多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法
多元复合函数的求导法则
薛星美
链式规则 一阶全微分的形式不变性
dyf '(x)dx.
1. y f (x) 是一元函数 2. y f (x) 是多元函数
f(x)gradf dx 是列向量
3. y f (x) 是向量值函数
f (x) Jf (x) dx 是列向量
一元复合函数 y f(u )u ,(x )
x x2
x
f2(x,x2)1
链式法则的矩阵表示：
z zxzy u x u y u
z zxzy v x v y v
x
(z u
,
z) v
(z x
,
z
)
y
u y
u
x
v y
v
推广到一般多元复合函数
设 f:D f R m R , z f(y 1 ,y 2 , ,y m ),
g:Dg Rn Rm: (x 1 ,x 2 , ,x n )(y 1 ,y 2 , ,y m ),
r
xy xy
已知 u x u rcos usrin
u ux
(2)
2u x2
(( uu )) cos
rx xx
(
u x
)
在点(x(t),y(t)) 处可微, 则复合函数 zf(x(t),y(t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz zdxzdy dt x dt y dt
由此立即可得到定理12.2.1.
定理. 若函数 g在 点 (u,v)D g可 导 , z f (x,y)
在 点 ( x ,y )( x x ( u ,v ) ,y y ( u ,v ) )处可微, 则复合函数
在何条件下复合函数可偏导？ 偏导数如何计算？
new 第四节 复合函数的求导
变量对t的导数的计算方能实现.
这个公式可推广到一般 的n元函数 , 设u = f ( x1 , x2 ,, xn ), x j = x j ( t ), ( j = 1,2,, n), 则
n du f dx j =∑ dt j =1 x j dt
f dx1 f dx2 f dx n , = + ++ x1 dt x2 dt x n dt dx1 dt dx2 du u u u , ,, = dt dt x1 x2 x n dx n dt
2 (1)
2
D( u) D( u) D( x , y ) , = D ( r ,θ ) D ( x , y ) D ( r ,θ ) x x u u u u r θ r , θ = x , y y y r θ
u u cosθ = , sinθ x y
第四节 复合函数的求导
复合函数一阶偏导数的计算 复合函数二阶偏导数的计算 全微分形式的不变性
一、复合函数一阶偏导数的计算 复合函数一阶偏导数的计算
在一元函数的微分学中，由可微函数x = g( t )和y = f ( t ) 所复合的函数y = f [ g( t )]的求导服从链式法则 dy dy dx = dt dx dt 对于多元函数是否有相应的规则? 先看下述例题
1.设z = f ( u, v ), u = u( t ), v = v ( t ),由此可得复合函数 z = f [u( t ), v ( t )]. 假定u( t ), v ( t )可导, f ( u, v )在与t相应的点( u, v )可微 , u = u( t + t ) u( t ), v = v ( t + t ) v ( t ),
第六节多元复合函数求偏导
f3
xe y
f1
f
3
2z
x y
e y f1
fzf12
( f 11 xe y f 13 1)
ux y
( f 21 xe y f 23 1)
x yx y
xe2 y f 11 e y f 13 xe y f 21 f 23.
21
例8 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
的偏导数为
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
y u y v y w y
u
x
zv
y
w
8
例3. 设 z eu sin v , u x y , v x y , 求 z , z .
x y
z 解: x
z v v x
u、v回代
eu sin v eu cos v 1
开始对答案
13
练习1. z y , x et , y 1 t,求 dz .
x
dt
解 ：dz z dx z dy dt x dt y dt
y x2
et
1 x
(1)
t
2 et
.
14
2. z u2 ln v, u x , v 3x 2 y， 求 z , z .
y
x y
解：z z u z v
六、设z f ( x, x ),(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y
2z 2z 2z x 2 , xy , y 2 .
27
七、设z
多元复合函数求导法则
z
z f u f = + . 区别类似 y u y y
把 z = f ( u, x , y ) 中的 u 及 y 看作不 变而对 x 的偏导数
u x y
x y
两者的区别
把复合函数 z = f [ ( x , y ), x , y ] 中的
y 看作不变而对 x 的偏导数
例 3 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ， v = cos t ，
dz z du z dv = + dt u dt v dt
z
u v
t
则 证 设 t 有增量 t， u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t ); 由于函数 z = f ( u, v ) 在点
z z z = u + v + o( ρ ), ( ρ = (u)2 + (v)2 ) u v z z u z v o( ρ ) 当 t → 0时， = + + t u t v t t
例5 设 z = e cos v , 而 u = xy , v = x + y ,
u
z z , . 求 x y
解 dz = d ( e cos v ) = e cos vdu + e ( sin v )dv
u
u u
du = d( xy) = ydx + xdy,dv = d( x + y) = dx + dy,
例1 设
而 x = sin t , y = ( t )
z
x
y
t
推广
1.上定理的结论可推广到 1.上定理的结论可推广到 中间变量多于两个的情况: 中间变量多于两个的情况: z = f ( ( t ),ψ ( t ), ω ( t ))
多元复合函数的求导法
多元复合函数的求导法在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。
下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。
我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的一阶偏导数解答：令由于而由链导公式可得：其中上述公式可以推广到多元，在此不详述。
一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。
在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。
全导数由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代入上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。
多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。
多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。
二元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。
多元复合函数的求导法则
§8. 4 多元复合函数的求导法则设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dtdz ？设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求xz ∂∂和yz ∂∂？1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有dvv z du uz dz ∂∂+∂∂=.又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有dtdt du du =,dtdtdv dv =,代入上式得 dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=,从而dtdvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有)(ρo v vz u uz z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dtdv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂=)()()()(ρo t o v zu z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=,to t t o v z u z dt dv v z dt du u z tz ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ,令∆t →0, 上式两边取极限, 即得 dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.注:)()(0)()()(lim)(lim22220=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du tv u o to t t ρρρ.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dtdw w z dtdv v z dtdu u z dtdz ∂∂+∂∂+∂∂=.上述dtdz 称为全导数.2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有xv v z x u u z xz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,yv v z y u u z yz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则xw w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,yw w z y v v z y u u z yz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂yz？提示:xu u z xz ∂∂⋅∂∂=∂∂,dydv v z y u u z yz ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. (2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂x z ？=∂∂yz ？提示: xf xu u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂,yf yu u f yz ∂∂+∂∂∂∂=∂∂.这里xz ∂∂与xf ∂∂是不同的, xz ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数,xf ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. yz ∂∂与yf ∂∂也朋类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有 xu u z xz ∂∂⋅∂∂=∂∂,dydv v z y u u z yz ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求xz ∂∂和yz ∂∂.解xv v z x u u z xz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yv v z y u u z yz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]. 例2 设222),,(z y xe z y xf u ++==, 而yx z sin2=. 求xu ∂∂和yu ∂∂.解xzz fxf xu ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂yx zexe z y x z y x sin 222222222⋅+=++++ yx y xe y x x 2422s i n 22)s i n 21(2++++=.yzz fyf yu ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x zeye z y x z y x cos 222222222⋅+=++++yx y xe y y x y 2422s i n 4)c o s s i n (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dtdz . 解tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂==v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t=e t cos t -e t sin t +cos t =e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求xw ∂∂及zx w ∂∂∂2.解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ). 引入记号: u v u f f ∂∂='),(1,vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等.21f yz f x vv f xuu fxw '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,zf yzf y zf f yz f zzx w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''=22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=.注:1211111f xy f zvv f z u u f zf ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zvv f z u u f zf ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂.例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(yu xu ∂∂+∂∂; (2)2222yu xu∂∂+∂∂.解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ), 其中x =ρcos θ, y =ρsin θ, 22y x +=ρ, xy arctan=θ.应用复合函数求导法则, 得xu x u xu ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρyux u ∂∂-∂∂=ρθθθρs i nc o s y u u ∂∂-∂∂=,yu yu yu ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρxu y u ∂∂+∂∂=ρθθθρc o s s i n ∂∂+∂∂=u u .两式平方后相加, 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u .再求二阶偏导数, 得xxu xxu xu ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22θρθθθρρc o s )s i n c o s (⋅∂∂-∂∂∂∂=u uρθρθθθρθs i n )s i n c o s (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u22222222s i n c o s s i n 2c o s ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22s i n c o s s i n 2∂∂+∂∂+u u .同理可得2222222222c o s c o s s i n 2s i n ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22c o s c o s s i n 2∂∂+∂∂-u u .两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂uu y u x u ])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dvv z du uz dz ∂∂+∂∂=.如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则d y y z d x x z d z ∂∂+∂∂=dyyv v z yu u z dx xv v z xu u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dvvz du uz ∂∂+∂∂=.由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分. 解dvv z du uz dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv= e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .§8. 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dxdy -=.求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式 F (x , f (x ))≡0, 等式两边对x 求导得=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF ,由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dxdy -=.例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).yx F F dxdy yx -=-=,==x dxdy ;332222221)(y y x y y yx x y y y x y dxy d -=+-=---='--=；1022-==x dxy d .隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有zx F F xz -=∂∂,zy F F yz -=∂∂.公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导, 得=∂∂⋅+x z F F z x ,=∂∂⋅+yz F F z y .因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得zx F F x z -=∂∂,zy F F yz -=∂∂.例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22x z ∂∂.解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,zx z x F F x z zx -=--=-=∂∂2422,3222222)2()2()2()2()2()2()2(z xx z z xx x z xz x x xz -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂.二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=,22y x x v +=.事实上, xu -yv =0 ⇒uyx v =⇒1=⋅+u yx x yu⇒22yx y u +=,2222y x x y x yy xv +=+⋅=.如何根据原方程组求u , v 的偏导数？ 隐函数存在定理3 设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式：vG uG v F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有v u v u v x v x G G F F G G F F v x G F J xu -=∂∂-=∂∂),(),(1,v u v u x u x u G G F F G G F F x u G F J xv -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u v y vyG G F F G G F F v y G F J yu -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u y u yuG G F F G G F F y u G F J yv -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则 偏导数xu ∂∂,x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G xv F x u F F v ux v u x 确定;偏导数yu ∂∂,yv∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定.例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求xu ∂∂,xv ∂∂,yu ∂∂和yv ∂∂.解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于xu ∂∂和xv ∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x vx v xu yx v y x u x u ,当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu xu++-=∂∂,22y x xv yu xv +-=∂∂.两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于yu ∂∂和yv ∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y vx y u y u y v y v y ux ,当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22yx yu xv yu+-=∂∂,22yx yv xu yv ++-=∂∂.另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+0x d v v d x y d u udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdxudy xdv ydu udx vdy ydv xdu .解之得dyy x yu xv dx y x yv xu du 2222+-+++-=,dyy x yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=.于是22yx yv xu xu ++-=∂∂,22yx yu xv yu +-=∂∂,22y x xv yu xv +-=∂∂,22y x yv xu yv ++-=∂∂.例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数,又),(),(≠∂∂v u y x .(1)证明方程组 ⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数. 解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F ,则按假设.0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x ,将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=x v v y x u u y x v v x x u u x 01.由于J ≠0, 故可解得 vy J xu ∂∂=∂∂1,u y J xv ∂∂-=∂∂1.同理, 可得 vx J yu ∂∂-=∂∂1,ux J yv ∂∂=∂∂1.§8. 6 多元函数微分学的几何应用一. 空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) 这里假定ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )都在[α, β]上可导.在曲线Γ上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0, y 0, z 0)及对应于t =t 0+∆t 的邻近一点M (x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ). 作曲线的割线MM 0, 其方程为zz z yy y xx x ∆-=∆-=∆-000,当点M 沿着Γ趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线. 