动力学-拉格朗日方程
拉格朗日方程
以约瑟夫·刘易斯·拉格朗日命名的拉格朗日方程是拉格朗日力学的主要方程。
它可以用来描述物体的运动，特别适合于理论物理学的研究。
拉格朗日方程的功能等效于牛顿力学中的牛顿第二定律。
拉格朗日方程：对于一个完整的系统，用广义坐标表示的动力学方程通常指第二种拉格朗日方程，该方程首先由法国数学家J.-L.拉格朗日推导。
通常可以这样写：
其中，t是由广义坐标QJ和广义速度q'j表示的系统动能；QJ 是与QJ对应的广义力；n（= 3n-k）是整个系统的自由度；n是系统的质点数；K是完全约束方程的数量。
完整系统的拉格朗日方程
完整系统的拉格朗日方程
从虚拟位移原理，我们可以得到没有约束力的具有理想约束的粒子系统的平衡方程，而动态静态方法（D'Alembert原理）则采用静态方法来建立粒子系统的动力学方程。
通过将两者结合起来，可以得到没有约束力的粒子系统动力学方程，这是一般的动力学方程。
拉格朗日方程是广义动力学方程在广义坐标系下的具体表达。
拉格朗日方程可用于建立无约束力的动力学方程，也可用于求解在给定运动定律下作用于系统的有功力。
如果要查找约束力，可以将拉格朗日方程与动态和静态方法或动量定理（或质心的运动定理）结合起来。
通常，我们将基于牛顿定律和基于牛顿定律的力学理论称为牛顿力学（也称为矢量力学），将拉格朗日方程和基于其的理论称为拉格朗日力学。
拉格朗日力学描述了机械系统在配置空间中的运动，适合研究受约束粒子系统的运动。
拉格朗日力学在解决微振动和刚体动力学问题中起着重要作用。
拉格朗日动力学方程
拉格朗日动力学方程
拉格朗日动力学（Lagrangian Dynamics）是一种以势能作为基础的
动力学理论，由拉格朗日在18th世纪末提出。
它利用势能和动能，即动
量及系统内部动量来描述物理系统的运动。
动力学方程中表达的是系统在
特定时刻的状态，它是以物体的位置和速度为变量描述物理系统状态的。
拉格朗日动力学方程是物理系统总动量保守定理的衍生形式，它表示
了系统动量的变化规律，是阐明动量守恒原理的有力证明。
它可以表达为：dL/dt = F。
其中，dL/dt表示系统的总动量，F表示系统的外力。
拉格朗日动力学方程是物理系统之间相互作用以及物体受到外力影响
的动力学的表征。
它的推导不仅展示了动量的守恒，而且它的结构可以作
为理解物理系统状态及物体运动的抽象框架。
理论力学 第3章 拉格朗日方程
记
3.1 拉格朗日方程
拉格朗日关系
3.1 拉格朗日方程
由拉格朗日关系
又
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
（1）动能的显式： 直角坐标 平面极坐标 柱坐标 球坐标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2 T mi r i i 1 2
n
单个质点
x, y , z
r ,
, , z
3.1 拉格朗日方程
[思考2] 滑块作简谐运动
自由度 s 1 ，广义坐标为 ：
X x0 cos t l sin
X l cos
Y l cos Y l sin 约束力 T T sin i T cos j
约束力的虚功
3.2 运动积分 诺特定理
3.2 运动积分 诺特定理
讨论：质点在有心力场中的动能和势能
1 2 2 r 2 T m r 2
k 2m V r
2 1 k m 2 2 2 r L T V m r 2 r
广义坐标：r，
L 0
对应一个循环积分：
3.1 拉格朗日方程
（2）系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在 平面为重力势能零点）
1 2 V kx m2 gl cos 2
（3）拉格朗日函数：
L T V 1 1 1 2 2 2 2 m 2 l m 2 xl cos kx m 2 gl cos ( m1 m 2 ) x 2 2 2
r Fi i q
n
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
理论力学拉格朗日方程
d mivi dt
( ri ) q j
所以
(mi
dvi ) ri dt q j
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)
代入上式有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
ri q j
) mivi
d dt
( ri q j
)]
第七章 拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
r i
k
j 1
r i
q
q j
j
n
代入动力学普遍方程
(Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
n [(Fi Fi* )
i 1
k j 1
ri q
q j
j
]
k
[
j 1
n i 1
(Fi
ri q j
)
n i 1
(Fi*
ri q j
)]q
j
0
广义力 记为Qj
k
这样动力学普遍方程可写为
[Q j
Q* ]q
代入前面所得动力学普遍方程的转化式
k
[Q j
Q* ]q
j
j
0
有
j 1
k
[Q j Q*j ]q j
j 1
k
[Q j
j 1
d dt
T ( q j
)
T q j
