高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
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《平面向量的数量积 》课件
平面向量的数量积
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
平面向量的数量积：课件一(10张PPT)
返回
4．向量的数量积的几何意义： 数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1° e⋅a = a⋅e =|a|cosθ ⋅ ⋅ 2° a⊥b ⇔ a⋅b = 0 ⊥ ⋅ 3° 当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = −|a||b|. ⋅ ⋅ 特别的a⋅a = |a|2或 | a |= a ⋅ a ⋅ 4° cosθ =
a ⋅b | a || b |
5° |a⋅b| ≤ |a||b| ⋅
返回
三、讲解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 与 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， ， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ ＝ ； － BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ， ０ ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ) ·c= ａ·(ｂ ·c) （
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
两个向量的数量积与实数同向量的积的区别 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号 返回 由cosθ的符号所决定,而实数同向量的积是一个向量
概念：作3．“投影”的图
定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0°时投影 为 |b|；当θ = 180°时投影为 −|b|.
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
数学公开课平面向量数量积的各种求法PPT课件
应用4.（高考全国Ⅰ卷∙11∙5分）
已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，
那么 PA PB 的最小值为（ ）
A. 3 2 2 B. 3 2
C. 4 2 2
D. 4 2
解析：设
APO，则
，PA由定 义1，
A
tan
PA PB 1 cos 2 cos2 (1 2 sin2 )，设t sin2 ， O
解法1：DE CB （DA AE）CB （CB AE）CB
2
CB AE CB 1
设 AE AB （0 1），DE DC （DA AE）DC
A
B
E
2
DA DC AE DC AB 1
解法2：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴 建立平面直角坐标系，B（1, 0），C（1,1），D（0,1） 设E（x，0），则DE CB （x, -1) (0，-1) 1
P
tan2
sin2
则 PA PB (1 t )(1 2t ) 2t 1 3 2 2 3.
B
t
t
四、考点突破
必 会 内
1.两个公式：a •b = a b cosθ； a = (x1, y1),b = (x2, y2)，则 a • b = x1x2 + y1 y2
容 2.五种方法：直接用定义；基底转化后用定义；建系0) x 1.
A
E Bx
方法：用坐标求数量积；条件：互相垂直的线段；思想：以数辅形.
应用3.（高考浙江卷∙15∙4分）
在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则 AB • AC=_______.
思路：把 AB、A用C
AM表•示BC，然后用定义可的结果.
高中数学2.4.1平面向量的数量积优秀课件
a • b | a || b | cos
例2、e是单位向量，判断以下数量积的大小关系：
(1)OA e (3)OC e
(2)OB e (4)OD e
D
B C
A
Oe
3、平面向量数量积的运算律：
(1)a • b b • a
(2)( a) • b (a • b) a • (b) (3)(a b) • c a • c b • c
5 4 1 10 2
A
若 | BC | 1,求AB BC
120
D
B
C
2、平面向量数量积的几何意义： a • b | a || b | cos
(| b | cos :叫做向量b在a方向上的投影)
B
b
| b | cos 0
θ
O
B
B1
aA
b
θ
B1
O
| b | cos 0
a
A
当a b时，| b | cos 0
2、平面向量数量积的几何意义：
(| b | cos :叫做向量b在a方向上的投影)
几何意义：数量积a • b等于a的长度 | a | 与
b在a方向上的投影 | b | cos的乘积。
a • b | a || b | cos
数量积a • b等于b的长度 | b | 与
a在b方向上的投影 | a | cos的乘积。
(3)0a 0, 0 • a 0
(4)பைடு நூலகம் • a | a || a | cos 0 | a || a |
2
a
| a
|2
例1、已知在ABC中，| AB | 5,| BC | 4, B 120 ,
求AB • BC
全国高中数学优质课一等奖精品课件--平面向量的数量积
平面向量的数量积
学习目标 1.理解向量数量积的定义及几何意义. 2.掌握数量积的性质. 3.掌握并能熟练运用数量积的运算律.
重点:理解数量积的定义及其几何意义.
难点:向量数量积的运算.
正值春暖花开季，姚明和撒贝宁去中国篮球 队进行采访，但半路车出了故障，他们把绳 子各自跨过肩膀用手拉着前行，他们出同样 的力，但谁做的功劳比较大呢？
(1)a2- b2;(2)(2a -b)·(a +3b);(3)|a +b|.
例2.已知a 1, b 2,且a b与a垂直， 则a与b的夹角θ是
A.60 B30 C.45 D.135
练一练 1.已知a 4, b 5.
1当a // b时，求a b 2当a b时，求a b.
3当a与b的夹角是 时，求 3a 2b 2a 3b , a 2b 3
如上图,如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么 力所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F与s的夹角.
功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我 们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算 的结果呢?
问题1
已知两个非零向量a 和b ,我们把数量 a b cos 叫作a 和
b的数量积(或内积),记作 a • b ，即 a • b a b cos
其中θ是a和b 的 夹角 ,θ的取值范围是 数量积的结果是一个数量. 规定:零向量与任一向量的数量积为0
0， 。
(2)投影的概念： 如图所示，OA a,OB b,过B作BB1垂直于OA,垂足为B1 则 ___b_c_os____叫做b在a方向上的投影 __a _co_s__叫作a在b方向上的投影。
这堂课你都掌握了哪些内容？
来考考你的同桌吧，小伙伴们
学习目标 1.理解向量数量积的定义及几何意义. 2.掌握数量积的性质. 3.掌握并能熟练运用数量积的运算律.
