方程的差分方法
3.1.1 Euler公式 欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。 初值问题 y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
P1 P1 P0 Pi+1 Pn y=y(x) Pi Pn Pi Pi+1
Euler法的求解过程是:从初始点 P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线 y=y(x)在P0点上切线 P0 P (其斜率 1 为 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线
x0
x1
xi
xi+1
yi 1 yi hf ( xi , yi ) yi hyi hxi yi2
当 k=0, x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有 y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8 当 k=1, x2=0.4时，已知x1 =0.2， y1 =0.8，有 y(0.4) y2 =0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144 当 k=2, x3 =0.6时，已知x2 =0.4， y2 =0.6144，有 y(0.6) y3=0.2×0.6144×(4-0.4×0.6144)=0.4613
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
对R内任意两个 y1 , y2 都成立,则方程( 3.1 )的解 y y (x) 在a, b上存在且唯一。
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第 三 章 7.2 数值方法的基本思想
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P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的 点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 Pn ( xn , y n ) 以 y ( xn ) = f ( xn , yn )为斜率作直线 当 x xn1 时,得 取 y( xn ) y n
代入(3.4)式,并用近似代替式中即可得到梯形公式 h ( 3.5 ) y i 1 y i f ( xi , y i ) f ( xi 1 , y i 1 ) 2 由于数值积分的梯形公式比矩形公式的精度高，因此梯 形公式（3.5）比欧拉公式( 3.2 )的精度高一个数值方法。
同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线 y( x1 ) 交直线x=x2于P2点,切线 P P 的斜率 = f ( x1 , y1 ) 1 2 直线方程为 当
x0
x1
xi
xi+1
xn
y y1 f ( x1 , y1 )(x x1 )
x x2时,得
y2 y1 f ( x1 , y1 )(x2 x1 )
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0.2 yi (4 xi yi )
(i 0,1,2)
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第 三 章 3.1.2 梯形公式 积分得，
常微分方程的差分方法
为了提高精度,对方程 y f ( x, y)的两端在区间上 xi , xi 1
线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求 解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可 能给出解析解。 譬如
x2 y2 y
这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来表达 它的解。
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的解y=y(x)代表通过点( x0 , y0 ) 的一条称之为微分方程的积 分曲线。积分曲线上每一点( x, y ) 的切线的斜率 y (x)等于 函数 f ( x, y) 在这点的值。
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常微分方程的差分方法
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通常取 xi1 xi hi h (常数),则Euler法的计算格式
yi 1 yi hf ( xi , yi ) y 0 y ( x0 )
i=0,1,…,n
( 3.2 )
还可用数值微分、数值积分法和泰勒展开法推导Euler格式。 以数值积分为例进行推导。 将方程 y f ( x, y) 的两端在区间 xi , xi 1 上积分得，
第 三 章
常微分方程的差分方法
第三章 常微分方程的差分方法
引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方
程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分 方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导 数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导 数
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常微分方程的差分方法
y i 1
h y i f ( xi , y i ) f ( xi 1 , y i 1 ) ( 3.5 ) 2
(3.5)式的右端含有未知的yi+1,它是一个关于yi+1的函数 方程,这类数值方法称为隐式方法。相反地,欧拉法是关于
y yn f ( xn , yn )(x xn )
yn1 yn f ( xn , yn )(x x1 xn )
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P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi y=y(x) Pn
, y ,, y ( n ) y
都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。
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第 三 章
百度文库
常微分方程的差分方法
在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典
型方程求解析解的基本方法，如可分离变量法、常系数齐次
yi 1 yi hf ( xi , yi )
由于数值积分的矩形方法精度很低，所以欧拉（Euler） 公式当然很粗糙。
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常微分方程的差分方法
例3.1 用欧拉法解初值问题
y y xy 2 (0 x 0.6) y (0) 1 取步长h=0.2 ,计算过程保留4位小数 2 解: h=0.2, f ( x, y) y xy 欧拉迭代格式
对于初值问题
散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一 类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了 初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代 表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以 外，还要用到 xi p , yi p ( p 1,2,, k ) ，即前面k步的值，此类 方法称为多步法；其代表是亚当斯法。