]q j
0
对于完整系统，广义虚位移δqj 都是独立的，并具有任意性，所以为使上
式成立，则有
Qj
d dt
T ( q j
)
动力学普遍方程及拉格朗日方程
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。
拉格朗日方程
[例2]图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦， 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。 解：系统具有2自由度。 以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（
B不动），此时δsC= δsA /2
1 WA Fs A WsC ( F W )s A 2 WA 1 QA F W s A 2
( j 1,2,, k )
这就是拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程， 或拉氏方程。
j , q j ,t) (1) T T (q
（2）有势力、非有势力都适用
W j (3) Q j q j
（4）不含约束力。 二、保守系统的拉格朗日方程 如果作用于质点系的力是有势力，则：
V Qj q j
(f)
①Mi点的速度： 由(a)式
dri ri ri ri ri 1 2 ... k vi q q q dt q1 q2 qk t k r ri i j q (g) j 1 q t j
j — 广义速度 式中：q
ri ri , 由（a）知 只是广义坐标和时间的函数，与广义速 q j t
这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系 ，所有主动力的元功之和： W j
W j Q j q j
Q jq j
( j 1,2,..., k )
3、若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置
的势能V=V（q1，q2，...，qk）
V V V , Yi , Zi 由式（8-7-8） X i xi yi zi
k
2 ri 2 ri j q tql j 1 q j ql
k
第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程
例6：空心轮的质量为m1、半径R，绳子的一端悬挂一质量为m2的 物体A，另一端固结在弹簧上。试求:物体A的微振动周期。
解： 自由度1 取广义坐标 法一
T
1 2
J0 2
1 2
m2v2
1 2
(m1
m2 )R2 2
T
(m1
m2 )R2
d dt
(
T
)
(m1
m2
)R
2
d dt
T
T
Q
δ
m1
T 0
d dt
FIi
ri q j
(3)
——广义惯性力
k
则
(Qj QI j ) δ q j 0
即
Q j QI j 0
QI j
j 1
n miai
i 1
ri q j
i
n
mi
1
d( dt
d vi ri
d
n
i 1
t mi
vi qqjrij
)
n i 1
mivi
d dt
(
ri q j
)
(4) (5)
[
5 2
aA
RC
g]m δ
x
[aA
3 2
RC
g]mR δ
0
[
5 2
aA
RC
g]
0
[aA
3 2
RC
g]
0
aA
C
FAI A
mg
M BI B
FC
mg
I
M
C
I
FAI ma A
C
M BI J B B
mg
M C I JCC
拉格朗日方程
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
拉格朗日动力学方程例题
拉格朗日动力学方程例题拉格朗日动力学方程是描述质点、刚体或连续体运动的重要数学工具。
它是由拉格朗日于18世纪提出的，可以从动能和势能的差异来推导出物体的运动方程。
在此，我们将介绍一个拉格朗日动力学方程的例题，并解答该问题。
例题：一个质量为m的质点在一维势场V(x)中运动。
质点的拉格朗日量L定义为L = T - V，其中T表示质点的动能。
现在假设势场V(x)满足V(x) = kx^2，其中k为常数。
求质点的运动方程。
解答：首先，我们需要计算质点的动能T。
根据动能的定义，T = (1/2)mv^2，其中v表示质点的速度。
由速度与位置的关系可得，v = dx/dt，其中x表示质点的位置，t表示时间。
因此，动能可以写为T = (1/2)m(dx/dt)^2。
接下来，我们将拉格朗日量L表示为动能和势能之差。
由题目中给出的势能表达式可得，V(x) = kx^2。
将动能和势能带入拉格朗日量的定义中可得：L = (1/2)m(dx/dt)^2 - kx^2。
根据拉格朗日动力学方程的定义，我们需要计算质点的广义力F。
广义力F可以通过势能对位置的偏导数来表示，即F = -dV/dx。
将势能表达式V(x)带入可得，F = -d(kx^2)/dx = -2kx。
综上所述，我们得到了质点的运动方程。
根据拉格朗日动力学方程的定义，F = d/dt(dL/d(dx/dt)) - dL/dx = 0。
代入我们计算得到的动能和势能的表达式，可得：d/dt(m(dx/dt)) + kx = 0化简上述方程，我们可以得到：m(d^2x/dt^2) + kx = 0这就是质点在一维势场V(x)中的运动方程。
