第八讲容斥原理案例
组合数学中的容斥原理及其应用实例
技术创新33组合数学申的容斥原理及其应用实例◊宝鸡文理学院数学与信息科学学院李海侠容斥原理是组合数学中的一个重要计数工具，在集合论、概率论和初等数论等学科中占有非常重要的地位。
本文讨论容斥原理的思想以及在计数问题中的若干应用，帮助大家更方便的利用容斥原理解决相关问题。
容斥原理冋是组合数学中的基本计数原理，是解决计数问题的一个重要工具。
掌握容斥原理的主要思想可以大大简化计数问题的计算，给解决相关问题带来方便，具有非常重要的研究意义。
但纵观容斥原理的已有研究成果，目前对容斥原理在圆排列（非夫妻围坐问题）、多重集排列和与棋盘多项式有关的禁区排列等方面的应用很少。
因此，本文在容斥原理相关定理的基础上探析容斥原理的主要思想以及若干应用,并通过举例进行详细说明，从而使大家更好地理解并灵活应用容斥原理。
1预备知识为了后面讨论的需要，下面给出容斥原理的相关定理和思想。
定理1（容斥原理）呦设有限集S,P=｛片，马,…，好｝是与S中元素有关的性质集合，4,&，…,4,是分别具有性质£，妁，…上的元素构成的s的子集，贝U：|4U4U-U^…|»,,,,（1）=ZW-Z|4-n^|+s l4.n4.nAl—■+（-ir1l4n^n-n4.li=l l<i<j<n l<i<j<k<n|4A4n-n4；|⑵=l^|-il4l+Z|4A4|-z|4n4n^|+-+（-ir|4n4n-n4.li=l l<i<j<k<n运用容斥原理和组合販易得定理2如果有限集s的子集4,4,…,4.具有对称性，即|4|=^（1<«<«）,|4-C1勺| =J R2（i<i</<»）,-）|4n4n-AA|=^,”则14u U•••U Al=ex-CX+•-+（-1）"_1CX=（3）冈n瓦n…n可=国-c：x+c江-…+（-i）”c：&=同-x（-i）/_I c火（4）利用容斥原理解题的思想和步骤：J（1）根据题意,找出全集s并构造出s中具有性质P t的元素组成的s的子集4（i= 1,2,•••,»）,这里4（21,2,…，”）的寻找非常关键，目标是既能用容斥原理又使得⑷，|4ri24y|,---,|4/容易求出。
容斥原理的应用举例
容斥原理的应用举例什么是容斥原理容斥原理是概率论、组合数学中常用的一种计数方法，它用于求解多个事件的并或交的概率或数量。
容斥原理是以集合论为基础的一种推理思想，通过排除重复计数，从而得到准确的计数结果。
容斥原理的公式容斥原理的公式可以表示为：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1∩ A3| - ... - |An-1 ∩ An| + |A1 ∩ A2 ∩ A3| + ... + (-1)^(n-1) * |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|其中，|A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| 表示事件 A1、A2、…、An 的并的概率或数量，|A1| 表示事件 A1 的概率或数量，|A1 ∩ A2| 表示事件 A1 和 A2 的交的概率或数量，以此类推。
容斥原理的应用举例容斥原理在组合数学和概率论中有广泛的应用，下面举几个例子来说明容斥原理的具体应用。
例子1：求解有限集合的元素个数假设有三个集合 A、B、C，它们分别有 |A|、|B|、|C| 个元素，求这三个集合的并集的元素个数。
根据容斥原理的公式，有：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |D|其中，|A ∩ B| 表示集合 A 和 B 的交的元素个数，以此类推。
例子2：求解排列组合中不满足条件的情况假设有两个集合 A 和 B，它们分别有 |A|、|B| 个元素，要求从 A 和 B 中选择指定数量的元素排列组合，但要满足某个特定的条件，那么可以使用容斥原理来计算不满足条件的情况。
Count = |A| * |B| - |A ∩ B|其中，|A ∩ B| 表示满足条件的情况。
例子3：求解事件的概率假设有三个事件 A、B、C，它们分别发生的概率分别为 P(A)、P(B)、P(C)，求这三个事件的并的概率。
组合数学中的容斥原理及其应用实例
组合数学中的容斥原理及其应用实例容斥原理又称为包含排斥原理，是组合数学中一个重要的计数技巧。
其思想是在计数过程中，先将需要计算的几个集合的元素个数求出，再减去它们的交集元素个数，最后加上它们的交集的交集元素个数。
用数学符号表示为：A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n = \sum_{i} A_i - \sum_{i<j} A_i\cap A_j + \sum_{i<j<k} A_i\cap A_j\cap A_k - \cdots + (-1)^{n-1}A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n其中，A_i 表示集合A_i中元素的个数。
容斥原理在计数问题中的应用是十分广泛的。
下面以几个实例来说明其具体应用。
例1：10个人围坐在一张圆桌周围，问将他们分成若干组，每组至少有3个人，共有多少种分法？解：我们可以以每个小组首位的编号来考虑不重不漏地表示方案数，设小组数量为k，则总方案数为\sum_{k=1}^{5} \binom{10}{k} (k-1)!，其中\binom{10}{k}表示从10个人中选k个人分成小组，(k-1)!表示考虑首位编号的排列数。
但是，这样计算会重复计算某些情况，比如将10个人随便分成3组时，第一组有4个人，第二组有3个人，第三组有3个人，这个方案在计算k=3和k=4时都会被算一次，因此需要使用容斥原理去除重复。
根据容斥原理，减去既有一个人被分在恰好一组的情况，又有两个人被分在恰好一组的情况，再加上既有一个人被分在恰好两组的情况，有：\sum_{k=1}^5 (-1)^{k-1} \binom{10}{k} (k-1)! +\binom{10}{1}\binom{9}{3}2! + \binom{10}{2}\binom{8}{3}\binom{5}{3}1!即：151200 - 19,008 + 1,680 = 134,592因此，共有134,592种分法。
容斥原理的应用实例
容斥原理的应用实例1. 容斥原理简介容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，常用于解决涉及多个事件的计数问题。
通过容斥原理，我们可以解决包含并集和交集的复杂计数问题，并得到准确的计数结果。
2. 容斥原理的基本思想容斥原理的基本思想是通过计算集合的交集和并集来确定计数问题的结果，并通过减去交集来消除重复计数。
具体来说，对于两个集合A和B，它们的并集记为A∪B，交集记为A∩B。
容斥原理可以表示为：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|同样地，对于三个集合A、B和C，它们的并集记为A∪B∪C，容斥原理可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|3. 容斥原理的应用实例3.1. 二进制字符串问题假设我们有一个长度为n的二进制字符串，其中1的数量不能超过m个，我们需要计算满足条件的二进制字符串的个数。
