2004年数学建模试题及答案
2004年全国首届研究生数学建模优秀论文A题
此时，可以得出 C 点亦在以 F1 、 F2 为焦点的椭球内。即只要 A 点在范围之内，那么 AB 连 不难得出结论： 假如椭球阵在圆柱柱顶的交面能够无缝覆盖圆 线上任意一点都在范围之内， 柱柱顶，那么也一定能够包含整个圆柱体。
1
充分性： 因为椭球阵能包含整个圆柱体，因此其在圆柱柱顶的交面必能包含圆柱顶面。 推论：椭圆阵能够无缝覆盖圆柱体 K 次的充要条件是：椭球阵在圆柱柱顶的交面能够无缝 覆盖圆柱顶面 K 次。 定理二：与圆柱体底面平行且高度为 h （ h b ，其中 b 为椭球的短轴长度）的平面与椭球 的切面一定是个椭圆，并且其长短轴与椭球长短轴成比例，该比例系数为 1 证明：假设椭球的表达式为：
1
从该表达式中不难看出，该切面是个椭圆，且其长、短轴与椭球长短轴成比例，该比例系数 为 1
h2 。 b2
根据定理一及其推论，我们可以将题目转化如何设计如何对焦点的位置进行设计并着 色，使得其能用尽量少的红蓝焦点数目来获得能够 K 次无缝覆盖顶圆的问题。
3 模型的建立
由于移动通信中的系统设计问题已经被研究的很成熟了， 因此对本题目焦点位置的设计 及着色问题我们可以借鉴移动通信中的基站位置及频率配置的设计方案来解决。 首先我们对 移动通信中的基站位置及频率配置的设计思路做一个简单的描述如下： 早期的移动通信其容量需求较低， 采用的是大区制移动通信系统， 该大区包含了所有频 率，以达到该区内容量最高。但当总容量需求增加时，它就不能通过增加频率以达到增加容 量需求的目的。 因此需要找到一种系统结构满足随着容量需求的增长， 其基站的数目可能会 增加，从而提高额外的容量，但不会增加额外的功率。 当前的移动通信系统设计中采用了蜂窝的概念，其思想是用许多蜂窝（正六边形）来覆 盖整个区域， 将基站放置在正六边形的中心或者顶点， 并用频率复用的策略来解决频率配置 问题。在这里为了更好的理解频率复用的含义，我们引入簇的概念。在蜂窝系统的设计中共 同使用全部可用频率的 N 个小区称为一簇，如图 2 所示，形成一簇至少需要三个频率，称 N 为簇的大小。N 的值体现了移动台或基站可以承受的干扰。从设计观点来看 N 取可能的 最小值是最好的， 目的是为了获得某一给定覆盖范围上的最大容量。 蜂窝系统中定义频率复 用因子为 1/N，因为一个簇中的每个小区都只分配给系统中所有可用信道的 1/N。
04年数学建模竞赛试题《逢山开路》
伍微 贺思三 杜琳琳 国防科学技术大学
摘要
这是一个规划问题。本文针对给定的三个控制点，采用动态规划的方法，分 别对起点到居民点、居民点到矿区进行定线。具体实现时，提出了两种方案： ① 用 Dijkstra 算法求两点间的最短路，与边界搜索结合，得到一条最佳路 线，由于实测数据间距较大，本文将网格逐步细化为 200m× 200m , 100m× 100m 的细网格，以获得较精确的路线； ② 逐步定线法，以局部最优为准则，逐步逼近目标点，得到较优解。 在对公路、桥梁、隧道这三种道路形式进行选择时，详细划分了每种道路在 不同情况下应满足的坡度条件，在此基础上确定不同道路的权值。
分析一：不同的地形造成道路选择方式不同 由 f 1 、 f 2 的表达式可知，不同的道路形式具有不同的权值。山区地形 复杂，设计线路要综合考虑山脉、湖泊、溪流以及地形起伏的影响。故对不 同的地形应有不同的道路形式 1. 公路 由于公路的修建成本远小于桥梁和隧道，所以在 >0.125 的情况下可以 考虑修建“Z”形路。 “Z”形路的每一段的斜率都为 0.125，所以， “Z”形 路的总长度为 L≈8△h。
图1 2. 隧道 在坡度较大的情况下，可以修建“Z”形路或隧道，而修建隧道的成本较高， 只有在坡度满足一定条件（见下面说明）时，修隧道比修“Z”形路节省资金。 当隧道垂直穿过山脉，即 =90（见图 2）时，隧道长度最短 ,我们按这种 方式修建隧道 。 1）隧道长度<300 米 修建隧道的条件为： 1500×（＋）<300×16h
（从到，经过溪流）
（2）
f 1l1g, l1q =300×l1g ＋2000×l1q
l 2 g, l 2 s
（从到，经过山脉）
全国大学生数学建模竞赛2004优秀论文：C、D题()
酒精在人体内的分布与排除优化模型
一、 问题的重述
国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精 含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克／百毫升，小于 80 毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于 100 毫克／百毫升），血液 中的酒精含量大于或等于 80 毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于 100 毫克／百 毫升）。
的驾车标准. 紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车
回家.检测时距晚饭喝的那瓶啤酒已过了八小时，其胃中酒精及体液中的酒精含 量分别为：
c18 20.9031 20毫克/百毫升（标准）；
x 0 8
5483.6(毫克）；
x1
8
8988.33(毫克）；
由浓度状态函数 c1(8) 20.9031 20毫克/百毫升（标准）可知，检查时被定 为饮酒驾车.
