矢量三角形法--专题

矢量三角形法在三力平衡问题中的应用

在静力学中，经常遇到在力系作用下处于平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题．这

种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全

面．我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=O ，表示三力关系的矢量图呈闭

合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接．当物体所受三力有所变化而又维

系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变．比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的

每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然．所

以，作出物体平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形，

是力三角形法的关键操作。

三力平衡的力三角形判断通常有三类情况． 一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向

确定。这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定

例1 如图1所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动，

例2 则拉力Ｆ和墙壁对球的支持力Ｎ的变化情况如何？

分析与解 以球为研究对象，在平衡时受重力，绳上的拉力及墙壁

对球的支持力，三力关系可由一系列闭合的矢量三角形来描述。其中重

力为确定力，墙壁对球的支持力为方向确定力，

如图2，取点Ｏ作表示

重力的有向线段①，从该箭头的端点作支持力Ｎ的作用线所

在射线②,作从射线②任意点指向Ｏ点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③它们就是绳子拉力矢量。用曲线箭头

表示变化趋势，从图中容易分析绳子拉力不断增大，墙壁对

球的支持力也不断增大，因上升的过程中图中角度θ在不断

增大

例2 如图3装置，AB 为一轻杆在B 处用铰链固定于

竖墙壁上，AC 为不可伸长的轻质拉索，重物Ｗ可在AB 杆上滑行。试分析当重物W 从A 端向

B 端滑行的过程中，绳索中拉力的变化情况以及墙对AB 杆作用力的变化情况。

分析与解 以AB 杆为研究对象，用力矩平

衡的知识可较为方便明确AC 拉索中的拉力变化情

况，但不易确定墙对AB 杆作用力的情况。我们考虑

到AB 杆受三个力作用且处于平衡状态，则它们的作

用线必相交于一点，这样三力关系可由闭合的矢量

三角形来描述。其中重物对杆的拉力为确定力，拉索对杆的拉力为方向确定力，与上题类似。

如图4，取O 点作表示重物对AB 杆拉力的有向线

段①，过O 点作绳索拉力的作用线所在射线②，从①箭头

端点作指向射线②上任意

点的有向线段③，则③就是墙对AB 杆的作用力.

用曲箭头表明变化趋势。从图中可以看出：随着重物从A

端向B 端移动的过程中，①、③的夹角θ逐渐减小，所以

绳索的拉力不断减小，墙对AB 杆的作用力先减小后增大。

综上所述，类型一问题的作图方法是：以确定力矢量

为力三角形系的基准边，在它的箭头端沿已知方向力的方

向作射线，从射线上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线 图4

图1 图2 图3

段，（或在它的箭尾端沿已知方向力的方向作射线，从确定力矢量箭头作指向射线上的点的

有向线段），勾画出一簇闭合的矢量三角形，用曲箭头标明动态趋势．由此可判断各个力的

大小和方向的变化趋势．

二、三力中有一个力确定．即大小、方向不变，一个力大小确定，这个力的方向及第

三个力的大小、方向变化情况待定

例3 如图5所示，在“验证力的平行四边形定则’’实验中，用两只弹簧秤A 、B 把像皮条上的结点拉到某一位置0，

这时两绳套AO 、B0的夹角∠AOB ＝90°．现保持弹簧秤A 的示

数不变而改变其拉力方向使a 角减小，那么要使结点仍在位置

O 处不动，就应调整弹簧秤B 的拉力大小及β角，则下列调整

方法中可行的是( )

A ．增大弹簧秤

B 的拉力、增大β角

B ．增大弹簧秤B 的拉力、β角不变

C ．增大弹簧秤B 的拉力、减小β角

D ．弹簧秤B 的拉力大小不变、增大β角 分析与解 本题中我们考察结点O ，使之处于平

衡的三个力中，一个力(橡皮条上的拉力F)大小方向均

确定，一个力(弹簧秤A 的拉力Fa)大小确定，需判断第

三个力(弹簧秤B 的拉力Fb)的变化情况．

如图6所示，取O 点为起始点，先作力F 的有向线

段①，以其箭头端点为圆心，表示大小不变力Fa 的线段

长为半径作一圆，该圆的每条矢径②均为力Fa 矢量，从

该圆周上各点指向0点的各有向线段③便是弹簧秤B 的

拉力Fb 矢量．这样我们勾画出表示可能的三力关系的三

角形集合图．

如图6所示，若初始状态三力关系如△0O ’A ，在a 角减小的前提下，线段③变长，即Fb 增大，而角β减小

（刚开始，Fa 、Fb 二力互相垂直），故正确答案为选C ．

例4 如图7所示，质量为m 的小球，用一细线悬挂在点0处．现

用一大小恒定的外力F(F ﹤mg)慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡

位置中，细线与竖直方向的最大的偏角是多少?

分析与解 本题中研究对象小球可在一系列不同位置处于静

止，静止时小球所受重力、细线上拉力及大小恒定的外力的合力总

是为零．三力关系由一系列闭合的矢量三角形来描述，这些三角形

中表示重力的矢量边是公共边，有一条矢量边长度相同．现在来作

出这样的三角形簇： 如图8所示，取点0为起始点，作确定不变的重力矢量①，以其箭头端点为圆心，表示外力F 大小的线段长为半径作一圆，该

圆上各条矢径②均可为已知大小的力矢量，该圆周上各点指向0点

并封闭形成三角形的有向线段③便是第三个力即细线拉力矢量．这

样我们得到了全面反映小球在可能的平衡位置时力三角形集,

由图可知，表示线拉力矢量与重力矢量的线段③与线段①间的

夹角最大为θ=arcsin G F

(线段③作为圆的切线时)，细线拉力总沿

着线，故小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的偏角最大为arcsin G F

图5 图6 图7

图8