考虑tz z z ty y y tx x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000,当M →M 0, 即∆t →0时, 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-.曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)) 就是曲线Γ在点M 0处的一个切向量.法平面: 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M 0 处的法平面, 其法平面方程为ϕ'(t 0)(x -x 0)+ψ'(t 0)(y -y 0)+ω'(t 0)(z -z 0)=0.例1 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 因为x t '=1, y t '=2t , z t '=3t 2, 而点(1, 1, 1)所对应的参数t =1, 所以 T =(1, 2, 3). 于是, 切线方程为312111-=-=-z y x ,法平面方程为(x -1)+2(y -1)+3(z -1)=0, 即x +2y +3z =6. 讨论:1. 若曲线Γ的方程为 y =ϕ(x ), z =ψ(x ). 问其切线和法平面方程是什么形式?提示: 曲线方程可看作参数方程: x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 切向量为T =(1, ϕ'(x ), ψ'(x )).2. 若曲线Γ的方程为F (x , y , z )=0,G (x , y , z )=0. 问其切线和法平面方程又是什么形式?提示: 两方程确定了两个隐函数: y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 曲线的参数方程为 x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dzG dx dy G G dx dzF dx dy F F z y x z y x 可解得dxdy 和dxdz .切向量为),,1(dxdz dxdy =T.例2 求曲线x 2+y 2+z 2=6, x +y +z =0在点(1, -2, 1)处的切线及法平面方程. 解 为求切向量, 将所给方程的两边对x 求导数,得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dy dxdz z dxdy y x ,解方程组得zy x z dxdy --=,zy y x dxdz --=. 在点(1, -2, 1)处,=dxdy ,1-=dxdz .从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为110211--=+=-z y x ,法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0.二. 曲面的切平面与法线设曲面∑的方程为F (x , y , z )=0,M 0(x 0, y 0, z 0)是曲面∑上的一点, 并设函数F (x , y , z )的偏导数在该点连续且不同时为零. 在曲面∑上, 通过点M 0任意引一条曲线Γ, 假定曲线Γ的参数方程式为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) ,t =t 0对应于点M 0(x 0, y 0, z 0), 且ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)不全为零. 曲线在点的切向量为 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)).考虑曲面方程F (x , y , z )=0两端在t =t 0的全导数:F x (x 0, y 0, z 0)ϕ'(t 0)+F y (x 0, y 0, z 0)ψ'(t 0)+F z (x 0, y 0, z 0)ω'(t 0)=0. 引入向量n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)),易见T 与n 是垂直的. 因为曲线Γ是曲面∑上通过点M 0的任意一条曲线, 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直, 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上. 这个平面称为曲面∑在点M 0的切平面. 这切平面的方程式是 F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0)+F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0)+F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0)=0.曲面的法线: 通过点M 0(x 0, y 0, z 0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为), ,(), ,(), ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量 n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)) 就是曲面∑在点M 0处的一个法向量.例3 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式. 解 F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-14, F x =2x , F y =2y , F z =2z ,F x (1, 2, 3)=2, F y (1, 2, 3)=4, F z (1, 2, 3)=6. 法向量为n =(2, 4, 6), 或n =(1, 2, 3). 所求切平面方程为2(x -1)+4(y -2)+6(z -3)=0, 即x +2y +3z -14=0. 法线方程为332211-=-=-z y x .讨论: 若曲面方程为z =f (x , y ) , 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式? 提示: 此时F (x , y , z )=f (x , y )-z . n =(f x (x 0, y 0), f y (x 0, y 0), -1)例4 求旋转抛物面z =x 2+y 2-1在点(2, 1, 4)处的切平面及法线方程. 解 f (x , y )=x 2+y 2-1,n =(f x , f y , -1)=(2x , 2y , -1), n |(2, 1, 4)=(4, 2, -1). 所以在点(2, 1, 4)处的切平面方程为4(x -2)+2(y -1)-(z -4)=0, 即4x +2y -z -6=0. 法线方程为142142--=-=-z y x .§8. 7 方向导数与梯度一、方向导数现在我们来讨论函数z =f (x , y )在一点P 沿某一方向的变化率问题.设l 是xOy 平面上以P 0(x 0, y 0)为始点的一条射线, e l =(cos α, cos β)是与l 同方向的单位向量. 射线l 的参数方程为x =x 0+t cos α, y =y 0+t cos β (t ≥0).设函数z =f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)的某一邻域U (P 0)内有定义, P (x 0+t cos α, y 0+t cos β)为l 上另一点, 且P ∈U (P 0). 如果函数增量f (x 0+t cos α, y 0+t cos β)-f (x 0, y 0)与P 到P 0的距离|PP 0|=t 的比值ty x f t y t x f ),()c o s ,c o s (0000-++βα当P 沿着l 趋于P 0(即t →t 0+)时的极限存在, 则称此极限为函数f (x , y )在点P 0沿方向l 的方向导数, 记作),(00y x lf ∂∂, 即),(00y x lf ∂∂t y x f t y t x f t ),()c o s ,c o s (lim00000-++=+→βα.从方向导数的定义可知, 方向导数),(00y x lf ∂∂就是函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)处沿方向l 的变化率.方向导数的计算:定理 如果函数z =f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有),(00y x lf ∂∂βαc o s ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=,其中cos α, cos β是方向l 的方向余弦.简要证明: 设∆x =t cos α, ∆y =t cos β, 则f (x 0+t cos α, y 0+t cos β)-f (x 0, y 0)=f x (x 0, y 0)t cos α+f y (x 0, y 0)t cos β+o (t ). 所以ty x f t y t x f t ),()c o s ,c o s (lim00000-+++→βαϕϕs i n ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=.这就证明了方向导数的存在, 且其值为),(00y x lf ∂∂βαc o s ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=.提示:),(),(0000y x f y y x x f -∆+∆+))()((),(),(220000y x o y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=.∆x =t cos α, ∆y =t cos β,t y x =∆+∆22)()(.讨论: 函数z =f (x , y )在点P 沿x 轴正向和负向, 沿y 轴正向和负向的方向导数如何? 提示:沿x 轴正向时, cos α=1, cos β=0,xf l f ∂∂=∂∂;沿x 轴负向时, cos α=-1, cos β=0,xf lf ∂∂-=∂∂.例1 求函数z =xe 2y在点P (1, 0)沿从点P (1, 0)到点Q (2, -1)的方向的方向导数. 解 这里方向l 即向量→)1 ,1(-=PQ的方向, 与l 同向的单位向量为)21 ,21(-=l e .因为函数可微分, 且1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz ,22)0,1(2)0,1(==∂∂yxeyz ,所以所求方向导数为22)21(2211)0,1(-=-⋅+⋅=∂∂lz .对于三元函数f (x , y , z )来说, 它在空间一点P 0(x 0, y 0, z 0)沿e l =(cos α , cos β , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂tz y x f t z t y t x f t ),,()c o s ,c o s ,c o s (lim0000000-+++=+→γβα.如果函数f (x , y , z )在点(x 0, y 0, z 0)可微分, 则函数在该点沿着方向e l =(cos α , cosβ , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂=f x (x 0, y 0, z 0)cos α+f y (x 0, y 0, z 0)cos β+f z (x 0, y 0, z 0)cos γ.例2求f (x , y , z )=xy +yz +zx 在点(1, 1, 2)沿方向l 的方向导数, 其中l 的方向角分别为60︒, 45︒, 60︒.解 与l 同向的单位向量为e l =(cos60︒, cos 45︒, cos60︒))21 ,22,21(=. 因为函数可微分, 且f x (1, 1, 2)=(y +z )|(1, 1, 2)=3, f y (1, 1, 2)=(x +z )|(1, 1, 2)=3, f z (1, 1, 2)=(y +x )|(1, 1, 2)=2, 所以)235(21212223213)2,1,1(+=⋅+⋅+⋅=∂∂lf .二. 梯度设函数z =f (x , y )在平面区域D 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0)∈D , 都可确定一个向量 f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j ,这向量称为函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)的梯度, 记作grad f (x 0, y 0), 即 grad f (x 0, y 0)= f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j . 