6-1 主应力法及其应用_平面应变问题
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图6-1 连杆模锻时的金属流动平面和流动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向
金属塑性成形原理
2．假设在接触面上有正应力和切应力(摩擦力)，切面上的正应力假定为 主应力，且为均匀分布（即与一坐标无关）。
3. 在对该基元体或基元板块列塑性条件时，假定各坐标面上作用的正应 力即为主应力，而不考虑面上切应力（包括摩擦切应力）对材料塑性条 件的影响。
2．滑移线法 假设材料为刚塑性体，在平面变形状态下，塑变区内任一点存在两 族正交的滑移线族。根据这一原理结合边界条件可解出滑移线场和速度场，从而求 出塑变区内的应力状态和瞬时流动状态，计算出力能参数。
3．上限法 从变形体的速度边界条件出发，对塑变区取较大的单元，根据极值原 理，求出塑变能为极小值时满足变形连续条件和体积不变条件时的动可容速度场， 计算出力能参数，但不考虑塑变区内的应力状态是否满足平衡方程。
部分情况可解
金属塑性成形原理
对大量实际问题，则是进行一些简化和假设来求解。根据简化方法的不 同，求解方法有下列几种。
1．主应力法（又称切块法、切片法、平均应力法） 从塑性变形体的应力边界条 件出发，建立简化的平衡微分方程和屈服条件，并联立求解，得出边界上的正应力 和变形力能参数，但不考虑变形体内的应变状态。
金属塑性成形原理
6-1 主应力法及其应用 ——平面应变问题
内容提纲
一、概述 二、主应力法的基本原理 三、平面变形力公式的推导
1)平面应变镦粗型的变形力 2)平面应变挤压型的变形力
金属塑性成形原理
金属塑性成形原理
第一节 概述
➢变形力是正确设计模具、选择设备的重要参数。对各种塑性成形工序进行 变形过程的力学分析和确定变形力是金属塑性成形理论的基本任务之一。 ➢为求解变形力，必须先确定变形金属与工具的接触表面或变形区分界面上 的应力分布规律，然后再沿接触表面进行积分，求得变形力的大小。 ➢由于接触面上摩接力的存在，正应力的分布是不均匀的，需要利用应力平 衡微分方程、应力应变关系式、变形连续方程和塑性条件等联立求解。 ➢数学解析法计算十分复杂，对于一般的空间问题，一共有十三个方程和十 三个未知数，因此用一般的解析方法求解是非常困难的，甚至是不可能的。 只有在某些特殊情况下或将实际问题进行一些简化后．对于平面向题和轴对 称问题才可能求解。 ➢为解决变形力的实际问题，需要引进各种假设以简化联立方程．主应力法 即是在此基础上建立起来的一种近似求解方法。
对于平面问题， 2个平衡微分方程和1个塑性条件，求3个未知数σx， σy， τxy，当边界上的剪应力为零或只与一个坐标轴有关时，才有解。
金属塑性成形原理
平衡微分方程和塑性条件进行联解可能性分析
分析对 象
方程个数
未知数 个数
一般空 微分方程，3 个 间问题 塑性条件，1 个
6
问题属 性
静不定
联立方程
金属塑性成形原理
数学解析法
对一般空间问题，3个平衡微分方程和一个塑性条件（屈服准则），4
个方程求6个未知数σij，静不定问题。
利用6个应力应变关系和3个变形连续方程，共得13个方程，求13个未
知数σij， εij，λ,但此方程组无法求解。
对于轴对称问题，2个平衡微分方程和1个塑性条件，再利用4个应力应 变关系式和2个变形连续方程，共得9个方程和9个未知数，但只有在 边界上剪应力只与一个坐标轴有关时才有解。
设长度为l（垂直于图平面的z方向）
X方向应力满足平衡方程式：
xlh ( x d x )lh 2ldx
d
x
2
h
dx
2K
h
dx
即x方向的应力增量由切向摩擦力导致
镦粗 方向
σy
σye
τ
σx
金属流动方向
τ
x
dx
b/2
平行砧板间平面应变镦粗
σx+dσx
h
金属塑性成形原理
屈服方程为： y x 2K
例如：平面应变屈服方程：
( x
y
)2
4
2 xy
(2K )2
可简化为： x y 2K
(当 x y )
注：平面应变条件下 轴对称条件下
K Y 3
KY 2
金属塑性成形原理
