高中数学2.3.2方差与标准差
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2
＝2 ∴s＝ 2.
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1＋3＋2＋5＋x 法二 ∵ x ＝ ＝3，∴x＝4， 5 由方差公式的变形形式有： 1 2 2 2 2 2 s ＝ (1 ＋3 ＋2 ＋5 ＋4 )－32＝2， 5
2
∴s＝ 2.
规律方法 (1)方差的计算公式有 2 个都要记熟． 1n 1n 2 2 s ＝ (xi－ x ) ＝ xi － x 2. n i＝ 1 ni＝1
甲：27,38,30,37,35,31； 乙：33,29,38,34,28,36.
根据以上数据，试判断他们谁更优秀．
解 根据统计知识可知，需要计算两组数据的 x 与 s2，然后加 以比较，最后再作出判断． 1 x 甲＝ ×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33， 6 1 x 乙＝ ×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33， 6
问：(1)哪种玉米的苗长得高？ (2)哪种玉米的苗长得齐？ [思路探索] 本题主要考查利用平均数和标准差、方差分析 数据的特征．看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉 米苗的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得整齐，只要看两种 玉米的株高的方差即可，因为方差体现一组数据波动大小的特 征．
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掉前的使用天数如下表：
天数 151～180 181～210 211～240 241～270 1 11 18 20 灯管数
天数 271～300 301～330 331～360 361～390 25 16 7 2 灯管数
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？ 审题指导 本题考查用各组中值估计总体的平均数及标准差 的统计方法．
1．用样本标准差估计总体的标准差．(重点)
2．能应用相关知识解决简单的实际问题．(难点)
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自学导引 1．一组数据的 最大值 与 最小值
的差称为极差．
2．设一组样本数据 x1，x2，…，xn，其平均数为 x ，则称 s2 ＝ ＝ 准差．
1n (xi－ x )2 ni＝1
2
(2)当样本数据有单位时，s2 与 s 单位不同，要注意区别．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
【变式1】 如图是某次全国少数民族运动会上，七位评委
为某民族舞蹈打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分数和一个
最低分后，求剩下数据的方差和标准差.
1 解 剩下的 5 个数为 84,84,84,86,87，所以 x ＝ (84＋84＋84 5 ＋86＋87)＝85. 1 方差 s ＝ [(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87 5
解
1 (1) x 甲＝ ×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋ 10
1 42)＝ ×300＝30(cm)， 10 1 1 x 乙＝ ×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝ 10 10 ×310＝31(cm)， ∵ x 甲＜ x 乙， ∴乙种玉米的苗长得高．
2
1 2 －33) ＋(36－33) ]＝ ×76＝12 ， 6 3 ∴ x 甲＝ x 乙，s 甲 2＞s 乙 2， 由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙 比甲更稳定，故乙比甲更优秀．
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题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【例3】 (14分)为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使 用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须换
提示 方差和标准差值越小，则数据的波动越小．
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名师点睛
1．方差、标准差、极差与数据的离散程度
数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，其 中极差(全距)是数据组的最大值与最小值的差．它反映了一组数
据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．方差
则反映一组数据围绕平均数波动的大小．为了得到以样本数据 的单位表示的波动幅度通常用标准差．
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(2)s 甲
2
1 ＝ [(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22 10
－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2] 1 1 ＝ ×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝ 10 10 ×1 042＝104.2(cm2)， s
2
乙
2
1 ＝ [2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40 10
1 －31) ]＝ ×1 288＝128.8(cm2)， 10 ∵s 甲 2＜s 乙 2， ∴甲种玉米长得齐． 即乙种玉米长得高，甲种玉米长得齐．
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规律方法
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况
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题型一 方差与标准差的计算
【例1】 已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这
个样本的标准差是多少？
[思路探索]
1＋3＋2＋5＋x 解 法一 ∵ x ＝ ＝3，∴x＝4. 5 由方差公式有： 1 s ＝ [(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2] 5
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[规范解答] (1)各组中值分别为 165,195,225,255, 285, 315, 345,375， 由此可算得平均数约为 165×1%＋195×11%＋225×18% ＋ 255×20% ＋ 285×25% ＋ 315×16% ＋ 345×7% ＋ 375×2% ＝ 267.9≈268(天)． 所以估计这种日光灯的平均使用寿命约为 268 天． (2)将组中值对于此平均数求方差： 1 ×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋ 100 20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－ 268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60. 故标准差为 2 128.60≈46(天)． 较合适．
