3板材玻璃下料问题

板材玻璃下料问题摘要排样下料问题在很多工业领域中都有广泛的应用，解决好排样问题，可以提高材料的利用率。

本文解决的是玻璃板材的最优化下料策略，不同的下料策略形成不同的线性规划模型。

在充分理解题意的基础上，以使用原材料张数最少为目标，采用逐级优化的方法，进行下料方案的筛选。

在第一题中，首先选用单一下料两个方向排料优选的下料策略，成品料的长在原材料的长和宽两个方向上分别排列，求出最优解；其次采用单一下料中成品料的长和宽在原材料的长、宽两个方向套裁排料优选，算出所需原材料的块数和利用率；最后按照零件需求量，进行几种零件配套优选，用新易优化板材切割软件求出最优的板材切割方法，列以原材料消耗总张数最少为目标函数的数学模型，用LINGO软件编程，求出最佳下料方案。

按照原材料的利用率，筛选出最佳的下料方案为按照零件需求量，进行几种零件的配套优选下料方案，所求需要原材料的块数为548，利用率为95.03%。

第二题的求解以第一题相似，当有两种规格的原材料时，在第一题的基础上，用玻璃板材切割软件排出两种原材料的最佳切割方法，建立数学模型，用LINGO软件编程，算出最佳的下料方案。

求得需要规格为2100cm×1650cm的原材料532块，需要规格为2000cm×1500cm的原材料16块，共计548块，利用率为95.40%。

此模型可以推广到更多板材排样下料领域的应用，通过逐级优化和组合原理，确定各种切割方式，然后再进行线性规格问题的求解。

关键词：优化排样板材下料最优化线性规划一·问题重述在大型建筑工程中，需要大量使用玻璃材料，如门窗等。

在作材料预算时，需要求出原材料的张数。

已知板材玻璃原材料和下料后的成品料均为矩形。

由于玻璃材料特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二。

切割次序和方法的不同、各种规格搭配（即下料策略）不同，材料的消耗将不同。

工程实际需要解决如下问题，在给定一组材料规格尺寸后：（1）在原材料只有一种规格的情况下（例如长为2100cm,宽1650cm），给出最优下料策略，时所需要材料张数最少。

（2）在原材料为两种规格的情况下（例如2100cm×1650cm和2000cm×1500cm），给出最优下料策略，使所需要材料张数最少，且利用率（实际使用总面积与原材料总面积之比）尽量高。

（3）下表是一些成品料及所需块数（长×宽×块数），分别以一种原材料2100cm ×1650cm及两种原材料规格2100cm×1650cm、2000cm×1500cm为例，分别给出(1)和（2）的算法及数字结果，并给出两种情况下的利用率。

表1：成品料规格及所需块数序号长×宽块数序号长×宽块数1 865×857 982 857×715 983 804×746 1964 857×675 285 857×665 286 804×663 2247 804×661 308 8 804×639 849 804×631 56 10 804×563 22411 804×536 196 12 804×535 39213 804×551 392 14 865×446 9815 762×446 196 16 715×446 9817 680×446 224 18 675×446 2819 667×446 28 20 655×446 8421 647×446 56 22 667×426 30823 580×446 224 24 552×446 19625 551×446 392 26 527×426 392二·模型假设1、假设不考虑在切割板材玻璃的过程中的损耗；2、假设不考虑人为的损耗；3、假设不考虑切割工艺的不同；4、假设不考虑玻璃厚度的影响；5、假设不考虑刀片的厚度；6、假设切割玻璃的刀片可旋转；7、假设不考虑两种原材料的优先级及成本，只考虑原材料的利用率；三·符号说明符号表示意义1L 规格为2100cm ×1650cm 的原材料的长 1W 规格为2100cm ×1650cm 的原材料的宽 2L 规格为2000cm ×1500cm 的原材料的长 2W规格为2000cm ×1500cm 的原材料的宽 i x 成品零件的长，i=1，2，……，26 i y成品零件的宽，i=1，2，……，26 i n所需成品料的块数，i=1，2，……，26 n所需原材料的块数11S 规格为2100cm ×1650cm 的原材料的面积 12S规格为2000cm ×1500cm 的原材料的面积 i L x 1 第i 个成品料的i x 在1L 方向上能被排下的个数 i L y 1 第i 个成品料的i y 在1L 方向上能被排下的个数 i W x 1 第i 个成品料的i x 在1W 方向上能被排下的个数 i W y 1第i 个成品料的i y 在1W 方向上能被排下的个数 1η只有一种原材料的利用率 2η有两种原材料的利用率 i S第i 个成品料的面积 j i a ,组成切割矩阵的各个数值符号 表示意义j i b , 第j 种切割方式下i x 在L 方向套裁切割被排下的个数 j k d ,第j 种切割方式下i y 在L 方向套裁切割被排下的个数 j δ第j 种切割方式下长度方向的余料 j S ∆ 第j 种切割方式下余料面积 j N 第j 种切割方式使用的次数 x n第n 种切割方法1N 有两种规格原材料是，所需规格为2100cm ×1650cm 原材料的块数2N有两种规格原材料是，所需规格为2000cm ×1500cm 原材料的块数四·问题分析板材玻璃下料问题属于线性规划中的二维下料（板材下料），既然原材料有长和宽两个方向，零件也有长和宽两个方向，则每个零件的长可在原材料的长和宽方向上排列，宽也可在原材料的长和宽的方向上排列，这就够成了二维下料方式的多样性，当所需下料的零件种类较多时，下料方式也就相应的比较多，这又为二维下料增加了困难，为了克服这个困难，并考虑到采取组成最优化方案的切割方式的材料利用率都不应太低，因此采取逐级优化的方法，进行优化切割方案的筛选。

