转移概率与转移概率矩阵1 PPT
数据科学基础课件-第5章 随机游走与马尔可夫链
重复以上过程得到n个接受的样本z0,z1,...zn−1
24
Markov Chain Monte Carlo
基本思路：要得到给定概率分布P(x)的样本，利用马尔可
Weights Hidden Markov Model
2
Introduction
计算机科学的发展中，出现了一些领域独立的方 法，在处理各种领域的问题时，取得了很大成功
机器学习 马尔可夫链
3
马尔可夫与随机过程
安德烈·马尔可夫(Andrey Markov, 1856－1922)，俄国数学家，主要研究领 域在概率和统计方面，开创了随机过程 这个新的领域。
pj(t) = ∑ipi(t-1)pij
10
long-term probability distribution
Long-term probability distribution(长期概率分布)
设P(t) 是t步随机游走后的顶点概率分布，则 Long-term probability distribution a(t) 定义为：
Stationary Distribution
平稳分布示例
初始概率分布：
社会学家经常把人按其经 济状况分成3类：下层、 中层、上层，分别用1,2,3 表示
前n代人的分布状况：
P：
13
细致平稳条件
带有边概率强连通图的随机游走平稳概率分布的 一种求法
如果分布π满足 对于任意x, y,
，则π
是马尔可夫链的平稳分布，该式称为细致平稳条件。
6.2.16.2连续时间Markov链的转移概率矩阵
在标准转移概率的假设下，转移概率矩阵还有进一步性质：
60 i, j E, Pij t 是t的一致连续函数.
70
i E, Pii 0
lim
t 0
Pii
t 1
t
qii存在,且-
qii
0.
当i
j时, Pij
0
lim t 0
Pij t
t
qij存在，且0 qij
.
即 P0 存在.
4
转移概率矩阵的性质
目录
6.2 连续时间Markov链的转移概率矩阵
转移概率矩阵的性质
pij t 1.
20 t 0,i E, pij t 1, 即P t 为随机矩阵. jE
30 Chapman-Kolmogorov方程
s, t 0,有P s t P s P t .
f t et ,且 f 0 . 即f t 的变换完全由决定.
4) 由此猜测，在标准转移概率下，描述P t 演化进程的 最基本的量也应该是P 0.
5
与离散时间Markov链的转移概率矩阵的对比：
1) 由离散时间马氏链的C-K方程,P(n) P n，可知， 多步转移矩阵是由一个“最小元”P所生成的.
2) 而连续时间马氏链，在P t 中找不到直接生成它的“最小元”, 但P s t P s P t , P 0 I具有类似的属性.
3) 参考函数性质，由f s t f s f t , f 0 1可得，
i, j E, pij s t pik s pkj t . kE
2
转移概率矩阵的性质
40
Pij
0
ij
1, i 0, i
j , j
即 P 0 I.
50
人教版A版高中数学选修4-9转移概率与转移概率矩阵
2、马尔可夫链——转移概率
引入转移概率：
表示已知在时刻 m 系统处于状态 ， 或说 取值 的条件下，经 ( n-m ) 步转 移到状态 的概率，也可理解为已知在 时刻 m 系统处于状态 i 的条件下，在时刻 n 系统处于状态 j 的条件概率。
3、转移概率的性质
3、转移概率性质
时，
等在时刻n后质
点所处的状态仅与
有关，而与时刻n以前
的状态无关，故它是一个齐次马尔可夫链。
随机游走－转移概率矩阵
一步转移概率
n步转移概率
5、带有两个反射壁的随机游走
考虑一个质点在直线段上作随机游 走，直线段的两个终端为反射壁， 此随机游走所取得的状态空间为 I={ 0 , 1 , 2 , … , c } 。其中0状态和 c 状态均为反射态。一旦质点进入0状 态，则下一步必以概率1向前游走一 步，进入 c 状态，必以概率1向后游 走一步，其余各点与上题同。
p(m) ik
n
p(r kj
)
(n
m),ij源自SkSi
pi(km)(n)
k
p(r) kj
(n
m)
j
l
tn
tnm
tnmr
2、齐次马尔可夫链－CK方程
p(mr ) ij
p(m ik
)
p(r kj
)
,
ij
S
kS
用一步转移概率表达多步转移概率。
3、CK方程的矩阵表示
转移概率矩阵
7、艾伦费斯特模型
该模型可以用一个模型来说明。设一个 坛中装有c个球，它们或是红色的，或者 黑色的。随机地从坛子中取出一个球， 并换以另一个颜色的球放回坛中。经过n 次摸换，研究坛中的黑球数。
状态转移矩阵的三种求法
状态转移矩阵的三种求法一、状态转移矩阵的定义状态转移矩阵，也称为转移概率矩阵，是描述马尔可夫链中状态转移概率的一种数学工具。
在马尔可夫链中，系统的状态会随时间发生改变，而状态转移矩阵则可以描述不同状态之间的转移概率。