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【示例】 某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1名选手参加 全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次， 测试成绩如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 测试次数 甲选手成绩(s) 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙选手成绩(s) 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5 根据测试成绩，请运用你所学过的统计知识做出判断，派 哪一位选手参加比赛更好？ [思路分析] 题中两组数据都与12比较接近，为计算方便， 可分别减去12，得到两组新数据，计算两组新数据的平均数与 方差即可比较．
批产品的质量可能距生产要求有较大的偏离．应该进行检查，
找出原因，从而及时解决问题．
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【变式3】 在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度(单
位：mm)，分组与频数如下：[25,65)，10；[65,105)，2；[105,14
5)，4；[145,185)，3；[185,225)，3；[225,265)，7；[265,305)， 8；[305,345)，10；[345,385)，13.试估计这批棉花的纤维的平均
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s
2
甲
2
1 ＝ ×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35 6
2
1 2 －33) ＋(31－33) ]＝ ×94＝15 ， 6 3 s
2
乙
2
1 ＝ ×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28 6
长度及标准差．
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解 各组中值分别为 45,85,125,165,205,245,285,325,365， 那么 1 平均数为 (45×10＋85×2＋125×4＋165×3＋205×3＋245×7 60 ＋285×8＋325×10＋365×13)＝237(mm)． 将组中值对于此平均数求方差： 1 s ＝ [10×(45－237)2 ＋2×(85－237)2 ＋4×(125－237)2 ＋ 60
2.3.2 方差与标准差
【课标要求】 1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用，学会计 算数据的方差与标准差； 2．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中 提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释；
3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；
4．形成对数据处理过程进行初步评价的意识． 【核心扫描】
2
－85)2]＝1.6. 2 标准差 s＝ 1.6＝ 10. 5
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题型二 方差与标准差的应用
【例2】 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们
的株高(单位：cm)如下： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
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2．计算标准差的算法 (1)算出样本数据的平均数； (2)算出每个样本数据与样本平均数的差 xi－ x (i＝1,2， n)； …， (3)算出(xi－ x )2(i＝1,2，…，n)； (4)算出(xi－ x )2(i＝1,2，…，n)这 n 个数的平均数，即为样本 方差 s2； (5)算出方差的算术平方根，即为样本标准差 s.
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方法技巧 平均数与方差的性质及应用 平均数与方差有以下性质： 若 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差为 s2，则 (1)ax1，ax2，…，axn 的平均数为 a x ，方差为 a2s2； (2)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b 的平均数为 x ＋b，方差为 s2； (3)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的平均数为 a x ＋b，方差为 a2s2. 解题时，如果能正确使用上述性质，可简化计算．
为这个样本的方差，其算术平方根 s
1n xi－ x 2为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标 ni＝1
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想一想：1.一组数据众数、中位数、平均数是描述这一组
数据的什么量？
提示 都是描述这一组数据集中趋势的量． 2．方差和标准差的大小与数据的波动有何关系？
2
3×(165 － 237)2 ＋ 3×(205 － 237)2 ＋ 7×(245 － 237)2 ＋ 8×(285 － 237)2＋10×(325－237)2＋13×(365－237)2]＝13 216(mm2)， ∴标准差 s≈114.96(mm)． ∴估计这批棉花的平均纤维长度为 237 mm，标准差约为 114.96 mm.
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பைடு நூலகம்
解
已知的两组数据分别减去 12，得两组新数据：
甲：0.1,0.2,1,0.5,1.1,0.5,0.4,0.2； 乙：0,0.4,0.8,1,0.2,0.8,0.3,0.5. 容易得出 x ′甲＝0.5， ′乙＝0.5， x 甲＝ x 乙＝0.5＋12＝12.5， x ∴ 两人平均水平一致． ∴s
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(5 分) (6 分)
(10 分) (12 分) (14 分)
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所以标准差约为 46 天，故可在 222 天到 314 天左右统一更换
【题后反思】 (1)在刻画样本数据的分散程度上，方差与标
准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
(2)平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指 标；当样本的平均数或标准差超过了规定界限的时候，说明这
的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅
是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情 况．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差
越小，数据的离散程度越小．
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【变式2】 对划船运动员甲、乙二人在相同的条件下进行
了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：
＝2 ∴s＝ 2.
