电路相量法
电路相量法讲义
1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系、相量图。
. Im= 5∠45o A
45o
. Um= 100∠0o V
主要是相位关系 .
Z = U.m =20∠-45o W Im
与其它章节的联系 是学习第 9、10、11、12章的基础。 必须熟练掌握相量法的解析运算。
2024年7月17日星期三
qA
任意一个复数A=|A|ejqa乘以
ejq ，等于把A逆时针旋转q
qa
+1
角度，而模|A|保持不变。 o
ej
p
2
=j
-j p
e 2 = -j
e jp = -1
都是旋 转因子
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。
A j
=
-jA，等于把
A
顺时针旋转90o。
2024年7月17日星期三
7
§8-2 正弦量
di dt
=wImcos(wt+fi
(2) i1(t) =10cos(100pt+30o)A
i2(t) =10cos(100pt-105o)A (2) j =30o-(-105o)=135o
(3) u1(t) =10cos(100pt+30o)V (3) w1≠w2，
u2(t) =10cos(200pt+45o)V 不能进行相位比较。
fi = 60o
由于最大值发生在计
o t1
t
时起点右侧 fi = - 60o
i(t) = 100cos(103t - 60o)
2. 当 103t = 60o = p3 时， 出现最大值
t1 =
电路原理-相量法
物 理 意 义
直流I
Rห้องสมุดไป่ตู้
交流i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-mean-square)
1 同样，可定义电压有效值： U T
8.1 复数
1. 复数的表示形式
Im b 向量 0 a Re 0 F
F=a+jb
( j 1 为虚单位）
Im b F |F|
①代数形式 ②三角形式
F a jb F | F | (cos j sin )
F | F | e j
F | F |
a
Re
③指数形式
④极坐标形式
除法：模相除，角相减
(3.41 j3.657) (9.063 j 4.226)
12.47 j 0.569 12.48 2.61
③ 旋转因子
Im
复数 ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ
F• e j 相当于F逆时针旋转一个角度θ ， ejθ 称为旋转因子。
j >0， u超前i，或i 落后u ，u 比i先到达最大值。 u, i u i
u i
j
O
t
j <0， i 超前 u，或u 滞后 i ，i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
①j ＝ 0， 同相 u, i u i ②j = (180 ) ，反相 u, i u 0 u, i u i 0 i t
电路第五版 8、相量法
=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
o
旋转因子： 旋转因子： e j = 1∠ 任何一个复数乘以一个旋转因子， 任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角 j 例8-1 F=F1e j F F1 +1
π
2
特殊： 特殊：
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U = Um 2
或
Um = 2U
若交流电压有效值为 U=220V ，
注意
U=380V 其最大值为 Um≈311V Um≈537V
工程上说的正弦电压、 电流一般指有效值， ① 工程上说的正弦电压 、 电流一般指有效值 ， 如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 耐压值指的是最大值。因此， 压水平时应按最大值考虑。 压水平时应按最大值考虑。
i2
i1 i2
i1+i2 →i3
ω
I1 o
ω
I2
i3
ω
I3
ωt
Ψ1
Ψ2
Ψ3
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 所以，只需确定初相位和有效值。 正弦量 复数 变换的思想
§8. 2 正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示： 正弦量的相量表示：
F1 F2
F1 F2 = ( a1 a 2 ) + j ( b1 b2 )
（3）乘法运算： ）乘法运算：
电路相量的运算法则
电路相量的运算法则1相量简介相量是表述交流电路中电压和电流的一种方法。
它是一个复数，包括大小和相位两个部分。
电压和电流的相量不仅可以进行加减运算，还可以进行乘除运算，使得我们更加方便地进行分析和计算。
2相量的表示方法相量可以用极坐标和直角坐标两种方式表示。
以电压为例，极坐标中大小表示电压的幅值，即其最大值；相位表示电压的相位角，即从时间轴开始算起，电压的正弦波的已过时间。
直角坐标中，实数轴表示电压的实部，即电压*cos相位角；虚数轴表示电压的虚部，即电压*sin相位角。
3相量加法在电路中，可以将相同频率下的电压或电流当作相量，进行加减运算。
相量加法有两种形式：数学形式和几何形式。
