拓展_完全平方公式
初中数学完全平方公式和平方差公式公式法
例3.知二求一 x+y x-y x2+y2 xy
②若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．
解：1 x y 3,
(x 2)(y 2) 12， xy 2x 2y 4 12， xy 2(x y) 8，
xy 2
2 x y 3，xy 2，
例4.整体带入
已知x y 6，x2 y2 24求代数式5x 3y的值
解答： x2 y2 24，x y 6， x y 4，
即xx
y y
6 4
解得：xy
5 1
5x 3y 28.
(3)(m+n)2=(m−n)2+4mn.
(4)(a−b)2=(a+b)2−4ab=29.
例6.辨公式 要使4x2+12x+m成为一个完全平方式，则m的值是__9_________ 若9x2+mx+4为完全平方式，则m=___+_1_2_________
三、平方差公式题型
例1.基本运算及变式
计算：（1）（3x+2）（3x-2） 解原式=9x2-4
∵(5a+3b)2=(5a−3b)2+A ∴A=(5a+3b)2−(5a−3b)2
=(5a+3b+5a−3b)(5a+3b−5a+3b) =60ab，
例3.知二求一
x+y x-y x2+y2 xy
①已知x﹣y=1，x2+y2=25，求xy的值
解∵(x-y)2 +(x2 +y2 )=2xy ∴1+25=2xy ∴xy 13
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
完全平方公式的拓展
完全平方公式的变形一、完全平方公式()b a +2=a 2+b 2+ab 2()b a -2=a 2+b 2—ab 2 二、拓展一1、()b a +2—（b a 22+）= 。
例已知a+b=5,ab= —6，求b a22+的值 2、（b a 22+）—()b a -2= 。
例若x —y=3,xy=10,则y x 22+的值是多少 延伸题：已知x —y=4，y x 22+=20，求xy 的值, 拓展二3、()b a +2—()b a -2== 。
例：已知()y x +2=12，xy= —1求：()y x -2的值 延伸题：例已知()n m +2=11，()n m -2=7，求mn 的值 4、()b a +2+()b a -2= 。
例：()b a +2=15，()b a -2=7求：a 2+b 2的值5、⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 12=x 2+2x x 1.+x 21=x 2+2+x 21=x 2+x 21+2（1）由（1）式变形可以得到x 2+x 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 12—2⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 12=x 2+x 21—2 则⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 12—⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 12= 。
例：如果 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1=3,则x 2+x 21的值是多少： 延伸题：⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1=3 且x>x 1 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 12的值为多少 6、拆项法（一般是拆常数项,来拼凑完全平方公式，进行完全平方公式的逆运用） 例：a 2+b 2+4a —2b+5=0 求a 、b 的值 解：a2+4a+b 2—2b+5=0 a 2+2•a •2+4+b2—2•b •1+1.=0。
在这里将常数项5拆成4和1的和 ()22+a +()12-b =0.。
完全平方公式的逆运用 2+a =0 1-b =0所以a= —2 b=1例：已知y x 22++x 4—y 6+13=0，x,y 都是有理数，求x y 的值 7、如果9x 2—kxy+49y 2是一个完全平方公式，那么k 的值是（ ）A 、42B 、—42C 、21±D 、42±练习：1、如果a —b=8，ab=,20，求b a 22+的值 2、已知：a+b=8 ab=,24求，下列的值b a 22+ ()b a -2 3、如果 是一个完全平方公式，那么a 的值是（ ）．A ．2B ．－2C ．D ．。
湘教版数学七年级下册_《完全平方公式》拓展训练
《完全平方公式》拓展训练一、选择题1．若a=4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．202．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．213．若a、b、c是正数，下列各式，从左到右的变形不能用如图验证的是（）A．（b+c）2=b2+2bc+c2B．a（b+c）=ab+acC．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2acD．a2+2ab=a（a+2b）4．已知x2﹣2kx+36是一个完全平方式，则k的值是（）A．±6B．±3C．6D．﹣65．下列关于962的计算方法正确的是（）A．962=（100﹣4）2=1002﹣42=9984B．962=（95+1）（95﹣1）=952﹣1=9024C．962=（90+6）2=902+62=8136D．962=（100﹣4）2=1002﹣2×4×100+42=92166．运用乘法公式计算（a﹣2）2的结果是（）A．a2﹣4a+4B．a2﹣2a+4C．a2﹣4D．a2﹣4a﹣4 7．小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是4x2+12xy+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（）A．3y2B．6y2C．9y2D．±9y28．观察下列各式及其展开式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3（a﹣b）4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4（a﹣b）5=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5…请你猜想（a﹣b）10的展开式第三项的系数是（）A．﹣36B．45C．﹣55D．669．已知（m﹣n）2=32，（m+n）2=4000，则m2+n2的值为（）A．2014B．2015C．2016D．403210．已知：（x+y）2=12，（x﹣y）2=4，则x2+3xy+y2的值为（）A．8B．10C．12D．14二、填空题11．当m=时，关于x二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式．12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为．13．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是，宽是．14．观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想（a+b）11的展开式第三项的系数是．15．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．（1）请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．（a+b）4=a4+4a3b+ a2b2+ ab3+b4（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过814天是星期．三、解答题16．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ac=47，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+8b）（17a+44b）长方形，求x+y+z的值．17．已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米，分别求出大正方形和小正方形的边长．18．我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272=（27+7）×20+72=729322=（32+2）×30+22=1024562=（56+6）×50+62=3136…（1）请根据上述规律填空：382==；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2=，并用所学知识说明你的结论的正确性．