V——人体体液量和人体血液量；
酒精进入中心室的速率：
f0 t
D k e k01t 0 01
x1(t) ——中心室的酒精量；微分方程为：
x1'
t
k10 x1t x1t Vc1t
f
0
t
（9）
k10 ——酒精从中心室向体外排除的速率系数（由人体机能确定的常数）
由方程（9）得：
c1' t k10c1t
房室模型Ⅰ（在短时间内喝下酒精量为 D0 ） 在短时间内喝下酒精量为 D0 ，酒精进入胃，人体吸收酒精，然后排除出体外。吸收酒
精的过程相当于酒精进入体液（中心室）的过程，全过程可以简化为下图：
全国数学建模2004年ABCD题
A题奥运会临时超市网点设计2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。
奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点，称为迷你超市（Mini Supermarket, 以下记做MS）网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。
在比赛主场馆周边地区设置的这种MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。
图1给出了比赛主场馆的规划图。
作为真实地图的简化，在图2中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分：道路（白色为人行道）、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄色区域是规定的设计MS网点的20个商区。
为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场（图3）通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。
假设我们在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采集了相关数据，在附录中给出。
请你按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点：1．根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。
2．假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。
依据1的结果，测算图2中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。
3．如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出图2中20个商区内MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。
4．阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。
说明1．商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。
影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量及购物欲望。
2．为简化起见，假定国家体育场（鸟巢）容量为10万人，国家体育馆容量为6万人，国家游泳中心（水立方）容量为4万人。
2004美赛数模MCM全部原题及翻译
CUMCM Newsletter全国大学生数学建模 竞赛组织委员会主办创新意识团队精神重在参与公平竞争目录在2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛颁奖仪式上的讲话 中国高等教育学会会长、前教育部副部长周远清的讲话 (1)全国组委会主任、复旦大学李大潜院士的讲话 (2)厦门大学党委副书记、副校长潘世墨教授的讲话 (3)高等教育出版社副社长张增顺总编的讲话 (4)中科院院士、厦门大学万惠霖教授的讲话 (4)优秀组织工作赛区代表、哈尔滨工业大学尚寿亭教授的讲话 (5)高教社杯获得者、厦门大学邹宇庭同学的发言 (5)2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛区负责人工作会议暨颁奖仪式纪要 (6)2004年美国大学生数学建模竞赛题目 (7)2004年美国大学生交叉学科建模竞赛题目 (8)中国工业与应用数学学会第8届年会的通知……………………(12、封三) 颁奖大会、工作会议部分图片(李琦、么焕民、谢金星等摄) ……… (封底)《全国大学生数学建模竞赛通讯》征稿启事《全国大学生数学建模竞赛通讯》主要面向全国各赛区组委会、参赛院校教育行政部门、指导教师和学生。
征稿内容为：z赛区组委会在组织报名、培训、竞赛巡视、评阅等方面的经验和具体作法；z参赛院校和指导教师在组织报名、培训等方面的经验和具体作法；z参赛学生的体会；z竞赛在培养创新人才、推动教学改革中的典型事例；z争取社会各界支持竞赛的成功经验和作法，及社会各界对竞赛的理解；z国内外有关信息。
来稿请寄：100084北京清华大学数学系郝秀荣，注明“数学建模竞赛通讯稿件”。
欢迎以电子邮件方式投稿：jxie@《全国大学生数学建模竞赛通讯》2004年第1期 (2004年2月, 总第14期）主办：全国大学生数学建模竞赛组织委员会地址：北京清华大学数学科学系（邮编：100084）电话/传真：（010）62781785网址： 责任编辑：谢金星在2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛颁奖仪式上的讲话*中国高等教育学会会长、前教育部副部长周远清的讲话今天很高兴来参加这个颁奖大会，虽然我已经是第四次（也可能是第五次）参加这样的大会了，可是每次听到全国有这么多的学校、这么多的同学参加这项竞赛，这么多个队获奖，都感到非常的兴奋。