解题思路如下：1.首先考虑只有一个限制条件的情况。
假设只有一个限制条件，限制字符串中1的数量不能超过k个。
我们可以用以下公式计算满足条件的字符串的个数：|A1|=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,k)其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
2.接下来考虑多个限制条件的情况。
假设有m个限制条件，分别为A1,A2, …, Am。
我们可以用容斥原理计算满足这些限制条件的二进制字符串的个数。
根据容斥原理，我们有以下公式：|A1∪A2∪...∪A m|=|A1|+|A2|+...+|A m|−|A1∩A2|−|A1∩A3|−...−|A m−1∩A m|+|A1∩A2∩...∩A m|3.最后，我们通过计算得到所有可能的组合数，即可得到满足条件的二进制字符串的个数。
3.2. 集合的排列问题假设我们有n个元素，分别属于集合A和集合B。
我们需要计算将这些元素排列成一行，使得集合A中的元素都在集合B中的元素前面的排列方式的个数。
升第八讲容斥原理之重叠问题
第八讲：容斥原理之重叠问题导入文氏图■■■■■■■■■■■■■■■文氏图，也叫维恩图”是由英国著名数学家Venn发明的.维恩（公元1834 年8月4日「公元1923 年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔.他1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员.维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图.■他作出一系列・简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔.利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理.为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例.虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz ）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作维恩图”另外, 维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作一一《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19 世纪末20世纪初曾享有很高的声誉.除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能一一制作机器.他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次.什么是容斥原理?这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子.我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳.如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关.但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠.比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次，计算人数的时候要把这一部分减去才行.比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7 + 10 - 3 = 14 人.这就是我们今天要来研究的问题一一有重叠的计数问题，即包含与排除问题•研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式.两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B 就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了•上述分析总结成公式就是：R总数=沖+丹一』、号重拄这个公式就是两个对象的容斥原理.练一练1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人•语文、数学都优秀的有多少人？2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对第二题的又38人，两题都答对的又15人，问全班又多少人？3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
容斥原理问题经典例题
容斥原理问题经典例题在数学的世界里，容斥原理是一个非常实用且有趣的概念。
它帮助我们解决那些涉及多个集合相互交叉、重叠的计数问题。
下面，我们就通过几个经典例题来深入理解容斥原理。
例 1：在一个班级中，有 30 人喜欢数学，25 人喜欢语文，20 人喜欢英语，其中 10 人既喜欢数学又喜欢语文，8 人既喜欢数学又喜欢英语，6 人既喜欢语文又喜欢英语，还有 3 人这三门学科都喜欢。
请问这个班级中至少喜欢一门学科的有多少人？首先，我们分别计算喜欢数学、语文、英语的人数之和：30 ＋ 25 ＋ 20 ＝ 75 人。
但是，在这个计算过程中，我们把同时喜欢两门学科的人数多算了一次。
所以要减去重复计算的部分：既喜欢数学又喜欢语文的 10 人被多算了一次，既喜欢数学又喜欢英语的 8 人被多算了一次，既喜欢语文又喜欢英语的 6 人被多算了一次。
所以要减去：10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
然而，这里又把同时喜欢三门学科的 3 人多减了两次。
所以要再加上 3 人。
综上，至少喜欢一门学科的人数为：75 24 ＋ 3 ＝ 54 人。
例 2：某学校组织学生参加课外活动，参加体育活动的有 120 人，参加文艺活动的有 90 人，参加科技活动的有 70 人。
其中，既参加体育活动又参加文艺活动的有 40 人，既参加体育活动又参加科技活动的有 30 人，既参加文艺活动又参加科技活动的有 20 人，三种活动都参加的有 10 人。
请问该校参加课外活动的学生共有多少人？我们先计算参加体育、文艺、科技活动的人数总和：120 ＋ 90 ＋70 ＝ 280 人。
然后减去重复计算的部分：既参加体育和文艺的 40 人多算了一次，既参加体育和科技的 30 人多算了一次，既参加文艺和科技的 20 人多算了一次，所以要减去：40 ＋ 30 ＋ 20 ＝ 90 人。
但这样又把三种活动都参加的 10 人多减了两次，所以要加上 10 人。
因此，参加课外活动的学生总数为：280 90 ＋ 10 ＝ 200 人。