第三节 几种金属流动类型变形力公式的推导
塑性成形中具有普遍意义的金属流动类型： ➢平面应变镦粗、轴对称变形镦粗
镦粗型的金属流动，基本上沿着垂直于工模具运动的方向 ➢平面应变挤压、轴对称变形挤压
可解否
13 个方程，13 个未 本构方程 6 个 知数，理论上可解， 连续方程 3 个 实际不可解。
轴对称 微分方程，2 个 问题 塑性条件，1 个
4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
静不定
9 个方程，9 个未知 本构方程 4 个 数，理论上可解， 连续方程 2 个 特殊情况可解。
平面问 微分方程，2 个 题 塑性条件，1 个
3
静定
主应力法又称切块法，是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件，并联立求解。
从二十世纪二三十年代起，许多学者就开始应用主应力法解决镦粗、挤压、 轧制等工序的受力分析，它是一种比较简单地分析接触面上正应力分布并 求解变形力的方法。主应力法解题的基本原理可以归纳如下： 1．将问题简化为轴对称问题或平面问题。对于形状复杂的变形体，将它 划分为若干形状简单的部分，每一部分分别按轴对称问题或平面问题求 解，然后“拼合”在一起，即得到整个问题的解。
4．有限元法 把变形体视为有限数目单元体的集合（离散化），对每一个单元选 择一个确定的函数来近似描述其场变量（如速度或位移），并建立各物理量之间的 关系。 将各个单元所建立的关系式加以集成，得到一个与有限个节点相关的总体方 程并求解，从而求得每个节点的未知量（速度或位移）。
金属塑性成形原理
第二节 主应力法基本原理
d y d x
所以：
y
d
y
d x
2K
h
dx
2K
h
x
C
代入边界条件求解C，即当x=b/2时，σy = 2K，所以：
工件外端为自由表面： xe 0 ye 2K
挤压型的金属流动，基本上沿着平行于工模具运动的方向
金属塑性成形原理
一、平面应变镦粗型的变形力
长矩形板的镦粗， l >>宽b和高 ， l 方向应变 很小，可视为平面应变处理。求接触面上的压力 σy，单位面积变形力p。
1. 平行砧板间的平面应变镦粗(常摩擦条件)
摩擦力不变条件： K （μ为摩擦因子 ）
金属塑性成形原理
2．假设在接触面上有正应力和切应力(摩擦力)，切面上的正应力假定为 主应力，且为均匀分布（即与一坐标无关）。
3. 在对该基元体或基元板块列塑性条件时，假定各坐标面上作用的正应 力即为主应力，而不考虑面上切应力（包括摩擦切应力）对材料塑性条 件的影响。
2．滑移线法 假设材料为刚塑性体，在平面变形状态下，塑变区内任一点存在两 族正交的滑移线族。根据这一原理结合边界条件可解出滑移线场和速度场，从而求 出塑变区内的应力状态和瞬时流动状态，计算出力能参数。
3．上限法 从变形体的速度边界条件出发，对塑变区取较大的单元，根据极值原 理，求出塑变能为极小值时满足变形连续条件和体积不变条件时的动可容速度场， 计算出力能参数，但不考虑塑变区内的应力状态是否满足平衡方程。
部分情况可解
金属塑性成形原理
对大量实际问题，则是进行一些简化和假设来求解。根据简化方法的不 同，求解方法有下列几种。
1．主应力法（又称切块法、切片法、平均应力法） 从塑性变形体的应力边界条 件出发，建立简化的平衡微分方程和屈服条件，并联立求解，得出边界上的正应力 和变形力能参数，但不考虑变形体内的应变状态。
金属塑性成形原理
6-1 主应力法及其应用 ——平面应变问题
内容提纲
一、概述 二、主应力法的基本原理 三、平面变形力公式的推导
1)平面应变镦粗型的变形力 2)平面应变挤压型的变形力
金属塑性成形原理
金属塑性成形原理
第一节 概述
➢变形力是正确设计模具、选择设备的重要参数。对各种塑性成形工序进行 变形过程的力学分析和确定变形力是金属塑性成形理论的基本任务之一。 ➢为求解变形力，必须先确定变形金属与工具的接触表面或变形区分界面上 的应力分布规律，然后再沿接触表面进行积分，求得变形力的大小。 ➢由于接触面上摩接力的存在，正应力的分布是不均匀的，需要利用应力平 衡微分方程、应力应变关系式、变形连续方程和塑性条件等联立求解。 ➢数学解析法计算十分复杂，对于一般的空间问题，一共有十三个方程和十 三个未知数，因此用一般的解析方法求解是非常困难的，甚至是不可能的。 只有在某些特殊情况下或将实际问题进行一些简化后．对于平面向题和轴对 称问题才可能求解。 ➢为解决变形力的实际问题，需要引进各种假设以简化联立方程．主应力法 即是在此基础上建立起来的一种近似求解方法。