梯度与方向导数:如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, e l =(cos α , cos β )是与方向l 同方向的单位向量, 则),(00y x lf ∂∂βαc o s ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=,= grad f (x 0, y 0)⋅e l=| grad f (x 0, y 0)|⋅cos(grad f (x 0, y 0),^ e l ).这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系. 特别, 当向量e l 与grad f (x 0, y 0)的夹角θ=0, 即沿梯度方向时, 方向导数),(00y x lf ∂∂取得最大值, 这个最大值就是梯度的模|grad f (x 0, y 0)|. 这就是说: 函数在一点的梯度是个向量, 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向, 它的模就等于方向导数的最大值. 讨论:lf ∂∂的最大值;结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.我们知道, 一般说来二元函数z =f (x , y )在几何上表示一个曲面, 这曲面被平面z =c (c 是常数)所截得的曲线L 的方程为⎩⎨⎧==cz y x f z ),(.这条曲线L 在xOy 面上的投影是一条平面曲线L *, 它在xOy 平面上的方程为 f (x , y )=c .对于曲线L *上的一切点, 已给函数的函数值都是c , 所以我们称平面曲线L *为函数z =f (x , y )的等值线.若f x , f y 不同时为零, 则等值线f (x , y )=c 上任一点P 0(x 0, y 0)处的一个单位法向量为)),(),,((),(),(10000002002y x f y x f y x f y x f y x y x +=n .这表明梯度grad f (x 0, y 0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同, 而沿这个方向的方向导数nf ∂∂就等于|grad f (x 0, y 0)|, 于是nnf y x f ∂∂=),(00g r a d .这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系.这说是说: 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同, 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线, 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.梯度概念可以推广到三元函数的情形. 设函数f (x , y , z )在空间区域G 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0, z 0)∈G , 都可定出一个向量 f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k ,这向量称为函数f (x , y , z )在点P 0(x 0, y 0, z 0)的梯度, 记为grad f (x 0, y 0, z 0), 即 grad f (x 0, y 0, z 0)=f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k .结论: 三元函数的梯度也是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 如果引进曲面 f (x , y , z )=c为函数的等量面的概念, 则可得函数f (x , y , z )在点P 0(x 0, y 0, z 0)的梯度的方向与过点P 0的等量面 f (x , y , z )=c 在这点的法线的一个方向相同, 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例3 求221y x +grad .解 这里221),(y x y x f +=. 因为222)(2y x xxf +-=∂∂,222)(2y x y yf +-=∂∂,所以221y x +g r a d ji 222222)(2)(2y x y y x x +-+-=.例4 设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求grad f (1, -1, 2).解 grad f =(f x , f y , f z )=(2x , 2y , 2z ), 于是 grad f (1, -1, 2)=(2, -2, 4).数量场与向量场: 如果对于空间区域G 内的任一点M , 都有一个确定的数量f (M ), 则称在这空间区域G 内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等). 一个数量场可用一个数量函数f (M )来确定, 如果与点M 相对应的是一个向量F (M ), 则称在这空间区域G 内确定了一个向量场(例如力场、速度场等). 一个向量场可用一个向量函数F(M )来确定, 而F (M )=P (M )i +Q (M )j +R (M )k ,其中P (M ), Q (M ), R (M )是点M 的数量函数.利用场的概念, 我们可以说向量函数grad f (M )确定了一个向量场——梯度场, 它是由数量场f (M )产生的. 通常称函数f (M )为这个向量场的势, 而这个向量场又称为势场. 必须注意, 任意一个向量场不一定是势场, 因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例5 试求数量场rm 所产生的梯度场, 其中常数m >0,222z y x r ++=为原点O 与点M (x , y , z)间的距离.解 32)(r mx x r r m r m x -=∂∂-=∂∂,同理 3)(rmy rm y-=∂∂,3)(rmz rm z-=∂∂.从而 )(2k j i r zr y r x r m r m ++-=g r a d .记kj i e rz r y rx r++=, 它是与→OM 同方向的单位向量, 则rr m rm e 2-=grad.上式右端在力学上可解释为, 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M 而质量为l 的质点的引力. 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比, 这引力的方向由点M 指向原点. 因此数量场rm 的势场即梯度场grad rm 称为引力场, 而函数rm 称为引力势.§8.8 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点(x,y),都有f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值)f(x0,y0).极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例1 函数z=3x2+4y2在点(0, 0)处有极小值.当(x,y)=(0, 0)时,z=0,而当(x,y)≠(0, 0)时,z>0.因此z=0是函数的极小值.例2 函数22y-=在点(0, 0)处有极大值.xz+当(x,y)=(0, 0)时,z=0,而当(x,y)≠(0, 0)时,z<0.因此z=0是函数的极大值.例3 函数z=xy在点(0, 0)处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.以上关于二元函数的极值概念,可推广到n元函数.设n元函数u=f(P)在点P0的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于P0的点P,都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P 0)),则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0).定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则有f x(x0,y0)=0,f y(x0,y0)=0.证明不妨设z=f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值.依极大值的定义,对于点(x0,y0)的某邻域内异于(x0,y0)的点(x,y),都有不等式f(x,y)<f(x0,y0).特殊地,在该邻域内取y=y0而x≠x0的点,也应有不等式f(x,y0)<f(x0,y0).这表明一元函数f(x,y0)在x=x0处取得极大值,因而必有f x(x0,y0)=0.类似地可证f y(x0,y0)=0.从几何上看,这时如果曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处有切平面,则切平面z-z0=f x(x0,y0)(x-x0)+ f y(x0,y0)(y-y0)成为平行于xOy坐标面的平面z=z0.类似地可推得,如果三元函数u=f (x,y,z)在点(x0,y0,z0)具有偏导数,则它在点(x 0, y 0, z 0)具有极值的必要条件为f x (x 0, y 0, z 0)=0, f y (x 0, y 0, z 0)=0, f z (x 0, y 0, z 0)=0.仿照一元函数, 凡是能使f x (x , y )=0, f y (x , y )=0同时成立的点(x 0, y 0)称为函数z =f (x , y )的驻点.从定理1可知, 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点. 但函数的驻点不一定是极值点.例如, 函数z =xy 在点(0, 0)处的两个偏导数都是零, 函数在(0, 0)既不取得极大值也不取得极小值.定理2(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下:(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值; (2) AC -B 2<0时没有极值;(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值.在函数f (x , y )的驻点处如果 f xx ⋅ f yy -f xy 2>0, 则函数具有极值, 且当f xx <0时有极大值, 当f xx >0时有极小值.极值的求法: 第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0,求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C . 第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理2的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值.例4 求函数f (x , y )=x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值. 解解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f y x ,求得x =1, -3; y =0, 2. 于是得驻点为(1, 0)、(1, 2)、(-3, 0)、(-3, 2). 再求出二阶偏导数f xx (x , y )=6x +6, f xy (x , y )=0, f yy (x , y )=-6y +6.在点(1, 0)处, AC -B 2=12⋅6>0, 又A >0, 所以函数在(1, 0)处有极小值f (1, 0)=-5; 在点(1, 2)处, AC -B 2=12⋅(-6)<0, 所以f (1, 2)不是极值; 在点(-3, 0)处, AC -B 2=-12⋅6<0, 所以f (-3, 0)不是极值;在点(-3, 2)处, AC -B 2=-12⋅(-6)>0, 又A <0, 所以函数的(-3, 2)处有极大值f (-3, 2)=31.应注意的问题:不是驻点也可能是极值点, 例如, 函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值, 但(0, 0)不是函数的驻点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑.最大值和最小值问题: 如果f (x , y )在有界闭区域D 上连续, 则f (x , y )在D 上必定能取得最大值和最小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D 的内部, 也可能在D 的边界上. 我们假定, 函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D 的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值). 