4升5-8第八讲：容斥原理之重叠问题
第八讲:容斥原理之重叠问题一、导入文氏图文氏图，也叫“维恩图”,是由英国著名数学家 Venn 发明的．维恩（公元 1834 年 8 月 4 日─公元 1923 年 4 月 4 日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他 1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见,他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图,但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献,他的著作-—《机会逻辑》和《符号逻辑》，在 19 世纪末 20 世纪初曾享有很高的声誉．除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机,当澳洲板球队在 1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次．什么是容斥原理？这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少,最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除"掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳,两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种,已知有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有 17 个人呢？显然不能,因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡,如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加,会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算 2 次,计算人数的时候要把这一部分减去才行．比如,如果有 3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡,那总的人数就应该是 7 + 10 − 3 = 14 人．这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳,有20 名参加了拔河,问:及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人?如右图所示，如果要计算三个部分的总数,直接计算 A+B就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了．上述分析总结成公式就是：这个公式就是两个对象的容斥原理．17+20—34=37-34=3（人)答：即参加跳绳又参加拔河的同学有3人.练一练1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有 65 人,数学优秀的有 87 人．语文、数学都优秀的有多少人？2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题,答对第一题的有33人，答对第二题的又38 人，两题都答对的又15 人,问全班又多少人？3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。
实用的计数原理之容斥原理(内含大量实例和详细分析)
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1 、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。
）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。
我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。
奥数五年级第八课 ：容斥原理
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第八课容斥原理
概念在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例题例1 在一次校运动会上，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，既参加田赛又参加了径赛的有7人，没有参加比赛的有21人，那么这个班有多少人？
例2两个边长分别为10厘米、4厘米的正方形重叠在一起，重叠部分的面积为4平方厘米，求这个图所能覆盖的面积。
例3 在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
例4有50个学生，他们穿的裤子是白色的或者黑色的，上衣是蓝色的或红色的，若有14人穿的是蓝色上衣白裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上衣黑裤子的学生有多少人？
随堂练习：
1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的4人，两样都会的有多少人？
2、4个边长是2厘米的正方形平放在桌子上，中间有一个边长是3厘米的正方形重叠在上面，求覆盖桌子的面积。
3、有一根长为240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，每隔6厘米也作一个记号，然后将标记有记号的地方剪断。
问：绳子共被剪成了多少段？
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最新人教版三年级数学上册思维拓展训练第八讲---数字编码与容斥原理
13
9
9
13+9+9=31（人）
或： 22+18－9=31（人）
只参加绘画 22－9=13
两样都参加
只参加舞蹈 18－9=9
6、四一班有28人报了思维训练，32人报了阅读训 练，两样都报的有20人，还有5人既没报思维训练 也没报阅读训练，四一班共有多少人？
思维训练28人
8人 20人
报了训练的人数
28+32－20=40（人）
40+5=45（人）
只报思维：22（人） 8+12+20=40（人） 40+5=45（人）
答：四一班共有45人。
7、六一班共有54人，订了《小学生数学报》的有32人， 订了《新语文学习》的有28人。两样都没订的有2人。 请问两样都订的有几人？
思维拓展第八讲---数字编码与 容斥原理
1、王老师的身份证号码是510×××197901245378，
由这个号码可以知道王老师是（ 1979 ）年（ 1 ）月 （ 24 ）日出生的，性别是（ 男 ）。
510×××1 9 7 9 0 1 2 4 5 3 7 8
年
月日
单数：表示男性
双数：表示女性
2、下面是王丽与爸爸、妈妈的身份证号码，猜一