数学形式就是把电压或电流的实部和虚部相加，例如：U1=3cos(θ)+j3sin(θ)U2=4cos(θ+π/4)+j4sin(θ+π/4)则U=U1+U2=(3+4cos(π/4))cos(θ+π/4)+j(3+4sin(π/4))sin(θ+π/4)几何形式则是将相量用矢量的方式表示，然后使用平行四边形法则求和，例如：将U1和U2表示为两个矢量，其大小与相位角分别为（3，θ）和（4，θ+π/4）。
画出两个相量的矢量图，然后在起点处连线，得到相量的和U。
通过测量得到U大小约为（5.7，θ+0.18π）。
4相量减法和相量加法类似，相量减法也有两种形式。
数学形式为将两个相量的实部和虚部相减。
例如：设U1=3cos(θ)+j3sin(θ)，U2=4cos(θ+π/4)+j4sin(θ+π/4)则U=U1-U2=(3-4cos(π/4))cos(θ-π/4)+j(3-4sin(π/4))sin(θ-π/4)几何形式则是将两个相量的矢量相减，例如：将U1和U2表示为两个矢量，其大小与相位角分别为（3，θ）和（4，θ+π/4）。
画出两个相量的矢量图，然后将U2的矢量反向，得到相量的差U。
通过测量得到U大小约为（2.2，θ-0.18π）。
电路PPT-相量法
I IΨi UL w LI Ψi π 2
jw L
相量關係：
U L
jwL I jXLI
相量模型
有效值關係： U=w L I 相位關係： u=i +90°
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感抗和感納
XL=wL=2fL，稱為感抗，單位為 (歐姆) BL=-1/w L =-1/2fL， 稱為感納，單位為 S
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I 0
u的所有正弦電流用相量表示
時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用
相量表示時仍滿足KVL。
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例2 已知電流錶讀數： A1 ＝8A A2 ＝6A
週期性電流、電壓的暫態值隨時間而變，為 了衡量其平均效果工程上採用有效值來表示。
週期電流、電壓有效值定義
物 直流I R 理 意
義 W RI2T
交流 i R
W
T
0
Ri2 (t )dt
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均方根值
def
I
定義電壓有效值：
1 T
T
0
i2
(t )dt
def
U
1 T u2 (t)dt
T0
正弦電流、電壓的有效值
試用相量表示i, u .
•
•
解 I 10030o A, U 220 60o V
•
例2 已知 I 5015 A, f 50Hz .
試寫出電流的暫態值運算式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
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相量圖
相量是一個複數，它在複平面上的
圖形稱為相量的圖。
i(t) 2Icos(ω t Ψ ) I IΨ
•
i(t) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ
电路分析-相量法
F =| F | (cosθ + j sinθ ) b =| F | e jθ
④极坐标形式
θ
F =| F | ∠θ
共轭复数
* *
o
a
*
+1
F
F = a − jb或F = F ∠ − θ
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2. 复数运算
①加减运算 设 则 一般采用代数形式
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1+F2 F2 F1 F1 o +1
u2 (t ) = 10cos(200π t + 450 ) 不能比较相位差
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(4) i1 (t ) = 5 cos(100π t − 300 )
f (t ) = ∑ Ak cos(kωt + θk )
k =1
n
上 页
下 页
瞬时值表达式 i=Imcos(ωt+φi) u = Umcos(ωt+φu) +
以电流为例) 以电流为例 2. 正弦量的三要素 (以电流为例 振幅(最大值) (1) Im振幅(最大值) 正弦量变化过程中所能达到的最大幅度， 正弦量变化过程中所能达到的最大幅度， 反映正弦量变化幅度的大小。 反映正弦量变化幅度的大小。
特殊相位关系
ϕ ＝ 0， u , i 同相 ，
u i o
ϕ= π/2：u , i 正交 π/2 u i o u
ωt
ωt
ϕ =±π ， u , i反相 ±π 反相
o
i ωt
正弦量初相与设定的 正弦量初相与设定的 参考方向相关,改设参考方向时 改设参考方向时,该正弦量的初相 参考方向相关 改设参考方向时 该正弦量的初相 改变π,因此与其它正弦量相位差也相应改变 因此与其它正弦量相位差也相应改变π 改变 因此与其它正弦量相位差也相应改变
电路分析课件第八章相量法
KVL：任意时刻，任一回路，U=0
三、受控源的相量形式
i1
I1
R
正弦电流
i 1 电路时：
R
1I1
本章小结：
