简单多面体的外接球问题

AB 2, BD CD 1, BD CD,则球O的体积为
4
3
Fra Baidu bibliotek
A
O C
P
B
例3. 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接球的
表面积。
3 a2
2
A B
A B
O
O
D
D
C
C
R 6a
求正四面体外接球的半径
4 求正方体外接球的半径
29
思考总结：什么样的三棱锥可构造成正方体或长方体？
一 构、 造构正造方法 体或长方体三条侧棱两两垂直的三棱锥
V球
=
4 3
R3
S球面 4 R2
三. 多面体的外接球
定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面 上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 多面体的外接球。
正方体的外接球
D A
C
对角面 A
C
B
2R 3a
O
O
D1
C1
A1
2a
C1
A1
B1
正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。
长方体的外接球
谢谢!
简单多面体的外接球问题
一.球的性质
1. 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心
2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
3. 球心到截面的距离d与球的半径R 及截面圆的半径r的关系：
A
R2 r2 d 2
二.球体的体积与表面积
•
（贵州省•2016适应性考试）已知正三棱柱的体积为3 3，所有顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积的最小值为
在其高上
例7、求棱长为1的正四面体外接球的体积． 6
小结：
1. 正方体，长方体，正棱柱，正棱锥的外接球球心位置 2. 棱长为a的正四面体外接球半径 6 a
4
3. 求三棱锥的外接球两招：构造法；确定球心位置法
例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，
则其外接球的表面积是 9
例2. 已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上，且AB 面BCD，
AB 2, BD CD 1, BD CD,则球O的体积为
4
3
A
一条侧棱垂直于底面，底 P 面是直角三角形的三棱锥
O C
B
例3、 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接球
对角面
2R a2 b2 c2
a2 b2
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c 长方体外接球的直径等于长方体体对角线
两招搞定简单多面体外接球问题
一、构造法
构造正方体或长方体
例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均 为 3 ，则其外接球的表面积是9
例2. 已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上，且AB 面BCD，
5
3
例6.(柯桥区•二模)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，
SA 平面ABC，SA=2 3, AB 1, AC 2,BAC 600,则球O的表面积为( B )
A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
O
O
16
3
O
O1
什么样的三棱锥外接球球心好确定？
上下底面中心的连线的中点
的表面积。 正四面体
3 a2
2
A B
A B
O
O
D
D
C
C
R 6a
求正多面体外接球的半径
4 求正方体外接球的半径
对棱相等的三棱锥
二、确定球心位置法
•
例5. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形
对折，使得两面垂直，则四面体ABCD的外接球的
体积为
125
6
将“垂直”改为“不垂直”结果？ 变式题：如图，菱形ABCD的边长为1, 且BAD=600,沿对角线BD将 棱形ABCD折成两个垂直的面,则三棱锥A BCD外接球的表面积为