19．【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：；（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b3的值．20．回答下列问题（1）填空：x2+=（x+）2﹣=（x﹣）2+（2）若a+=5，则a2+=；（3）若a2﹣3a+1=0，求a2+的值．《完全平方公式》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．若a=4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．20【分析】先将a=4+，整理成a﹣=4，再两边平方，展开整理即可得出结论．【解答】解：∵a=4+，∴a﹣=4，两边平方得，（a﹣）2=16，∴a2+﹣2=16，即：a2+=18，故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式，给a﹣=4两边平方是解本题的关键．2．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．21【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a+b=﹣5，ab=﹣4，∴a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=（﹣5）2﹣3×（﹣4）=37，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．3．若a、b、c是正数，下列各式，从左到右的变形不能用如图验证的是（）A．（b+c）2=b2+2bc+c2B．a（b+c）=ab+acC．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2acD．a2+2ab=a（a+2b）【分析】通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式或其它等式做出几何解释即可．【解答】解：依据①②③④四部分的面积可得，（b+c）2=b2+2bc+c2，故A能验证；依据⑤⑥两部分的面积可得，a（b+c）=ab+ac，故B能验证；依据整个图形的面积可得，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故C能验证；图中不存在长为a+2b，宽为a的长方形，故D选项不能验证；故选：D．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系，即可得到完全平方公式．4．已知x2﹣2kx+36是一个完全平方式，则k的值是（）A．±6B．±3C．6D．﹣6【分析】根据完全平方式得出2kx=±2•x•6，求出即可．【解答】解：∵x2﹣2kx+36是一个完全平方式，∴﹣2kx=±2•x•6，解得：k=±6，故选：A．【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式（有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2）是解此题的关键．5．下列关于962的计算方法正确的是（）A．962=（100﹣4）2=1002﹣42=9984B．962=（95+1）（95﹣1）=952﹣1=9024C．962=（90+6）2=902+62=8136D．962=（100﹣4）2=1002﹣2×4×100+42=9216【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．依此即可求解．【解答】解：A、962=（100﹣4）2=1002﹣2×100×4+42=9216，故选项错误；B、962=（95+1）（95+1）=952+2×95×1+1=9216，故选项错误；C、962=（90+6）2=902+2×90×6+62=9216，故选项错误；D、962=（100﹣4）2=1002﹣2×100×4+42=9216，故选项正确．故选：D．【点评】考查了完全平方公式，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．6．运用乘法公式计算（a﹣2）2的结果是（）A．a2﹣4a+4B．a2﹣2a+4C．a2﹣4D．a2﹣4a﹣4【分析】原式利用完全平方公式化简得到结果．【解答】解：原式=a2﹣4a+4，故选：A．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是4x2+12xy+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（）A．3y2B．6y2C．9y2D．±9y2【分析】根据4x2+12xy+■=（2x+3y）2得出即可．【解答】解：∵4x2+12xy+■是一个二项式的平方，∴■=（3y）2=9y2，故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2=a2+2ab+b2，②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．8．观察下列各式及其展开式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3（a﹣b）4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4（a﹣b）5=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5…请你猜想（a﹣b）10的展开式第三项的系数是（）A．﹣36B．45C．﹣55D．66【分析】根据各式与展开式系数规律，确定出所求展开式第三项系数即可．【解答】解：根据题意得：第五个式子系数为1，﹣6，15，﹣20，15，﹣6，1，第六个式子系数为1，﹣7，21，﹣35，35，﹣21，7，﹣1，第七个式子系数为1，﹣8，28，﹣56，70，﹣56，28，﹣8，1，第八个式子系数为1，﹣9，36，﹣84，126，﹣126，84，﹣36，9，﹣1，第九个式子系数为1，﹣10，45，﹣120，210，﹣252，210，﹣120，45，﹣10，1，则（a﹣b）10的展开式第三项的系数是45，故选：B．【点评】此题考查了完全平方公式，弄清题中的规律是解本题的关键．9．已知（m﹣n）2=32，（m+n）2=4000，则m2+n2的值为（）A．2014B．2015C．2016D．4032【分析】根据完全平方公式，即可解答．【解答】解：（m﹣n）2=32，m2﹣2mn+n2=32 ①，（m+n）2=4000，m2+2mn+n2=4000 ②，①+②得：2m2+2n2=4032m2+n2=2016．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．10．已知：（x+y）2=12，（x﹣y）2=4，则x2+3xy+y2的值为（）A．8B．10C．12D．14【分析】由于（x+y）2=12，（x﹣y）2=4，两式相加可得x2+y2的值，两式相减可得xy的值，再整体代入计算即可求解．【解答】解：∵（x+y）2=12①，（x﹣y）2=4②，∴①+②得2（x2+y2）=16，解得x2+y2=8，①﹣②得4xy=8，解得xy=2，∴x2+3xy+y2=8+3×2=14．故选：D．【点评】考查了完全平方公式．关键是根据已知条件两式相加求得x2+y2的值，两式相减得xy的值．二、填空题11．当m=2或﹣3时，关于x二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式．【分析】本题要要满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种情况，用待定系数法即可求解．【解答】解：二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式，故可以表示为：x2﹣（m+1）x+（m+7）=x2±2ax+a2化简为：m2+m﹣6=0解得：m=2或﹣3故答案为：2或﹣3．【点评】本题用到的知识点为完全平方公式a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2的两种情况，用待定系数法求解即可．12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为5．【分析】由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积，将a+b与ab 的值代入计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：=a2﹣b（a﹣b）=a2﹣ab+b2=[（a+b）2﹣2ab]当a+b=7，ab=13时，S阴影﹣ab=5，故答案为：5【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解本题的关键．