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示， RLC元件用阻抗、感抗、容抗表示，画出电路的相 量模型，利用KCL、KVL和欧姆定律的相量形式写 出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此， 应用相量法应熟练掌握:
∴ i =46.2 2cos(314t–27º)A j I1
+1 I
相量图
I2
注意：
在分析正弦交流电路时字母的写法：
i — 瞬时值 I — 有效值 Im — 最大值 I — 有效值相量 Im— 最大值相量
三、不同频率的正弦量不能用相量法运算。
相量只含有正弦量的有效值(最大值)和初相 位的信息，不包含频率的信息，即：在运用相量 法分析正弦量时，默认为同频率。
将 I (或 U)定义为电流i (或电压u) 的相量，它含有 正弦量的振幅和相位的信息。
注意：
有一个正弦量便可以得到一个相量； 有一个相量也可以写出对应的正弦
量。两者是一一对应的关系，决不
是相等的关系。
u=220 2 cos(314t+45º)V
U=220 45ºV u U
I=50 –30ºA 一一对应 i =50 2 cos(ωt–30º)A i I
U 相量形式电路图
相量关系既反映了u、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。
I U 相量图
2、电感
iL
u
若：i = 2 Icos(ωt+ψi )
则：u=L
di dt
=–
2 IωLsin(ωt+ψi )
电路分析相量法
量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
电路_相量法
8
相量法的基础(****) §8 - 3 相量法的基础
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义： 相量定义：
表示正弦量的复常数称为相量。 表示正弦量的复常数称为相量。 例如： 例如： 正弦量 i = 220 2 cos(314t − 30 o )A
& = 220 e − j30o A 表示。 表示。 可用相量 I
& = Re[ 2 I e e jω t ] = Re[ 2 I e jω t ]
三、正弦量的运算： 正弦量的运算：
1、同频正弦量的代数和： 、同频正弦量的代数和： i1 = 2 I1 cos(ω t + ψ 1 )A， i2 = 2 I 2 cos(ω t + ψ 2 )A
& & & & i = i1 + i2 = Re[ 2 I1 e jω t ] + Re[ 2 I 2 e jω t ] = Re[ 2 ( I1 + I 2 )e jω t ]
2π ω = 2πf = T
额定值为有效值， 额定值为有效值， 耐压值为最大值。 耐压值为最大值。
热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。 热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。 ③有效值： 有效值： 周期电流的有效值： 周期电流的有效值： = I 正弦电流的有效值： 正弦电流的有效值：I =
& I =Ie
jψ i
& = ωI e jψ i +90o = ωI e jψ i ⋅e90o = jωI e jψ i = jωI & ∴Y
结论： 正弦量的微分为同频正弦量，对应的相量为原相量乘以 jω。 结论： 正弦量的微分为同频正弦量， 。 注意：不能说“ 的函数。 注意：不能说“相量的导数为相量乘 jω” 。 因为相量不是 t 的函数。 11
电路(第八章)相量法
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1
0 Re
(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式
若 则:
A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
Im 2I
i ( t ) I m cos(w t Ψ ) 2 I cos(w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)； u, i u i
yu yi j j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
O
wt
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
u, i u u i 0 iw t
j ＝ 0， 同相：
直流I
物 理 意 义
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
T 2 0
电流有效 值定义为
1 T 2 I 0 i (t )dt T
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
电路相量法
电路相量法（Phasor Method）是一种用复数形式表示交流电路中电压、电流和功率的方法。
它基于欧姆定律和基尔霍夫定律，并使用复数运算来简化交流电路的分析。
在电路相量法中，电压和电流被表示为复数形式，即相量（phasor）。
相量由幅值和相位角组成，幅值表示电压或电流的大小，相位角表示电压或电流相对于参考点的相位差。
使用相量法进行交流电路分析的步骤如下：
将交流电路中的电压源、电流源和阻抗等元件转换为复数形式。
使用复数表示法计算电路中的电压和电流，将它们表示为相量。
