微积分 两个重要极限

1 x
1 ⎞ ⎛ = 9 ⋅ lim ⎜ 1 + x ⎟ x → +∞ 3 ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ = 9 ⋅ lim ⎜ 1 + x ⎟ x → +∞ 3 ⎠ ⎝
1 x → +∞ x lim
= 9 × 10 = 9
作业：
P50: 1.偶 2. 3. 4.
来自百度文库预习：
1.5 无穷小与无穷大
2
sin( x − 例 2：求 lim
x→π / 3
π
3 1 − 2 cos x
)
sin( x − 解： lim
x→π / 3
π
3 1 − 2 cos x
)
令t = x − π / 3
sin t = lim t → 0 1 − 2 cos( t + π / 3 )
sin t = lim t → 0 1 − 2(cos t cos π / 3 − sin t sin π / 3 ) sin t = lim t → 0 1 − cos t + 3 sin t
总结：
sin x lim =1 1. x → 0 x
1 x lim(1 + ) = e 2. x →∞ x
sin ◊ lim =1 一般形式： ◊ → 0 ◊
1 ◊ lim(1 + ) = e 一般形式： ◊ →∞ ◊
lim (1 + x ) = e
x→0
1 x
lim ( 1 + ◊ ) = e 一般形式：
1 令t= , x
1 x lim (1 + ) = lim(1 + t ) x→∞ t →0 x
1 x
1 t
= e.
lim(1 + x ) = e
x →0
( 注意到是 1∞ 型 )
1 Δ lim(1 + ) = e Δ →∞ Δ
lim(1 + Δ ) = e
Δ →0
1 Δ
⎛ Δ 可以是任意的函数， ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 但注意必须是 1 ∞ 型 . ⎟ ⎠ ⎝
2 x→ 0
1 cos 2 x − 1
sin 2 x
⎧ ⎪ = lim ⎨[1 + (cos x→ 0 ⎪ ⎩
2
x − 1 )]
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
cos 2 x − 1 sin 2 x
1 ⎧ ⎫ ⎪ 2 2 cos x − 1 ⎪ = lim ⎨[1 + (cos x − 1)] ⎬ x→0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
1.4
两个重要极限
sin x 先证 lim = 1. + x→0 x
sin x 1. lim =1 x →0 x
设单位圆 O , 圆心角 ∠AOB = x , 不妨设 x ∈ (0,
π
2
),
过 A 作单位圆的切线 ，得 Δ OAC .
扇形 OAB的圆心角为 x , ΔOAB的高为 BD ,
于是有 sin x = BD, x = 弧 AB, tan x = AC ,
－ sin 2 x sin 2 x
=e
−1
3.小结
两个重要极限 sin α 0 1 lim = 1; α →0 α 1 α 0 2 lim (1 + ) = e .
α →∞
α
lim(1 + α ) α = e .
α →0
1
推论
若 lim f ( x ) = 0, lim g ( x ) = ∞ .且 lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = A ，则
◊→0
1 ◊
例4 解
1 x 求 lim (1 − ) x→∞ x
1 1 − x −1 原式 = lim[(1 + ) ] = lim x→∞ x→∞ 1 −x −x (1 + ) −x 1 = . e
例5 解
3 + x 2x 求 lim ( ) x→∞ 2 + x
1 x+2 2 1 −4 原式 = lim[(1 + ) ] (1 + ) = e2 . x→∞ x+2 x+2
1
例6（书中例11） 求 lim (cos
x→ 0 1
2
x)
sin
2
x
解： lim (cos
x→ 0
2
x)
sin
2
x
= lim ( 1 − sin
x→ 0
1 2 x 2 sin x)
1 u
令u = − sin 2 x
则当 x → 0时，u → 0
= lim ( 1 + u )
u→ 0
−
⎡ ⎤ = lim ⎢ ( 1 + u ) ⎥ u→ 0 ⎣ ⎦
1 x 先证 lim (1 + ) = e. x →+∞ x
设 [x ] = n ，
则有 n ≤ x < n + 1,
1 n 1 x 1 n+1 (1+ ) < (1 + ) < (1 + ) n +1 x n
当x → +∞时， n → +∞
1 n+1 1 n 1 lim (1 + ) = lim (1 + ) ⋅ lim (1 + ) n → +∞ n → +∞ n → +∞ n n n
由结论(1)得
又由结论(2)得
lim[ g( x ) ⋅ ln f ( x )] = B ⋅ ln A
lim[ f ( x )]
g( x )
= lim e
g ( x )⋅ln f ( x )
=e
B ⋅ ln A
= A
B
推论
若 lim f ( x ) = 0, lim g ( x ) = ∞ .
且 lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = A ，
tan( π − t ) tan t = lim 令 t = π − x lim t → 0 − sin 2 t t → 0 sin 2 (π − t )
1 sin t t 1 = − lim ⋅ =− t → 0 cos t 2 sin 2 t 2 t 2
1 x 2. lim(1 + ) = e x →∞ x 1 n (1 + ) = e 已证：lim n→ ∞ n
令 u = − x,
1 x 1 − u = lim (1 + 1 ) u ∴ lim (1 + ) = lim (1 − ) u → +∞ u−1 x → −∞ u → +∞ x u
1 u−1 1 = lim (1 + ) (1 + )= u→+∞ u−1 u−1
e.