重点:理解数量积的定义及其几何意义.
难点:向量数量积的运算.
正值春暖花开季，姚明和撒贝宁去中国篮球 队进行采访，但半路车出了故障，他们把绳 子各自跨过肩膀用手拉着前行，他们出同样 的力，但谁做的功劳比较大呢？
(1)a2- b2;(2)(2a -b)·(a +3b);(3)|a +b|.
例2.已知a 1, b 2,且a b与a垂直， 则a与b的夹角θ是
A.60 B30 C.45 D.135
练一练 1.已知a 4, b 5.
1当a // b时，求a b 2当a b时，求a b.
3当a与b的夹角是 时，求 3a 2b 2a 3b , a 2b 3
如上图,如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么 力所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F与s的夹角.
功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我 们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算 的结果呢?
问题1
已知两个非零向量a 和b ,我们把数量 a b cos 叫作a 和
b的数量积(或内积),记作 a • b ，即 a • b a b cos
其中θ是a和b 的 夹角 ,θ的取值范围是 数量积的结果是一个数量. 规定:零向量与任一向量的数量积为0
0， 。
(2)投影的概念： 如图所示，OA a,OB b,过B作BB1垂直于OA,垂足为B1 则 ___b_c_os____叫做b在a方向上的投影 __a _co_s__叫作a在b方向上的投影。
这堂课你都掌握了哪些内容？
来考考你的同桌吧，小伙伴们
高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
《平面向量的数量积 》课件
数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
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3．平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为 a 与 b(或 e)的 夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cosθ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|； 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|； 特别地，a·a＝|a|2，|a|＝ a·a. (4)cosθ＝|aa|·|bb|.
A．4
B．3 C．2
D．0
[合 作 探 究·攻 重 难]
类型一 数量积的定义及几何意义
(1)若 a，b，c 均为非零向量，则下列说法正确的是 ______①__②____．(填写序号即可)
①a·b＝±|a|·|b|⇔a∥b；
②a⊥b⇔a·b＝0； ③a·c＝b·c⇔a＝b； ④(a·b)·c＝a·(b·c)．
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
1．已知a＝(λ，2)，b＝(－4,10)，且a⊥b，则实数λ的值为
(C )
A．45
B．－45
C．5
D．－5
2．已知向量 a，b 满足|a|＝4，|b|＝1，且 a·b＝－2，则 a
与 b 的夹角大小为( B )
A．π3
B．23π
C．π6
D．56π
3．若向量 a，b，c 满足 a∥b，且 a⊥c，则 c·(a＋2b)＝( D )
P1P2 P1P4
P1P2 P1P5
P1P2 P1P6
类型二 用数量积表示两个平面向量的垂 直关系
(1)已知向量 a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则 a⊥b 的充
要条件是( D )
A．x＝－12
B．x＝－1
C．x＝5
D．x＝0
解：由向量垂直的充要条件得 2(x－1)＋2＝0，所 以 x＝0.故选 D.
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
(1)b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ(θ为 a，b 的 夹角)，a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ.
(2)b 在 a 方向上的投影为a·b，a 在 b 方向上的投影
|a|
为a·b. |a|
如图，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数 量积中最大的是( A)
（A） （B） （C） （D） P1P2 P1P3
已知 a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量 λa＋b 与 a
－2b 垂直，则实数 λ 的值为( A )
A．－17
B.
1 7
C．－16
D.16
解：由条件得 λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－ 1，2)，
因为 λa＋b 与 a－2b 垂直，所以(－3λ－1，2λ)·(－
1，2)＝0，即 3λ＋1＋4λ＝0，解得 λ＝－17.故选 A.
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
解：因为点 C(－1，0)，D(4，5)，所以C→D＝(5，5)，又 A→B＝(2，1)，所以向量A→B在C→D方向上的投影为|A→B|cos〈A→B， C→D〉＝A→B|C·→DC→| D＝5152＝3 2 2.故填32 2.
点 拨： 数量积 a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2(其中两向量夹角 为 θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．其几何意义是：a·b 等 于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．在 理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题． 求投影的两种方法：
(2)(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，
则( A )
A．a⊥b
B．|a|＝|b|
C．a∥b
D．|a|＞|b|
解：因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2， 整理得 4a·b＝0，所以 a⊥b.故选 A.
点 拨： 两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量 积为 0，即：两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
解：a·b＝|a||b|cosθ，θ 为 a，b 的夹角，则 cosθ＝±1，
①正确；②显然正确；③错误，如 a＝－b，a⊥c，则 a·c＝b·c ＝0，但 a≠b；④错误，因为数量积的运算结果是一个数， 即等式左边为 c 的倍数，等式右边为 a 的倍数．故填①②.
(2)已知A→B＝(2，1)，点 C(－1，0)，D(4，5)，则向量A→B在 C→D方向上的投影为________．
2.如何利用平面向量的数量积解决几何中的垂直、 夹角、长度等问题。
❖ 教学难点：平面向量数量积的应用
1．两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cosθ.规定 零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0. 2．平面向量数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．