使用欧姆定律和基尔霍夫定律，根据电压和电流的相量关系，建立方程组。
解方程组，得到电路中各元件的电压和电流的幅值和相位。
根据需要，计算功率和功率因数。
电路相量法的优点在于可以通过复数运算简化计算过程，避免了复杂的三相计算和相量之间的几何图形。
它在分析交流电路中的电压、电流和功率时非常有用，尤其在稳态分析和频域分析中广泛应用。
电路相量法的加减运算公式
电路相量法的加减运算公式电路相量法是电路分析中常用的一种方法，可以通过相量的加减运算来简化复杂的电路计算。
下面将为大家介绍电路相量法的加减运算公式。
在电路分析中，经常会遇到需要计算电压、电流和功率的情况。
而电路相量法可以将这些量用相量的形式表示，从而简化计算过程。
在进行电路相量法的加减运算时，我们需要了解一些基本的公式。
我们来看电压的相量运算。
电压相量的加减运算可以用以下公式表示：U = U1 + U2其中，U表示总电压，U1和U2分别表示两个电压源的相量。
这个公式的意思是，将两个电压源的相量相加，得到总电压的相量。
接下来，我们来看电流的相量运算。
电流相量的加减运算可以用以下公式表示：I = I1 + I2其中，I表示总电流，I1和I2分别表示两个电流源的相量。
这个公式的意思是，将两个电流源的相量相加，得到总电流的相量。
我们来看功率的相量运算。
功率相量的加减运算可以用以下公式表示：P = P1 + P2其中，P表示总功率，P1和P2分别表示两个功率源的相量。
这个公式的意思是，将两个功率源的相量相加，得到总功率的相量。
通过以上的公式，我们可以进行电路相量法的加减运算。
在实际应用中，我们可以根据具体的电路情况，将电压、电流和功率用相量的形式表示，然后根据公式进行相应的计算。
这样可以简化电路分析的过程，提高计算的效率。
需要注意的是，在进行电路相量法的加减运算时，我们需要将相量的大小和方向考虑在内。
相量的大小表示了电压、电流或功率的大小，而相量的方向表示了电压、电流或功率的方向。
在进行相量的加减运算时，我们需要同时考虑相量的大小和方向，确保计算结果的准确性。
电路相量法的加减运算公式可以简化复杂的电路计算，提高计算的效率。
通过将电压、电流和功率用相量的形式表示，并根据相量的加减运算公式进行计算，我们可以更方便地分析电路的特性和性能。
在实际应用中，我们可以根据具体的电路情况，灵活运用电路相量法，解决各种电路分析问题。
电路相量法
电路相量法相量法是分析讨论正弦电流电路稳定状态的一种简洁易行的方法。
它是在数学理论和电路理论的基础上建立起来的一种系统方法。
1、问题的提出在上图所示的电路中，依据KVL，列写微分方程如下当激励u(t)是正弦量时，uC(t)及iL(t)均为同频率的正弦量。
这一重要结论具有普遍意义，即线性非时变电路在正弦电源激励下，各支路电压、电流的特解都是与激励同频率的正弦量，当电路中存在有多个同频率的正弦激励时，该结论也成立。
工程上将电路的这一特解状态称为正弦电流电路的稳定状态，简称正弦稳态。
电路处于正弦稳态时，同频率的各正弦量之间仅在有效值（或幅值）、初相上存在差异和联系，这种"差异和联系"正是正弦稳态分析求解中的关键问题。
结论：同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。
因此采纳2、正弦量的相量表示：构造一个复函数，（无任何物理意义）取该复函数的实部，，为一个正弦量，有物理意义。
结论：任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。
如复函数F(t) 还可以写成，其中为复常数。
F(t) 包含了正弦量的三要素：幅值（此处为有效值）I、初相Y 、角频率w。
有如下关系同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：正弦量除可用上述的相量式表示以外，还可在复平面上用相量图形式表示。
如图所示。
图相量图留意相量的模表示正弦量的有效值；相量的辐角表示正弦量的初相位。
例已知，试用相量表示i和u。
解：3、相量法的应用① 同频率正弦量的加减所以相量关系为：结论：同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
同频率的正弦量相加减，还可以借助相量图进行计算。
令，，下面用相量图求解。
图(a)为平行四边形法则求解，图(b)为三角形法则求解。
(a) (b)图相量图进行相量的加法运算② 正弦量的微分、积分运算令微分运算：积分运算：所以；相量法的优点：① 把时域问题变为复数问题；② 把微积分方程的运算变为复数方程运算；③ 可以把直流电路的分析方法直接用于沟通电路。
电路 8章 相量法
1 T 2 I= Im cos2 (ωt +φi )dt ∫0 T
第 1 章
静电场
四、正弦量之间的相位差、超前与滞后
i1 = 2I1 cos(ωt +φi1)
u2 = 2U2 cos(ωt +φu2 )
相位差
φ12 = (ωt +φi1) (ωt +φu2 ) = φi1 φu2
π
2 , 称1与 2正 ; i u 交
ω φi
ωt +φi
(ωt +φi ) t=0 = φi
正弦量的相角
i = f (Im,ω,φi )
第 1 章
静电场
二、正弦量的性质 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同 频正弦量的代数和等运算，其结果仍为一个 同频率的正弦量。 三、正弦周期量的有效值
1 T 2 I= ∫0 i dt T
Im I= = 0.707Im 2
因此，电流表A和A4 的读数分别为7.07A和5A.
