平面运动刚体加速度分析的基点法

a A aO a AO a
？ ？

n AO
aAO R aO
其中：
a
' x ': aAx aO a AO ' y':
n aAy aAO
aAx 2aO
2 vO a Ay 7 R
n AO
v0 2 R R
2
例：已知半径为R圆盘在地面上 纯滚动，图示瞬时轮心的速度为 vO和加速度aO，求圆盘的角速度、
解：[AB] 由加速度基点法：
a BA
B
AB
I
vB
x
B
aB a A aBA a
n aB a a BA BA

n BA
60°
O
n BA 2
aB
a
n BA
？
？ 由速度分析可得：
AB
v 2 3v A IA 3L
A
vA
AB
60°
则：a AB
4v 2 AB 3L
O
“”
a B sin30 a A a AB

其中： a A r 02
a
BA
则： 因：
2 3 21 l 0 r 02 aAB 27 2
3 2 3 r l 0 ( r l ) 02 27 27
2 0
a BA AB l
AB
a 3 3 2 8 3 2 BA ( ) 0 0 l 3 27 27
AB
n aA cos 30 t 2 a BA A / OA 22 2 2 128 rad/s AB AB cos 30 0.12 0.3 3
结论：瞬时平动刚体的角速度为零，角加速度不为零。
◎平面刚体内各点速度、加速度求解；
◎平面运动刚体的角速度和角加速度求解
针对刚体系问题—— 通过公共点连接的刚体系 平面运动问题： 1、选取研究对象； 2、给出基点法公式； 3、画矢量图； 4、分析已知、未知量（一个矢量投影 式可解决两个未知量）； 5、选取投影方向； 6、代入已知计算。
11
刚体平面运动 速度
1、基点法
y

y'
vBA vB
A
B
B r A 0
vA vA
n “x”： 0 aBA cos30 aBA sin 30
O
A
n “n”： aB cos30 aBA
3 4v 1 即： 0 a BA 2
2
aBA

aB
n
3L 2 2 a 4 3 v AB BA L 9 L2
4 3v 2 9L
4
例：曲柄－滑块机构，OA＝r，AB＝l，曲柄以等角速度 0
2 3 2 由(1)式得： aB 27 l0
n (1) “n”： a B cos30 a BA 0 AO 0
5
n
n a B a A＋ a BA＋ a BA
A
90o
AB
aB
30o
0
anBA
aBA B
a
n AB
AB
2
l 02 AB 9
？
aB
2 3 2 l0 27
平面运动刚体的 加速度分析
目的：
研究平面运动刚体上各点加速度之间的关系。
1
平面运动刚体的加速度分析
研究平面运动刚体上各点加速度之间的关系。
基点法
因为
y
vB v A ω rAB

y'
a BA
B

x'
dv B dv A 对t求导 dt dt α rAB ω (ω rAB ) o a a a a n
a BA AB a
n BA
BA
n BA
A
2
AB
o
aA
x
问题：如刚体在某时刻瞬时平动，任两点加速度是否相等？
瞬时平动，则 0
a
n BA
0
aB aA a
BA
aB aA
3
例 一长为L的刚性杆AB， B端靠墙， A端着地，并以速度 v 匀速向右运动， 求图示时刻杆AB 转动的角加速度。
解：杆AB作平面运动，由A、B两点的速度方向可知杆 AB作 瞬时平移，如图所示。 则有
v A vB
AB 0
vA O OA
O 16.67 rad / s
A
以点A为基点，研究点B的加速度，
n t n t aB a A aA a BA a BA
n aA
a
t A
A
绕O轴旋转。求：图示瞬时，滑块B的加速度aB和连杆AB的角 加速度AB。
n
解：加速度分析 [AB]:
A
90o
AB
aB
30o
根据加速度基点法
0
a A＋ a ＋ a
？ ？
BA
n BA
O
v AB 由速度分析；瞬心法： AB l 3 AB 3 l 02 n 2 则： a BA AB AB 9
6
例：已知半径为R圆盘在地面上 纯滚动，图示瞬时轮心的速度为 vO和加速度aO，求圆盘的角速度、
解：因为圆盘纯滚动
vO R
上式两边对时间 t 求导
角加速度和A点的加速度。
t a AO n R a AO aO vO
A
x
y
O aO v R R
取O为基点，加速度基点法：
O
x'
vB v A vBA
2、速度投影法
o
x
3、速度瞬心法

B
I
vB AB vA AB
vB cos B vA cos A
vB
vB vBI , vB BI
12
重要的概念
• 刚体角速度与角加速度与基点的选择无关
• 速度瞬心具有唯一性
• 基点法或瞬心法是针对同一刚体
• 瞬时平移只是某一瞬时
13
n a BA
？
向AB连线投影求aAt
n t
？
n a BA 0
a cos 30 a sin 30 a cos 30
B A A
aB
30
t aBA
B
得:
t n aA aB aA tan 30
n t 0 aA aB cos 30 A
在轴y上投影求aBAt
a
t BA
B A
BA BA
a
A
n BA
aA
x
其中：
a BA α rAB AB a
n BA
基
2
点：A
ω (ω rAB ) AB
刚体上点：B
n aB a A a a BA BA
2
基点法
基 点：A
y

y'
a BA
B
n aBA


x'
刚体上点：B 其中：
aB a A a a
解：因为圆盘纯滚动
角加速度和A点的加速度。
aA

A

n IO
x
I为瞬心：

O aO v R R
vO R
a R
O
aO
aAx 2aO
2 vO a Ay R
n A
y
aA 2R 2a0
2 2 v n aA 2 2R 0 R
a
vO


I
a IO 只有 a
依据： aA aI a a
AI
n AI
？
0
aA
n a a A A
n 瞬心加速度 aI aO a a IO IO 2 vO x : aIx 0 y : aIy R 8 结论：速度为零的点——瞬心，加速度不为零。
例：图示机构中，OA＝12cm，AB＝30cm，AB杆的B端 以vB＝2m/s，aB＝1m/s2向左沿固定平面运动。试求图示 瞬时，杆AB的角速度和角加速度，以及点A的加速度。