它表示了质点受到的恢复力和质量的关系。
通过求解这个二阶微分方程，我们可以得到质点的具体运动规律。
理论力学—拉格朗日方程PPT
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
拉格朗日方程建立动力学
拉格朗日方程是经典力学中一种重要的数学工具，用于描述系统的运动方程。
通过拉格朗日方程可以建立系统的动力学模型，从而研究系统的运动规律。
下面简要介绍如何建立动力学系统的拉格朗日方程：
1. 定义系统的广义坐标：首先需要选择描述系统的自由度的广义坐标，通常用\(q_1, q_2, ..., q_n\)表示。
这些广义坐标可以完整地描述系统的所有自由度。
2. 计算拉格朗日函数：根据系统的动能和势能，可以定义系统的拉格朗日函数\(L = T - V\)，其中\(T\)表示系统的动能，\(V\)表示系统的势能。
拉格朗日函数是系统动力学描述的核心。
3. 应用欧拉-拉格朗日方程：根据拉格朗日函数，可以利用欧拉-拉格朗日方程得到系统的运动方程。
欧拉-拉格朗日方程的形式为：
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) -\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \]
其中，\(q_i\)为广义坐标，\(\dot{q}_i\)表示广义坐标\(q_i\)对时间的导数。
4. 求解拉格朗日方程：将系统的拉格朗日函数代入欧拉-拉格朗日方程，得到关于广义坐标\(q_i\)和广义速度\(\dot{q}_i\)的微分方程组。
通过求解这个微分方程组，可以得到系统的运动方程。
通过以上步骤，可以建立动力学系统的拉格朗日方程，并进一步研究系统的运动规律。
拉格朗日方程在分析运动的复杂系统时具有广泛的应用，能够简洁而有效地描述系统的动力学行为。
理论力学-拉格朗日方程
d dt
(
L qr
)
L qr
0
24
积分得：
L qr
C
(常数)
(rk)
循环积分
因L = T - U，而U中不显含 qr ，故上式可写成
L qr
qr
(T
U
)
T qr
Pr
C
(常数)
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
12 g
W ( ) M
Q
W (
)
M
T
1 6
2P
9Q g
(R r)2
;
d dt
T
1 6
2P
9Q g
(
R
r)
2
;
T
0
15
代入拉氏方程：
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
6M
g
(2P 9Q)(R r)2
积分，得：
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
gt
2
C1t
C2
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
16
[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义
动力学-拉格朗日方程
n
n
n
(Fix miaix )xi (Fiy miaiy )yi (Fiz miaiz )zi 0
i 1
i 1
i 1
9
FIr
FI
FIe
MI
mg s
x
例：图示系统：地面光滑， 圆柱(半径为 r )作纯滚动，
求圆柱的角加速度 和滑块
的加速度 a。
Mg
解 ：(1) 分析运动，并确定惯性力
应用虚位移原理：
若质点系所受的 约束为理想约束
n
FNi • ri 0
i 1
动力学普遍方程
n
W (Fi FNi FIi ) • ri 0 i 1
n
n
(Fi FIi ) •ri FNi •ri 0
i 1
i 1
n
(Fi FIi ) • ri 0 其中：FIi miai
i 1
yA 2Lsin xB 2l cos
aA yA 2L sin 2L cos2
xB 2l sin 2l cos2 aB
aCn l2 aCt l
FInC mC aCn , FItC mC aCt
M IC JC , M IO JO
mA mB m1, mC m,
11
rA
A
rCC
A
T M
135
M
mg
B
C
D
mg
mg
3
A
T M
mg
sB B
135
C
mg sc
M
D
mg
利用虚位移原理：取虚位移
由投影定理： sB 0
虚位移原理，虚功之和为零：
sc
L
拉格朗日方程式
拉格朗日方程式拉格朗日方程式________________________________拉格朗日方程式（Lagrange equation）是物理学中的一个重要概念，主要描述了摩擦力学系统中的动力学特性。
它也是物理学中一个很重要的数学工具，常用于解决简单和复杂力学系统中的力学问题。
它可以用来计算物体在受到外力作用时的动力学行为，从而对物体的运动进行分析和预测。
#### 一、拉格朗日方程式的定义拉格朗日方程式是一种数学方程，它可以用来描述物体在外力作用下的动力学行为。
它的基本形式是：\begin{equation}m\ddot x=F_{ext}-F_{int}\end{equation}其中，$x$是物体的位置向量，$m$是物体的质量，$F_{ext}$是物体受到的外力，$F_{int}$是物体内部受到的内力。
