第20章-成本最小化

成本最小化问题
x2
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
x2
w1 TRS MP1
w2
MP2
at
(x*1, x*2 ).
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
道格拉斯函数
y f (x1, x2 ) x11/3x22/3.
投入价格是w1 和w2. 什么是这个公司的条件投入需求函数?
递增规模报酬和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递 增，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求少于双倍的所有投入水平.
递增规模报酬和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递 增，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求少于双倍的所有投入水平. 总生产成本少于两倍.
递增规模报酬和平均总成本
y’
2y’ y
规模报酬和总成本
$ c(2y’)
c(y’)
平均成本随着y递减 ， 如果公司的技术显示出递增r.t.s
c(y)
斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’).
斜率= c(y’)/y’
= AC(y’).
y’
2y’ y
规模报酬和总成本
平均成本是常数 ，
$ c(2y’)
如果公司的技术显示出常数r.t.s. c(y)
成本最小化的问题
X1*(w1,w2,y) 和 X2*(w1,w2,y) 最小成本投 入集是厂商对投入1和2的条件需求. 这个 (最小可能) 总成本用来生产y单位的 产量，
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y) w2x*2(w1, w2, y).
成本最小化的问题
给定 w1, w2 和 y,这个最小成本投入集 怎样配置? 这些总成本函数怎样计算?
等成本线
给定 w1 和 w2, c 的等成本线方程是
w1x1 w2x2 c
x2
w1 w2
x1
c w2
.
斜率是 - w1/w2.
等成本线
x2
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1
成本最小化问题
给定产量y’，哪个投入组合使成本最小？ x2
f(x1,x2) y’ x1
y (x*1)1/3(x*2 )2/3
w1 w2
y / x1 y / x2
(1 (2
/ /
3)(x*1 )2/3(x*2 )2/ 3)(x*1 )1/3(x*2 )1/
3 3
x*2 2x*1
.
成本最小化的道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y)
w2x*2(w1, w2, y)
w1
y 4
w2y
w1 4
w 2
y.
平均总生产成本
对于正的产量水平y, 一个公司的平均产 出y单位的平均总成本是
AC( w1 ,
w2,
y)
c(w1, w2, y
y)
.
规模报酬和平均总成本
一个公司技术的规模回报的性质决定于平 均产出成本怎样随着产量水平的改变而改 变. 公司目前正生产y单位的产出. 公司的平均产量成本怎样改变，如果代之 以2y’ 单位的产出？
Slope = c(2y’)/2y’ = AC(2y’).
Slope = c(y’)/y’ = AC(y’).
y’
2y’ y
规模报酬和平均总成本
平均成本随着y递减 ，
$ 如果公司的技术显示出递增递r.t.s.
c(2y’) c(y’)
斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’).
斜率 = c(y’)/y’ = AC(y’).
这个生产函数是
y = f(x1,x2).
假设这个产出水平是y 0 是给定的.
假设这个投入价格w1 和w2,一个投入集
(x1,x2)的成本 是
w1x1 + w2x2.
成本最小化的问题
对于给定的w1, w2 和y, 厂商的成本最小 化问题是
min w1x1 w2x2
x1 ,x 2 0
约束条件 f (x1, x2 ) y.
x*1
y
x2 固定 w1 和w2.
y
常量扩展路径 y y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
y
y
x*2(y) x*2(y) x*2 ( y )
x*2
y y
y y
y
x1
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
x*1
对要素2的条件需求
w1
w2 2w1
2/ 3
y
w
2
2ww21
1/
3
y
12
2/ 3
w11/
3w
2/ 2
3y
21/ 3
w11/ 3 w
2/ 2
3y
3
w1w 4
2 2
1/ 3
y.
成本最小化－完全互补
公司的生产函数是 y min{4x1, x2}.
投入价格w1 和w2 被给定. 什么是厂商的条件需求，对于投入1和投 入2? 什么是厂商的总成本函数?
y 短期产量
x2
扩展线
y
长期成本是
c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2
y
x2
x2 x2
x1 x1 x1
x1
短期和长期总成本
y 短期产量
x2
扩展线
y
长期成本是
c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2
y
x2
x2 x2
x1 x1 x1
x1
短期和长期总成本
现在假设这个公司成为 限制在短期约束之下x2 = x2”.
短期和长期总成本
y 短期产量
x2
扩展线
y
长期成本是
c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2
y
x2
x2 x2
x1 x1 x1
x1
短期和长期总成本
y
x2
Short-run costs are:
cs(y) c(y)
x2 x2
x1 x1 x1
x1
短期和长期总成本
y 短期产量
x2
扩展线
y
长期成本:
c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2
=2c(y’)
斜率 = c(2y’)/2y’
= 2c(y’)/2y’
c(y’)
= c(y’)/y’ 所以
AC(y’) = AC(2y’).
y’
2y’ y
短期和长期总成本
在长期，一个公司能够在所有的投入水 平变动. 考虑一个公司，它不能改变它的投入2水 平从x2’ 单位. 一个短期总成本生产y单位产出与一个长 期总成本生产y单位产出相比较怎样?
如果一个公司的技术显示出规模报酬递 增，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求少于双倍的所有投入水平. 总生产成本不到两倍. 平均生产成本增加. r.t.s. 常数 r.t.s. 递增 r.t.s.
y
规模报酬和平均总成本
总成本函数递形状意味着什么？
y
x1
短期和长期总成本
x2
y 在长期，当公司同时自由选择 x1 和 y x2, 这个最小成本投入集是...
y
x1
短期和长期总成本
y
x2
y
长期产量扩展线
y
x2 x2 x2
x1 x1 x1
x1
短期和长期总成本
y
x2
y
长期产量 扩展路径
长期成本是:
c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2
y f (x1, x2 ) x11/ 3x22 / 3
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y)
w2 2w1
2/ 3
y,
2w1 w2
1/3 y
.
总成本函数是
c( w1, w 2, y) w1x*1( w1, w 2, y) w 2x*2( w1, w 2, y)
y
x2 固定w1 和 w2.
y
扩展路径
y
y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
y
y
x*2(y) x*2(y) x*2 ( y )
x*2
y y
y y
y
x1
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
x*1
对要素1的条件需求
柯布—道格拉斯成本最小化
x*2
y y
y y
y
x1
x*1 ( y ) x*1 ( y )
x*1
固定 w1 和w2.
y
x2
y
y
y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
y
y
x*2(y) x*2(y) x*2 ( y )
x*2
y y
y y
y
x1
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
规模报酬不变和平均总成本
如果一个公司的技术显示出常数规模回 报，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求双倍的投入水平.