二、基本概念和符号定义在讨论状态转移矩阵之前，我们先来了解一些基本概念和符号定义。
1. 状态：指系统所处的特定情况或条件。
在马尔可夫链中，状态可以是离散的，也可以是连续的。
2. 状态空间：指所有可能的状态组成的集合。
3. 转移概率：指一个状态转移到另一个状态的概率。
4. 状态转移矩阵：是一个方阵，其元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
下面将介绍三种常见的求解状态转移矩阵的方法。
1. 统计法统计法是最常见的求解状态转移矩阵的方法之一。
该方法基于大量的历史数据，通过统计分析来确定状态之间的转移概率。
假设有一个马尔可夫链，其状态空间为S={s1, s2, ..., sn}，观测到的历史数据为{X1, X2, ..., Xm}，其中Xi表示第i次观测到的状态。
根据统计法，可以通过计算状态转移的频率来估计状态转移概率。
具体做法是统计历史数据中每个状态之间的转移次数，然后除以总的观测次数，得到转移概率的估计值。
2. 最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，也可以用于求解状态转移矩阵。
该方法通过最大化观测数据的似然函数，估计状态转移概率。
假设有一个马尔可夫链，其状态空间为S={s1, s2, ..., sn}，观测到的历史数据为{X1, X2, ..., Xm}，其中Xi表示第i次观测到的状态。
根据最大似然估计法，可以通过最大化观测数据的似然函数来求解状态转移概率。
具体做法是构建一个似然函数，然后求解使得似然函数取得最大值时的参数值。
3. 马尔可夫链蒙特卡洛法马尔可夫链蒙特卡洛法是一种基于模拟的求解状态转移矩阵的方法。
该方法通过在马尔可夫链上进行随机游走，来估计状态之间的转移概率。
马尔柯夫状态转移图与转移矩阵(ppt 24页)
马尔柯夫过程
将上述过程推广到一般，则马尔柯夫过程是这样一种 随机过程，即其随机变量在任意时刻tn时的状态X(tn)， 仅与其前有限次数之内的状态X(tn-i-1), X(tn-i-2), …,X(tn-i) 有关，而与以前的状态无关。
22.03.2022
马尔柯夫状态转移图
用马尔可夫状态转移图可以简单而清晰地反映这一过程。 因此，在用马尔可夫过程求解系统或设备的状态概率时， 应首先作出相应的状态转移图，并填入有关概率值，则 会一目了然并方便求解。
Pij 1/ 3
Pii 2/3
i
j
Pjj 3/ 4
22.03.2022
Pji 3/ 4
懒 鬼 起 来 吧 ！别再 浪费时 间，将 来在坟 墓内有 足够的 时间让 你睡的 。---富 兰克林 （美国 ）
人 生 太 短 暂 了，事 情是这 样的多 ，能不 兼程而 进吗？ ---爱迪 生（美 国）真 正的敏 捷是一 件很有 价值的 事。因 为时间 是衡量 事业的 标准， 一如金 钱是衡 量货物 的标准 ；所在 在做事 我有两个忠实的助手，企业在市场竞争中输赢的关键在于其 核心竞 争力的 强弱， 而实现 核心竞 争力更 新的惟 一途径 就是创 新。 一项权威的调查显示：与缺乏创新的 企业相 比，成 功创新 的企业 能获得20％甚 至更高 的成长 率；如 果企业80％的 收入来 自新产 品开发 并坚持 下去， 五年內 市值就 能增加 一倍； 全球83％的高 级经理 人深信 ，自己 企业今 后的发 展将更 依赖创 新。
忽 视 当 前 一 刹那的 人，等 于虚掷 了他所 有的一 切。---富 兰克 林（美 国） 时 间 不 可 空 过，惟 用之于 有益的 工作； 一切无 益的行 动，应 该完全 制止。 ---富兰 克林（ 美国）
人教版高中选修4-92.转移概率与转移概率矩阵课程设计
人教版高中选修4-92.转移概率与转移概率矩阵课程设计一、前言本文主要介绍人教版高中选修4中的重要内容——转移概率和转移概率矩阵。
转移概率和转移概率矩阵是研究马尔科夫过程的重要工具，也是统计学、概率论、随机过程及应用数学等领域的重要内容。
本文将介绍这个概念的定义、性质以及其在实际应用中的一些例子。
二、转移概率1. 定义在马尔可夫过程中，如果对任意状态 i、j（i ≠ j）有下列关系式：P(X n=j|X n−1=i)=p ij(n=1,2,3...)则称p ij为状态 i 到状态 j 的转移概率。
其中X n为随机变量，代表系统在时刻 n 的状态，而状态 i 和状态 j 只要满足p ij概率大于零，则称状态 i 和状态 j 连通。
2. 性质转移概率p ij满足以下性质：•非负性：$p_{ij}\\geq 0$•归一性：对于任意状态i，有$\\sum\\limits_j P_{ij}=1$•状态不变性：$$\\sum\\limits_j P(X_n = j | X_{n-1} = i) = 1$$3. 例子考虑一个简单的例子：一辆汽车在两个交通灯中间行驶。