#### 二、拉格朗日方程式的应用拉格朗日方程式在物理学中有广泛的应用，常用于解决各种复杂的力学问题。
例如，在求解物体在受到外力作用时的运动轨迹、求解物体在受到外力作用时的运动规律等问题中，都可以使用拉格朗日方程式来解决。
此外，它还可以用来求解物体在受到外力作用时的运动轨迹、求解物体在受到外力作用时的能量变化、求解物体在受到外力作用时的内部应力等问题。
#### 三、拉格朗日方程式的推导在求解拉格朗日方程式之前，我们需要先了解一些基本概念。
例如，我们需要了解物体受到外力作用时所发生的力学过程，以及物体在这个过程中所受到的力和应力。
具体来说，我们需要了解物体在受到外力作用时所发生的力学过程，以及物体在这个过程中所受到的各种外力和内部应力。
然后，我们就可以使用牛顿定律和能量守恒定律来推导拉格朗日方程式。
依据牛顿定律，我们可以得到：\begin{equation}m\ddot x=F_{ext}-F_{int}\end{equation}而依据能量守恒定律，我们可以得到：\begin{equation}\frac{dK}{dt}+\frac{dU}{dt}=0\end{equation}其中，$K$是物体的动能，$U$是物体的位能。
拉格朗日方程
QIi
n i 1
miai
ri q j
n i 1
mi
d ri dt
ri q j
式（15-7）中代入了 ai d vi / dt d ri / dt ， vi ri 。
（15-4） .（15-5）
（15-6）
下面来推导 QI j 的表达式。由于
d
dt
n i1
mi
ri
ri q j
n i 1
在应用质点系的达朗贝尔原理求解动力学的问题时，取投影 形式的平衡方程。若取直角坐标系，则对于平面任意力系有
F (e) x
FIx 0
F (e) y
FIy 0
MO (F (e) )
MO (FI ) 0
（13-6）
由第十四章第六节已经得到主动力的虚功表达式为
式中
n
n
WF Fi ri Qjqj
式写成
QI
j
d dt
i
n
miri
1
ri q j
i
n
mi
1
ri
ri q j
d dt
i
n 1
mivi
vi q j
i
n 1
mi
ri
vi q j
d dt
q j
n i 1
1 2
mivi2
q j
n i 1
1 2
mivi2
d dt
T q j
T q j
（15-12）
这里引入了质点系的动能表达式
理论力学
拉格朗日方程
在动力学普遍方程中采用了非独立的直角坐标，即在式（15-1）中的ri 或在 式（15-2）中的 xi ，yi ，zi 都不是彼此独立的，在解方程时还要联立求解 一系列的约束方程组；而且还要涉及到质点系的惯性力和虚位移的分析计 算。解决这一难点的方法是，考虑系统的约束条件，利用广义坐标和动能 的概念，将动力学普遍方程化为用广义坐标表示的微分方程组。这就是本 节要阐述的拉格朗日方程，又称第二类拉格朗日方程。
拉格朗日方程
对i求和并移项得
∂ri d ∂ 1 ∂ 1 2 2 mi v i • = ∑[ ( mi vi ) − ( mi vi )] ∑ • ∂qs dt ∂ q 2 ∂qs 2 i i s
•
引入系统动能
T =
∑
i
1 2 m i vi 2
s = 1, 2, • • •, n
dvi ∂ri Qs − ∑ mi • =0 dt ∂qs i
若全部主动力均为有势力,设势能函数为 V(xi,yi,zi),则有
∂V ∂V ∂V ∂V = −( Fi = − i+ j+ k) ∂ri ∂xi ∂ yi ∂zi
∂ri Qs = ∑ Fi • ∂qs i =1
N
s=1,2, …,n 上式即为主动力有势时的广义力表达式。
∂V ∂ri • = −∑ ∂qs i =1 ∂r i
ri = ri(q1, q2, …, qn,t)
i=1,2, … ,N
于是用广义坐标的独立变分表示的虚位移为
δ ri =
∑
s =1
n
∂ ri δqs ∂qs
i
i=1,2, …,N
δW = ∑ Fi • δri
n N ∂ri ∂ri δW = ∑ Fi • ( ∑ δqs ) = ∑ ( ∑ Fi • )δqs ∂qs i =1 s =1 ∂qs s =1 i =1
m φ1 φ2
m
ϕ1 + ϕ 2 2 mr 2 • 2 • 2 cr 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
mr 2 • 2 • 2 cr 2 ϕ1 + ϕ 2 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
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§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
不稳定平衡 12
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
不稳定平衡
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第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
随遇平衡 14
其中，令 qk 0, q j 0
则
WF Qkqk
( j 1, 2, , N, j k)
Qk
WF qk
3.