因此, 求最大值和最小值的一般方法是: 将函数f (x , y )在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 在通常遇到的实际问题中, 如果根据问题的性质, 知道函数f (x , y )的最大值(最小值)一定在D 的内部取得, 而函数在D 内只有一个驻点, 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f (x , y )在D 上的最大值(最小值).例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为x m , 宽为y m , 则其高应为xy 8m . 此水箱所用材料的面积为)0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yxxy xyx xy y xy A .令0)8(22=-=xy A x ,)8(22=-=y x A y , 得x =2, y =2.根据题意可知, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域D ={(x ,y )|x >0, y >0}内取得. 因为函数A 在D 内只有一个驻点, 所以 此驻点一定是A 的最小值点, 即当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 水箱所用的材料最省.因此A 在D 内的唯一驻点(2, 2)处取得最小值, 即长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 所用材料最省.从这个例子还可看出, 在体积一定的长方体中, 以立方体的表面积为最小.例6 有一宽为24cm 的长方形铁板, 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽. 问怎样折法才能使断面的面积最大？解 设折起来的边长为x cm , 倾角为α, 那末梯形断面的下底长为24-2x , 上底长为24-2x ⋅cos α, 高为x ⋅sin α, 所以断面面积ααs i n )224cos 2224(21x x x x A ⋅-++-=,即A =24x ⋅sin α-2x 2sin α+x 2sin α cos α (0<x <12, 0<α≤90︒).可见断面面积A 是x 和α的二元函数, 这就是目标函数, 面求使这函数取得最大值的点(x , α).令A x =24sin α-4x sin α+2x sin α cos α=0,A α=24x cos α-2x 2 cos α+x 2(cos 2α-sin 2α)=0, 由于sin α ≠0, x ≠0, 上述方程组可化为⎩⎨⎧=-+-=+-0)s i n (c o s c o s 2c o s240cos 21222αααααx x x x .解这方程组, 得α=60︒, x =8cm .根据题意可知断面面积的最大值一定存在, 并且在D ={(x , y )|0<x <12, 0<α≤90︒}内取得, 通过计算得知α=90︒时的函数值比α=60︒, x =8(cm)时的函数值为小. 又函数在D 内只有一个驻点, 因此可以断定, 当x =8cm , α=60︒时, 就能使断面的面积最大.二、条件极值 拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 例如, 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则体积V =xyz . 又因假定表面积为a 2, 所以自变量x , y , z 还必须满足附加条件2(xy +yz +xz )=a 2.这个问题就是求函数V =xyz 在条件2(xy +yz +xz )=a 2下的最大值问题, 这是一个条件极值问题.对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如上述问题,由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xya z +-=, 于是得V ))(2(22y x xy a xy +-=.只需求V 的无条件极值问题.在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易. 需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.现在我们来寻求函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下取得极值的必要条件.如果函数z =f (x , y )在(x 0, y 0)取得所求的极值, 那么有 ϕ(x 0, y 0)=0.假定在(x 0, y 0)的某一邻域内f (x , y )与ϕ(x , y )均有连续的一阶偏导数, 而ϕy (x 0, y 0)≠0. 由隐函数存在定理, 由方程ϕ(x , y )=0确定一个连续且具有连续导数的函数y =ψ(x ), 将其代入目标函数z =f (x , y ), 得一元函数 z =f [x , ψ(x )].于是x =x 0是一元函数z =f [x , ψ(x )]的极值点, 由取得极值的必要条件, 有 0),(),(00000=+===x x y x x x dx dy y x f y x f dxdz ,即),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ.从而函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下在(x 0, y 0)取得极值的必要条件是),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ与ϕ(x 0, y 0)=0同时成立.设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 上述必要条件变为⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ.拉格朗日乘数法: 要找函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F (x , y )=f (x , y )+λϕ(x , y ) ,其中λ为某一常数. 然后解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(0),(),(),(0),(),(),(y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ.由这方程组解出x , y 及λ, 则其中(x , y )就是所要求的可能的极值点. 这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.至于如何确定所求的点是否是极值点, 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.例7 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则问题就是在条件2(xy +yz +xz )=a 2下求函数V =xyz 的最大值. 构成辅助函数F (x , y , z )=xyz +λ(2xy +2yz +2xz -a 2),解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(axz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F zy x λλλ,得az y x 66===,这是唯一可能的极值点. 因为由问题本身可知最大值一定存在, 所以最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。
（整理）多元复合函数的求导法.
（整理）多元复合函数的求导法.多元复合函数的求导法在⼀元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作⽤，对于多元函数来说也是如此。
下⾯我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。
我们先以⼆元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的⼀阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的⼀阶偏导数解答：令由于⽽由链导公式可得：其中上述公式可以推⼴到多元，在此不详述。
⼀个多元复合函数，其⼀阶偏导数的个数取决于此复合函数⾃变量的个数。
在⼀阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此⾃变量有关的中间变量的个数。
全导数由⼆元函数z=f(u,v)和两个⼀元函数复合起来的函数是x的⼀元函数.这时复合函数的导数就是⼀个⼀元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代⼊上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是⼀元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成⽽已。
多元函数的极值在⼀元函数中我们看到，利⽤函数的导数可以求得函数的极值，从⽽可以解决⼀些最⼤、最⼩值的应⽤问题。
多元函数也有类似的问题，这⾥我们只学习⼆元函数的极值问题。
⼆元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某⼀去⼼邻域内的⼀切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0) 成⽴，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极⼤值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0) 成⽴，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极⼩值f(x0,y0).极⼤值与极⼩值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.⼆元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不⼀定是极值点。
多元复合函数的二阶偏导数公式
多元复合函数的二阶偏导数公式黄世强郑州工业大学数力系孙跃俊焦作工学院基础部454150摘要本文建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。
关键词偏导数矩阵内积中图分类号O17211使用Jacobi矩阵能够给出多元复合函数的一阶偏导数公式1。
但是长期以来对于多元复合函数的高阶偏导数却只有运算法则没有计算公式。
本文以具有两个中间变元的复合函数为例建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。
从而使繁冗且易错的运算可以规范化地进行。
1一阶偏导数的各种表示式设函数zfuv∈C2其中uuxy∈C2vvxy∈C2。
构造函数矩阵行向〕By〔u′yv′ｙ〕则成立一阶偏导数量2:A〔f′uf′ｖ〕Bx〔u′xv′ｘ公式5z5xf′uu′xf′vv′xABTxABx15z5yf′uu′yf′vv′yABTyABy2其中AT是A的转置ABx是A与Bx的内积。
定义称F?6?9f〃uuf〃uvf〃uvf〃vv为A关于u、v的导数矩阵。
2定理定理一矩阵A关于x或y的偏导数等于矩阵Bx或By〕左乘A关于u、v的导数矩阵F。
证明5A5x〔55xf′u5A5xf′ｖ〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvBxF3同理可得5A5yByF4定〔u′xv′ｘ理二设矩阵G〔Υｘ、y.7x、y〕∈C′则55xAGTBxFGTA55xGT5第18卷第3期1997年9月郑州工业大学学报JournalofZhengzhouUniversityofTechnology Vol118No131Sep1199755yAGTByFGTA55yGT6证明由式。
第67讲 多元抽象复合函数的偏导数计算
所以
1 = 1,1 + 1,1 ⋅ (1,1) +
= + +(+) =+ + + .
(1,1) ⋅ ( (1,1) +
(1,1)
= −2 , 例 67.6 设变换 = + 可将方程 6 +
= 0，求常数 .
− = 0 简化为
பைடு நூலகம்
【解】由于 = + , = ⋅ (−2) + ⋅ = −2 + ,
=+
+
+ = +2
依题意，有 6 + − = 0， 但10 + 5 ≠ 0 ， 故 = 3.
例67.1 设函数 = ( , , ), = ( , ), = ( , )均具有一阶连续 偏导数，求 , . 【解】如图，由 至 的路径为
→, → →, → →→.
因此， = +
+
.