13．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是9cm，宽是4cm．【分析】设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的长减少5cm，宽增加2cm，组成正方形，且面积相等，列方程组求解．【解答】解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得，，解得：．故答案为：9cm，4cm．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．14．观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想（a+b）11的展开式第三项的系数是55．【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）11的展开式第三项的系数．【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……∴依据规律可得到：（a+b）2第三个数为1，（a+b）3第三个数为3=1+2，（a+b）4第三个数为6=1+2+3，…（a+b）11第三个数为：1+2+3+…+9+10==55．故答案为：55．【点评】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．15．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．（1）请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．（a+b）4=a4+4a3b+ 6 a2b2+ 4ab3+b4（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过814天是星期四．【分析】（1）根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可；（2）根据814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1可知814除以7的余数为1，从而可得答案．【解答】解：（1）（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，故答案为：6，4；（2）∵814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1，∴814除以7的余数为1，∴假如今天是星期三，那么再过814天是星期四，故答案为：四．【点评】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n﹣1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．三、解答题16．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ac=47，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+8b）（17a+44b）长方形，求x+y+z的值．【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c=12，ab+bc+ac=47代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）长方形的面积xa2+yb2+zab=（25a+8b）（17a+44b），然后运算多项式乘多项式法则求得（25a+8b）（17a+44b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．【解答】解：（1）正方形的面积可表示为=（a+b+c）2；正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）=122﹣47×2=50．（3）∵长方形的面积=xa2+yb2+zab=（25a+8b）（17a+44b）=425a2+1236ab+352b2，∴x=425，y=352，z=1236∴x+y+z=2013．【点评】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．17．已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米，分别求出大正方形和小正方形的边长．【分析】设大小正方形的边长分别为a厘米，b厘米，根据周长与面积的关系列出关系式，求出a与b的值即可．【解答】解：设大小正方形的边长分别为a厘米，b厘米，根据题意得：4a﹣4b=96，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=960，把a﹣b=24代入得：a+b=40，解得：a=32，b=8，则大小正方形的边长分别为32厘米，8厘米．【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．18．我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272=（27+7）×20+72=729322=（32+2）×30+22=1024562=（56+6）×50+62=3136…（1）请根据上述规律填空：382=（38+8）×30+82=1444；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2=（10m+n+n）×10m+n2，并用所学知识说明你的结论的正确性．【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出即可；（2）根据已知算式得出规律，再求出即可．【解答】解：（1）382=（38+8）×30+82=1444，故答案为：（38+8）×30+82，1444；（2）（10m+n）2=（10m+n+n）×10m+n2，证明：∵（10m+n）2=（10m）2+2×10m×n+n2=100m2+20mn+n2，（10m+n+n）×10m+n2=100m2+20mn+n2，∴（10m+n）2=（10m+n+n）×10m+n2，故答案为：（10m+n+n）×10m+n2．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．19．【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b3的值．【分析】（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积﹣中间小正方形的面积即：（a+b）2﹣（a﹣b）2又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成即：4ab即可求得；（2）大正方体被切割成了8个小正方体或长方体故而求它们的体积和，再直接求大正方体的体积可解的恒等式；（3）由（2）的结论将已知代入即可求得值．【解答】解：（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积﹣中间小正方形的面积即：（a+b）2﹣（a﹣b）2又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成即：4ab∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；（2）∵八个小正方体或长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）∵由（2）可知（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3∴a3+b3=（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2=（a+b）3﹣3ab（a+b）将a+b=3，ab=1代入上式可得a3+b3=33﹣3×1×3=18故a3+b3的值为：18．【点评】本题主要考查了平方差，立方和公式的几何背景，用分割求解和整体计算可解得．20．回答下列问题（1）填空：x2+=（x+）2﹣2=（x﹣）2+ 2（2）若a+=5，则a2+=23；（3）若a2﹣3a+1=0，求a2+的值．【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据完全平方公式进行解答；（3）先根据a2﹣3a+1=0求出a+=3，然后根据完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a2﹣3a+1=0两边同除a得：a﹣3+=0，移向得：a+=3，∴a2+=（a+）2﹣2=7．【点评】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．。
