动力学-拉格朗日方程
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其中，令 qk 0, q j 0
则
WF Qkqk
( j 1, 2, , N, j k)
Qk
WF qk
3.
对于保守系统 处于平衡状态
Qk
V qk
0
(k 1,2,, N )
例题
第十六章 拉格朗日方程
例 题 16-1
两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r 的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。
则必需
Q1 Q2 QN 0
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零
5
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 以广义坐标表示的质点系平衡条件
势力场中
V V (x1, y1, z1,, xn , yn , zn ) —— 势能函数
各有势力投影
Fxi
V xi
解：由于两杆等长等重，平衡时他们的
位置必对称，这样系统就只有一个自由
度直。距以离θ：为广h义坐标r，C1、l cCo2s距O点的垂 sin
以过O点的水平面为零势面，则
V 2Ph 2P( r l cos ) sin
系统的平衡条件为：Q V 0
17
例题
第十六章 拉格朗日方程
即：2P( r cos l sin ) 0 sin2
2
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件
▪ 广义虚位移
设有n个质点组成的质点系，受s个完整双侧约束
fk (r1, r1,, rn,t) 0 (k 1,2,n)
则该质点系有N 个自由度(N=3n-s) ，可由N个广义坐标q1，
q2，... ， qN 确定其位置。质点系中任一质点Mi的矢径可表示
zi qk
(k 1,2,, N)
——与广义坐标qk相对应的 广义力
N
则
WF Qkqk 0
4
k 1
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 以广义坐标表示的质点系平衡条件
N
WF Qkqk 0 ——广义坐标表示的虚功方程 k 1
由于广义坐标的独立性 （δqk可任意取值）
改写为：l tan3 r tan2 r 0
由此解出θ。
例 题 16-1
18
例题
第十六章 拉格朗日方程
例 题 16-2
图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦， 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。
解：系统具有2自由度。 以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（ B不动），此时δsC= δsA /2
n
虚功方程：WF WFi
i 1
n Fxi
i1
N k 1
xi qk
qk
Fyi
源自文库
N k 1
yi qk
qk
N
Fzi
k 1
zi qk
qk
N n Fxi
k 1 i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
qk
0
令
Qk
n Fxi i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
不稳定平衡 12
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
不稳定平衡
13
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
随遇平衡 14
在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是 7
系统势能对于每个坐标的偏导数分别等于零。
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
保守系统的平衡条件：
V 0
V 0
qk
(k 1,2,, N )
保守系统在平衡位置处势能取得极值
8
第 十六章 拉格朗日方程
,
Fyi
V yi
,
Fzi
V zi
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi )
V ( xi
xi
V yi
yi
V zi
zi )
V 0
V 0
在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是
系统势能在平衡位置处一阶变分为零
6
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
分析力学篇
第 十六 章 拉格朗日方程
1
第 十六章 拉格朗日方程
应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的 动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的 坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐 标变分。如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示 动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的 一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变 得简单，这就是著名的拉格郎日方程。
为
ri ri (q1, q2,qN ,t) (i 1,2,n)
固定时间t，对ri 取变分，可得Mi的虚位移
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
ri qN
qN
N k 1
ri qk
qk
(i 1,2,n) qk —— 广义虚位3移
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 广义力
▪ 以广义坐标表示的质点系平衡条件
势力场中，以广义坐标表示势能函数 V V (q1, q2,, qN )
Qk
Fxi
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
V xi
xi qk
V yi
yi qk
V zi
zi qk
V qk
(k 1,2,, N )
Qk
V qk
0
(k 1,2,, N )
dV 0 dq
稳定性判据
d 2V dq2
0
15
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 广义力的计算方法
1. 据广义力定义
Qk
n i1 Fxi
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
2. 利用广义虚位移任意性
(k 1,2,, N)
N
WF Qkqk k 1
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
保守系统的平衡条件： V 0
V 0
qk
(k 1,2,, N )
保守系统在平衡位置处势能取得极值
在稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极小值
在不稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极大值
单自由度系统： 平衡条件
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
稳定平衡 9
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
稳定平衡 10
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
稳定平衡 11
第 十六章 拉格朗日方程
则
WF Qkqk
( j 1, 2, , N, j k)
Qk
WF qk
3.