两个交通灯的状态分别为红灯和绿灯。
假设在红灯状态下，汽车在下一个时间段内仍然保持红灯状态的概率为 0.7，转移到绿灯状态的概率为 0.3；在绿灯状态下，汽车在下一个时间段内仍然保持绿灯状态的概率为0.9，转移到红灯状态的概率为 0.1。
则该问题可以用一个转移矩阵表示：红灯状态绿灯状态红灯状态0.7 0.3绿灯状态0.1 0.9假设该汽车最开始处于红灯状态，则有：$$ P(X_1 = \\text{红灯状态}) = 1, P(X_1 = \\text{绿灯状态}) = 0 $$则可以用转移矩阵中的元素逐步推导出该汽车在不断变换状态的过程中处于任意状态的概率。
三、转移概率矩阵1. 定义将所有的转移概率p ij组成的矩阵称为转移概率矩阵，记为P。
例如，在上述例子中，P矩阵为：$$ P = \\begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 \\\\ 0.1 & 0.9\\end{bmatrix} $$2. 性质转移概率矩阵P也有一些性质：•非负性：$p_{ij}\\geq 0$•归一性：对于任意状态i，有$\\sum\\limits_i\\sum\\limits_j P_{ij}=1$•状态不变性：$$\\sum\\limits_j P(X_n = j | X_{n-1} = i) = 1$$•矩阵相乘：对于任意的转移矩阵P和长度为n的状态序列 $x_0,x_1,\\cdots,x_{n-1}$，有：$$ \\begin{bmatrix}P_{x_0 x_1} & P_{x_0 x_2} & \\cdots &P_{x_0 x_n}\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}P_{x_0 x_0} &P_{x_0 x_1} & \\cdots & P_{x_0 x_{n-1}}\\end{bmatrix}\\cdot P $$3. 例子考虑一个更为复杂的例子：一家电视台每天晚上有三档节目，分别是体育、新闻和娱乐，观众每个晚上的选择都是由前一晚收视率来决定的。
状态转移概率矩阵计算
状态转移概率矩阵计算（原创实用版）目录1.状态转移概率矩阵的概念2.状态转移概率矩阵的计算方法3.状态转移概率矩阵的应用正文一、状态转移概率矩阵的概念状态转移概率矩阵是在马尔可夫过程中，描述系统从某一状态转移到另一状态的概率矩阵。
在马尔可夫过程中，系统的状态转换是随机的，且只与当前状态有关，与过去的状态无关。
状态转移概率矩阵是一个方阵，行和列分别对应系统的所有可能状态。
矩阵中的每个元素表示从当前状态转移到对应状态的概率。
二、状态转移概率矩阵的计算方法状态转移概率矩阵的计算方法依赖于系统的具体性质。
以下是两种常见的计算方法：1.对于离散状态的马尔可夫链，可以利用统计方法估计状态转移概率。
例如，在训练数据中，可以通过计数每个状态转移的次数来估计概率。
假设训练数据包含 S 个长度相同的观测序列和对应的状态序列(O1,I1),(O2,I2),...,(O_S,I_S)，可以计算每个状态转移的概率：P(i|j) = (Σ_k O_k=i, I_k=j) / N，其中 N 为训练数据的总数。
2.对于连续状态的马尔可夫过程，可以利用数学方法计算状态转移概率矩阵。
例如，对于线性定常连续系统，可以利用矩阵指数函数 eAt 计算状态转移矩阵。
具体地，状态转移矩阵 T 可以表示为 eAt，其中 A 是系统矩阵，t 是时间步长。
三、状态转移概率矩阵的应用状态转移概率矩阵在许多领域都有广泛应用，例如机器学习、控制系统和信号处理等。
在机器学习中，状态转移概率矩阵可以用于构建隐马尔可夫模型（HMM），从而对具有时序性的数据进行建模和预测。
HMM 模型包括三个矩阵：状态转移概率矩阵、观测概率矩阵和初始状态概率分布。
通过这三个矩阵，可以计算出系统在给定观测序列下的概率，从而实现对未知状态的推测。
在控制系统中，状态转移概率矩阵可以用于分析系统的稳定性和动态性能。
根据状态转移概率矩阵，可以计算系统的稳态概率分布，从而判断系统是否稳定。
Cha电信PPT课件
p(bi | a j ) 1或0 • 噪声熵H(Y|X) ＝ 0
p(ai
|
bj
)
1或0
• 损失熵H(X|Y) ≠ 0
I(X ,Y ) H (Y ) H (X )
C max I (X ;Y ) max H (Y ) p(ai )
信道中接收到 符号Y后不能 完全消除对X 的不确定性, 信息有损失。 但输出端Y的 平均不确定性 因噪声熵等于 零而没有增加。26
内容
3.1 信道分类和表示参数 3.2 离散单个符号信道及其容量 3.3 离散序列信道及其容量
1
3.1 信道分类和表示参数
2
信道
• 信道：信息传输的通道
–在通信中,信道按其物理组成常被分成微波信 道、光纤信道、电缆信道等。信号在这些信 道中传输的过程遵循不同的物理规律, 通信 技术必须研究信号在这些信道中传输时的特 性