猜这三个号码分别是睡得，填一填。
370×××197012230311
（爸爸 ）
370×××197203122547
（ 妈妈 ）
370×××199806212222
（ 王丽 ）
3、四（2）班的6号运动员（男）编号是42061，则三
（4）班12号运动员（女）编号为（ 34122 ）。（女
性用双数表示）
4、小明加住小区的C区12栋二单元33层14号房，编号为 C12023314，小红家住B区8栋三单元21层8号房，编号为
升第八讲容斥原理之重叠问题
第八讲：容斥原理之重叠问题一、导入?文氏图文氏图，也叫“维恩图”，是由英国着名数学家 Venn 发明的．维恩（公元 1834 年 8 月 4 日─公元 1923 年 4 月 4 日）十九世纪英国着名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他 1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的着作——《机会逻辑》和《符号逻辑》，在 19 世纪末 20 世纪初曾享有很高的声誉．除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在 1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次．什么是容斥原理？这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有 17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算 2 次，计算人数的时候要把这一部分减去才行．比如，如果有 3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是 7 + 10 ? 3 = 14 人．这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式． 两个量之间的重叠 例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20 名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？ 如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算 A+B 就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了．上述分析总结成公式就是：这个公式就是两个对象的容斥原理．17+20-34=37-34=3（人）答：即参加跳绳又参加拔河的同学有3人。
第8讲 容斥原理
第8讲 容斥原理2知识阶梯知识装备分清“既”“又”还是“只”，找到重叠不遗漏。
先算数目再排斥，容斥原理要记住。
初级挑战1同学们商量报语文或数学课外辅导班，有17人选择报语文辅导班，有27人选择报数学辅导班，有12人选择两个班都报。
已知每个同学至少报语文或数学辅导班中的一种，求报辅导班的同学共有多少人？思维导航你能画图看一看吗？你发现了什么？能力探索1六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？初级挑战2六年级一班的学生中，会游泳的同学有25人，会打篮球的同学有14人，两项运动都会的同学有9人，两项运动都不会的同学有12人。
求：六年级一班共有多少名学生？思维导航至少会一项运动的有多少人？能力探索2学校饭堂调查200名学生的饮食习惯，喜欢吃牛肉的学生有129人，喜欢吃鸡肉的学生有141人，两样都喜欢吃的学生有95人，有多少名学生两样肉类都不喜欢吃？中级挑战1有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。
问既懂英语又懂俄语的有多少人？思维导航你能画图进行分析吗？能力探索3在46人参加的采摘活动中，采樱桃的有25人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？中级挑战2在1、2、3、……、200这些自然数中，能被3或5整除的有多少个？思维导航能被3整除的数有几个？被5整除的呢？同时被3和5整除的呢？能力探索4在1至100这100个数中，既不能被3整除又不能被7整除的数共有多少个？高级挑战1育才小学画展上展出了许多幅画，其中有26幅画不是六年级的，有23幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？思维导航16幅画不是六年级的说明什么？能力探索5六（一）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅不是三年级的，有19幅不是四年级的，除三、四年级外，其他年级参展的画共有16幅，三、四年级参展的图画共有多少幅？高级挑战2某年级的辅导小组分为语文、数学、英语三个小组，参加语文小组的有20人，参加数学小组的有24人，参加英语小组的有31人，同时参加语文和数学两个小组的有5人，同时参加数学和英语两个小组的有6人，同时参加语文和英语两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加辅导小组的同学共有多少人？思维导航你能先画图再思考吗？能力探索6某班在语文、数学、英语三项测验中，有4人三项都未达到优秀，其他人至聪明泉博彩有无窍门一个小青年，准备结婚却没有房子，于是拿出4000元打算买彩票，说要来“搏一记”。
小学数学 容斥原理 PPT带答案
练习4
对某单位的110名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏 剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢 看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人， 三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人？
既喜欢看电影又球赛的人数：
58 38 52 110 16 18 12 16人
15的倍数的个数： 1000 15 66个10
能被3或5整除的数的个数： 333 200 66 467个
不能被3或5整除的数的个数： 1000 467 533 个
语文数学作业都完成的人数： 37 42 48 31人
只完成数学作业的人数： 42 31 11人
例2
一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没 有参加，求两种都参加的有多少人？
参加合唱队和美术组的人数： 42 5 37人
两种都参加的人数： 30 25 37 18人
足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排 球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8 人，问：三项都参加的有多少人？
足球队25人
三项都参加的人数：
45 (25 22 24 12 9 8) 3人
12人 9人 ?