对于保守系统 处于平衡状态
Qk
V qk
0
(k 1,2,, N )
例题
第十六章 拉格朗日方程
例 题 16-1
两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r 的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。
则必需
Q1 Q2 QN 0
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零
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第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 以广义坐标表示的质点系平衡条件
势力场中
V V (x1, y1, z1,, xn , yn , zn ) —— 势能函数
各有势力投影
Fxi
V xi
解：由于两杆等长等重，平衡时他们的
位置必对称，这样系统就只有一个自由
度直。距以离θ：为广h义坐标r，C1、l cCo2s距O点的垂 sin
以过O点的水平面为零势面，则
V 2Ph 2P( r l cos ) sin
系统的平衡条件为：Q V 0
17
例题
第十六章 拉格朗日方程
即：2P( r cos l sin ) 0 sin2
2
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件
▪ 广义虚位移
设有n个质点组成的质点系，受s个完整双侧约束
fk (r1, r1,, rn,t) 0 (k 1,2,n)
则该质点系有N 个自由度(N=3n-s) ，可由N个广义坐标q1，
q2，... ， qN 确定其位置。质点系中任一质点Mi的矢径可表示
zi qk
(k 1,2,, N)
——与广义坐标qk相对应的 广义力
N
则
WF Qkqk 0
4
k 1
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 以广义坐标表示的质点系平衡条件
N
WF Qkqk 0 ——广义坐标表示的虚功方程 k 1
由于广义坐标的独立性 （δqk可任意取值）
改写为：l tan3 r tan2 r 0
由此解出θ。
例 题 16-1
18
例题
第十六章 拉格朗日方程
例 题 16-2
图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦， 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。
解：系统具有2自由度。 以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（ B不动），此时δsC= δsA /2
n
虚功方程：WF WFi
i 1
n Fxi
i1
N k 1
xi qk
qk
Fyi
源自文库
N k 1
yi qk
qk
N
Fzi
k 1
zi qk
qk
N n Fxi
k 1 i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
qk
0
令
Qk
n Fxi i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
不稳定平衡 12
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
不稳定平衡
13
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
随遇平衡 14
在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是 7
系统势能对于每个坐标的偏导数分别等于零。
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
保守系统的平衡条件：
V 0
V 0
qk
(k 1,2,, N )
保守系统在平衡位置处势能取得极值
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第 十六章 拉格朗日方程
,
Fyi
V yi
,
Fzi
V zi
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi )
V ( xi
xi
V yi
yi
V zi
zi )
V 0
V 0
在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是
系统势能在平衡位置处一阶变分为零
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第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
分析力学篇
第 十六 章 拉格朗日方程
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第 十六章 拉格朗日方程
应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的 动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的 坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐 标变分。如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示 动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的 一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变 得简单，这就是著名的拉格郎日方程。
为
ri ri (q1, q2,qN ,t) (i 1,2,n)
固定时间t，对ri 取变分，可得Mi的虚位移
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
ri qN
qN
N k 1
ri qk
qk
(i 1,2,n) qk —— 广义虚位3移
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 广义力
▪ 以广义坐标表示的质点系平衡条件
势力场中，以广义坐标表示势能函数 V V (q1, q2,, qN )
Qk
Fxi
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
V xi
xi qk
V yi
yi qk
V zi
zi qk
V qk
(k 1,2,, N )
Qk
V qk
0
(k 1,2,, N )
dV 0 dq
稳定性判据
d 2V dq2
0
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第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
▪ 广义力的计算方法
1. 据广义力定义
Qk
n i1 Fxi
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
2. 利用广义虚位移任意性
(k 1,2,, N)
N
WF Qkqk k 1
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
保守系统的平衡条件： V 0
V 0
qk
(k 1,2,, N )
保守系统在平衡位置处势能取得极值
在稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极小值
在不稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极大值
单自由度系统： 平衡条件
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
稳定平衡 9
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
稳定平衡 10
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
稳定平衡 11
第 十六章 拉格朗日方程