C
max
p(ai )
I
(X
;Y
)
max
H
(Y
)
log
2
m
29
3.2.2 对称DMC信道
• 对称离散无记忆信道：
• 对称性:
–每一行都是由同一集合{q1, q2,…qm}的诸
元素不同排列组成——输入对称
–每一列都是由{p1, p2,…pn}集的诸元素不
同排列组成——输出对称
1 1 1 1
P
3
3
6
6
31
对称DMC信道
• 对称离散信道的平均互信息为
I(X ,Y ) H (X ) H (X |Y ) H (Y ) H (Y | X )
H (Y | X ) p(ai ) p(bj | ai ) logp(bj | ai )
《马氏链及其应用》课件
马氏链的性质
总结词
马氏链具有无记忆性、强马尔可夫性和转移概率性等性质。
详细描述
马氏链的一个重要性质是无记忆性，即下一个状态与过去状 态无关，只与当前状态有关。此外，马氏链还具有强马尔可 夫性和转移概率性等性质，这些性质使得马氏链在描述随机 现象时具有独特的优势。
马氏链的分类
要点一
总结词
马氏链可以分为离散时间和连续时间的马氏链，以及有向 和无向的马氏链。
机器学习算法
马氏链在强化学习中用于 估计策略值函数和近似最 优策略，提高机器学习的 效率和准确性。
图像处理
通过马氏链模拟图像的随 机过程，实现图像的降噪 、增强和修复等处理。
数据压缩
利用马氏链对数据进行编 码和压缩，降低存储和传 输成本，提高数据处理的 效率。
在其他领域的应用
物理学中的随机过程模拟
在生态领域的应用
种群动态模拟
01
马氏链用于模拟物种数量的变化过程，研究种群的增长规律和
生态平衡机制。
生态系统稳定性分析
02
通过马氏链分析生态系统中的反馈机制和稳定性条件，评估生
态系统受到干扰后的恢复能力。
生物多样性保护
03
利用马氏链预测物种的灭绝风险和保护策略，为生物多样性保
护提供科学依据。
在计算机科学领域的应用
马氏链面临的挑战和问题
理论体系的完善
马氏链理论体系仍需不 断完善和发展，以适应 不断涌现的新问题和挑 战。
应用领域的拓展
尽管马氏链在某些领域 已经取得广泛应用，但 仍需拓展更多应用领域 ，解决实际问题。
计算效率的提高
随着数据规模的增大， 如何提高马氏链的计算 效率成为亟待解决的问 题。
THANKS
马尔柯夫状态转移图与转移矩阵
马尔柯夫过程
当条件概率为
时，则称X(tn)与过去历史无关，即为独立随机过 程 当条件概率为
时，则称X(tn)仅与前一状态X(tn-1)有关而与更前的 状态无关。这一随机过程就是最简单的马尔柯夫过程
•2020/4/30
马尔柯夫过程
将上述过程推广到一般，则马尔柯夫过程是这样一种 随机过程，即其随机变量在任意时刻tn时的状态X(tn) ，仅与其前有限次数之内的状态X(tn-i-1), X(tn-i-2), …,X(tn-i)有关，而与以前的状态无关。
•2020/4/30
马尔柯夫转移矩阵
可见矩阵P为遍历矩阵
•2020/4/30
马尔柯夫转移矩阵
当概率矩阵P为正规的遍历矩阵时，则具有以下性质： Pn随着转移步数n的增加而趋于某一稳定矩阵。即各态 转移的概率趋于稳定； 稳定矩阵的各元素均大于0； 稳定矩阵的各行是同一概率向量：
且
•2020/4/30
马尔柯夫转移矩阵
既然极限状态概率向量不再变化，因此，即使再转移一 步，其状态概率也是不会变的，故有
•2020/4/30
马尔柯夫过程所具有的这种更以前的各种状态不影响 现状态X(tn)的性质，称为“马氏性”或“无后效性”，“无 记忆性”。而马尔柯夫过程又称为“无记忆过程”。
•2020/4/30
马尔柯夫过程
为了方便，现将状态X(tn)记为j, X(tn-1)记为i，则式可 写为
条件概率Pij称为过程从状态i到状态j的转移概率。
如果马尔可夫过程从一个给定状态向另一个状态转移 的概率仅与两状态的相对时间有关，而与观测时刻无 关，或具体观测时间变化时其转移概率值仍不变，即
则称为“稳态马而可夫过程”，“平稳~”，“齐次~”。
信息论转移概率
信息论转移概率信息论是一个很重要的概念，它是研究信息的传递和处理的学科，通过信息论的研究，可以更好地理解信息的性质，从而提高信息传递和处理的效率。
其中，转移概率是信息论中的重要内容之一，本文将详细介绍转移概率的概念、性质及其应用。
一、概念转移概率是指在给定的一个状态下，系统转移到另一个状态的概率。
例如，考虑一个离散时间的马尔科夫过程，状态为{s1, s2, s3}，转移概率为：P(s1 → s2) = 0.3∑ Pi(j|i) = 1，对所有状态i和j成立。
转移概率是马尔科夫过程的基本概念，它描述了该过程的演化规律，是分析和预测该过程的重要工具。
二、性质1. 对称性如果马尔科夫过程的转移概率具有对称性，即：则称该过程为对称马尔科夫过程。
在对称马尔科夫过程中，所有状态的稳定分布是唯一的。
2. 传递性Pi(j|i) > 0 且 Pj(k|j) > 0，则P(i|j) > 0。