8人
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ排球队22人
游泳队24人
①其它年级作品+六年级作品=24幅 ②其它年级作品+五年级作品=22幅 ③五年级作品+六年级作品=10幅
24 22 10 2 18幅
练习5
在有大陆、香港及其它地区的代表队参加的“全国中小学数学奥赛总决 赛”中，大陆和香港共来了140个队参赛，在所有参赛的队中有50个队 不是大陆的，有110个队不是从香港来的。问：在这次总决赛中共有多 少个队参赛？
五年级下册数学试题：五升六讲义第8讲 容斥原理(奥数版块)北师大版
容斥原理知识概述当两个计数部分有重复时，为了不重复计算，应从他们的和中减去重复计算的部分，这就是容斥原理。
在解决包含与排除问题时，要注意一下几个方面：灵活运用容斥原理；善于利用形象的图示帮助理解题意，利用图形的重合部分，理清数量之间的逻辑关系；在计算一个总量时，可以把总量分成几个分量来计算，先把每个分量加起来，再从几个分量的和中减去重复计算的部分。
例题精选例1、五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？练习1、 一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？练习2、 五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其C B ∩C A ∩C A ∩B ∩C BA A ∩B中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？例2、某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？练习1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。
已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？练习2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？例3、学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？练习1、五（1）班有50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人。
两科都在90分以下的有多少人？例4、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。
第八讲 容斥定理-2021年新高一年级数学暑假精品课程(人教A版2019)(解析版)
第八讲：容斥定理【学习目标】1．通过集合容斥定理公式，解决实际生活中的问题.【基础知识】一、容斥定理公式 （1） （2）()()()()()()()()Crad A Crad B Crad C Crad A B Crad A C Crad B C Crad A B C Crad A B C ++---+=【考点剖析】考点一：容斥定理的应用（一）例1．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为（ ）A ．60B ．70C ．80D ．90【答案】C 【详解】由题意可知两者之间的关系如图，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数15204580++=. 故选：C.变式训练1：某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【详解】因为某校高一（9）班共有49名同学， 参加学校举办的书法竞赛中有24名同学， 参加数学竞赛中有25名， 且两项都参赛的有12名同学，所以在两项比赛中，该班参加过比赛的同学的人数共有24251237+-=名学生， 所以该班没有参加过比赛的同学的人数为493712-=名. 故选：C.变式训练2：集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor ）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用()cardA 表示有限集合中元素的个数，例如：{},,A a b c =，则()card 3A =.若对于任意两个有限集合,AB ，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）A ．28B ．23C ．18D ．16【答案】C 【详解】设参加田赛的学生组成集合A ，则card()14A =， 参加径赛的学生组成集合B ，则card()9B =， 由题意得card()5A B ⋂=， 所以，所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有18. 故选：C.变式训练3：调查了100携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（ ）A ．最多人数是55B ．最少人数是55C ．最少人数是25D ．最多人数是80【答案】B 【详解】设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B.又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则[]0,20x ∈，以上两种药都带的人数为y. 根据题意列出Venn 图，如下图所示：由图可知，.∴7580100x y ++-=，∴55y x =+. ∵，∴，故最少人数是55. 故选：B.考点二：容斥定理应用（二）例2．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为_______． 【答案】184. 【详解】将已知条件用Venn 图表示出来如下图所示， 所以听讲座的人数为. 故答案为：184.变式训练1：高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】C 【详解】把学生50人看出一个集合U ，选择物理科的人数组成为集合， 选择化学科的人数组成集合B ，选择生物颗的人数组成集合C ， 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人， 单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人， 单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人， 以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图， 所以单选物理、化学的人数至多8人，所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818+=人. 故选：C.变式训练2：甲、乙、丙、丁四名游客到重庆旅游，他们都只去了磁器口古镇、洪崖洞民俗风貌区、李子坝轻轨穿楼及乌江画廊四个网红景点中的某2个，已知甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点.则四人中去过磁器口古镇的人数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】设甲、乙、丙、丁四名游客去过的景点组成的集分别为,,,A B C D ， 所以有景点构成的全集为U ，记集合,,,A B C D 的元素的个数依次为(),(),(),()n A n B n C n D ， 则，()4n U =，,,()1A B CD n A C =∅=∅=，则AB C D U ==,，所以每个景点都有2人去， 故选：B变式训练3：学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有______人． 