2004、2010、2011、2012美国数学建模数学竞赛试题及翻译、分析
2004年A题题目是研究人的指纹相同导致确认身份时产生错误的可能性和因为DNA相同导致产生错误的可能性。
这道题与生物有关。
2004年，美国提出了“科技展望——生物盾国家纳米技术”，针对微分子进行研究，与人体相关的DNA也就成为焦点。
指纹是区分人的重要参数，它由DNA决定，由于现在自然环境改变，人体的DNA也有可能发生变异，这样引起相同指纹出现也是有可能的。
研究这种变异的可能性有利于刑事案件的侦破，提高政府的防御能力等。
本题目可以采用机理分析法来建模。
可以采用计算机模拟人体染色体中的基因排列进而检验、统计排列结果与指纹形成情况B题题目：现在的快通系统在收费站、娱乐公园和其他的地方，正在越来越频繁的使用，来减少人们排队等候的时间，现在我们考虑为一个娱乐公园所设计的快通系统，在一次测试中，这个公园在几个游客比较多的景点旁都设置的快通系统，这个系统的设计创意是对于那些比较热门的景点，可以到旁边的一个机器，将其门票插入后出来一张纸条，上面写着具体的你可以回来时间段，比如说你把你的门票在1：15插到机子里，系统就会告诉你，你可以在3:30-4:30回来，这个时候队伍就比较短，你可以凭你的纸条加入这个队伍，很快就可以进入景点，为了防止游客同时在几个景点使用这个系统。
系统的机器只允许你一次在一个景点排队等候。
现在你是几个被公园雇佣的互相竞争的一个，你的职责是改善快通系统的运行。
很多游客都在抱怨测试期间系统的异常现象，比如说有一次系统提供的回到景点的时间是4小时以后，但是才过一会儿，在相同景点系统提供的时间只有1小时。
在另外一些时候根据快通系统组织起来的游客的等候队伍，就和普通的队伍一样长一样慢。
现在的问题是要提出并且测试一个模型，这个模型能让快通系统的等候纸条的发放能增加人们在公园的乐趣的目的。
问题的一部分就是首先决定衡量不同模型的标准，在你提交的报告里还要附带一份技术性的总结，以便公园的领导在不同的顾问所提出的模型中选择。
数学建模资料 2004哈尔滨工业大学数学建模竞赛试题
2004哈尔滨工业大学数学建模竞赛试题A：西大直街的交通线联动信号控制问题城市的交通管理是众所周知的难题。
当你乘车时令你烦心的是刚通过了一个十字路口就被不远处另一十字路口的红灯止住。
能否通过交通信号的联动控制使得在主干线上最大可能的解决这一问题，请你对西大直街从护军街到通达街一线的考察研究，用数学建模的方法给出一个最优联动红绿灯控制方案。
要求：1.对西大直街从护军街到通达街一线17时至18时的交通现状进行现场调查，采集建模所需的数据；2.对现行交通信号系统的合理性进行分析；3.给出你的最优联动红绿灯控制原理和方案；4.给当地报纸写一篇短文（不超过两页），阐述你的方案的可行性。
B：股市全流通方案的设想全国人大常委会副委员长成思危日前在"第八届(2004)资本市场论坛"上指出,股权的流动性分裂给资本市场的发展带来了很多弊病,因此股市要在规范的同时,重视发展,在发展中实现全流通。
股市的全流通问题应该考虑到：一、有利于资本市场的改革开放和稳定发展；二、有利于保护中小投资者的合法权益。
推进全流通,要注意可行性,同时一定要有周密的策划（附件一）。
张卫星提出了中国股市的全流通改造三条原则（附件二）。
依据以上原则对股市全流通方案通过数学建模提出你的设想，要求：1.对上证50（1.浦发银行、2.白云机场、……、50.长江电力）的最近20日均价与总股本、流通股（A、B股）占总股本的比例、03年每股收益、净资产、概念（国企大盘、民企、全流通、其他类）做出相关性分析。
2.分析哪些因素对股市全流通方案是至关重要的，提出你的全流通方案设想。
要求兼顾国家、企业、中小投资者的利益，为稳定市场，设定一个方案实施后的股价最大振幅（比如3%）。
3.按照你的方案给出以下股票的具体实施办法：01浦发银行、08民生银行、10宝钢股份、18中国联通、20清华同方、25安阳钢铁、32申能股份、36哈药集团、37上海石化、43东方集团、46四川长虹、49张江高科。
2004年第一届全国研究生数学建模竞赛B题
B 题： 实用下料问题“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。
现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, =<<. m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。
这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。
特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。
一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。
其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。
因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。
此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。
因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小.请你们为某企业考虑下面两个问题。
1． 建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25,28,36,48; 要求不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50. (提示：可分层建模。