3. 线性性P(a|i) = λP(b|i) + (1-λ)P(c|i)则称该过程为线性马尔科夫过程。
线性马尔科夫过程具有许多良好的性质，例如当λ=0.5时，它可以得到最短路径的结果。
三、应用1. 转移矩阵马尔科夫过程的转移概率可以用转移矩阵来表示。
转移矩阵是一个正方形矩阵，其元素由转移概率构成。
例如，考虑一个三状态的马尔科夫过程，其转移概率矩阵为：[0.1, 0.3, 0.6;2. 马尔科夫链模型马尔科夫链模型是一种描述系统演变的模型，它可以用转移概率矩阵表示。
马尔科夫链模型可以应用于很多领域，如生物学、化学、物理学、金融学等。
3. 马尔科夫决策过程马尔科夫决策过程是一种决策模型，用于解决序列决策问题。
它是马尔科夫过程的扩展，将状态转移概率与决策分析相结合，从而使得序列决策达到最优化。
转移概率与转移概率矩阵精品教案
转移概率与转移概率矩阵【教学目标】1．掌握转移概率与转移概率矩阵。
2．熟练运用转移概率与转移概率矩阵解决具体问题。
3．亲历转移概率与转移概率矩阵的探索过程，体验分析归纳得出转移概率与转移概率矩阵，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握转移概率与转移概率矩阵。
难点：转移概率与转移概率矩阵的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习转移概率与转移概率矩阵，这节课的主要内容有转移概率与转移概率矩阵，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解转移概率与转移概率矩阵内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习转移概率，它的具体内容是：只要知道就能由的分布列推出的分布列，我们把()1|X ,1,2,ij n n p P X j i i +====X n 1n X +为从状态到状态的转移概率，简称转移概率。
ij p i j 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：请同学们写出转移概率的一个基本性质？解析：（1）对于一切有,m n (),m n 0ij p m +≥（2）对于一切，有,m n (),1ij j Ep m m n ∈+=∑根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：请同学们查找资料，写出转移概率的另一个定义？（3）接着，我们再来看下转移概率矩阵内容，它的具体内容是：一般地，对于一个马尔科夫链，像这样的矩阵称为马尔可夫链的转移概率11122122,,p p P p p ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭矩阵它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
例：请同学们查找资料写出转概率矩阵的性质。
解析：()0,ij P m I i I≤≤∈(),i I ijj IP m I ∈≤∈∑根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：转移概率矩阵是一个具有_____的方阵，并且其各行元素之和都等于1.()P m 三、课堂总结（1）这节课我们主要转移概率与转移概率矩阵及其应用。
马尔科夫链的转移概率矩阵
转移概率(transition probability)什么是转移概率转移概率是马尔可夫链中的重要概念，若马氏链分为m个状态组成，历史资料转化为由这m个状态所组成的序列。
从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态1、2、……，m中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。
当样本中状态m可能发生转移的总次数为i，而由状态m到未来任一时刻转为状态ai 的次数时，则在m+n时刻转移到未来任一时刻状态aj的转移概率为：这些转移移概率可以排成一个的转移概率矩阵：P(m,m+n)(Pij(m,m + n))当m=1时为一阶转概率矩阵，时为高阶概率转移矩阵，有了概率转移矩阵，就得到了状态之间经一步和多步转移的规律，这些规律就是贷款状态间演变规律的表，当初始状态已知时，可以查表做出不同时期的预测。
转移概率与转移概率矩阵[1]假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。
根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。