对于平面问题， 2个平衡微分方程和1个塑性条件，求3个未知数σx， σy， τxy，当边界上的剪应力为零或只与一个坐标轴有关时，才有解。
金属塑性成形原理
平衡微分方程和塑性条件进行联解可能性分析
分析对 象
方程个数
未知数 个数
一般空 微分方程，3 个 间问题 塑性条件，1 个
6
问题属 性
静不定
联立方程
金属塑性成形原理
数学解析法
对一般空间问题，3个平衡微分方程和一个塑性条件（屈服准则），4
个方程求6个未知数σij，静不定问题。
利用6个应力应变关系和3个变形连续方程，共得13个方程，求13个未
知数σij， εij，λ,但此方程组无法求解。
对于轴对称问题，2个平衡微分方程和1个塑性条件，再利用4个应力应 变关系式和2个变形连续方程，共得9个方程和9个未知数，但只有在 边界上剪应力只与一个坐标轴有关时才有解。
设长度为l（垂直于图平面的z方向）
X方向应力满足平衡方程式：
xlh ( x d x )lh 2ldx
d
x
2
h
dx
2K
h
dx
即x方向的应力增量由切向摩擦力导致
镦粗 方向
σy
σye
τ
σx
金属流动方向
τ
x
dx
b/2
平行砧板间平面应变镦粗
σx+dσx
h
金属塑性成形原理
屈服方程为： y x 2K
例如：平面应变屈服方程：
( x
y
)2
4
2 xy
(2K )2
可简化为： x y 2K
(当 x y )
注：平面应变条件下 轴对称条件下
K Y 3
KY 2
金属塑性成形原理
第三节 几种金属流动类型变形力公式的推导
塑性成形中具有普遍意义的金属流动类型： ➢平面应变镦粗、轴对称变形镦粗
镦粗型的金属流动，基本上沿着垂直于工模具运动的方向 ➢平面应变挤压、轴对称变形挤压
可解否
13 个方程，13 个未 本构方程 6 个 知数，理论上可解， 连续方程 3 个 实际不可解。
轴对称 微分方程，2 个 问题 塑性条件，1 个
4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
静不定
9 个方程，9 个未知 本构方程 4 个 数，理论上可解， 连续方程 2 个 特殊情况可解。
平面问 微分方程，2 个 题 塑性条件，1 个
3
静定
主应力法又称切块法，是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件，并联立求解。
从二十世纪二三十年代起，许多学者就开始应用主应力法解决镦粗、挤压、 轧制等工序的受力分析，它是一种比较简单地分析接触面上正应力分布并 求解变形力的方法。主应力法解题的基本原理可以归纳如下： 1．将问题简化为轴对称问题或平面问题。对于形状复杂的变形体，将它 划分为若干形状简单的部分，每一部分分别按轴对称问题或平面问题求 解，然后“拼合”在一起，即得到整个问题的解。
4．有限元法 把变形体视为有限数目单元体的集合（离散化），对每一个单元选 择一个确定的函数来近似描述其场变量（如速度或位移），并建立各物理量之间的 关系。 将各个单元所建立的关系式加以集成，得到一个与有限个节点相关的总体方 程并求解，从而求得每个节点的未知量（速度或位移）。
金属塑性成形原理
第二节 主应力法基本原理
d y d x
所以：
y
d
y
d x
2K
h
dx
2K
h
x
C
代入边界条件求解C，即当x=b/2时，σy = 2K，所以：
工件外端为自由表面： xe 0 ye 2K
挤压型的金属流动，基本上沿着平行于工模具运动的方向
金属塑性成形原理
一、平面应变镦粗型的变形力
长矩形板的镦粗， l >>宽b和高 ， l 方向应变 很小，可视为平面应变处理。求接触面上的压力 σy，单位面积变形力p。
1. 平行砧板间的平面应变镦粗(常摩擦条件)
摩擦力不变条件： K （μ为摩擦因子 ）