1 x ∴ lim (1 + ) = e x→∞ x
1 x
出错原因：此极限非 1 ∞ 型
1 ⎞ ⎛ 所以 lim ⎜ 1 + x ⎟ = e 0 = 1 x → +∞ 3 ⎠ ⎝
故 lim 3 x + 9 x
x → +∞
(
)
1 x
=9
思考题解答
x → +∞
lim (3 x + 9
1 x x
1 x
)
= lim 9
x → +∞
( )
x
1 x
1 ⎞ ⎛ ⎜1 + x ⎟ 3 ⎠ ⎝
sin x ∴ lim = 1. x→0 x
sinΔ lim =1 Δ→0 Δ
⎛ Δ 可以是任意的函数， ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎜ 但注意必须是 型 . ⎟ 0 ⎝ ⎠
上述证明中，我们有： 当 x ∈ ( 0 ,
π
故当 x ∈ (-
π
2
2
)时 , sin x < x < tanx,
（- x） < - x < tan （- x), , 0 )时， sin 即： - sin x < - x < - tanx,
3 3
lim 例 3：
x→π
1 − tan x − 1 + tan x sin 2 x
1 − tan x − 1 + tan x 解1： lim x →π sin 2 x
− 2 tan x 1 = lim ⋅ x→π sin 2 x 1 − tan x + 1 + tan x
− tan x − tan x = lim = lim x → π 2 sin x cos x x → π sin 2 x
sin t sin t = lim = lim t → 0 1 − cos t + t→0 3 sin t 2 t 2 sin + 3 sin t
2
= lim
t→ 0
⎛ t ⎜ ⋅⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎝
sin t t 2 t ⎞ sin ⎟ 2⎟ + t ⎟ ⎟ 2 ⎠
sin t 3⋅ t
=
1 = 3
(当 x <
从而得： sin x ≤ x ≤ tan x 其中等号仅在 x = 0时成立 .
π
2
时)
1 − cos x . 例1(书中例３） 求 lim 2 x→0 x
x 2 x 2 sin sin 1 2 = lim 2 解 原式 = lim x→0 x2 2 x →0 x 2 ( ) 2
2
x⎞ ⎛ sin ⎜ ⎟ 1 2 1 1 2 ⎟ = ⋅1 = . = lim⎜ 2 2 x →0 ⎜ x ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
x →0 1 2x
1 2x
= lim[(1 + sin x )
x →0
1 sin x sin x 2 x
]
= e
1 2
lim ( 1 + sin x ) 例 6 (书中例 12) 求 x → 0
解 2：属 1 型,
f ( x ) = sin x ,
1 g(x) = 2x
∞
1 2x
1 1 sin x = Q lim sin x ⋅ = lim x→0 2 x 2 x→0 x
1 2
∴ lim ( 1 + sin x )
x→ 0
1 2x
=e
1 2
最后一步最 容易丢掉！
1
lim (cos x ) 例 6 (书中例 11) 求 x → 0
∞ 1 解 2： 属 型
1
2
sin 2 x
1
lim (cos x )
x→ 0
2
sin 2 x
= lim [1 + (cos x − 1 )]
1 u
−1
=e
−1
形如 [ f ( x )]
g( x )
( f ( x ) ≠ 1) 的函数称为幂指函数.
定理 设 lim f ( x ) = A > 0, lim g ( x ) = B ,则 g( x) B lim[ f ( x )] = A
从极限定义出发可以证明以下两个结论： 证：
(1)如果 lim f ( x ) = A > 0, 则 limln f ( x) = ln A f ( x) A lim f ( x ) = A , =e (2)如果 则 lime
= e,
1 n 1 n+1 1 −1 lim (1 + ) = lim (1 + ) ⋅ lim (1 + ) = e, n→ +∞ n→ +∞ n→ +∞ n+1 n+1 n+1
1 x ∴ lim (1 + ) = e . x → +∞ x
1 x 再证 lim (1 + ) = e. x →－∞ x
B
o
x
C
ΔOAB面积 < 扇形OAB面积 < ΔOAC面积
1 1 1 从而 sin x < x < tan x 2 2 2
D
A
∴sin x < x < tanx,
1 1 cos x ⇒ > > , sin x x sin x
sin x 同乘 - sin x得： - 1 < < - cos x x
2 sin x x x x 故0 < 1 < 1 - cos x = 2 sin 2 < 2( ) 2 = , x 2 2 2
x2 Q lim = 0, + x →0 2
sin x 由夹逼定理 lim (1 ) = 0, + x →0 x
sin x ∴ lim = 1. + x→0 x
sin x π 再证 lim = 1. 不妨设 x ∈ (- , 0 )， 令u = − x， － x →0 x 2
sin(-u) sin x sin u =1 得 lim = lim = lim － + + x→0 u→0 u→0 x -u u
−1 1 = − = lim 2 2 x → π 2 cos x
1 − tan x − 1 + tan x 解 2： lim x →π sin 2 x
− 2 tan x 1 = lim ⋅ x→π sin 2 x 1 − tan x + 1 + tan x
− tan x = lim x → π sin 2 x
g( x ) lim[ 1 + f ( x )] 则
⎧ ⎪ = lim ⎨[1 + f ( x )] ⎪ ⎩
1 f (x)
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
f ( x )⋅ g ( x )
=e
∞
A
该推论对 1 型极限可简化步骤。
lim ( 1 + sin x ) 例 6 (书中例 12) 求 x → 0
解 1： lim(1 + sin x )
lim[1 + f ( x )]g ( x ) = e A
思考题
x ( lim 3 +9 求极限 x → +∞
1 x x
1 x
)
错 解： lim 3 + 9
x x → +∞
(
x
)
1 x
1 ⎞ ⎛ = 9 lim ⎜ 1 + x ⎟ x → +∞ 3 ⎠ ⎝
1 1 又 lim x ⋅ = 0 x → +∞ 3 x