理论力学--动力学习题+答案

x 0.5m2 1.5m1 30 75
m1 m2 M
260
x
m1g m2g
Mg
乙
首
x
甲
0.173m(实际应向左位移)
x m2 g
Mg m1g
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第八章 质点的运动微分方程
例9-9 如图所示，均质杆AB长为l，铅垂地立在光滑水平面 上，求它从铅垂位置无初速度地倒下时，端点A的轨迹。
2
（2）
OA杆的动能：T1

1 2

1 3
30 2.4202

28.802
T2 0
（3）对OA杆应用动能定理：
T2 T1 W12 0 28.802 388.4
0 3.67rad/s
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第八章 质点的运动微分方程
如图所示，均质杆AB质量为m，长为l，由图示位置（ 450）无
第八章 质点的运动微分方程
例11-3 图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处
于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转
到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？
解：研究OA杆
（1）OA杆所受外力的功：
W12

P 1.2

1k 2
(12
22)
309.81.2 1 3000[02 (2.4 1.2 2)2 ] 388.4(J)
y
aB

6F Ml
l 2

F M

2F M
()
aC
A
a
n BC
aB
x
F
C
a
BC
B
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第八章 质点的运动微分方程
[例3] 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在绕固 定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不 可伸长，不计轴O处摩擦。
求（1） 圆柱B下落时质心的加速度。 （2） 若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么
条件下圆柱B的质心将上升。
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第八章 质点的运动微分方程
解：（1）选圆柱A为研究对象
1 2
P g
r
2
A
Tr
（1）
选圆柱B为研究对象
1 2
P g
r
2
B

T
'
r
P g
aC

P
T
'
运动学关系：
（2） （3）
aC ae ar r A r B （4）
由（1）、（2）式得： A B
向左。
所以
px
mv1x
py 0
mv2x
mv3x

5 2
ml1()
所以
p

px

5 2
ml1
A
方向水平向左

B
O
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第八章 质点的运动微分方程
例9－5在静止的小船中间站着两个人，其中甲m1＝50kg，面 向船首方向走动1.5m。乙m2＝60kg，面向船尾方向走动0.5m。 若船重M＝150kg，求船的位移。水的阻力不计。
系统的动量矩守恒。
Lo mAvAr mBvBr 常量 0
vB ve vr vB vA v

vA

v 2
()

vB

vA
v

v () 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为 v 。 2
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第八章 质点的运动微分方程
例11-5 如图所示，质量为m，半径为r的均质圆盘，可绕通过O
由（1）~（4）式得：
B

4gM 2g 5 Pr2
Pr

A

6gM 5
2g Pr2
Pr
aC

2gM 4g 5Pr
Pr

2g(M 2Pr) 5Pr
当M >2Pr 时，aC 0 ，圆柱B的质心将上升。
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第八章 质点的运动微分方程
（2）也可以取整个系统为研究对象
LO

P 2g
初速度地倒下，求该瞬时A端所受到地面的约束反力。
B
C • C
A
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第八章 质点的运动微分方程
例10-13 如图所示均质细长杆，质量为M，长为l，放置在光滑 水平面上。若在A 端作用一垂直于杆的水平力F，系统初 始静止,试求B端的加速度。
y
A
x
F
C
B
(a)
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第八章 质点的运动微分方程
（2）已知质点的运动方程可唯一确定作用于质点上的力。（√）
（3）已知作用于质点上的力可唯一确定质点的运动方程。（×）
已知作用于质点上的力确定质点的运动方程时还需考虑运动的初始条件。
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第八章 质点的运动微分方程
[例11-1] 基本量计算 (动量，动量矩，动能)
p

mvC

1 6
mL
LO
【解】 细长杆作平面运动，欲求aB, 则必先求ac,
由基点法 aB aC aBC aC aBC aBnC ①
aBC

l
2
aBnC

l 2
2

0
应用平面运动微分方程 Mac

F,

aC

F M
②
JC

F

l 2
Fl 6F ③
2JC Ml
将②、③代入①中，得
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第八章 质点的运动微分方程
【思考题】
1．选择题
（1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平
面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？

dv
dv
a.m dt F ,b.m dt F
( A)
v
M
F
A、a、b都正确； B、a、b都不正确。
C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。
图示瞬时只有水平分量v1cx 1 2 l1
，方向水平向左。
A
（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质
心速度也只有水平分量v2cx vA l1，
方向水平向左。

B
O
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第八章 质点的运动微分方程
（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B
点的速度方向恒为水平，在图示瞬时 vB vA l1 ，方向水平
A、加速度大小不变、而方向在变化。 加速度始终为重 B、加速度大小在变化、而方向不变。 力加速度g。 C、加速度大小、方向都在变化。 D、加速度大小、方向都不变化。
2．判断题
（1）质点的运动方程和运动微分方程的物理意义相同.（ × ）
运动方程是位移与时间关系方程；运动微分方程是位移微分与力关系方程。

J O
[ 1 12
mL2

m( L )2 ]
6
p mR
LO

J O

3 2
mR2
p mv
LC

JC

1 2
mR2
1 mL2
9
LO rC mvC LCr

LO

mv
R

JC

3 2
mR2
T

1 2
JO 2

1 mL2 2
18
T

1 2
JO 2

点且垂直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地
开始绕O轴转动。求当圆盘中心C和轴O点的连线经过水平位置
时圆盘的角速度、角加速度及O处的反力。
y
【解】（1）用动能定理求角速度。
T1 0
T2