同理，由 至 的路径为 → , → → → .
因此，
=+
.
【注】用树形图的方法求多元抽象复合函数的偏导数的步骤如下： (1) 按从因变量到自变量的顺序用有向线段表示函数关系，
=+
, ，其中 具有连续的一阶偏导数，求 , .
=+
⋅ + ⋅ ⋅2
+2
.
==
⋅2 + ⋅ ⋅ =2
+
.
【注】抽象复合函数与其他函数进行四则运算而得到的函数，在对其求偏 导数时，要同时利用一元函数的求导四则运算法则及复合函数求导的链式 法则.
例67.4 设 = ( + ) + ( + )，其中 , 具有二阶连续导数， 证明： − 2 + = 0.
多元函数求导法则公式
多元函数求导法则公式1.偏导数：偏导数是多元函数在其中一点上对其中一个自变量的导数，可以通过对该自变量求导来得到。
偏导数的计算方法与一元函数的导数计算类似，只需要将其他自变量视为常数。
记多元函数为f(x1, x2, ..., xn)，则对第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
具体的计算公式如下：- 对于常数函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = C，则对任何xi，偏导数都是0。
- 对于一次多项式函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = a1x1 + a2x2+ ... + anx_n，则对任何xi，∂f/∂xi = ai。
- 对于乘积函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = g(x1, x2, ...,xn)h(x1, x2, ..., xn)，则对任何xi，有∂f/∂xi = h(x1, x2, ..., xn) * (∂g/∂xi) + g(x1, x2, ..., xn) * (∂h/∂xi)。
2.全微分：全微分是多元函数在其中一点上沿所有自变量变化时的变化率，由偏导数组成的线性函数。
全微分的符号为df。
记多元函数为f(x1, x2, ..., xn)，则全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。
3.链式法则：链式法则是多元函数求导中经常使用的方法，用于计算复合函数的导数。
假设有两个函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算。
具体公式如下：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)4.高阶偏导数：高阶偏导数指的是对多元函数的偏导数再次求导的过程。
对于二阶偏导数，可以通过对一级偏导数再次求导得到。
具体的计算方法为，先计算一级偏导数，然后对一级偏导数再次求导。
记二阶偏导数为∂²f/∂x²，则有∂²f/∂x²=∂/∂x(∂f/∂x)5.性质：多元函数的偏导数遵循以下性质：-对自变量求偏导，得到的结果是一个函数。
多元函数求导法则公式
多元函数求导法则公式多元函数的求导法则公式有很多，下面我将逐个介绍并给出推导过程。
1.复合函数的求导法则：设函数z=f(u,v)是由u=g(x,y)和v=h(x,y)给定的复合函数。
求导法则公式为：∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)和∂z/∂y=(∂z/∂u)(∂u/∂y)+(∂z/∂v)(∂v/∂y)推导过程：设z=f(u,v)，u=g(x,y)，v=h(x,y)。
根据链式法则公式，dz/dx = ∂z/∂u * du/dx + ∂z/∂v * dv/dx即∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)同理，可以得到∂z/∂y的表达式。
2.隐函数的求导法则：设G(x,y,z)=0是一个由两个变量x和y决定的函数z的隐函数关系式。
求导法则公式为：dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z) 和 dz/dy = -(∂G/∂y)/(∂G/∂z)推导过程：根据隐函数求导公式，有 dx/dy = - (∂G/∂y)/(∂G/∂x)。
同时，我们可以得到 dz/dx = (dz/dx)/(dx/dy) = -(∂G/∂x)/(∂G/∂y)。
根据分子分母同乘以∂z/∂x，即 dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z)。
同理，可以得到 dz/dy 的表达式。
3.参数方程的求导法则：设x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)是由参数t给定的函数。
求导法则公式为：dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)推导过程：根据链式法则公式，dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)4.偏导数的求导法则：设函数z=f(x,y)是关于x和y的函数。
求导法则公式为：∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)以及∂²z/∂x∂y=∂/∂x(∂z/∂y)和∂²z/∂y∂x=∂/∂y(∂z/∂x)推导过程：根据二阶导数的定义，∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)。
多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法
多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法课程名称高等数学授课周次第15周第2次授课方式课堂讲授第六章、第六节复合函数与隐函数的微分法(1) 2 章(节) 课时名称教学目的使学生掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法教学重点多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法教学难点多元抽象复合函数的二阶偏导数的求法一、教学引导:现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。
多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。
二、学生课前准备:复习一元复合函数的求导法则;预习多元复合函数的求导法则三、课堂教学过程:第一节课:多元复合函数的求导法则:1, 复合函数的中间变量均为一元函数的情形:定理1 如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(t)～ ,(t)]在点t可导～且有dz,zdu,zdv,,，, ，称为全导数 dt,udt,vdtdzyz,x,x,sint,y,cost,例1 设求全导数 dt2, 复合函数的中间变量均为多元函数的情形:定理2 如果函数u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)都在点(x～ y)具有对x及y的偏导数～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f [,(x～ y)～,(x～ y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有教学过程,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,，,,,，, ～ , ,x,u,x,v,x,y,u,y,v,y设计推广: 设z,f(u～ v～ w )～ u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～ w,,(x～ y)～则,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,，,，,,,，,，,～ , ,x,u,x,v,x,w,x,y,u,y,v,y,w,y,z,zu 例2 设 z,esin v～ u,xy～ v,x，y～求和, ,x,y讨论:,z,z, (1)设,(～ )～ ,(～ )～ ,()～则,, zfuvu,xyv,y,,x,y,z,z,u,z,z,u,zdv,,,,，, 提示: ～ , ,x,u,x,y,u,y,vdy,z,z, (2)设z,f(u～ x～ y)～且u,,(x～ y)～则,, ,,x,y,f,f,f,f,z,u,z,u,，,，提示: ～ , ,x,u,x,x,y,u,y,y,f,z,z这里与是不同的～是把复合函数z,f[,(x～ y)～ x～ y]中的y看作 ,x,x,x,f不变而对x的偏导数～是把f(u～ x～ y)中的u及y看作不变而对x的偏导 ,x,f ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z,,，,数, 与也朋类似的区别，; ,,，,,x,u,x,v,x,y,y,u,y,v,y,y222 ,u,u2x，y，zz,xsiny例3设～而, 求和 u,f(x,y,z),e,x,y3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情形定理3 如果函数,(～ )在点(～ )具有对及对的偏导数～函数u,xyxyxyv,,(y)在点y可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(x～ y)～ ,(y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有,z,z,u,z,z,u,zdv ,, ～ , ,,，,,x,u,x,y,u,y,vdy,w,w,w,,例4设求. w,f(x,xy,xyz), ,x,y,z教学过程设计 ,w,w,w,,例5设求. w,f(x，xy，xyz),,x,y,z2,w,w例6设,(，，～ )～具有二阶连续偏导数～求及 wfxyzxyzf,x,x,z 解令u,x，y，z～ v,xyz ～则w,f(u～ v),,f(u,v),f(u,v),,,,,,,fff引入记号: ～ , 同理有～～等,f,f,22211112,u,u,v,f,f,w,u,v,,～ ,,，,,f，yzf12,x,u,x,v,x2,,,f,f,w,12,,, ,f，yzf,，yf，yz()122,x,z,z,z,z22,,,,,,,,,,,,,,,,,f，xyf，yf，yzf，xyzf,f，y(x，z)f，yf，xyzf , 1112221221112222,,,,,,,f,f,f,f,f,f,u,v,u,v111222,,,,,,,, 注:～ , ,,，,,f，xyf,,，,,f，xyf11122122,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z课堂练习:习题6-6:1:(1)、(2)(3)，2全微分形式不变性: 设z,f(u～ v)具有连续偏导数～则有全微分,z,zdz,du，dv,如果z,f(u～ v)具有连续偏导数～而u,,(x～ y)～ v,,(x～y),u,v也具有连续偏导数～则,z,u,z,v,z,u,z,v,z,z dz,dx，dy,(，)dx，(，)dy,x,y,u,x,v,x,u,y,v,y ,z,u,u,z,v,v,z,z,du，dv , ,(dx，dy)，(dx，dy),u,v,u,x,y,v,x,y由此可见～无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数～它的全微分形式是一样的, 这个性质叫做全微分形式不变性,四、作业:习题6-6:1、3课后记,z,z。
9-4多元复合函数的求导法则
,
y z
f1dxyf2dzy
f1ydy2xxdyf2zdzy2ydz
fy1dxfz2xy21fdyyz22fd.z
□
返回
Ex 设z siu ncov、 suxy、 v y , 求 z 及 z x x y
46rV3 er
返回
dh 6 (2Ver)
dt r2 r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 (260e6)
dttt0
62
6
1 (15e6) [立方米/秒] □
3
返回
情形3
u
链锁规则公式
三元函数
全导数
zv x
w
情形4
ux
zv
wy
dzd(f xy,xy)f1dx yf2d(xy)
f121xyd(x)yf2(dxd)y
返回
f121xy(ydxd)yf2(d xd)y
2yx1fyf2dx2xx1全fy微f分2d形.y
式不变性
（2）
du
df
x y
解 dzcoucsovsd u siu s nivn dv
cu o cv o (s ydxsxd)ysiu s niv(n xy2
dx
1 x
dy
)
(ycoucsovsxy2sinusinv)dx
(xcoucsovs1sinusinv)dy x
z x
ycu o csv o xs y2 sinusinv
多元函数全微分也具有形式不变性。
返回
全微分形式不变性：设可微函数 zf(u,v)，则不
论u，v是否为自变量，微分形式
总是正确的。 d zfudufvdv 【证】当u,v为自变量时，d zfud ufvd;v
多元复合函数的偏导数
z x v u v 1 u x ( u v ln u ) v x 因此 2 x ( x y ) ( x 2 y 2 ) x y 1 ( x 2 y 2 ) x y ln( x 2 y 2 ) 类似可得 z y .
z z dz du dv u v ( v u v 1 ) du ( u v ln u) dv (v uv 1 ) ( ux dx u y dy ) (uv ln u) (v x dx v y dy ) [v uv 1ux (uv ln u) v x ]dx [v uv 1u y (uv ln u)v y ]dy
三. 复合3 型
定理 3. 设 z f (u, v ) 在点(u,v) 处可微, u ( x , y ) , v ( x, y ) 在点(x,y) 处可微, 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在 点 (x,y) 处可微, 且
z z u z v ; x u x v x
z z u z v . y u y v y
注： 若只求偏导数, 则要求u, v 偏导数存在就可以了。 但必须要求外层函数 f 可微。
p f ( x 2 y 2 z , x y z ), f 具有二阶偏导数, 例 4. 设 求 p x , p xz , p yz .
当 z f (u, v ) 不是复合函数时也有 dz f1 ' du f 2 ' dv . 这称为一阶全微分不变性。 高阶全微分不具有不变性。
例 8. 设 z ( x 2 y 2 ) x y , 求 z x , z y . 记 解： u x 2 y 2 , v x y , 则 z u v ,
9-5 多元复合函数的求导法则
注：本题也可通过将 u, v 的表达式代入 z eu sin v 后直接求出 下列例 9.5.3、例 9.5.4 相仿.
z z , ． x y
26-14
u v ) ,u 例 9.5.3 设 z xs i n (
arcta xn v , ，求 x
dz ． dx
解 变量关系图见图 9-5-6．
z
x
(3)解 变量关系图为右图．
u
v
此时既有直接连线，又有多次复合，还有单出口，综合得
d z f f f d f d f v fuv ． f x fu x d x x u x v d x u v d x
变量关系图：
u ( x) ， v ( x) ．
链式法则：
dz z du z dv ． dx u dx v dx
（9.5.13）
注 1： u ( x) 和 v ( x) 均为一元函数，注意记法 注 2：
dz 称为全导数． dx
du dv 和 ． dx dx
由于 z f (u, v) 在对应点 (u, v) 处可微，所以
z z z u v o( (u)2 (v)2 ) ． u v
(9.5.8)
z z 令 y 0 ，则有 x z xu xv o( ( xu)2 ( xv)2 ) ， u v
(1)解 变量关系图见图 9-5-4．
复合后 z 为 x, y 的二元函数，图中 z 和 x 之间有一连线，表明函数 z f ( x, u, v) 中 z 与 x 有直接的依赖关系．
为避免记法混淆，记 视 u, v 为常量．同样用
f 表示 z f ( x, u, v) 中 z 关于 x 的偏导数，此时 x
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法贝IJCompany number [ 1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108]第四节多元复合函数的求导法则要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。
重点：各种类型复合函数的求导与计算。
难点：抽象函数的二阶偏导数计算。
作业：习题 8—4 (&) 2,4,6,82)3),10,ll 2),122)3)4p 13一.多个中间变量，一个自变量情况定理1如果函数“=夕(/)及昨'⑺都在点/可导，且函数z = /(〃,】，)在对应点 具有连续偏导数，则复合函数./[*),必可在点，可导，且J包=包也+包虫 (全导数)dt du dt dv dt证明 设，有增量&，相应函数“ =0。
)及y = 的增量为 △〃,△了,此时函数z = /'(〃★)相应获得的增量为.又由于函数z = /(〃/)在点(〃,)处可微，于是由上节定理3证明有 这里，当0,小，—。
时，410,邑f0,上式除以△/得M Aw of Av A M A V = ---- + ---- + £] + 5, ■ du Ar dv A/ Ar - Ar△〃 d u Av dv-—> —,-—> —，Z dt Z dt du dt dv di du dt dv dt =生也+包型从形式上看是全微分以=里h+老小两端除以力得 du dt dv dt du dv 推论 若2 = /(〃,匕卬)，〃=夕。
)，U = 〃(f),卬=卬⑺复合而的复合函数满足定理条件，则有全导数公式例1.设函数〃=x v,而x = e', y = sint ,求全导数四.dt 初 dii du dx du dy v _i f v .Zsinrz. 、当 A/ f 0 时，△〃 一> 0, — 0 ,所以 包= ]im 空二也+更已即 dt △，du dt dv dt dz. of dudf dv _ & du dz dv= 次-力次-力帚，将时常 此 ，的称为全导数.解——= ---- + ---- = yx e +x InxcosZ = e (sin/+ /cosr).dt dx dt dy di ”二.多个中间变量，多个自变量情况定理2若〃 =0(x, y)及E =叭x, y)在点(x, >,)具有偏导数，而函数z = /(〃, =在对应点(〃/)具有连续偏导数，则复合函数名=/［。
多元复合函数求偏导数的方法
多元复合函数求偏导数的方法
冯媛;刘新红
【期刊名称】《科技风》
【年(卷),期】2024()12
【摘要】针对多元复合函数求偏导数问题,总结了代入法、链式法则和全微分求解三种方法,并通过具体的例子进行了说明.通过对三种方法进行比较,分析和总结了每种方法的优点和缺点并给出了每种题型应采用的方法建议。
这不仅对教师的教学具有积极的指导意义,而且还有助于提高学生的学习效果和数学素养,促进学生科学态度的养成和思维能力的提升.
