多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法课程名称高等数学授课周次第15周第2次授课方式课堂讲授

第六章、第六节复合函数与隐函数的微分法(1) 2 章(节) 课时名称

教学目的使学生掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法

教学重点多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法

教学难点多元抽象复合函数的二阶偏导数的求法

一、教学引导:

现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。

二、学生课前准备:

复习一元复合函数的求导法则;预习多元复合函数的求导法则

三、课堂教学过程:

第一节课:多元复合函数的求导法则:

1, 复合函数的中间变量均为一元函数的情形:

定理1 如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(t)～ ,(t)]在点t可导～且有

dz,zdu,zdv,,，, ，称为全导数 dt,udt,vdt

dzyz,x,x,sint,y,cost,例1 设求全导数 dt

2, 复合函数的中间变量均为多元函数的情形:

定理2 如果函数u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)都在点(x～ y)具有对x及y的偏导

数～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f [,(x～ y)～

,(x～ y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有

教学过程,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,，,,,，, ～ , ,x,u,x,v,x,y,u,y,v,y设计推广: 设z,f(u～ v～ w )～ u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～ w,,(x～ y)～则,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,，,，,,,，,，,

～ , ,x,u,x,v,x,w,x,y,u,y,v,y,w,y

,z,zu 例2 设 z,esin v～ u,xy～ v,x，y～求和, ,x,y

讨论:

,z,z, (1)设,(～ )～ ,(～ )～ ,()～则,, zfuvu,xyv,y,,x,y

,z,z,u,z,z,u,zdv,,,,，, 提示: ～ , ,x,u,x,y,u,y,vdy

,z,z, (2)设z,f(u～ x～ y)～且u,,(x～ y)～则,, ,,x,y

,f,f,f,f,z,u,z,u,，,，提示: ～ , ,x,u,x,x,y,u,y,y

,f,z,z这里与是不同的～是把复合函数z,f[,(x～ y)～ x～ y]中的y看

作 ,x,x,x

,f不变而对x的偏导数～是把f(u～ x～ y)中的u及y看作不变而对x的偏导 ,x

,f ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z,,，,数, 与也朋类似的区

别，; ,,，,,x,u,x,v,x,y,y,u,y,v,y,y

222 ,u,u2x，y，zz,xsiny例3设～而, 求和 u,f(x,y,z),e,x,y

3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情形

定理3 如果函数,(～ )在点(～ )具有对及对的偏导数～函数u,xyxyxy

v,,(y)在点y可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函

数z,f[,(x～ y)～ ,(y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有

,z,z,u,z,z,u,zdv ,, ～ , ,,，,,x,u,x,y,u,y,vdy

,w,w,w,,例4设求. w,f(x,xy,xyz), ,x,y,z

教学过程

设计 ,w,w,w,,例5设求. w,f(x，xy，xyz),,x,y,z

2,w,w例6设,(，，～ )～具有二阶连续偏导数～求及 wfxyzxyzf,x,x,z 解令u,x，y，z～ v,xyz ～则w,f(u～ v),

,f(u,v),f(u,v),,,,,,,fff引入记号: ～ , 同理有～～等,

f,f,22211112,u,u,v

,f,f,w,u,v,,～ ,,，,,f，yzf12,x,u,x,v,x

2,,,f,f,w,12,,, ,f，yzf,，yf，yz()122,x,z,z,z,z

22,,,,,,,,,,,,,,,,,f，xyf，yf，yzf，xyzf,f，y(x，z)f，yf，xyzf , 1112221221112222

,,,,,,,f,f,f,f,f,f,u,v,u,v111222,,,,,,,, 注:～ , ,,，,,f，xyf,,，,,f，xyf11122122,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z

课堂练习:习题6-6:1:(1)、(2)(3)，2

全微分形式不变性: 设z,f(u～ v)具有连续偏导数～则有全微分

,z,zdz,du，dv,如果z,f(u～ v)具有连续偏导数～而u,,(x～ y)～ v,,(x～y),u,v

也具有连续偏导数～则

,z,u,z,v,z,u,z,v,z,z dz,dx，dy,(，)dx，(，)dy,x,y,u,x,v,x,u,y,v,y ,z,u,u,z,v,v,z,z,du，dv , ,(dx，dy)，(dx，dy),u,v,u,x,y,v,x,y

由此可见～无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数～它的全微分

形式是一样的, 这个性质叫做全微分形式不变性,

四、作业:习题6-6:1、3

课后记

,z,z。一、全微分形式不变性。设z,f(u～ v)具有连续偏导数～则有全微分dz,du，dv,u,v无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数～它的全微

分形式是一样的, 这个性质叫做全微分形式不变性。

Fdyx二、F(x～ y),0隐函数存在定理1:; ,,dxFy

22例1 验证方程x，y,1,0在点(0～ 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续

导数、当x,0时y,1的隐函数y,f(x)～并求这函数的一阶与二阶导数在x,0的值,

三、F(x～ y～ z),0隐函数存在定理2:

设函数F(x～ y～ z)在点P(x～ y～ z)的某一邻域内具有连续的偏导数～且

F(x～ y～ z),0～ F(x～ 000000z0y～ z),0 ～则方程F(x～ y～ z),0在点(x～y～ z)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续00000

FFy,z,zx,,,,偏导数的函数z,f(x～ y)～它满足条件z,f(x～ y)～并有

～。例2. 设000,yF,xFzz

2,z222x，y，z,4z,0～求。2,x

,z,z,u,,3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情

形:，,x,u,x,z,z,u,zdv,,，,。例1---例5。 ,y,u,y,vdy

第二节课讲述:

四、作业:p185 1—5