如果改用代数形式呢？
F 1
F 1 F 2
θ2
F 1 F 2
模先缩小 F 倍； 2 幅角再顺时针旋转 θ2
θ1
θ2
F 2
第 1 章
静电场
三、两个复数相等
F =F 1 2
且 且
Re[F ] = Re[F2 ] 1
或
Im[F ] = Im[F ] 1 2
arg F = arg F 1 2
jθ
F1 = F 2
复数的加减法运算采用其代数形式进行！
+j
F 2
F +F 1 2
F 1
+1
O
第 1 章
静电场
《电路原理相量法》课件
05 相量法的实验验证
CHAPTER
实验设备与器材
电源
提供稳定的交流电，模拟真实 电路中的电源。
电阻、电容和电感
用于构建各种电路，验证相量 法的理论。
示波器
用于观察和记录实验中的电压 和电流波形。
数据采集器和计算机
用于实时采集和处理实验数据 。
实验步骤与操作
3. 开启电源
2. 设置测量参数
设定示波器的采样率、电压范围 等参数，确保能够准确记录波形 。
音频处理
相量法用于分析声音信号的频率和相位，以进行 音频处理和编辑。
谢谢
THANKS
电阻元件的相量模型
总结词
描述电阻元件在相量法中的数学 模型和特性。
详细描述
电阻元件的相量模型是一个实数 ，表示其纯实部的阻抗。在相量 图中，电阻元件的相量位于实轴 上。
04 相量法的电路分析
CHAPTER
简单电路的相量分析
总结词：简单明了
详细描述：对于简单的电阻、电容、电感电路，可以使用相量法进行直观分析， 通过相量图和公式计算得出结果。
《电路原理相量法》ppt课件
目录
CONTENTS
• 相量法简介 • 相量法的数学基础 • 电路元件的相量模型 • 相量法的电路分析 • 相量法的实验验证 • 相量法在日常生活中的应用
01 相量法简介
CHAPTER
相量法的定义
相量法是一种分析正弦稳态电路的方 法，通过引入相量来描述正弦量，将 时域中的正弦稳态电路转换为复平面 上的向量图，从而简化计算过程。
CHAPTER
复数及其运算
复数的定义
由实部和虚部组成的数，表示为 a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是 虚数单位。
电路第8章相量法
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos( t θ ) U Uθ
例1
i 141.4 cos(314t 30o )A 已知 o u 311.1cos(314t 60 )V
jX L j4 5 j20
1 jX C j j10Ω 5 0.02
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U U U I IR IL IC R j X L jX C
微分运算 积分运算
di d e j t Re 2 I j e j t Re 2 I dt dt I j t j t idt Re 2 Ie dt Re 2 e j
di dt
j I I i π
I2
4. Z 2 jX C , I 0 I1 8A, I 2 16A
返 回
例3 已知 u(t ) 120 2 cos(5t ), 求 : i(t )
i +
15
4H
0.02F 相量模型
_ u
U _
I 15 -j10 +
j20
I1
I2
I3
解
12000 U
返 回 上 页 下 页
4、线性受控源
ik 0
Ik 0
uk
ij
uj
Uk
Uj
Ij
VCCS（电压控制的电流源）
相量模型
i j guk
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3. 旋转因子ejq
旋转因子 ejq =1∠q是一个模 等于1，辐角为q的复数。
+j
Aejq
qA
任意一个复数A=|A|ejqa乘以
ejq ，等于把A逆时针旋转q
qa
+1
角度，而模|A|保持不变。 o
ej
p
2
=j
-j p
e 2 = -j
e jp = -1
都是旋 转因子
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。
U = 220V ， 则其最大值为Um≈311V。
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需要注意的是
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝 缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑 电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
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复数减的图解
+j F=F1-F2
F1
F2
F
o
+1
+j -F2
F=F1-F2
F2
F1
o
+1
若F1 = F2 即两个复数相等 则必须是
|F1| = |F2|，q1=q2
或者 a1 = a2，jb1= jb2
难点
1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系、相量图。
. Im= 5∠45o A
45o
. Um= 100∠0o V
主要是相位关系 .