【答案】4 【详解】由题意，画出韦恩图如下图所示：根据题意可知解方程组得所以同时参加田赛与径赛的有4人【过关检测】1、某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x ，最少人数为y ，则x y -=（ ）A ．22B ．21C ．20D ．19【答案】D 【详解】设集合,A B 分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集U ，A B 就是两者都爱好的，要使A B中人数最多，则A B ⊆，22x =，要使AB 中人数最少，则A B U =，即222746y +-=，3y =，∴22319x y -=-=．故选：D ．2、某校运动会上,高一(1)班共有28名同学参加比赛,其中有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛,则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】只参加游泳比赛的人数：15﹣3﹣2＝10（人）；同时参加田径和球类比赛的人数：8+14﹣（28﹣10）＝4（人）．故选：D3、学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为A．20 B．17 C．14 D．23【答案】B【详解】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，+-=.所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为812317故选B4、50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，两项测验成绩均不及格的有4人，两项测验成绩都及格的人数是（）A．35 B．25 C．28 D．15【答案】B【详解】试题分析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x人；由跳远及格40人，可得仅跳远及格的人数为40-x人；由铅球及格31人，可得仅铅球及格的人数为31-x人；2项测验成绩均不及格的有4人∴40-x+31-x+x+4=50，∴x=255、某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组，假设每位学员最少参加一个小组，其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组，有16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组，有8位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组，又参加了“小小演说家”兴趣小组，则该幼儿园满天星班学员人数为（）A．19 B．20 C．21 D．37【详解】由条件可知该幼儿园满天星班学员人数为1316821+-=. 故选：C6、自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是（ ） A ．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B ．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C ．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟D ．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟【答案】D 【解析】设报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A ，B ，C ，D ，则 由题意，A∩B=∅，B ⊆C ，D∩C=∅，C ∪D=B ， ∴A ⊆D ，B=C ，C ∪D=B ， 选项A ，B∩D=∅，正确； 选项B ，B=C ，正确； 选项C ，A ⊆D ，正确， 故选D ．7、某小学五年级一班共有50名学生，在期中考试中语文25人优秀，数学30人优秀，两门都不是优秀者7人，则两门都是优秀同学共有______人. 【答案】12 【详解】解：设两门都是优秀同学共有x 人，利用Venn 图表示如图，所以有：2530750x +-+=，解得12x =. 故两门都是优秀同学共有12人.8、建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数7人，则此班的人数为________ 【答案】40人 【详解】设{U x x =为建平中学高一某班全体学生} 集合{A x =参加大舞台的学生} 集合{B x =参加风情秀的学生}两个节目都参加的人数为n ,只参加风情秀的人数为m . 两个节目都不参加的人数为7n +,只参加大舞台的人数为3m + 则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三可知 解得所以总的人数为315408÷=人 故答案为: 409、某学校举办运动会时，高一（1）班共有26名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和田径比赛的学生有__人． 【答案】5 【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次所以15+8+14﹣3﹣3﹣26＝5，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有5人．10、某班共40人，其中17人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为___________. 【答案】15. 【详解】用集合A 表示喜爱篮球运动的学生组成的集合，用集合B 表示喜爱乒乓球的学生组成的集合，U 表示全班学生组成的集合，作出Venn 图如下图所示：设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的学生人数为x ， 则()()172084540x x x x -+-++=-=，解得5x =.因此，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为2015x -=，故答案为15.11、在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及万只气球保障等多项重点任务．设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校}，{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校}，{|C x x 是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____． 【答案】A B A C【详解】解：①设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校},{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校},{|C x x 是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A B ．故答案为：AB ．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A C ．故答案为：AC ．12、某校举办运动会时，高一某班共有27名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.则仅参加一项比赛的共有___________人.【答案】17 【详解】设参加游泳比赛为集合A ，参加田径比赛为集合B ，参加球类比赛为集合C ，同时参加球类和田径比赛的有x 人由韦恩图可知，，解得3x = 则仅参加一项比赛的共有人 故答案为：1713、有三支股票A,B,C ．