2004年第一届全国研究生数学建模竞赛D题
D题研究生录取问题根据素质教育和培养高素质合格人才的要求，目前各学校都对硕士研究生的录取方法进行改革，即在录取的过程中改变了以往根据考试成绩定终身的做法，加大了复试的作用。
一般是根据初试的成绩，在达到国家和学校分数线的学生中从高分到低分排序，按1:1.5的比例选择进入复试的名单。
复试一般采用由专家组面试考核的办法，主要面试考核学生的专业知识面、思维的创造性、灵活的应变能力、文字和口头的表达能力和外语水平等综合素质。
专家组一般由多名专家组成，每位专家根据自己看法和偏好对所有参加复试学生的５个方面都给出相应的评价，可以认为专家组的面试整体评价是客观的，最后由主管部门综合所有专家的意见和学生的初试成绩等因素确定录取名单。
某学校Ｍ系计划招收10名计划内研究生，依照有关规定由初试上线的前15名学生参加复试，专家组由8位专家组成。
在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试学生的以上５个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为A,B,C,D四个等级，并将其填入面试表内。
所有参加复试学生的初试成绩、各位专家对学生的５个方面专长的评分如表（１）～表（8）所示。
该系现有10名导师拟招收研究生，分为四个研究方向。
导师的研究方向、专业学术水平（发表论文数、论文检索数、编（译）著作数、科研项目数），以及对学生的期望要求见表(9)。
在这里导师和学生的基本情况都是公开的。
要解决的问题是：(1) 首先，请你综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10名研究生的录取名单。
然后，要求被录取的10名研究生与10名导师之间做双向选择，即学生可根据自己的专业发展意愿（依次申报２个专业志愿，如表(10)所示）、导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师；导师根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。
请你给出一种10名研究生和导师之间的最佳双向选择方案（并不要求一名导师只带一名研究生），使师生双方的满意度最大。
2004年首届苏北数建模学联赛竞赛题目
2004年首届苏北数建模学联赛竞赛题目本科组题目A题：失业工人如何选择满意工作政府为解决失业工人的再就业问题，积极提供就业机会，同时每月为每一位失业工人发放一定数量的失业救济金，作为他们基本的生活保障。
失业工人在寻找工作的时候，若接受找到的第一个工作，则意味他放弃了继续寻找可能找到更好工作的机会。
因此，失业工人一般不会马上接受找到的第一个工作，他通常会在心里预先设定一个最低工资水平，若找到的工作其工资低于这个预先设定的最低工资水平，则放弃该工作，继续寻找下一个工作，直至找到高于或等于预先设定的最低工资水平的工作为止。
请你建立适当的数学模型，给出最低工资水平的决定条件，失业救济金和最低工资水平的关系，并对失业工人找到满意工作之前的平均等待时间（单位：月）作出合理的估计。
B题：汽车保险某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内，若客户没有要求赔偿，则给予额外补助，所有参保人被迫分为0，1，2，3四类，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。
在计算保险费时，新客户属于0类。
在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。
客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。
现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降，这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。
这样的结果真会出现吗？这是该保险公司目前最关心的问题。
根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少20%到40%，假设当前年度该保险公司的统计报表如下表1和表2。
保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，并以表1和2的数据为例，验证你的方法，并给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。
历年研究生数学建模试题统计
历年研究生试题统计年份：（2004）题目编号标题所属类别问题统计A 发现黄球并定位数学，设计，概率1. 试问在这个圆柱体的底面至少要放置多少红球、多少蓝球，又它们分别放置在什么地方（设放置后不能移动），才能使放在圆柱体内任何位置（距离底面不足0.1m不予考虑）的黄球都有可能被红球、蓝球发现。
2. 为此至少需要红球、蓝球各多少个？红球、蓝球又应如何放置在圆柱体的底面？3. 请你们为运动的黄球被定位的概率下个定义，再根据此定义计算你们方案的定位概率。
4. 仿真、讨论增加红球、蓝球的个数到共190个或更多时对黄球定位的益处。
（仍旧假设红球、蓝球放置后不能移动）5. 那么这些起伏对仍需要放置在圆柱体底面的红球、蓝球的个数有无影响？进行适当的讨论。