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1＋3＋2＋5＋x 法二 ∵ x ＝ ＝3，∴x＝4， 5 由方差公式的变形形式有： 1 2 2 2 2 2 s ＝ (1 ＋3 ＋2 ＋5 ＋4 )－32＝2， 5
2
∴s＝ 2.
规律方法 (1)方差的计算公式有 2 个都要记熟． 1n 1n 2 2 s ＝ (xi－ x ) ＝ xi － x 2. n i＝ 1 ni＝1
甲：27,38,30,37,35,31； 乙：33,29,38,34,28,36.
根据以上数据，试判断他们谁更优秀．
解 根据统计知识可知，需要计算两组数据的 x 与 s2，然后加 以比较，最后再作出判断． 1 x 甲＝ ×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33， 6 1 x 乙＝ ×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33， 6
问：(1)哪种玉米的苗长得高？ (2)哪种玉米的苗长得齐？ [思路探索] 本题主要考查利用平均数和标准差、方差分析 数据的特征．看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉 米苗的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得整齐，只要看两种 玉米的株高的方差即可，因为方差体现一组数据波动大小的特 征．
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掉前的使用天数如下表：
天数 151～180 181～210 211～240 241～270 1 11 18 20 灯管数
天数 271～300 301～330 331～360 361～390 25 16 7 2 灯管数
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？ 审题指导 本题考查用各组中值估计总体的平均数及标准差 的统计方法．
1．用样本标准差估计总体的标准差．(重点)
2．能应用相关知识解决简单的实际问题．(难点)
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活页规范训练
自学导引 1．一组数据的 最大值 与 最小值
的差称为极差．
2．设一组样本数据 x1，x2，…，xn，其平均数为 x ，则称 s2 ＝ ＝ 准差．
1n (xi－ x )2 ni＝1
2
(2)当样本数据有单位时，s2 与 s 单位不同，要注意区别．
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【变式1】 如图是某次全国少数民族运动会上，七位评委
为某民族舞蹈打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分数和一个
最低分后，求剩下数据的方差和标准差.
1 解 剩下的 5 个数为 84,84,84,86,87，所以 x ＝ (84＋84＋84 5 ＋86＋87)＝85. 1 方差 s ＝ [(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87 5
解
1 (1) x 甲＝ ×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋ 10
1 42)＝ ×300＝30(cm)， 10 1 1 x 乙＝ ×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝ 10 10 ×310＝31(cm)， ∵ x 甲＜ x 乙， ∴乙种玉米的苗长得高．
2
1 2 －33) ＋(36－33) ]＝ ×76＝12 ， 6 3 ∴ x 甲＝ x 乙，s 甲 2＞s 乙 2， 由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙 比甲更稳定，故乙比甲更优秀．
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题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【例3】 (14分)为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使 用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须换
提示 方差和标准差值越小，则数据的波动越小．
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名师点睛
1．方差、标准差、极差与数据的离散程度
数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，其 中极差(全距)是数据组的最大值与最小值的差．它反映了一组数
据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．方差
则反映一组数据围绕平均数波动的大小．为了得到以样本数据 的单位表示的波动幅度通常用标准差．
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(2)s 甲
2
1 ＝ [(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22 10
－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2] 1 1 ＝ ×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝ 10 10 ×1 042＝104.2(cm2)， s
2
乙
2
1 ＝ [2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40 10
1 －31) ]＝ ×1 288＝128.8(cm2)， 10 ∵s 甲 2＜s 乙 2， ∴甲种玉米长得齐． 即乙种玉米长得高，甲种玉米长得齐．
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规律方法
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况
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题型一 方差与标准差的计算
【例1】 已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这
个样本的标准差是多少？
[思路探索]
1＋3＋2＋5＋x 解 法一 ∵ x ＝ ＝3，∴x＝4. 5 由方差公式有： 1 s ＝ [(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2] 5
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[规范解答] (1)各组中值分别为 165,195,225,255, 285, 315, 345,375， 由此可算得平均数约为 165×1%＋195×11%＋225×18% ＋ 255×20% ＋ 285×25% ＋ 315×16% ＋ 345×7% ＋ 375×2% ＝ 267.9≈268(天)． 所以估计这种日光灯的平均使用寿命约为 268 天． (2)将组中值对于此平均数求方差： 1 ×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋ 100 20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－ 268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60. 故标准差为 2 128.60≈46(天)． 较合适．