1 2
J 0 2

1 2
(1 2
mr 2

mr2 )2

3 4
mr 2 2
r C
W12 mgr
3
质量为m长为l的均质细长杆，杆端B 端置于水平面，A端铰接于质量为m ，半径为r的轮O边缘点A,已知轮沿
水平面以大小为的角速度作纯滚动
， 点 ，系 P系的统 统动的 动量动 能矩量 为大1大（41小小m为r为2（（02372m）rm。r02）0，）对
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第八章 质点的运动微分方程
P 2g
r aC

P g
2r aC

M
2Pr
;
aC

2(M 2P r) 5P r
g
当M >2Pr 时，aC 0 ，圆柱B的质心将上升。
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第八章 质点的运动微分方程
把坐标原点放在船的左侧位置：
xc1
设当经过t时间后，船向右移动x，则：

M

l 2

m1

l 2

m2

l 2
M m1 m2

l 2
xc 2

M
(l 2

x)

m1
( l x 1.5) 2 m1 m2 M
m2
(l 2y
x

0.5)
xC1 xC 2
尾 甲乙
Mx m1(x 1.5) m2 (x 0.5) 0
A
A
C• • C
B
B
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第八章 质点的运动微分方程
例10－4
已知：猴子A重=猴子B重，猴B抓住绳子由静止开始相 对绳以速度v上爬，猴A抓住绳子不动，问当猴B向上爬 时，猴A将如何运动？运动的速度多大？（轮重不计）
【解】
(e)
mO (F ) PA r PB r 0 ,
3 4
mR2 2
T 1 mv2 1 mR2 2
2
4
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A

O
第八章 质点的运动微分方程
图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为 2r，质量为m，行星齿轮可视为均质轮 ，质量为m，半径为r，系杆绕轴O转动
的角速度为。则该系统动量主矢的大
小为（ 3mr ），对轴O的动量矩大小 为（13 mr2 ）， 系统动3能为（ 11 mr2 2 ）。
代入（3）、（4）并结合（2）式得：

A

B

2g 5r
aC

4 5
g
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第八章 质点的运动微分方程
（2）选圆柱A为研究对象
1 2
P g
r 2
A

M
Tr
（1）
选圆柱B为研究对象
1 2
P g
r
2
B

T
'
r
（2）
P g
aC
T 'P
（3）
运动学关系： aC ae ar r A r B （4）
例9－4 如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均
为m，OA 杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水
平面作纯滚动。在图示瞬时，OA 的角速度为，则整个系统的动 量为多少？
【解】因为按图示机构，系统可分成3个刚块：OA、AB、和 轮B。首先需找出每个刚块的质心速度：
（1）OA作定轴转动，其质心速度在
由T2－T1＝W12，得
3 mr22－0＝mgr
4 g
C
O
x
4
3r
(a)
（2）当OC在同一水平位置时，由动量矩定理有：
JO
代入JO，有
d
dt
mgr
2g 3r
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第八章 质点的运动微分方程
法二：用动能定理求角速度及角加速度。
T1 0
T2

1 2
J 0 2
r
2

A

P g
vC
2r

P 2g
r
2
B
由动量矩定理：
MO(e) M P2r
d dt
(P 2g
r2
A

P g
vC
2r

P 2g
r 2B
)

M (e) O

M

2P
r
P 2g
r
2
A

P g
2rac

P 2g
r
2
B
பைடு நூலகம்

M
2Pr
(5)
补充运动学关系式： aC r A r B 代入(5)式，得

1 2
(1 2
mr 2

mr2 )2

3 4
mr 2 2
W12 mgr(1 cos )
由T2－T1＝W12，得 3 mr22－0＝mgr(1 cos )
4
(*) 4 g (1 cos ) 3r
两边对（*）式求导 （3）求O处约束反力
3 mr2 ＝mgr sin
【解】 受力有三个重力和一个水的浮力，因无水平力，水平方向质心运动守
恒，又因初始静止，即 vc1 c 0 xc 常数
把坐标原点放在船的质心的初始位置： xC1 0 尾
设当经过t时间后，船向右移动x，则：
xc 2

Mx

m1(x 1.5) m1 m2

m2 (x M

0.5)
2
＝2g sin
3r
作圆盘的受力分析和运动分析，有
aCn aC

r2 r r 2 g
3
4g 3r

4g 3
由质心运动定理，得
maCn

FOx

FOx

4 3
mg
maC

mg
FOy

FOy

1 mg 3
mg

C
aCn
aC
(b)
FOx FOy
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0
xC1 xC 2
x
y
甲乙
m1g m2g
Mg
乙
首
x
甲
Mx m1(x 1.5) m2 (x 0.5) 0
x 0.5m2 1.5m1 30 75
m1 m2 M
260
x m2 g
Mg m1g
0.173m(实际应向左位移)
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第八章 质点的运动微分方程
n
(2)重量为G的汽车，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路 面最低点时，对路面的压力如何 ? （ B ）
A、压力大小等于G； B、压力大小大于G。 C、压力大小小于G； D、已知条件没给够，无法判断。
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第八章 质点的运动微分方程
（3）质量为m的质点，自A点以初速度v0 向上斜抛。试问 质点在落地前，其加速度大小、方向是否发生变化？（空气 阻力不计） （ D ）
【解】 Fx 0 且有AB杆初始静止，
因此，沿x轴方向质心位置应守恒，质心C始终在y轴上，A点 的坐标可表示为：
建立oxy：并令y轴通过质心，则
xA

CA cos

l 2
cos
yA BAsin l sin
消去 ，得：
4 x A2

y
2 A

l2
即A点的轨迹为椭圆。