三角形中位线与梯形中位线2

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直
相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求证：
AC＝MN
证明：过点D作DE ∥AC交BC延长于点E
A
D
DE ∥AC ∠BDE= ∠ AOD
∠BDE=90 °
AC⊥BD
∠BDE= 90 °
∠1=30 °
1
1
DE= 2
BE 即：DE=
求梯形的周长.
A
D
简要分析：
E
G
F
B
C
根据题意可知：AD=AB=DC=
1 2
BC，所以要求
梯形的周长，就转化为求其中一腰或一底就可以了。
设AD=AB=DC=x，则BC=2x.
∵ EF=
12（AD+BC），∴15=
3 2
x，
∴x=10，
∴梯形周长为50㎝.
思维拓展
如图，等腰梯形ABCD的两条对角线互相垂直, EF为中 位线, DH是梯形的高. 求证:EF=DH.
3.若方程x2-2x=1的两根为x1、x2， 不解方程，求下列各式的值：
⑴
1 x12
+
1 x22
⑵x1-x2
4.求作一个一元二次方程，使 它的根分别是2x2-3x-2=0的各 根的平方.
5.把下列各式分解因式：
⑴4x2-4x-1
⑵2x2+8xy+5y2
6.已知；实数a、b满足a2-7a+2=0，
AN =EN AD=CE
1
MN=
BE
即：MN= 1
(BC+CE)
2
2
1
MN=
(AD＋BC)
2
梯形的中位线
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于
两底和的一半
A
D
∵AD ∥BC AM＝MB,DN＝NC
M
N
∴ MN ∥ BC MN＝1（BC＋AD）
B
C
（梯形的中位线平行于两底，
并且等于2 两底和的一半）
A
D
分析：过点D作AC的
平行线,交BC的延长线
于G.
E
F
略证:
B
HC
G
过点D作AC的平行线,交BC的延长线于G.则△BDC为等 腰直角三角形,四边形ACGD为平行四边形,所以
DH= BG=
1 2
(BC+CG)=
1 2
(BC+AD).
又EF=
1 2
(BC+AD),故EF=DH.
小结：
A D B
连结三角形两边中点的 线段叫做三角形的中位线。
B
E来自百度文库
C
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直
相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求证：
AC＝MN
A
D
o
M
N
??
1
B
C
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂
直相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求
证：AC＝MN
b2-7b+2=0，求
b a
+
a b
的值.
7.已知方程a(2x+a)=x(1-x)的两个实 数根为x1、x2，且√x1+√x2 =1，a为 整数，试求a的值.
8.若关于x的一元二次方程x23(m+1)x+m2-9m+20=0有两个实 数根,又已知a,b,c分别是△ABC 的∠A,∠B,∠C的对边,∠C=900， 且cosB=0.6,b-a=3,是否存在整数 m,使上述一元二次方程两个实数 根的平方和等于Rt △ABC的斜 边c的平方?若存在,请求出满足条 件的m的值;若不存在,请说明理 由.
式,从这一点又体现了这两个定理的联系.
2.梯形中位线定理是梯形的一个重要性质,它 也象三角形中位线定理那样,在同一个题设中 有两个结论,应用时视具体要求选用结论.
第二十一讲
一元二次方程根 与系数的关系
1.已知方程4x2+kx-6=0的一根 是3，求方程的另一个根和k的 值.
2.已知α、β是方程x2+2x-5=0的 两个根，求α2+αβ+2α的值.
??