对于保守系统 处于平衡状态
Qk
V qk
0
(k 1,2,, N )
例题
第十六章 拉格朗日方程
例 题 16-1
两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r 的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。
,
Fyi
V yi
,
Fzi
V zi
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi )
V ( xi
xi
V yi
yi
V zi
zi )
V 0
V 0
在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是
系统势能在平衡位置处一阶变分为零
6
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
改写为：l tan3 r tan2 r 0
由此解出θ。
例 题 16-1
18
例题
第十六章 拉格朗日方程
例 题 16-2
图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦， 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。
解：系统具有2自由度。 以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（ B不动），此时δsC= δsA /2
zi qk
(k 1,2,, N)
——与广义坐标qk相对应的 广义力
N
则
WF Qkqk 0
4
k 1
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 以广义坐标表示的质点系平衡条件
N
WF Qkqk 0 ——广义坐标表示的虚功方程 k 1
由于广义坐标的独立性 （δqk可任意取值）
则必需
Q1 Q2 QN 0
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零
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第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 以广义坐标表示的质点系平衡条件
势力场中
V V (x1, y1, z1,, xn , yn , zn ) —— 势能函数
各有势力投影
Fxi
V xi
分析力学篇
第 十六 章 拉格朗日方程
1
第 十六章 拉格朗日方程
应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的 动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的 坐标不独立，解题 动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的 一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变 得简单，这就是著名的拉格郎日方程。
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
保守系统的平衡条件： V 0
V 0
qk
(k 1,2,, N )
保守系统在平衡位置处势能取得极值
在稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极小值
在不稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极大值
单自由度系统： 平衡条件
n
虚功方程：WF WFi
i 1
n Fxi
i1
N k 1
xi qk
qk
Fyi
N k 1
yi qk
qk
N
Fzi
k 1
zi qk
qk
N n Fxi
k 1 i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
qk
0
令
Qk
n Fxi i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
▪ 以广义坐标表示的质点系平衡条件
势力场中，以广义坐标表示势能函数 V V (q1, q2,, qN )
Qk
Fxi
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
V xi
xi qk
V yi
yi qk
V zi
zi qk
V qk
(k 1,2,, N )
Qk
V qk
0
(k 1,2,, N )
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第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件
▪ 广义虚位移
设有n个质点组成的质点系，受s个完整双侧约束
fk (r1, r1,, rn,t) 0 (k 1,2,n)
则该质点系有N 个自由度(N=3n-s) ，可由N个广义坐标q1，
q2，... ， qN 确定其位置。质点系中任一质点Mi的矢径可表示
在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是 7
系统势能对于每个坐标的偏导数分别等于零。
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
保守系统的平衡条件：
V 0
V 0
qk
(k 1,2,, N )
保守系统在平衡位置处势能取得极值
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第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
稳定平衡 9
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
稳定平衡 10
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
稳定平衡 11
第 十六章 拉格朗日方程
为
ri ri (q1, q2,qN ,t) (i 1,2,n)
固定时间t，对ri 取变分，可得Mi的虚位移
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
ri qN
qN
N k 1
ri qk
qk
(i 1,2,n) qk —— 广义虚位3移
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 广义力
解：由于两杆等长等重，平衡时他们的
位置必对称，这样系统就只有一个自由
度直。距以离θ：为广h义坐标r，C1、l cCo2s距O点的垂 sin
以过O点的水平面为零势面，则
V 2Ph 2P( r l cos ) sin
系统的平衡条件为：Q V 0
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例题
第十六章 拉格朗日方程
即：2P( r cos l sin ) 0 sin2
dV 0 dq
稳定性判据
d 2V dq2
0
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第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 广义力的计算方法
1. 据广义力定义
Qk
n i1 Fxi
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
2. 利用广义虚位移任意性
(k 1,2,, N)
N
WF Qkqk k 1