完整版)完全平方公式变形公式专题
完整版)完全平方公式变形公式专题半期复（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一、公式拓展：拓展一：$a+b=(a+b)^2-2ab$a-b=(a-b)^2-2ab$拓展二：$(a+b)-(a-b)=4ab$a+b)=(a-b)+4ab$拓展三：$a+b+c=(a+b+c)-2ab-2ac-2bc$拓展四：杨辉三角形a+b)^2=a^2+2ab+b^2$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$拓展五：立方和与立方差a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$二、常见题型：一）公式倍比已知$a+b=4$，求$\frac{a^2+b^2}{2ab}$ 1）$x+y=1$，求$x^2+xy+y^2$2）已知$x(x-1)-(x-y)=-2$，求$x^2-y^2$ 二）公式变形1）设$(5a+3b)^2=(5a-3b)^2+A$，求$A$2）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$3）如果$(x-y)+M=(x+y)$，求$M$4）已知$(a+b)=m$，$(a-b)=n$，求$ab$5）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$的代数式三）“知二求一”1.已知$x-y=1$，$x^2+y^2=25$，求$xy$的值2.若$x+y=3$，$(x+2)(y+2)=12$，求$xy$和$x^2+3xy+y^2$的值3.已知$x+y=3$，$xy=-8$，求$x^2+y^2$和$(x^2-1)(y^2-1)$的值4.已知$a-b=3$，$ab=2$，求$(a+b)^2$和$a^2-6ab+b^2$的值四）整体代入例1：已知$x-y=24$，$x+y=6$，求$5x+3y$的值例2：已知$a=x+20$，$b=x+19$，$c=x+21$，求$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值⑴若$x-3y=7$，$x-9y=49$，求$x+3y$的值⑵若$a+b=2$，求$a-4b$的值⑶已知$a^2+b^2=6ab$且$a>b$，求$a+b$的值已知$a=2005x+2004$，$b=2005x+2006$，$c=2005x+2008$，则代数式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$的值为：begin{aligned}a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca&=(2005x+2004)^2+(2005x+2006)^2+(2005x+2008)^2\\ quad-(2005x+2004)(2005x+2006)-(2005x+2006)(2005x+2008)-(2005x+2008)(2005x+2004)\\ 3\cdot(2005x)^2+3\cdot2\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2 +2008^2)-3\cdot(2004\cdot2006+2006\cdot2008+2008\cdot2004)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot(2004+2006+2008)^2+3\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot2018^2+6\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2004^2+2006^2+2008^2) -3\cdot2018^2\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2005^2-1)-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+10\cdot2005^2-10\cdot2005+10\cdot2005^2-10-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+20\cdot2005^2-10\cdot2005-3\cdot2018^2-10\\end{aligned}五）杨辉三角观察杨辉三角（1），发现每个数都是上面两个数之和，可以得到如下规律：a+b)^1=a+b$$a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$根据规律，$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6 $。
完全平方公式及其应用
完全平方公式及其应用完全平方公式是数学中一个重要的公式，利用它可以快速计算一个二次多项式的解，也可以应用于各种数学和科学领域中。
一、完全平方公式的定义完全平方公式表明，任意一个二次多项式都可以表示为一个完全平方加上一个常数项。
具体地讲，对于形如ax²+bx+c的二次多项式，其完全平方公式为：ax²+bx+c = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a其中，x是未知数，a、b、c均为实数且a不等于0。
二、完全平方公式的应用1. 求二次函数的零点对于形如ax²+bx+c=0的二次方程，可以利用完全平方公式解出其根。
ax²+bx+c = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a = 0解得：x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a这就是二次函数的根，也叫做零点。
2. 计算几何中的面积利用完全平方公式，可以计算各种几何图形的面积。
比如，对于一个正方形，其对角线的长度可以表示为边长的根号2倍，即：d = a√2其中，a为正方形的边长。
根据勾股定理，任意一个直角三角形的斜边也可以用完全平方公式表示。
3. 计算概率完全平方公式还可以应用于概率计算中。
比如，正态分布的概率密度函数服从下面的公式：f(x) = 1/√(2πσ²) * e^-(x-μ)²/2σ²其中，e是自然对数的底数，μ是正态分布的均值，σ²是方差。
这个公式中的(x-μ)²可以用完全平方公式表示为一个完全平方加上一个常数项。
4. 计算物理量在物理中，完全平方公式也有巨大的应用价值。
比如，牛顿第二定律可以表示为：F = ma其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体所受的加速度。
根据质能方程E=mc²，物体的质量也可以用能量的形式表示为E/c²。
完全平方公式及各种典型问题ok课件
01
总结：完全平方公式的基本形式 和变形
02
通过简单的例题，让同学们熟悉 完全平方公式的各种形式，包括 基本的、变形的、和其他与完全 平方公式相关的内容。
提高练习题
总结：完全平方公式的应用和扩展
通过一些稍有难度的例题，让同学们 了解完全平方公式的应用和扩展，包 括与其他数学知识的结合、变形后的 应用等。
公式结构
这是一个基本的数学公式，用于计算一个数的平 方。公式中的“$a$”和“$b$”是变量， “$\pm$”表示正负两种情况。
公式的重要性
该公式是代数、几何等领域中广泛应用的工具， 可以帮助我们解决很多数学问题。
完全平方公式的性质
01
02
03
互逆性
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，这个 公式可以正向使用，也可 以逆向使用。
法需要一定的观察和思考能力，但可以简化复杂的计算。
完全平方公式在实际问题中的应用
总结词
广泛应用于实际问题中，如几何、代数等领 域
详细描述
完全平方公式不仅在代数领域有广泛的应用 ，在几何、三角等领域也有广泛的应用。例 如，在解决几何问题时，完全平方公式可以 用于计算面积、周长等；在解决代数问题时 ，完全平方公式可以用于因式分解、化简等 。此外，完全平方公式还可以用于解决一些
因式分解
完全平方公式可以用于因式分解 ，将一个多项式分解为若干个因 式的乘积。
完全平方公式的实际应用案例
物理应用
在物理学中，完全平方公式可以用于 计算各种量，如速度、加速度等。
数学应用
在数学中，完全平方公式可以用于解 决各种问题，如代数方程、不等式等 。
05 完全平方公式的练习与巩固
平方差公式和完全平方公式复习和拓展
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
1、对应练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)(x+3)(x－3)=x2－3； (2)(－3a－5)(3a－5)=9a2－25.