1、梯形中位线：
梯形两腰中
点的连线叫做梯 形的中位线。
A E
B
D F C
请同学们测量出∠AEF与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
梯形的中位线
A
D
E
F
连结梯B 形两腰中点C 的线段叫做梯形的中位线
已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，点E、F分别是各对应边
梯形的中位线
一、填空：
1、如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC A 4 D
中位线EF分别交BD、AC于点M、N，
若AD＝4cm，BC＝8cm，则EF＝ 6 E M N F
cm，EM＝ 2 cm，MN＝ 2 cm
B
8
C
A 8D
2、已知：梯形上底为8,中位线为10, M
10 N
6
高为6，下底＝12 面积＝ 60
（2）顺次连结矩形各边中点 所得的四边形是什么？
平行四边形
菱形
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
矩形
思考：
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边形是什么？
（5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是什 么？
（6）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是什么？
正方形
平行四边形
菱形
思考：
2
(CE+BC)
AD ∥BC 即：AD ∥CE
DE＝AC
DE ∥AC
CE＝AD
MN是梯形ABCD的中位线
o
M
N
1
B
C
1
AC= (AD+BC)
2
1
MN= (AD+BC)
2
E
AC＝MN
有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横
木共200cm，其中最上端的横木长为20cm，
求其它四根横木的长度。（每两根横木的距离
相等）
1
1
3
20
20+15+x+10+ x+5+ x+x=200
4
2
4
解 得： x=60
1 10+ x
2
∴ 其它四根横木的长度分别为
30cm , 40cm , 50cm , 60cm
x
1 15+ x
4 3 5+ x 4
??
练习
1.梯形的上底长8cm,下底长10cm,则中位线长_______; 梯形的上底长8cm,中位线长10cm,则下底长_______.
E
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边， C 并且等于它的一半。
用 ① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段
途
的2倍或1/2
小结
1.从梯形中位线公式EF=
1 2
(BC+AD)可以看
出,当AD变为一点时,其长度为0,这时公式变为
EF=
1 2
(BC+0)=
1 2
BC,这就是三角形中位线公
梯形的中位线
已知:如图，在梯形ABCD中,AD ∥BC,AM＝MB,DN＝NC
求证：MN ∥ BC，MN＝（1 BC＋AD）
2
A
D
证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E
AD ∥BC 即: AD ∥BE
M
N
∠DAN=∠E
∠AND=∠ENC DN=CN
△ADN ≌ △ECN
B
CE
AM=BM
MN ∥ BE 即： MN ∥ BC
A
D
证明： AC⊥BD ∠AOD= 90 °
o
M
N
AD ∥BC
∠ADO= ∠ 1 ∠1= 30 °
∠ADO= 30°
1
B
C
1
AO= AD
2
1
AO+CO=
(AD+BC) 即： AC= 1
(AD+BC)
同理： CO= 1 BC
2
2
MN是梯形ABCD的中位线
2
1
MN= (AD+BC)
2
AC＝MN
梯形的中位线
正确答案:9cm;12cm.
2.梯形的中位线长能不能与它的一条底边长相等?为什 么?
答:不能.如果和一条底边长相等,那么和另一条底边长也 相等,这时四边形的对边平行且相等,这是平行四边形而 不是梯形.
如图，等腰梯形ABCD，AD ∥BC，EF是中位
线，且EF=15cm， ∠ABC =60°，BD平分∠ABC.
（7）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（8）顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（9）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
菱形
梯形的中位线
有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横 木共200cm，其中最上端的横木长为20cm， 求其它四根横木的长度。（每两根横木的距离 相等）
上的中点，其中，EF是梯形中位线的有哪几个？B
AED
AED
E
F
A
B
F
C
不是中位线
B
C
不是中位线
D
C 是F中位线
梯形的中位线
一堆粗细均匀的钢管，堆成三层， 上层为3根，中层为5根，下层为7根
这三层钢管之 间有何关系呢?
2、梯形中位线定理
A
D
E
F
B
C
梯形的中位线平行于两底，并且等 于两底和的一半。
问题：怎样证明呢？
华东师大版九年级数学下册第27章证明
27.5中位线
三角形中位线和 A 梯形中位线
D
E
(2)
金塔镇中学初三备课组
B
F
C
巩固练习
1、什么是三角形的中位线？
A
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
D
E
B
C
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
思考：
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？