又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60％的人下月将继续使用黑妹牙膏，40％的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70％的人下月将继续使用中华牙膏，30％的人将改用黑妹牙膏。
据此，可以得到如表－1所示的统计表。
表－1 两种牙膏之间的转移概率拟用黑妹牙膏中华牙膏现用黑妹牙膏 60％40％中华牙膏 30％70％上表中的4个概率就称为状态的转移概率，而这四个转移概率组成的矩阵称为转移概率矩阵。
可以看出，转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为１。
在本例中，其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。
2．用转移概率矩阵预测市场占有率的变化有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（１月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900，而使用中华牙膏的人数将为6100。
随机过程-7马尔科夫链的概念和转移概率1
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 马尔可夫链的性质 P{X0=i0, X1=i1, , Xn=in}
=P{Xn=in|X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1} P{X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1}
= P{Xn=in|Xn-1=in-1} P{Xn-1=in-1 |X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2} P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
用泛函中二元函数的范数进行研究）
4.1 马尔可夫链与转移概率
随机过程{Xn，nT }， 参数T={0, 1, 2, },状态空间I={i0, i1, i2, }
定义 若随机过程{Xn，nT }，对任意nT和 i0,i1,,in+1 I，条件概率 P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,,Xn=in} = P{Xn+1=in+1|Xn=in}， 则称{Xn，nT }为马尔可夫链，简称马氏链。
• 可以用状态转移图和转移概率矩阵表示 齐次马尔科夫链：
• 例1 某地只有甲、乙、丙三家公司的产品在 该地销售，据统计一个月后，使用甲产品 的用户有10%转向乙，20%转向丙；使用 乙产品的用户有10%转向甲，20%转向丙； 使用丙产品的用户有8%转向甲，4%转向乙。 已知甲、乙、丙现在的市场占有率是 30%,20%,50%,问四个月后的各自市场占有 率是多少？经过足够长的时间，市占率是 否会稳定？稳定到多少？
= P(X0=2)P22 P22 P23 P34 =0.420.32 若 P(X0=2)=P0,则2→2→2→3→4的概率为：P00.420.32
例2(蜘蛛和苍蝇)
转移矩阵：
1
0
0
马尔可夫链及其转移概率矩阵知识点整理
马尔可夫链及其转移概率矩阵知识点整理马尔可夫链是一种数学模型，常用于描述随机状态的转移。
它由一组状态和状态之间的转移概率组成。
转移概率矩阵是马尔可夫链的核心组成部分，用于表示状态之间的转移概率。
马尔可夫链的基本概念状态（State）：描述系统所处的状态，可以是任意事物的状态，如天气、股市涨跌等。
转移概率（n Probability）：表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
转移概率矩阵（n Probability Matrix）：是一个方阵，用于表示各个状态之间的转移概率。
马尔可夫链的性质1.马尔可夫性：未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
即给定当前状态，过去的状态信息对预测未来的状态没有影响。
2.状态转移概率的性质：转移概率必须满足非负性和归一性。
即转移概率都大于等于0，并且每个状态的所有转移概率之和为1.转移概率矩阵的计算转移概率矩阵可以通过观察历史数据或统计分析来计算。
假设有n个状态，转移概率矩阵的大小为n×n。
矩阵中的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
以下是计算转移概率矩阵的一般步骤：1.收集所需的历史数据，记录状态的转移序列。
2.统计各个状态之间的转移次数。
3.将转移次数转化为转移概率，即计算每个状态转移到其他状态的概率。
4.构建转移概率矩阵，将转移概率填充到相应的矩阵元素中。