6. 如果在第二问中红球、蓝球发现黄球时不但知道从红球到黄球中心再到蓝球的距离，而且同时知道红球、蓝球所在圆锥轴的准确的方向，这一点对黄球的定位有什么影响？如果计算机可以在一毫秒的时间内改变全部红球或蓝球中任意一只或多只球的颜色对于黄球被发现、被定位又有什么影响？7. 一旦有一对红球、蓝球发现黄球，计算机应如何控制所有红球、蓝球所在的圆锥轴的旋转方案来跟踪移动的黄球并尽快给它定位？8. 如果有多个黄球同时（有一定的时间差）越过圆柱体的表面，计算机如何控制所有红球、蓝球所在的圆锥轴的旋转以使全部黄球可能被及早发现，尽快定位？9. 你们对黄球发现、定位有什么更好的建议？例如，是否可以让红球、蓝球在圆柱体底面以不超过0.15m/s速度移动，这样对黄球的及早发现，尽快定位有无好处？B实用下料问题工学，矩形排布1. 建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度.2. 建立二维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题.制定出在企业生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料块数和所需下料方式数.C 售后服务数据的运用民生，数据预测1. 请你分析表中是否存在不合理数据，并对制表方法提出建议；2. 请你设计相应的模型与方法，并预测：0205批次使用月数18时的千车故障数，0306批次使用月数9时的千车故障数，0310批次使用月数12时的千车故障数；3. 如果有所有部件的千车故障数的数据表，你可以为质量管理方面提供那些决策与咨询？4. 你还有什么想法和建议。
全国大学生数学建模竞赛2004A题(22-55)
优秀论文选编A题之一（全国一等奖）奥运会临时超市网点设计广西师范大学，吴宗显、单俊辉、谭春亮；指导教师：数学建模组摘要：本文首先根据问卷调查数据计算观众出行、用餐和购物等方面的分布，分析各种分布的特点。
然后，根据观众出行、用餐分布，场馆分布情况和最短距离原则，测算出测算20个商区的人流量及其分布。
最后，根据商圈分析中零售引力法则（即里利法则）、哈夫概率模型、饱和理论，建立设计MS网点大小规模类型的数学模型。
在约定大规模MS网点的面积为1个单位的基础上，经过计算求解，得到小规模MS网点的面积为0.6个单位，并得出20个MS网点的设计方案，具体设计方案是：A区有2个大规模MS网点，分别设在A6小区和A1小区，其余8个小区均为小规模MS网点；B区有2个大规模MS网点，分别设在B6小区和B3小区，其余4个小区均为小规模MS网点；C区有1个大规模MS网点，设在C4小区，其余3个小区均为小规模MS网点。
奥运会临时超市网点设计一、问题的分析与基本假设（一）问题的分析题目要求完成如下工作：1、根据附录中给出的问卷调查数据，找出了观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律2、在一天内每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径前提下。
依据1的结果，测算图2中20个商区的人流量分布。
3、按照满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利的要求，根据流量分布规律，在有两种大小不同规模的MS类型供选择情况下，给出图2中20个商区内MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数）。
（二）基本假设1、假定A区（国家体育场）容量为10万人，B区（国家体育馆）容量为6万人，C区（国家游泳中心）容量为4万人。
三个场馆的每个看台容量均为1万人，出口对准一个商区，各商区面积相同。
2、无论乘坐何种交通工具的观众所持的票号是随机的。
二、问卷调查数据的统计与分布规律我们把附录中三次调查的数据综合起来并进行的统计和分析得出的观众在出行、用餐和购物等方面的规律如下：1、整个人群的各种行为的分布规律除私车方式偏少一些（仅有9.0377%）外，其余方式分布都比较均匀，均为16%－20%，这说明场馆周围布局的交通车站是比较合理的。
2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B
2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B【正文】受到2004年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B类题目的启发，本文将对该竞赛题目进行分析和解决。
本文将围绕问题的背景、问题的分析以及模型的建立和求解展开论述。
在问题的分析和解决过程中，本文将使用适当的数学理论和方法，并运用计算机模拟方法来验证模型的有效性。
1. 问题背景该竞赛题目的背景是：为了保护国家石油安全，规划了一些供应油区，同时也规划了一些需求油区。
为了保证供需平衡，需要在供应油区建设炼油厂，将供应油区的原油加工成成品油。
不同的供应油区的原油种类和产量不同，不同的需求油区对成品油的种类和需求量也不同。
在这种情况下，我们需要对供应油区和需求油区之间的成品油供应进行优化规划。
2. 问题分析针对上述问题背景，我们需要分析以下关键问题：（1）如何确定供应油区和需求油区之间的成品油运输路线？（2）如何确定每个供应油区建设的炼油厂的产能？（3）如何确定每个需求油区的成品油需求量？（4）如何确定最优的成品油供应方案？3. 模型建立与求解为了解决上述问题，我们可以建立如下数学模型：（1）成品油运输路线模型：将供应油区和需求油区看作图中的节点，运输路线看作节点之间的路径。
通过构建网络流模型，可以利用最小费用最大流算法来确定最优的运输方案。
（2）炼油厂产能模型：根据供应油区的原油种类和产量，可以通过线性规划模型来确定每个供应油区建设的炼油厂的产能。
（3）需求油区需求量模型：根据需求油区的成品油种类和需求量，可以通过线性规划模型来确定每个需求油区的成品油需求量。
（4）最优供应方案模型：将成品油运输路线、炼油厂产能和需求油区需求量模型进行整合，可以通过整数规划模型来确定最优的成品油供应方案。
