理论力学 第17章 分析力学基础

式(17.1)表明：受有理想约束的质点系，在运动过程中， 受有理想约束的质点系，在运动过程中， 受有理想约束的质点系 任一瞬时其上所受的主和虚加的惯性力在质点系的任何虚 位移上所作的虚功之和为零。该式称为动力学普遍 位移上所作的虚功之和为零 动力学普遍 方程，此方程特别适用于求解非自由质点系的动力学问题。 方程 式(17.1)也可写成笛卡尔坐标的形式
17.1 动力学普遍方程
因 δrA ≠ 0 ，故有 && & && 4( R − r )ϕ + ( R − r )[θ cos(ϕ − θ ) − θ 2 sin(ϕ − θ )] + 3g sin ϕ = 0 又给以虚位移 δrθ 时圆柱体A不动，故系统对应于 δr θ 的动力学方程为 mg − FIθτ δ rθ − sin θδ rθ + FIeBn sin(ϕ − θ )δ rθ − FIeBτ cos(ϕ − θ )δ rθ 2 m && r − mg sin θδ r + m ( R − r )ϕ 2 sin(ϕ − θ )δ r & = − ( R − r )θδ θ θ θ 2 2 2 m && − ( R − r )ϕ cos(ϕ − θ )δ rθ = 0 2
A和单摆B上的惯性大小分别为
17.1 动力学普遍方程
1 2 && 1 2 R − r && & && FIAτ = m( R − r )ϕ , FIAn = m( R − r )ϕ , M IA = mr β = mr ϕ 2 2 r m m && & FIeBτ = ( R − r )ϕ , FIeBn = ( R − r )ϕ 2 2 2
17.2 拉格朗日方程
设一质点系由n 个质点组成，系统具有s 个 完整约束，并且都是理想约束，具有个自由度。 现用表示系统的广义坐标，设系统中第i 个质点 的质量为mi、位置矢径为。矢径可表示为广义坐 标和时间的函数，即：
ri = ri (q1 , q2 L qk , t )
将上式的两端对时间t求全导数，有：
或
Ja −(2m1 + m2 )aδ s − 2 2 δ s + (2m1 + m2 ) g sin θδ s = 0 r
17.1 动力学普遍方程
解得
(2m1 + m2 )r sin θ a= 2 (2m1 + m2 )r + 2 J
2
17.1 动力学普遍方程
例17.3 质量为m，半径为 r的均质圆柱体A，可在半径 为R的圆柱面上作只滚不滑 的运动，圆柱体中心挂一质 量为m/2，长为的单摆B， 如图17.3所示。求系统偏离 平衡位置后的运动微分方程。 图 17.3
普通高等教育规划教材
理 论 力 学
编 著 课件制作 肖明葵 程光均 张祥东 吴云芳 邹昭文 王建宁
第17章 分析力学基础 章
17.1 动力学普遍方程 17.2 拉格朗日方程 17.3 拉格朗日方程的初积分
17.1 动力学普遍方程
设一具有理想约束的质点系由n 个质点组成，第i个 质点的质量为，其上作用有主动力 Fi ,并受有理想约束 反力 FNi 。如果假想地给该质点加上惯性力 FIi = − mi ai ， 则根据达朗伯原理，在任一瞬时，作用于该质点的主动 力F ,约束力 FNi 和虚加的惯性力 F 在形式上构成一 Ii i 平衡力系。
17.1 动力学普遍方程
若对质点系的每一质点都这样处理，则作用在 整个 质点系的所有主动力，约束力和虚加上的惯性 n 力组成一平衡力系。考虑到 ∑ FNi ⋅ δ ri = 0 ，由虚 i =1 位移原理，有：
δ W = ∑ ( Fi + FIi ) ⋅ δ ri = 0
i =1
n
(17.1)
17.1 动力学普遍方程
∑[(F
i =1
n
ix
− mi aix ) ⋅ δxi + (Fix − mi aiy ) ⋅ δ yi + (Fiz − mi aix ) ⋅ δxi ] = 0
(17.2)
17.1 动力学普遍方程
例17.1 在图17.1所示的滑轮系 统中，动滑轮上悬挂着质量 为m1的重物，绳子绕过定滑 轮后悬挂着质量为m2的重物。 设滑轮和绳子的重量以及轮 轴摩擦都忽略不计，求m2物 体下降的加速度。 图 17.1
17.1 动力学普遍方程
同样 δrθ ≠ 0，故有
& & && ( R − r )θ& + g sin θ − ( R − r )ϕ 2 sin(ϕ − θ ) + ( R − r )ϕ cos(ϕ − θ ) = 0
将(a)，(b)两式整理后，得系统运动微分方程