马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域中有广泛的应用，例如：经济学：用于模拟经济系统中的状态转移，如市场波动预测等。
生物学：用于描述基因的突变和进化等。
总结马尔可夫链是一种描述随机状态转移的数学模型，转移概率矩阵是它的核心组成部分。
通过计算转移概率矩阵，我们可以了解状态之间的转移概率，并应用于各个领域的问题求解中。
马尔可夫链的数学性质使得它具有很大的应用潜力。
以上是对马尔可夫链及其转移概率矩阵的知识点进行的整理。
希望对您的学习有所帮助！。
齐次马尔可夫过程转移概率矩阵的定理
齐次马尔可夫过程转移概率矩阵的定理
齐次马尔可夫过程转移概率矩阵的定理也被称为马尔可夫链的收敛定理或细致平稳条件。
它是关于齐次马尔可夫链平稳分布的一个重要性质。
定理的内容为：对于一个具有有限状态空间的齐次马尔可夫过程，如果存在一个概率分布π满足以下两个条件：
1. π是一个非负概率分布，即π(i) ≥ 0，对所有的状态i；
2. 对于任意的状态i，有∑π(j)P(j|i) = π(i)，其中P(j|i)表示在状
态i下转移到状态j的概率；
那么π是该齐次马尔可夫过程的平稳分布。
也就是说，当过程在该平稳分布下进行转移时，各个状态的概率保持不变。
这个定理的关键是找到了满足上述条件的非负概率分布π。
这
个分布可以通过求解线性方程组的方法得到。
得到平稳分布后，可以利用它来进行各种关于齐次马尔可夫过程的推断和计算，比如计算平均转移次数、平均逗留时间等。
概率转移矩阵计算方式
概率转移矩阵计算方式
概率转移矩阵是在马尔可夫链中使用的一种工具，用于描述系
统在不同状态之间转移的概率。
它通常表示为一个方阵P，其中P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率。
概率转移矩阵的计算方式取决于具体的马尔可夫链模型。
一般
来说，计算概率转移矩阵的步骤如下：
1. 确定状态空间，首先需要确定系统可能的状态集合，然后将
这些状态分配给矩阵的行和列。
2. 收集转移概率数据，根据系统的实际观测数据或者根据问题
的设定，收集系统在不同状态之间转移的概率数据。
3. 归一化概率，对于每个状态i，将其到达其他状态的转移概
率进行归一化处理，确保每一行的概率之和为1。
4. 构建矩阵，将归一化后的概率填入概率转移矩阵P中的相应
位置，得到完整的概率转移矩阵。
需要注意的是，概率转移矩阵的计算涉及到对系统状态转移概率的建模和估计，这通常需要依赖于具体问题的背景知识和数据。
在实际应用中，可以使用统计方法、机器学习算法或者基于领域专家的经验知识来计算概率转移矩阵。
总之，计算概率转移矩阵的方式是通过收集系统状态转移的概率数据，并将其归一化填入矩阵中，以描述系统在不同状态之间的转移概率。
转移概率矩阵的平稳分布
转移概率矩阵的平稳分布
转移概率矩阵平稳分布是指一种形式稳定的马尔科夫链，此马尔科夫链具有独立状态之间的概率转移，它们满足一阶马尔科夫性质，即一个状态仅和它本身的前次状态相关。
转移概率矩阵平稳分布特点表现在：状态分布向外蔓延的速度比较慢，也就是说概率转移时矩阵的值不会显著的改变；当时间满足马尔科夫性质时，其分布会呈稳定的形式；当马尔科夫性质不满足的时候，它的值会不断的变化，且向某一分布收敛。
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• 状态转移概率矩阵的计算。
计算状态转移概率矩阵P，就是求 从每个状态转移到其它任何一个状态的 状态转移概率 Pij (i,j 1,2, , n) 。
为了求出每一个，一般采用频率近 似概率的思想进行计算。
• 例题： 考虑某地区农业收成变化的三个状态
，即“丰收”、“平收”和“欠收”。记
E1为“丰收”状态，E2为“平收”状态， E3为“欠收”状态。表1给出了该地区 1960～1999年期间农业收成的状态变化情 况。试计算该地区农业收成变化的状态转
0.2000 0.4667 0.3333 P 0.5385 0.1538 0.3077 （5）
0.3636 0.4545 0.1818
单位时间转化为状态j的概率规律，也是Pij为转 移概率的原因。
如果利用矩阵则可以更直观地表达马尔可夫链的 各个状态间的转移概率，并且这种表达方式还为 研究马尔可夫链的随机变化提供了方便。例如， 在表示机器运行状态的马尔可夫链｛Xn｝中，Xn 的分布列可以表示为：
P23
P(E2
E3 )
P(E3
E2 )
4 13
0.3077
4 P31 P(E3 E1) P(E1 E3 ) 11 0.3636
5 P32 P(E3 E2 ) P(E2 E3 ) 11 0.4545
P33
P(E3
E3 )
P(E3
E3 )
2 11
0.1818
② 结论：该地区农业收成变化的状态转 移概率矩阵为
P11 P12 P1n
P
P21
P22