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【示例】 某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1名选手参加 全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次， 测试成绩如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 测试次数 甲选手成绩(s) 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙选手成绩(s) 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5 根据测试成绩，请运用你所学过的统计知识做出判断，派 哪一位选手参加比赛更好？ [思路分析] 题中两组数据都与12比较接近，为计算方便， 可分别减去12，得到两组新数据，计算两组新数据的平均数与 方差即可比较．
批产品的质量可能距生产要求有较大的偏离．应该进行检查，
找出原因，从而及时解决问题．
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【变式3】 在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度(单
位：mm)，分组与频数如下：[25,65)，10；[65,105)，2；[105,14
5)，4；[145,185)，3；[185,225)，3；[225,265)，7；[265,305)， 8；[305,345)，10；[345,385)，13.试估计这批棉花的纤维的平均
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s
2
甲
2
1 ＝ ×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35 6
2
1 2 －33) ＋(31－33) ]＝ ×94＝15 ， 6 3 s
2
乙
2
1 ＝ ×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28 6
长度及标准差．
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解 各组中值分别为 45,85,125,165,205,245,285,325,365， 那么 1 平均数为 (45×10＋85×2＋125×4＋165×3＋205×3＋245×7 60 ＋285×8＋325×10＋365×13)＝237(mm)． 将组中值对于此平均数求方差： 1 s ＝ [10×(45－237)2 ＋2×(85－237)2 ＋4×(125－237)2 ＋ 60
2.3.2 方差与标准差
【课标要求】 1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用，学会计 算数据的方差与标准差； 2．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中 提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释；
3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；
4．形成对数据处理过程进行初步评价的意识． 【核心扫描】
2
－85)2]＝1.6. 2 标准差 s＝ 1.6＝ 10. 5
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题型二 方差与标准差的应用
【例2】 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们
的株高(单位：cm)如下： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
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2．计算标准差的算法 (1)算出样本数据的平均数； (2)算出每个样本数据与样本平均数的差 xi－ x (i＝1,2， n)； …， (3)算出(xi－ x )2(i＝1,2，…，n)； (4)算出(xi－ x )2(i＝1,2，…，n)这 n 个数的平均数，即为样本 方差 s2； (5)算出方差的算术平方根，即为样本标准差 s.
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方法技巧 平均数与方差的性质及应用 平均数与方差有以下性质： 若 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差为 s2，则 (1)ax1，ax2，…，axn 的平均数为 a x ，方差为 a2s2； (2)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b 的平均数为 x ＋b，方差为 s2； (3)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的平均数为 a x ＋b，方差为 a2s2. 解题时，如果能正确使用上述性质，可简化计算．
为这个样本的方差，其算术平方根 s
1n xi－ x 2为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标 ni＝1
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想一想：1.一组数据众数、中位数、平均数是描述这一组
数据的什么量？
提示 都是描述这一组数据集中趋势的量． 2．方差和标准差的大小与数据的波动有何关系？
2
3×(165 － 237)2 ＋ 3×(205 － 237)2 ＋ 7×(245 － 237)2 ＋ 8×(285 － 237)2＋10×(325－237)2＋13×(365－237)2]＝13 216(mm2)， ∴标准差 s≈114.96(mm)． ∴估计这批棉花的平均纤维长度为 237 mm，标准差约为 114.96 mm.
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பைடு நூலகம்
解
已知的两组数据分别减去 12，得两组新数据：
甲：0.1,0.2,1,0.5,1.1,0.5,0.4,0.2； 乙：0,0.4,0.8,1,0.2,0.8,0.3,0.5. 容易得出 x ′甲＝0.5， ′乙＝0.5， x 甲＝ x 乙＝0.5＋12＝12.5， x ∴ 两人平均水平一致． ∴s
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(5 分) (6 分)
(10 分) (12 分) (14 分)
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所以标准差约为 46 天，故可在 222 天到 314 天左右统一更换
【题后反思】 (1)在刻画样本数据的分散程度上，方差与标
准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
(2)平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指 标；当样本的平均数或标准差超过了规定界限的时候，说明这
的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅
是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情 况．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差
越小，数据的离散程度越小．
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【变式2】 对划船运动员甲、乙二人在相同的条件下进行
了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：