总共28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1，在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票.则只持有B 股票的股民人数是_____人. 【答案】 【详解】由题意，作出韦恩图，如图所示，根据题意，在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1，在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票，可得7m n p ++=，即值持有B 股的股民人数为7人.14、向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 【答案】对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生分别有21人、8人. 【详解】赞成A 的人数为350305⨯=，赞成B 的人数为30333+=， 记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合M ，赞成事件B 的学生全体为集合N ， 设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ，则对A 、B 都不赞成的人数为13x+，赞成A 而不赞成B 的人数为，赞成B 而不赞成A 的人数为33x -，作出Venn 图如下所示，依题意可得，解得21x =，所以对A 、B 都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人.15、某班对两条新制定的班规A ，B 进行表决，结果A 以90%的得票率顺利通过，而B 却因得票率为40%，未过半数被否决;并且知道，对A ，B 都投赞成票的学生人数是对A ，B 都投否决票的学生人数的6倍，已知全班共50人，并且不能弃权，问单投A 赞成票和同时投A ，B 赞成票的学生各多少人?【答案】27；18.【详解】设集合为对投赞成票的学生，集合B 为对B 投赞成票的学生，依题意有45人，B 有20人，对、B 都投赞成票的学生则表示为A B ，设为x 人，对、B 都投否决票的学生则表示为A B ⋂，依意为6x ， 根据集合运算公式：(5045)(5020)3566x x A B A B A B ⋃=+-⋂=-+--=-， 50A B x ⋃=-，则35506x x -=-，解得：18x =， 所以同时投A ，B 赞成票的学生18人.单投A 赞成票的人可表示为人.16、已知全集U ，集合A 、B 、C 的关系如图，请在图中用阴影线表示下列集合的运算结果：（1）（2）【答案】(1)(2)【详解】(1) 先分析U A C B 与,再求并集可得如图阴影部分.(2) 先判断与U CC B ,再求并集可得如图阴影部分.。
第八讲 容斥原理
第8讲 容斥原理一、知识点：容斥原理类型一：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，甲类或乙类个数=甲类个数+乙类个数－既甲类又乙类的物体个数 容斥原理类型类型二：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－甲类或乙类个数 容斥原理类型类型三：如果被统计的事物有甲、乙两类、既非甲类又非乙类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－（总体共有个数—既非甲类又非乙类个数）森林里住着很多动物，狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。
”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计兽类的种类，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我算兽类。
”结果统计出森林中共有70种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。
”这个统计对吗？ 现在我们用维恩图表示：要求鸟类与兽类共多少种,可以：+得出结论：鸟类与兽类共多少种=鸟类+兽类— 蝙蝠这个故事反映的是一个数学原理，我们把这个数学原理称为包含排除原理，即容斥原理。
鸟类 80 种兽类 70种蝙蝠 1种鸟类与兽类共？ 兽类70种鸟类—蝙蝠=79（种）二、例题讲解：包含与排除问题其实也叫容斥问题。
A AB B （韦恩图）（1)容斥原理的第一种类型：例题1：四年级(2)班每人都参加了一种兴趣小组，参加舞蹈组的有23人，参加合唱团的有40人，既参加舞蹈组又参加合唱团的有15人，全班共有多少人？ 练习：1、四年甲班学生采集标本，采到昆虫标本的有26人，采到植物标本的有32人，两种豆采到的有10人，全班有学生多少人？2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。
这个文艺组一共有多少人？甲类乙类即甲 又乙 维恩图合唱团 40人舞蹈组 23人15人共？植物标本 32人昆虫标本 有26人10人共？如果被统计的事物有甲、乙两类，那么， 甲和乙的总个数=甲个数+乙个数－既是甲又是乙的个数。
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|A|=17 |B|=30 |C|=13 |A∩B∩C|=5 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C| -|A∩B|-|A∩C|-|B∩C| +|A∩B∩C|=35 所以 |A∩B|+|A∩C|+|B∩C|=30 所求数目= |A|-|A∩B|-|A∩C| +|A∩B∩C| +|B|-|B∩C| |-|A∩B +|A∩B∩C| +|C|-|A∩C|-|B∩C| +|A∩B∩C| =60-2×30+3×5=15
70、36。问阴影部分（黄色）的面积是多少？ A．15 B．16 C．14 D．18
11.三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投 出了5票，并且每幅作品都有专家投票。如果 三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投 票的列为B等，仅有一位专家投票的作品列为 C等，则下列说法正确的是（ D ）。 A. A等和B等共6幅 B. B等和C等共7幅
120-(50+45+40-15-10-8+4)=14(人)
6.分母是1001的最简分数一共有多少个？ 解：这一题实际上就是找分子中不能整除 1001 的数。由于 1001=7×11×13 ，所以就 是找不能被7，11，13整除的数。
如图
7的倍数143个 11的倍数91个
13
11 7
13的倍数77个
子一共被剪成了多少段？
59+39-19=79
9.在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖 券。按奖券标签号发放奖品的规则如下： （1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔； （2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔； （3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖； （4）其他标签号均奖1支铅笔。那么游艺会为该项活动准备 的奖品铅笔共有多少支？ 解：(50-16)×2+(33-16)×3+16×5+33×1=242
10. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号 各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫
有10件，小号蓝色衬衫有多少件?