(3)（5m2 +n)2
(4) 972
25m4 10m2n n2
9409
3、填空题：
(1)（3a-2b)(_3_a_+2b)=9a2-4b2
(2) (x-6)2=x2+_(-_1_2_x_) +36
（3）x2-4x+__4__=(x-__2__)2
4、选择题
c (1)下列各式中，是完全平方公式的是（ ）
则a _±__8____。
（2）已知，4x2 kxy 25y2是完全平方式，
则k __±__2_0______。
(3)x2 12x m是完全平方式,则m _36____
(4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式，
可以添加__4_x_2或__-1_或_-_4x_4_或_4.x8或
3.在横线上添上适当的代数式，使等 式成立
(1)a2 b2 (a b)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (a b)2 _2_ab___ (3)(a b)2 (a b)2 _4_a_b____
4.公式变形的应用：((aa+-bb))22
《完全平方公式》 知识清单
《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。
这两个公式分别叫做两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式。
（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²二、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。
先看两数和的完全平方公式：（a ＋ b）²＝（a ＋ b）（a ＋ b）＝ a（a ＋ b）＋ b（a ＋ b）＝ a²＋ ab ＋ ab ＋ b²＝ a²＋ 2ab ＋ b²再看两数差的完全平方公式：（a b）²＝（a b）（a b）＝ a（a b） b（a b）＝ a² ab ab ＋ b²＝ a² 2ab ＋ b²三、完全平方公式的特征1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是左边二项式两项的平方，中间一项是左边二项式两项乘积的 2 倍。
3、公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b）² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b）²＋ 2ab3、（a ＋ b）²＝（a b）²＋ 4ab4、（a b）²＝（a ＋ b）² 4ab五、完全平方公式的应用1、用于整式的乘法运算例：计算（2x ＋ 3y）²解：（2x ＋ 3y）²＝（2x）²＋ 2×2x×3y ＋（3y）²＝ 4x²＋ 12xy ＋ 9y²2、用于因式分解例：分解因式 x²＋ 4x ＋ 4解：x²＋ 4x ＋ 4 ＝（x ＋ 2）²3、用于简便计算例：计算 102²解：102²＝（100 ＋ 2）²＝ 100²＋ 2×100×2 ＋ 2²＝ 10000 ＋ 400 ＋ 4 ＝ 104044、用于求代数式的值例：已知 a ＋ b ＝ 5，ab ＝ 3，求 a²＋ b²的值。
平方差公式完全平方公式拓展
平方差公式、完全平方公式2 2 2 2 2a +b =(a-b) +2ab (a+b) -(a-b) =4ab已知 a + b =6,ab =4，贝U a 2b +3a 2b 2+ab 2的值是1已知 X 2+y 2 -2x -4y + 5 = 0，贝U 5(xT)2-xy 的值是a 2 +b 2 +c 2 =(a +b +c)2 一、填空 -2ab -2ac-2bc 1、 (- 2x+y ) (- 2x — y ) = ______ 2、 (— 3x 2+2y 2) ( ______ ) =9x 4— 4y 4 3、(a+b — 1) (a — b+1) = ( _____ ) 2—( ______ ) 2 4、两个正方形的边长之和为 5，边长之差为2,那么较大正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是 5、计算：(a+1) ( a — 1) = ______ 若 a 2+b 2 — 2a+2b+2=0,则 a 2004+b 2005= _______ 一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a — 3b),则长方形的面积为 _________ 5— (a — b )的最大值是 _________ ，当5— (a — b )取最大值时，a 与b 的关系是 要使式子0.36x 2+1y 2成为一个完全平方式，则应加上____________ 4 6、 7、 8、 9、 10、 (4 a m ^ — 6a m ) * ZaE' ____ 11、 已知 x 2— 5x+1=0,则 X 2+4 =x 12、 已知(2005 — a)(2003 — a)=1000,请你猜想(2005 — a) 2+(2003 — a)2= 13、 若x2 — 7xy+M 是一个完全平方式，那么 M 是 _________ 14、 若 x 2— y 2=30，且 x — y= — 5，贝U x+y 的值是 ___ 15、 若 x 2— x — m = (x — m)(x+1)且 x 工 0,贝U m 等于(x+q)与(x+1)的积不含x 的一次项，贝U q 应是 _______ 5计算［(a 2— b 2)(a 2+b 2): 2等于 ______________ 已知(a+b)2=11,ab=2,则(a — b)2 的值是 _____已知 m +n -6m+10n+34=0,贝U m+n 的值是 ________ 29 X 31 X (302+1)= 16、 17、 18、 19、 20、 21、 已知X 2+y 2+4x -6y +13 = 0，x 、y 都是有理数，则x y的值是_2 +b已知(a + b)2=16,ab=4,则2-的值是 3、(a-b)2的值是22、 已知(a-b)=5,ab=3，则(a+b)2的值是 23、 已知a + b=6,a-b=4，贝U ab 的值是 _、3(a 2+b 2)的值是a 2+b 2的值是 _______24、已知a + b=4,a 2+b 2=4，则a 2b 2的值是、(a-b)2的值是25、 已知(a+b)2=60, (a-b) 2=80，贝U a 2+b 2的值是、ab 的值是2 2 2 a +b =(a+b) -2ab26、 27、C.x 2n 、y 2n一定是互为相反数D.x 2nT 、— y2n — 1一定相等28、 29、 已知X-J6，则X 2+丄的值是X X1X 2+3x +1 = 0 ,贝U X 2+P 的值是 X X 4+丄的值是X30、 2 2当代数式X +3x +5的值为7时，则代数式3x+ 9X-2的值是31、 已知2 2x+y=4 , xy=1，则代数式(X +1)(y +1）的值是32、 已知 X = 2 时，代数式 ax 5+bx 3+CX -8 =10, 则当X = —2时，代数式ax ' + bx3+ CX -8的值是33、 已知 a 2+a -1 =0，贝y a 3+2a 2+2007 的值是34、 35、 若 M =123456789x123456786 , N =123456788x123456787，则 M 与 N 的大小关系是 _3 3 3已知 a=—X-20 , b= —X-18 , c = —x-16，则代数式 a 2+b 2+c 2- ab - ac-be 的值是8 8 8 36、已知 X 工1 ( 1+X ) (1 — X ) =1 — X 2, (1 — X ) (1+X+X 2) =1 — X 3, (1 — X ) (?1+x+x 2+x 3) =1 —X 4.,(1) 观察以上各式并猜想：（1— X ） （ 1+X+X 2+…+X n ）=.