&& cos(ϕ − θ ) − θ 2 sin(ϕ − θ ) + 3g sin ϕ = 0 & && 4ϕ + θ R−r && + ϕ cos(ϕ − θ ) − ϕ 2 sin(ϕ − θ ) + g sin θ = 0 & θ && R−r
δ q j
∂vi δ q j + mi vi ⋅ ∂q j
1 1 n k ∂ 2 mi vi ⋅ vi ∂ 2 mi vi ⋅ vi d − δ q = −∑∑ j dt ∂q j ∂q j i =1 j =1
17.2 拉格朗日方程
拉格朗日从动力学普遍方程出发，导出了两种形 式的非自由质点系运动微分方程，通常称为第一类拉格 日方程和第二类拉格朗日方程。因第一类拉格朗日方程 中包含未定乘子，其应用不广；第二类拉格朗日方程采 第二类拉格朗日方程采 用广义坐标，且不含未定乘子，其应用简便有效， 用广义坐标，且不含未定乘子，其应用简便有效，且 应用极其广泛，因而被简称为拉格朗日方程，下面我们 应用极其广泛，因而被简称为拉格朗日方程 讨论第二类拉格朗日方程。
17.1 动力学普遍方程
解 以圆柱体A和单摆B组成的系统为研究对象。系统 有两个自由度，选圆柱体中心到圆柱面中心的连线AO 与铅垂线之间的夹角φ和单摆与铅垂线之间的夹角θ 为系统的广义坐标。由于只滚不滑，圆柱体A相对于质 心的转角 β = R − r ϕ .作用在系统上的主动力有圆柱 r 体A的重力 mg 和单摆B的重力 mg 2 ，虚加在圆柱体
17.1 动力学普遍方程
解：取整个滑轮系统为研究对象，系统受理想约束。系 统所受的主动力为重力 m g 和 m2 g ，给系统虚 加上 惯性力 FI 1 , FI 2 ,而：
FI1 = m1a1， FI 2 = m2a2
1
给系统以虚位移 δ s1 和 δ s2 ，由动力学普遍方程， 得
(m2 g − m2 a2 )δ s2 − (m1 g + m1a1 )δ s1 j =1 n k = ∑∑ −mi i =1 j =1
n k
∂r d vi ⋅ i dt ∂q j ∂r d vi ⋅ i dt ∂q j
d ∂ri + mi vi ⋅ dt ∂q j
(17.6)
17.2 拉格朗日方程
由虚位移原理，可以将(17.1)中的第一项写成广义力 和虚位移的表示形式：
∑ F ⋅δ r = ∑ Q δ q
将式(17.3)取变分，由于 δt
i =1 i i j =1 j
n
k
j
(17.7)
= 0 有：
k ∂ri ∂ri ∂ri δ ri = δ q1 + L + δ qk = ∑ δ qj ∂q1 ∂qk j =1 ∂q j
17.2 拉格朗日方程
因此，式(17.1)中的第二项可以变为
n k dvi k ∂ri dvi ∂ri ∑ Fi ⋅ δ ri = ∑ (−mi ai ⋅ δ ri ) = ∑ −mi dt ⋅ ∑ ∂q δ q j = ∑∑ −mi dt ⋅ ∂q δ q j i =1 i =1 i =1 j =1 j j i =1 j =1
∂ri ∂ri ∂ri υi = q1 + L + qk + ∂q1 ∂qk ∂t
17.2 拉格朗日方程
& & & q1 , q2 ,......, qk 称为广义速度 它们也是独立变量 广义速度，它们也是独立变量 广义速度 它们也是独立变量。当质点系
运动时，这k个广义坐标和k个广义速度均是时间t的单值 连续函数，又因 ∂ri 和 ∂ri 仅是广义坐标和时间的函数，与
a2 a1 = 2
4m2 − 2m1 a2 = g 4m2 + m1
17.1 动力学普遍方程
例17.2 两个半径均为r 的均质轮，中心用连杆相 连，在倾角为θ的斜面上 作纯滚动，如图17.2所示。 设轮子的质量均为m1，对 轮心的转动量均为J，连 杆的质量为m2。求连杆 运动的加速度。
图 17.2
& 广义速度无关。 因此，式(17.4)两边对广义速度 q j 求偏导
∂q j ∂t
有：
∂υ i ∂ri = & ∂q j ∂q j
(17.5)
再将式(17.4)两边对 q j 求偏导，有：
17.2 拉格朗日方程
∂υ i ∂ 2 ri ∂ 2 ri ∂ 2 ri & & = q1 + L + qk + ∂q j ∂q1∂q j ∂qk ∂q j ∂t ∂q j ∂ ∂ri = ∂q1 ∂q j d ∂ri = dt ∂q j ∂ ∂ri ∂ ∂ri & & ( ) qk + ( ) q1 + L + ∂q k ∂q j ∂t ∂q j