4. 模型求解与优化为了求解上述模型并得到最优的成品油供应方案，可以采用以下方法：（1）利用计算机编程语言实现各个数学模型，通过数值计算求解得到初步的结果。
（2）利用模拟算法如遗传算法、蚁群算法等进行模型的求解和优化，以得到更加精确的最优解。
2004年全国首届研究生数学建模优秀论文D题
2004年全国首届研究生数学建模优秀论文D题D 题-邓斌，李廷伟，王刚-二等奖全全国国首首届届部部分分高高校校研研究究生生数数模模竞竞赛赛题目(D 题)研究生录取问题摘要：本文将研究生录取问题和跟导师之间的双向选择问题分别转化成层次分析问题和线性规划中的0-1 规划问题。
首先利用层次分析法对进入复试的学生进行差额录取，再在所有可能的师生配对方案中找出使得总体满意度最大的一种方案，作为师生间的最佳配对方案，达到双向选择的目的。
对于满意度量化中各种权值的具体赋值，我们利用层次分析中权值矩阵的一致性检验法则进行了检验计算，使得每个最终配对方案的可信度达到最大。
在比较各个方案的总体满意度大小的基础上，我们提出了更能体现双向选择的录取方案。
关键词：集对分析层次分析法0-1 规划双向选择参赛队号063 参赛密码（由组委会填写）D 题-邓斌，李廷伟，王刚-二等奖一问题重述某学校Ｍ系计划招收10 名计划内研究生，依照有关规定由初试上线的前15 名学生参加复试，专家组由8 位专家组成。
在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试学生的以上５个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为A,B,C,D 四个等级，并将其填入面试表内。
所有参加复试学生的初试成绩、各位专家对学生的５个方面专长的评分。
该系现有10 名导师拟招收研究生，分为四个研究方向。
导师的研究方向、专业学术水平（发表论文数、论文检索数、编（译）著作数、科研项目数），以及对学生的期望要求。
在这里导师和学生的基本情况都是公开的。
要解决的问题是：(1) 首先，请你综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10 名研究生的录取名单。
然后，要求被录取的10 名研究生与10 名导师之间做双向选择，即学生可根据自己的专业发展意愿（依次申报２个专业志愿）、导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师；导师根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。
常微分方程模型全国大学生数学建模竞赛2004年D题新版15
• function E=twoexps(a,x,y) • x=[0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ]; • y=[38 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4]; • %twoexps.m • x=x(:);y=y(:);Y=a(1)*(exp(-a(2)*x)-exp(a(3)*x)); • E=sum((y-Y).^2);
f (t ) k , c1(0) c2 (0) 0
k t t B1e , 0 t T c1 ( t ) A1e k13V1 k12 k t t c ( t ) A e B e , 0 t T 2 2 2 k21k13V2 V1 ( k12 k13 ) V1 ( k12 k13 ) A1 , B2 B1 A2 k21V2 k21V2
其中，(t1 t2 ) (t1 )(t2 )
16
线性可加性
•
c(t1 t 2 ) (t1 t 2 )c(0) e 1 P P c ( 0 ) ( t1 t 2 ) (t1 )(t 2 )c(0)
17
( t1 t 2 )
x '(t ) x(t )
14
• 它对应的通解为
x1 (t ) ae
t
, x2 (t ) be
t
t x ( t ) 1 e x (t ) 2
x1 (0) t e x2 (0)
x1 (0) 1 P c(0) x (0) 2
2004年中国大学生数学建模竞赛C题饮酒驾车问题
2004年全国大学生数学建模竞赛C题及建模论文C题饮酒驾车据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。
针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1.对大李碰到的情况做出解释；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。
3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
参考数据1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。
2.体重约70k g的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：0.250.50.751 1.52 2.53 3.54 4.55时间(小时)酒精含量306875828277686858515041 678910111213141516时间(小时)酒精含量3835282518151210774酒后不开车摘要近年来，因饮酒、醉酒驾车而造成的交通事故频发，且呈逐年上升趋势。
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2004数学建模试题及答案1．设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,43)(+-=+=kp p f p p ϕ其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。