（n 为正整数） 根据你的猜想计算:(1 — 2) ( 1+2+22+23+24+25)= (X — 1 ) (x 99+x 98+x 97+…+X 2+X+1 )=通过以上规律请你进行下面的探索: (a — b ) (a+b )= 二、选择 1、2、 3、 ②2+22+23+…+2n =（n 为正整数）.笑(a -b ) (a 2+ab+b 2)= (a — b ) (a 3+a 2b+ab 2+b 3)=下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ A . (a+b ) (b+a )B . (— a+b ) (a —b )下列计算中，错误的有（） 1 C . (— a+b ) (b — — a ) 3 3 D . (a 2— b ) ( b 2+a )◎ ( 3a+4) (3a — 4) =9a 2— 4 ;笑(2a 2— b ) (2a 2+b ) =4a 2— b 2; ®( 3 — X ) (x+3) =x 2 — 9;④(一x+y ) - (x+y ) = —( x — y ) (x+y ) = — x 2 下列运算正确的是（ ） A . a 3+a 3=3a 6 B . (— a ) 3•(— a ) 5= — a 8—y 2. Q O O C . (— 2a b ) 4a=— 24a b 1 1 2 12-a — 4b ) (— a — 4b ) =16b — - a 3 3 94、 下列四个算式：①4x 2y 4* 1xy=xy 3:② 16a 6b 4c*8a 3b 2=2a 2b 2c ；③9x 8y 2*3x 3y=3x 5y ； ④(12nm+8m 4 2 —4m)宁(—2n)= — 6m+4n+2, 其中正确的有( )个 5、 若x,y 互为不等于0的相反数， D .(— n 为正整数，你认为正确的是（ A.X 、y n 一定是互为相反数 B.(1八（丄）n —定是互为相反数 X y三、计算1、2 20 — 1X21 - 34016 2 4 20083 2、(3+1) (3 +1) (3 +1)…(3 +1)———23、 2 4(a+2) (a+4) (a+16) (a — 2)4、(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) (22)+1) +1 (n 是正整数)5、 利用平方差公式计算:2007 20072-2008x2006200722008^2006 + 16、 2(解方程)x (x+2) + (2x+1) (2x — 1) =5 (x +3)x(9x — 5) — (3x — 1)(3x+1)=57、 9 9(a — 2b+3c)2 — (a+2b —1 2[ab(3— b)— 2a(b — -b 2)]8、, C 2,3、 小100、/C L 100、/ /八2005 , 八—5(—3a b ); — 2 X 0.5 X (— 1) - (— 1)2[(x+2y)(x — 2y)+4(x — y) —四、综合应用请写出一个平方差公式，使其中含有字母m , n 和数字 4： _______________试说明不论x,y 取何值，代数式X 2+ y 2+6x-4y+15的值总是正数。
人教版八年级数学上《完全平方公式》拓展练习
《完全平方公式》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．122．（5分）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12B．20C．28D．363．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣674．（5分）若a＝4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．205．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．21二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝7．（5分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝，并说出第7排的第三个数是．8．（5分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．9．（5分）已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为．10．（5分）已知a+＝﹣2，则＝，＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：＝；＝；计算：＝；猜想：＝．12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：（1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；（2）请直接写出（a+b）5共有项，各项系数的和等于；（3）（a+b）n（n为非负整数）共有项，各项系数的和等于；（a﹣b）n（n为非负整数）各项系数的和等于．13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272＝（27+7）×20+72＝729322＝（32+2）×30+22＝1024562＝（56+6）×50+62＝3136…（1）请根据上述规律填空：382＝＝；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝，并用所学知识说明你的结论的正确性．14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+a5b+15a4b2+a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6②请写出（a+b）10各项系数之和：（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值．（3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程．15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1．（1）求x2+y2的值．（2）求（x﹣y）2的值．《完全平方公式》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．12【分析】依据x﹣3y＝5两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，再根据x2﹣7xy+9y2＝24，即可得到xy的值，进而得出x2y﹣3xy2的值．【解答】解：∵x＝3y+5，∴x﹣3y＝5，两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，又∵x2﹣7xy+9y2＝24，两式相减，可得xy＝1，∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．