P2n
Pn1
Pn2
Pnn
称为状态转移概率矩阵。
• 概率矩阵。
（2）
0 Pij 1
n
Pij 1
j 1
(i, j 1,2,, n) (i 1,2,, n)
（3）
一般地，将满足条件（3）的任何矩 阵都称为随机矩阵，或概率矩阵。
不难证明，如果P为概率矩阵，则对于任何整数m>0，矩阵都 是概率矩阵。
P(E1
E1 )
3 15
0.2000
P12
P(E1
E2 )
P(E2
E1 )
7 15
0.4667
5 P13 P(E1 E3 ) P(E3 E1) 15 0.3333
同理可得：
7 P21 P(E2 E1) P(E1 E2 ) 13 0.5385
2 P22 P(E2 E2 ) P(E2 E2 ) 13 0.1538
1963
4 E3 1973 14 E3 1983 24 E1 1993 34 E1
1964
5 E2 1974 15 E1 1984 25 E1 1994 35 E1
1965
6 E1 1975 16 E2 1985 26 E3 1995 36 E2
1966
7 E3 1976 17 E1 1986 27 E2 1996 37 E2
• 状态:指某一事件在某个时刻（或时期）出 现的某种结果。
• 状态转移过程:事件的发展，从一种状态转 变为另一种状态，称为状态转移。
• 马尔可夫过程:在事件的发展过程中，若每 次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关 ，而与过去的状态无关，或者说状态转移 过程是无后效性的，则这样的状态转移过 程就称为马尔可夫过程。
（P（1n） P（2n）），
Xn-1的分布列可以表示为：
（P P ）， （n+1） 1
（n+1） 2
｛Xn｝的两个状态间的转移概率可以用矩阵表示为：
P=
P11 P12 P21 P22
=
0.9 0.1 0.8 0.2
1967
8 E2 1977 18 E3 1987 28 E2 1997 38 E3
1968
9 E1 1978 19 E3 1988 29 E1 1998 39 E1
1969
10 E2 1979 20 E1 1989 30 E2 1999 40 E2
① 计算：
解： 从表1中可以知道，在15个从E1出发（转移 出去）的状态中，
移概率矩阵。
表1 某地区农业收成变化的状态转移情况
年份
序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态
1960
1 E1 1970 11 E3 1980 21 E3 1990 31 E1
1961
2 E1 1971 12 E1 1981 22 E3 1991 32 E3
1962
3 E2 1972 13 E2 1982 23 E2 1992 33 E2
状态转移概率。在事件的发展变化过程中 ，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它 状态的可能性，称为状态转移概率。由状态 Ei转为状态Ej的状态转移概率 P(Ei E j ) 是
P(Ei E j ) P(E j / Ei ) Pij （1）
状态转移概率矩阵。假定某一个事件的发展 过程有n个可能的状态，即E1，E2，…， En。记为从状态Ei转变为状态Ej的状态转移概 率 P(Ei E j )，则矩阵
转移概率与 转移概率矩阵
本节主要内容：
• 几个基本概念
状态； 状态转移过程； 马尔可夫过程； 状态转移概率； 状态转移概率矩阵。
• 马尔可夫预测法
状态转移概率； 状态转移概率矩阵。
对事件的全面预测，不仅要能够指出 事件发生的各种可能结果，而且还必须给 出每一种结果出现的概率。
马尔可夫（Markov）预测法，就是一 种预测事件发生的概率的方法。它是基于 马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其 将来各个时刻（或时期）变动状况的一种 预测方法。马尔可夫预测法是对地理事件 进行预测的基本方法，它是地理预测中常 用的重要方法之一。
标准概率矩阵、平衡向量。
如果P为概率矩阵，而且存在整数m>0，使得
概率矩阵 Pm中诸元素皆非零，则称P为标准概率矩
阵。可以证明，如果P为标准概率矩阵，则存在非 零向量
[x1, x2 ,, xn ]，而且 x i 满足
使得：
n
0
xi
1 ， xi 1 i 1
P （4）
这样的向量α称为平衡向量，或终极向量。这 就是说，标准概率矩阵一定存在平衡向量。
(1)ห้องสมุดไป่ตู้3个是从E1转移到E1的
（即1→2，24→25，34→35）
(2)有7个是从E1转移到E2的
（即2→3，9→10，12→13，15→16，29→30， 35→36，39→40）
(3)有5个是从E1转移到E3的
（即6→7，17→18，20→21，25→26，31→32）
所以
P11
P(E1
E1 )