解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知： )()(1n n p f p =-ϕ 9431+-=+-n n kp p即： kp k p n n 531+-=-经递推有：kk p kk k k p k p n nn nn n 5)3()3(5)53(31102⋅-+⋅-=++-⋅-=-=-∑p 表示初始时的市场价格:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13n p k 即k<<<-。
某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手)由遗传学原理有： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n cb ac c b a b c b a a设向量Tn n n n c b a x )..(= 1-⋅=n n X M x 式中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12100211000M递推可得：0X M X n n ⋅=对M 矩阵进行相似对角化后可得： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ100021000其相似对角阵1111012001-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=p p 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅Λ=-111012001)21(111012001101n n n p p M ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=----1)21(1)21(10)21()21(0001111n n n n nM10101010))21(1())21(1(0)21()21(0b ac c b a b a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=++==---- 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。
试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什么？解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。
人口量的极限为M ，当前人口数量为N （t ），r 为比例系数。
建立模型：)())(1()(t N Mt N r dt t dN ⋅-⋅= 00|N N t == 4分求解得到rtm me N NN t N --+=)1(1)(06分注意到当M t N →)(时，r Mt N r →-⋅))(1(并说明r 即为自然增长率。
10分 2．1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。
随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。
后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。
谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。
结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。
试建立数学模型解释这个现象。
解：依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧⨯+-=-=y f cy dt dybxy ax dt dx式中a b c f 均大于零。
4分解方程组（1）yf cy bxy ax dy dx ⨯+--=得：dx xcfx y dy by a -=-)( k by fx x c y a ++=+ln lnk e x y by fx c a '⨯=⋅+（3） k ee x y by fc ca '=⋅⋅式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值 则有 dt c yy f T x T )(110+'=⎰ dt xx a b T y T ⎰'-⋅=0)(11 6分 ba Tb a y fcy T y f c x =××+==+=(0)])([(0)])([ln ln ln ln当使用杀虫剂DDT 后，设杀死介壳虫，)(t x ⋅ε，澳洲瓢虫)(t y ⋅ε则有模型为：⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=--=--=fxy y c fxy y cy dt dybxyx a bxy x ax dt dx)()(εεεε显然此时有： ba y fc x εε-=+=即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。
10分 3．根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.9, 出现高水水情的概 率为0.05，出现洪水水情的概率为0.05。
位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：（1） 运走，需支付运费15万元。
（2） 修堤坝保护，需支付修坝费5万元。
（3） 不作任何防范，不需任何支出。