2．（5分）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12B．20C．28D．36【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．故选：C．【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．3．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣67【分析】把a+b＝10两边平方，利用完全平方公式化简，将ab＝11代入求出a2+b2的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：把a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，把ab＝11代入得：a2+b2＝78，∴原式＝78﹣11＝67，故选：C．【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．4．（5分）若a＝4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．20【分析】先将a＝4+，整理成a﹣＝4，再两边平方，展开整理即可得出结论．【解答】解：∵a＝4+，∴a﹣＝4，两边平方得，（a﹣）2＝16，∴a2+﹣2＝16，即：a2+＝18，故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式，给a﹣＝4两边平方是解本题的关键．5．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．21【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝﹣4，∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（﹣5）2﹣3×（﹣4）＝37，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝2【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而求出即可．【解答】解：（a﹣2017）（a﹣2018）＝﹣＝﹣＝2．故答案是：2．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．7．（5分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，并说出第7排的第三个数是15．【分析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．【解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；第7排的第三个数是15，故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15；【点评】考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．8．（5分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有5项，系数分别为1，4，6，4，1；（2）（a+b）n展开式共有n+1项，系数和为2n．【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题．【解答】解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．【点评】本题考查完全平方式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，锻炼学生的思维，属于一种开放性题目．9．（5分）已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为8．【分析】应用基本不等式a2+b2≥2ab，先求出2ab的取值范围，再利用完全平方公式把（a﹣b）2展开代入即可得到取值范围，从而得到最大值．【解答】解：∵a2+b2≥2|ab|，∴2|ab|≤4，∴﹣4≤﹣2ab≤4，∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4﹣2ab，∴0≤4﹣2ab≤8，∴（a﹣b）2的最大值8．故答案为：8．【点评】本题考查了完全平方公式，利用基本不等式求出﹣2ab的取值范围是解题的关键，此题较难，不容易想到思路，希望同学们思路开阔灵活求解．10．（5分）已知a+＝﹣2，则＝2，＝0．【分析】已知a+＝﹣2，两边分别平方可求得，再进行求解即可得出答案．【解答】解：∵a+＝﹣2，两边平方得：＝2，∴对其两边进行平方得；＝2，∵＝（）（）＝（a+）（a﹣）×2，∵＝﹣2＝2﹣2＝0，∴a﹣＝0，故（a+）（a﹣）×2＝0．故答案为：2，0．【点评】本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是熟练灵活运用完全平方公式进行解题．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：＝；＝；计算：＝；猜想：＝．【分析】先计算出结果，然后根据三个式子的结果规律，得猜想．【解答】解：原式＝＝；故答案为：由已知和计算的三个式子知：当n＝0时，＝＝，当n＝1时，＝＝，当n＝2时，原式＝＝…所以猜想＝＝．故答案为：【点评】本题考查了计算和规律型问题．解决本题的关键是找到计算结果的规律．12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：（1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；（2）请直接写出（a+b）5共有6项，各项系数的和等于32；（3）（a+b）n（n为非负整数）共有（n+1）项，各项系数的和等于2n；（a﹣b）n（n为非负整数）各项系数的和等于0．【分析】（1）根据规律写出（a+b）4的结果，并用整式乘法的法则进行计算即可；（2）根据各项系数以及字母指数的变化规律写出各项，得出项数以及各项系数的和即可；（3）根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和，（a﹣b）n的各项系数的和即可．【解答】解：（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．验证：（a+b）4＝（a+b）2（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2）＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．（2）根据规律可得，（a+b）5共有6项，各项系数分别为：1，5，10，10，5，1，它们的和等于32；（3）根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，∵1＝20，1+1＝21，1+2+1＝22，1+3+3+1＝23，∴（a+b）n各项系数的和等于2n；∵1﹣1＝0，1﹣2+1＝0，1﹣3+3﹣1＝0，∴（a﹣b）n各项系数的和等于0．