【总页数】3页(P25-27)
【作者】冯媛;刘新红
【作者单位】北京石油化工学院致远学院
【正文语种】中文
【中图分类】O151.2
【相关文献】
1.多元复合函数求偏导数的树图方法
2.求多元复合函数偏导数的树型法则
3.两种求多元复合函数偏导数方法的分析比较
4.用矩阵求多元抽象复合函数二阶偏导数的方法
5.求多重多元复合函数偏导数的一般公式
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多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法课程名称高等数学授课周次第15周第2次授课方式课堂讲授
第六章、第六节复合函数与隐函数的微分法(1) 2 章(节) 课时名称
教学目的使学生掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法
教学重点多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法
教学难点多元抽象复合函数的二阶偏导数的求法
一、教学引导:
现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。
多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。
二、学生课前准备:
复习一元复合函数的求导法则;预习多元复合函数的求导法则
三、课堂教学过程:
第一节课:多元复合函数的求导法则:
1, 复合函数的中间变量均为一元函数的情形:
定理1 如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(t)～ ,(t)]在点t可导～且有
dz,zdu,zdv,,，, ，称为全导数 dt,udt,vdt
dzyz,x,x,sint,y,cost,例1 设求全导数 dt
2, 复合函数的中间变量均为多元函数的情形:
定理2 如果函数u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)都在点(x～ y)具有对x及y的偏导
数～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f [,(x～ y)～
,(x～ y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有
教学过程,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,，,,,，, ～ , ,x,u,x,v,x,y,u,y,v,y设计推广: 设z,f(u～ v～ w )～ u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～ w,,(x～ y)～则,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,，,，,,,，,，,
～ , ,x,u,x,v,x,w,x,y,u,y,v,y,w,y
,z,zu 例2 设 z,esin v～ u,xy～ v,x，y～求和, ,x,y
讨论:
,z,z, (1)设,(～ )～ ,(～ )～ ,()～则,, zfuvu,xyv,y,,x,y
,z,z,u,z,z,u,zdv,,,,，, 提示: ～ , ,x,u,x,y,u,y,vdy
,z,z, (2)设z,f(u～ x～ y)～且u,,(x～ y)～则,, ,,x,y
,f,f,f,f,z,u,z,u,，,，提示: ～ , ,x,u,x,x,y,u,y,y
,f,z,z这里与是不同的～是把复合函数z,f[,(x～ y)～ x～ y]中的y看
作 ,x,x,x
,f不变而对x的偏导数～是把f(u～ x～ y)中的u及y看作不变而对x的偏导 ,x
,f ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z,,，,数, 与也朋类似的区
别，; ,,，,,x,u,x,v,x,y,y,u,y,v,y,y
222 ,u,u2x，y，zz,xsiny例3设～而, 求和 u,f(x,y,z),e,x,y
3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情形
定理3 如果函数,(～ )在点(～ )具有对及对的偏导数～函数u,xyxyxy
v,,(y)在点y可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函
数z,f[,(x～ y)～ ,(y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有
,z,z,u,z,z,u,zdv ,, ～ , ,,，,,x,u,x,y,u,y,vdy
,w,w,w,,例4设求. w,f(x,xy,xyz), ,x,y,z
教学过程
设计 ,w,w,w,,例5设求. w,f(x，xy，xyz),,x,y,z
2,w,w例6设,(，，～ )～具有二阶连续偏导数～求及 wfxyzxyzf,x,x,z 解令u,x，y，z～ v,xyz ～则w,f(u～ v),
,f(u,v),f(u,v),,,,,,,fff引入记号: ～ , 同理有～～等,
f,f,22211112,u,u,v
,f,f,w,u,v,,～ ,,，,,f，yzf12,x,u,x,v,x
2,,,f,f,w,12,,, ,f，yzf,，yf，yz()122,x,z,z,z,z
22,,,,,,,,,,,,,,,,,f，xyf，yf，yzf，xyzf,f，y(x，z)f，yf，xyzf , 1112221221112222
,,,,,,,f,f,f,f,f,f,u,v,u,v111222,,,,,,,, 注:～ , ,,，,,f，xyf,,，,,f，xyf11122122,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z
课堂练习:习题6-6:1:(1)、(2)(3)，2
全微分形式不变性: 设z,f(u～ v)具有连续偏导数～则有全微分
,z,zdz,du，dv,如果z,f(u～ v)具有连续偏导数～而u,,(x～ y)～ v,,(x～y),u,v
也具有连续偏导数～则
,z,u,z,v,z,u,z,v,z,z dz,dx，dy,(，)dx，(，)dy,x,y,u,x,v,x,u,y,v,y ,z,u,u,z,v,v,z,z,du，dv , ,(dx，dy)，(dx，dy),u,v,u,x,y,v,x,y
由此可见～无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数～它的全微分
形式是一样的, 这个性质叫做全微分形式不变性,
四、作业:习题6-6:1、3
课后记
,z,z。
一、全微分形式不变性。
设z,f(u～ v)具有连续偏导数～则有全微分dz,du，dv,u,v无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数～它的全微
分形式是一样的, 这个性质叫做全微分形式不变性。
Fdyx二、F(x～ y),0隐函数存在定理1:; ,,dxFy
22例1 验证方程x，y,1,0在点(0～ 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续
导数、当x,0时y,1的隐函数y,f(x)～并求这函数的一阶与二阶导数在x,0的值,
三、F(x～ y～ z),0隐函数存在定理2:
设函数F(x～ y～ z)在点P(x～ y～ z)的某一邻域内具有连续的偏导数～且
F(x～ y～ z),0～ F(x～ 000000z0y～ z),0 ～则方程F(x～ y～ z),0在点(x～y～ z)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续00000
FFy,z,zx,,,,偏导数的函数z,f(x～ y)～它满足条件z,f(x～ y)～并有
～。
例2. 设000,yF,xFzz
2,z222x，y，z,4z,0～求。
2,x
,z,z,u,,3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情
形:，,x,u,x,z,z,u,zdv,,，,。
例1---例5。
,y,u,y,vdy
第二节课讲述:
四、作业:p185 1—5。