若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失400万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失200万元，发生洪水时损失设备400万元。
根据上述条件，选择最佳决策方案。
解：我们利用数学期望来评判方案的优劣：运走 -15不发生洪水0.95 -5A -15 修坝 B发生洪水0.05 -405 平水0.9 0 C 高水0.05 -200 洪水0.05 -400E(A)=-15 （2分） E(B)=0.95×(-5)+0.05×（-405）= -25 （5分） E(C)=0×0.75+(-200)×0.05+0.05×(-400)=-30 （8分） 所以-E(A)< -E(B)< -E(C)，因而A 方案是最佳决策方案。
（10分） 4．某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的 柴油机。
已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元，建立一个数学模型（不要求求解），要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产解：设ij x 为第i 季度生产的用于第j 季度交货的柴油机的台数，则由题意 ：=+++=++=+=2025151044342414332313221211x x x x x x x x x x （3分）又由生产能力的要求，有<+++<++<+<2535301413121124232234334410x x x x x x x x x x （6分）再设ij c 表示第i 季度生产的用于第j 季度交货的每台柴油机的实际成本，其值如设i a 表示第j 季度的生产能力，j b 表示第i 季度的合同供应量，则建立本问题模型：∑∑===4141i j ij ij x c z min 04141≥=∑≤∑==ij j i iji j ij x b x a x t s .. （10分）5．考虑某地区影响青年生长发育主要因素分析。
已知13岁至18岁各年龄组 的四项指标为0X ——生长发育不良的比率；1X ——五项身体素质不及格的比率；2X ——营养不良比率；3X ——患病比率，数据见下表：请利用关联分析法分析影响发育的三项指标哪个对生长发育不良影响大？分辨系数5.0=ρ. 解：（1）进行初始化处理7,1.2147)1701,1.212,1.1651,1.(1.,1.1409)40.3949.06,40.3948.989,40.3947.26,40.3947.06,,40.3946.08,40.3940.39(0==X （2分） 同理得到,1.3057)963,1.16691.0322,1.0(1,1.0626,0=X 及2X ，3X （2）利用公式)()(ρ)()()()(ρ)()()(ξ0000k X k X k X k X k X k X k X k X k i kiii i kiii kiii max max max max min min ++=计算各个关联系数：91,0.84)78,0.87,0.(1,0.86,0.ξ1= 3,0.38)5,0.36,0.3(1,0.77,0.ξ2= 55,0.71)61,0.96,0.(1,0.76,0.ξ3= （8分） （3）计算关联度利用公式∑)(ξ11nk ii k n r ==得到87601.=r ，0.5582=r ，0.7633=r 从而1X 即五项身体素质不及格的比率对生长发育不良的比率影响最大。
（10分）2005数学建模试题1．（10分）设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 78)(65)(+-=+=p p f p p ϕ其中p 为商品单价，试判断市场是否稳定并给出推理过程。
2．（10分）某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植 物与每种基因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？ 3．（10分）建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的 捕捞量。
4. （10分）试建立Lanchester 游击战模型，并在无自然损失及没有增援的条件下求解模型，给出敌对双方获胜的条件。
5. （10分）根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.7, 出现高 水水情的概率为0.2, 出现洪水水情的概率为0.1。
.位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：a) 运走，需支付运费20万元。
b) 修堤坝保护，需支付修坝费8万元。
c) 不作任何防范，不需任何支出。
若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失600万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失300万元，发生洪水时损失设备600万元。
根据上述条件，选择最佳决策方案。
6．（10分）由七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高时一样的，但厚度（t ，以厘米计）及重量（ω，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2米的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运得限制，对C 5，C 6，C 7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7厘米。