故答案为：6，32；（n+1），2n；0．【点评】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272＝（27+7）×20+72＝729322＝（32+2）×30+22＝1024562＝（56+6）×50+62＝3136…（1）请根据上述规律填空：382＝（38+8）×30+82＝1444；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，并用所学知识说明你的结论的正确性．【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出即可；（2）根据已知算式得出规律，再求出即可．【解答】解：（1）382＝（38+8）×30+82＝1444，故答案为：（38+8）×30+82，1444；（2）（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，证明：∵（10m+n）2＝（10m）2+2×10m×n+n2＝100m2+20mn+n2，（10m+n+n）×10m+n2＝100m2+20mn+n2，∴（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，故答案为：（10m+n+n）×10m+n2．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+（﹣6）a5b+15a4b2+（﹣20）a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6②请写出（a+b）10各项系数之和：210（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值．（3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程．【分析】（1）①根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求展开式即可；②根据规律确定（a+b）10各项系数之和；（2）根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可．（3）“杨辉三角系数集”的规律可知：a0＝1，分别将x＝1和x＝﹣1代入（2）式后相加即可求得．【解答】解：（1）①：（a﹣b）6＝a6+（﹣6）a5b+15a4b2+（﹣20）a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6；故答案：﹣6，﹣20；②∵（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21，（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23，…（a+b）10各项系数之和：210；故答案为：210；（2）由（1）得：（x+1）17各项系数之和：217，即a0+a1+a2+a3+…+a16+a17＝217，∴a1+a2+a3+…+a16+a17＝217﹣1；（3）当x＝1时，（1+1）17＝217＝a17×1+a16×1+…+a1×1+a0＝a17+a16+…+a1+a0①，当x＝﹣1时，（﹣1+1）17＝0＝﹣a17+a16﹣…+a2﹣a1+a0②，①+②得：2（a0+a2+a4+a6+…+a14+a16）＝217，∵a0＝1，∴a2+a4+a6+…+a14+a16＝216﹣1．【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清“杨辉三角形”中系数规律是解本题的关键．15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1．（1）求x2+y2的值．（2）求（x﹣y）2的值．【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x+y＝5，xy＝1，∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣2＝23；（2）∵x+y＝5，xy＝1，∴原式＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣4＝21．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
完全平方公式
判断
(4) (a-1)2 = a2 - 2a + 1. (5) (-x-y)2 =(-x )2 - 2(-x)y + y2 = x2 +2 x y + y2
做一做
例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x-3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn-a)2
解：(1) (2x−3)2 =(2x)2 - 2 ·(2x) ·3+32 =4x2 - 12x +9
利用完全平方公式计算：
1 2 1. (-2m+ n) 2 1 2. ( x-2y)2 2
=
2-2mn+ 1 4m
1 2 = x -2xy+4y2 4
4
n2
3. (3ab-4b)2
=9a2b2-24ab2+16b2
巩固提高
利用完全平方公式计算：
1. ( 2a 5b)
2
= 4a2+20ab+25b2
1 4
2- 2 x
1 2 2 2 2. ( x y ) = 2 3
3
2+ 4 xy
9
y4
3. 1012 = (100+1)2 =10201
灵活应用
1.若m2+2m=1，则(m+1)2= 2 3. 已知 (x+y)2 =10，xy= -4， 求 x2+y2 的值。
=18
.
2.若(x-4)2=x2+kx+16，则 k= -8 .
1.8 完全平方公式
菏泽市牡丹区二十二中 孟凤玲
你拼过七巧板吗？
做一做
有两个边长分别为a、b的正方形，两个长为a、宽 为b的长方形，你们能把它们拼成一个正方形吗？ (无空隙、不重合） 。
(a十b)的平方的公式在人教版初几学
(a十b)的平方的公式在人教版初几学
完全平方公式是初中二年级学的。
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。
(a+b)²=a²﹢2ab+b²。
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。
﹙a-b﹚²=a²﹣2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解（如对公式中积的一次项系数的理解等）。
拓展阅读：提公因式法
在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式。
运用公式x2+（p+q)x+pq=（x+q)（x+p)进行因式分解要注意：
1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数。
2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：
①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；
②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数。
3.将原多项式分解成（x+q)（x+p)的形式。