解：设小号和蓝色分别为两个事件A和B，
小号占50%，蓝色占75%，则： 100=50+75+10- |A∩B|，得： |A∩B| =35。
【2004年山东真题】某单位有青年员工85人， 其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑 车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳 的有（ ）人
A.57
B.73
C.130
D.69
|B|=62
解：设A={自行车}，B={游泳}， |A|=68
全体 A B A B
85= |A|+|B|- |A∩B|+12 |A∩B|= (68＋62+12) -85= 57
容斥原理
在计数时，先把包含于某内容中的所有对 象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计 算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏 又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 “容”就是“相容”和“包含”的意思，“斥”
就是“相斥”和“排除”的意思。所以，容斥
原理又称包含与排除，或者排除法。
容斥原理1 如果被计数的事物有A、B两类， 那么，A类与B类元素个数总和= A类元素个数+ B 类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
A
A∩B
B
A B A B A B
1. 某班学生每人家里至少有空调和电脑两
种电器中的一种，已知家中有空调的有41
人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，
这个班有学生多少人？
解：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-A∩B∣ =39+37-25=51(人)
2.一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12 人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那
17
18
15
6
6
5
2
学生人数=17+18+15-6-6-5+2+4=39人
5．某大学有外语教师120名，其中教英语
的有50名，教日语的有45名，教法语的有
40名，有15名既教英语又教日语，有10名
既教英语又教法语，有 8 名既教日语又教
法语，有 4 名教英语、日语和法语三门课，
则不教三门课的外语教师有多少名?
1001-【143+91+77-13-11-7+1】=720
7.【国考2010-47】某高校对一些学生进 行问卷调查。在接受调查的学生中，准备 参加注册会计师考试的有63人，准备参加
英语六级考试的有89人，准备参加计算机
考试的有47人，三种考试都准备参加的有
24人，准备只选择两种考试都参加的有46
x
24
英语89
y
计算机47
z
x+z+y=46
63+89+47-(x+24)+(y+24)+(z+24)]-24+15=120
8.【2005年中央A类真题】对某单位的100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球 赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，
38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜
欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢
9. 某班有35个学生，每个学生至少参加英语小
组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小
组。现已知参加英语小组的有17人。参加语文 小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果 有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生 只参加了一个小组？ A.15 B.16 C.17 D.18
17
30
英 5
语
数13
总数为32人，在第一次考试中有26人及格，
在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，
都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的
人数是( A．22
解： |A|=26
)。 B．18
|B|=24
C．28
D．26
|A|+|B|=26＋24＝50；
|A∪B|=32-4＝28， |A∩B|= |A|+|B|- |A∪B|=50-28＝22
设X为只参加了一个小组 Y为只参加了两个小组 X+Y+5=35 17+30+13-Y（因为多加了一次）-2×5（因 为多加了两次）=35 Y=15 X=15
10.如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、
160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放
在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、
A
M
O
B
12.如下图所示，在长方形内画出一些直 线，已知边上有三块面积分别是13，35， 49．那么图中阴影部分的面积是多少？
A 解：SABC+SCDE+（13+49+35） 49 35 D
=S长方形+S阴影
SABC = SCDE = 1/2S长方形 S阴影 = 13+49+35 =97
E
13
B
小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有
24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和
音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个
小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有 7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加 课外小组的同学共有多少人？
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-B∩C|+|A∩B∩C|
么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
15
4
12
3. 一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高 两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参 加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学 生有多少人？
解：设A={跑步}，B={跳高}，要求|A∩B|
|A∪B| =48 |A|=37 |B|=40
|A∩B|= |A|+|B|- |A∪B|
=37+40-48=29
4．求不超过20的正整数中是2的倍数或3 的倍数的数共有多少个。
解：设A={20以内2的倍数}，B={20
以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的 倍数个数，即求∣A∪B∣。 |A|=10 |B|=6 |A∩B|=3
|A∪B|= =10+6-3=13
二. 三集合类型 容斥原理2 如果被计数的事
物有A、B、C三类，
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B||A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
三集合 A
A∩B
A∩B∩ C
B
A∩C
B∩ C
C
A1
4
2B
1+5+4+7=A 2+4+6+7=B
7 5
C3
3+6+5+7=C
6
1. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个
C
13.如图所示，长方形ABCD的两条边长分别 为8ｍ和6ｍ，四边形OEFG（绿色）的面积
是4ｍ2，则阴影部分的面积为？
A.32 ｍ2 B.28 ｍ2 C.24 ｍ2 D.20 ｍ2
蓝+黄=3/4整个面积 黄+绿= 1/4整个面积 蓝-绿=2/4整个面积 蓝=24+4=28
思考题 1．有128位旅客，其中25人既不懂英语、 又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语， 请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？ 2．六一班有学生46人，其中会骑自行车 的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又 会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会 游泳的有多少人？
5. 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有