Z = U.m =20∠-45o W Im
与其它章节的联系 是学习第 9、10、11、12章的基础。 必须熟练掌握相量法的解析运算。
(2) 乘除
用指数或极坐标形 式最好。
乘(除)法运算满足： 模相乘(除)， 辐角相加(减)。
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设 F1= | F1 | q1 ，F2= | F2 | q2
则 F = F1 F2 = |F1 ||F2 | q1+q2
F = F1 = |F1 | F2 |F2 |
q1-q2
wt
p 2p 3p
在工程中，常用频率 区分电路：如工频、 音频、中频、高频、 微波电路等。
T：正弦量变化一次所 需要的时间，单位s。
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2p
wT=2p
w ：指正弦量单位时
间内变化的电角度， 单位rad/s。
w、 f、T 之间的关系
w =2pf f = 1 T = 1
A j
=
-jA，等于把
A
顺时针旋转90o。
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§8-2 正弦量
电路中按正弦规律变化 ②电机、变压器等电气设 的电压或电流，统称为 备，在正弦交流电下具
正弦量。
有较好的性能；
研究正弦电路的意义是： ③正弦量对时间的导数、
正弦交流电有很多优点， 积分、几个同频率正弦
在电力系统和电子技术 量的加减，其结果仍是
正弦量的时域表达式有两种形式
i = Imcos(wt+fi) i = Imsin(wt+fi)
也称为瞬时值表达式 分析时不可混用，以免发生相位错误。
今后采用的形式以教材为准：
i = Imcos(wt+fi) u = Umcos(wt+fu)
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1. 正弦量的三要素（以电流为例）
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+j
§8-1 复数
b
F
q
+1
o
a
| F | = a2 + b2
q=
arctg
b a
(3)指数和极坐标形式
1. 复数的表示形式
根据欧拉公式
(1)代数形式 F=a+jb
e jq =cosq +jsinq
Re[F]=a， Im[F]=b
得指数形式：
(2) 三角形式
F = | F | e jq
领域占有十分重要的地 同频率的正弦量，使电
位。
路分析计算变得简单。
①容易产生、传送和使用。 ④正弦信号是一种基本信
可以根据需要，利用变 号，其分析结果可以推
压器方便地把正弦电压 广到非正弦周期电流电
升高或降低；
路中。
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综上：对正弦电路的分析研究具 有重要的理论价值和实际意义。
区分电流、电压的瞬时值 ，振幅和有效值的符
号：i、u；Im、Um；I、U。
另外注意： IM (Imax) 指最大有效值。
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(2)角频率w、频率f、周期T (要素之二)
反映正弦量变化快慢的参 数。
i = Imcos(wt + fi)
i
f ：正弦量每秒钟变化
T
的周波数，单位是Hz。 -p o
复数乘、除的图解
+j
F=F1F2
q2
|F2|F1
F1
F2 q=q1+q2
q1 q2
o
+1
+j
F1
F1
|F2| q2
F
=
F1 F2
F2
o
q1 q2 q=q1-q2 +1
乘：F1 的模被放大|F2| 除：F1 的模被缩小|F2|
倍,辐角逆时针旋转q2。 倍,辐角顺时针旋转q2。
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第八章 相量法
内容提要 1.正弦量及其三要素、相位差的概念； 2.相量法的概念及其性质； 3.电路定律和元件VCR的相量形式。
重点
1.正弦量的相量表示法； 2.正弦量的相量差和有效值的概念； 3. R、L、C 各元件电压、电流关系的相量形式； 4.电路定律的相量形式。
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通过比较直流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内流经同一电阻 R 产生的热效应来确定：
T
I2RT = i2R dt
0
def
I
1 T
T
i2 dt
0
把 i=Imcos(wt+yi) 代入上式计算可以得到：
正弦量的有效值与振幅之间的关系：Im= 2 I
同理可得：Um= 2 U 若一交流电压有效值为
i = Imcos(wt + fi) = 2 I cos(wt + fi)
(1)振幅(幅值、最大值) Im、有效值I (要素之一) 反映正弦量变化幅度的大小。
i Im
-p o
wt
p 2p 3p
-Im 峰-峰值2Im
在放大器参数中有时用峰-峰值表达。
2020年10时间而变，为了 衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。
F=| F |(cosq + jsinq ) a=| F |cosq，b=| F |sinq
或写成极坐标形式：
F= |F| q
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2. 复数的运算 (1)加减
用代数形式。 设 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 则 F1±F2 =(a1±a2)+j (b1±b2)
复数加的图解