对于第一题中有一种原材料的时候，有以下三种切割方案： （1） 单一下料两个方向排料优选；（2） 单一下料在长、宽两个方向套裁排料优选；（3） 按照零件需求量，进行几种成品料配套优选，选出最佳下料方案。

对于第二题中有两种原材料的时候，在只考虑原材料利用率的情况下，我们选用与第一题中只有一种原材料时的第三种切割方案，即按照零件需求量，进行几种零件配套优选，选出最佳下料方案。

最后，根据所求的（1）题和（2）题中原材料的数量，算出每种切割方案的利用率，选出最佳切割方案。

五·模型的建立与求解下料问题模型主要有密切相关的两部分组成。

第一部分为初始切割方式下的优化选取模型，第二部分为下料方案的优化模型。

其中，后者是一种大型线性规划模型。

5.1 问题一模型的建立与求解5.1.1单一下料在长、宽两个方向套裁排料优选成品料在原材料1L 和1W 方向上套裁下料，i x 和i y 可以套裁。

但这时应注意，在切割玻璃时，每切一刀将玻璃板一分为二。

数学模型如下：()()j j i i j j j j i i i i d b xy W d b xy L j i y d x b W y d x b L +=+==≥⨯+⨯-≥⨯+⨯-max max 26,2,1,001111(1)如对第四种成品料在长和宽方向上的排料问题如图5.1不是最优的情况，单一料两个方向的排料是4个。

图5.1(2)对第四种成品料在原材料长宽两个方向套材排料可排5个如图5.2图5.2综上所述，第四种成品料的优排结果应选图5.2的方式可以切割5块。

用Excle 对26种材料做单一下料的在长、宽两个方向套裁排料优化后，得到如下的数据：长 宽 面积成品料所需块数 切割个数/块原材料 所需原材料块数1 865 857 741305 982 49 2 857 715 612755 98 4 253 804 746 599784 196 4 494 857 675 578475 28 56 5 857 667 571619 28 5 6 6 804 663 533052 224 6 38 7 804 661 531444 308 6 52 8 804 639 513756 84 6 14 9 804 631 507324 56 6 10 10 804 563 452652 224 6 38 11 804 536 430944 196 7 28 12 804 535 430140 392 7 56 13 804 551 443004 392 6 66 14 865 446 385790 98 6 17 15 762 446 339852 196 9 22 16 715 446 318890 98 9 11 17 680 446 303280 224 10 23 18 675 446 301050 28 10 3 19 667 446 297482 28 10 3 20 655 446 292130 84 10 9 21 647 446 288562 56 10 6 22 667 426 284142 308 10 31 23 580 446 258680 224 11 21 24 552 446 246192 196 11 18 25 551 446 245746 392 11 36 26 527 426 224502392 12 33 总计670表5.6通过上述计算求得利用率为：%87.78%100112611=⨯⨯⨯=∑=nS nS i ii η单一下料在长、宽两个方向套裁排料优选结果如下： 通过计算解得，在原材料只有一种规格2100cm ×1650cm 的情况下，用单一下料在长、宽两个方向套裁排料优选的方法需要原材料670块，原材料的利用率为78.87%。

5.1.3按照零件需求量，进行几种成品料配套优选按照零件需求量，进行玻璃套裁下料方式的数学模型表示为：⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑∑=+=-121,,i mm k m k j k i j i j y d x b L δ；(1)0≥j δ；（2）i j x <δ且m k j y -<δ，i=1,2,……，m ；k=m+1,m+2,……,2m ；（3）k-m i ≠如果0,>j i b 则0,=+j i m b ；如果0,=j i b 则0,>+j i m b ；(4)m k j k m k i j i j i x W d a y W b a --⨯=⨯=1,1,,,；(5)i mi i j i j y x a W L S ⨯⨯-⨯=∆∑=1,11；(6)j nj J S N S ∆=∑=1min ；(7)i j nj ji D N a=∑=1,；(8)0≥j N 且为整数；(9)上述9个方程组成了玻璃下料问题的数学模型。