§10.1 计数原理与排列、组合(讲解部分)

=12+4=16种执行方案;
③当A,E分别排在第三、四位置时,有
C12
C12
A
2 2
A
2 2
=16种执行方案.
根据分类加法计数原理得不同的执行方案有12+16+16=44种,故选B.
答案 (1)B (2)B
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方法总结
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看成一个整体与其他元素排列,同时注意捆 绑元素的内部排列
解析 (1)无序不均匀分组问题.
先选1本,有C16 种选法;再从余下的5本中选2本,有C52 种选法;最后余下3本全 选,有 C33 种选法. 故共有C16 C52 C33=60(种). (2)有序不均匀分组问题.
A
2 2
种排法;②将物理课、化学课在第一步排后的3个空隙
中选两个插进去,有A32 种方法,根据分步乘法计数原理得不同课程安排种
数为
A
2 2
A
2 3
=12,故选B.
(2)①当A,E分别排在第一、二位置时,有
A
2 2
A32
=12种执行方案;
②当A,E分别排在第二、三位置时,有
A12
A33
+
A12
A
2 2
在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有 A35 种方法,故
共有
A
4 4
·A35
=1
440(种)方法.
例2 (1)(2019广东揭阳一模,5)某班星期一上午安排5节课,若数学2节,语 文、物理、化学各1节,且物理、化学不相邻,2节数学相邻,则星期一上午 不同课程安排种数为 ( ) A.6 B.12 C.24 D.48 (2)(2019安徽合肥二模,6)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任 务A,B,C,D,E,F,要求是:任务A必须排在前三项执行,且执行任务A之后需立 即执行任务E,任务B、任务C不能相邻,则不同的执行方案共有 ( ) A.36种 B.44种 C.48种 D.54种
插空法
不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制元素的排列,再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空位中
先整体后局部 “小集团”排列问题中,先整体后局部
除法 间接法
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 正难则反,等价转化的方法
考法二 分组分配问题的解题方法
例3 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
(2)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作②
A
m n
.
注意 易混淆排列与排列数,排列是一个具体的排法,不是数而是一件事, 而排列数是所有排列的个数,是一个正整数. 3.组合与组合数 (1)组合:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组,叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作Cmn .
高考数学
第十章 计数原理 §10.1 计数原理与排列、组合
考点清单
考点 计数原理、排列、组合
1.两个计数原理的联系与区别
原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言的
区别一
每类办法都能独立完成这件事, 它是独立的、一次的,且每次得 到的是最后结果,只需一种方法 就可完成这件事
注意 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有
关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.
4.排列数、组合数的公式及性质
公式
n!
(1) Anm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=③ (n-m)! ;
性质
(2)Cnm =
Anm Amm
= n(n-1)(n-2)?
m!
(n-m
每一步得到的只是中间结果,任 何一步都不能独立完成这件事, 缺少任何一步也不可,只有各步 骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的、并列 各步之间是相互依存的,并且既
的、独立的
不能重复也不能遗漏
2.排列与排列数 (1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的① 顺序 排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
解题导引 (1)2节数学相邻,相邻问题捆绑解决,不相邻问题插空解决,优先 考虑无限定课程,再将物理、化学插空排.(2)A,E可看成一项任务,由于A必 须在前三项执行,故先对A,E分类,最后排B,C,将B,C插空排列即可.
解析 (1)根据题意,分2步进行分析:①将两节数学课“捆”在一起与语文
课先进行排列,有
解题导引
解析
(1)从7个人中选5个人来排列,有
A
5 7
=7×6×5×4×3=2
520(种)方法.
(2)分两步完成,先选3人排在前排,有
A37
种方法,余下4人排在后排,有
A
4 4
种方
法,故共有
A37
·A
4 4
=5
040(种)方法.(事实上,本小题即为7人排成一排的全排
列,无任何限制条件)
(3)(优先法)甲为特殊元素,先排甲,有5种方法,再将其余6人全排列,有
1)
=④
n! m!(n-m)!
.(n,m∈N*,且m≤n)
(1)0!=1;(2)
C0n
=n!;(3)
A
n n
=⑥
C
m n
C ;(4)
Cnn
-m
=Cm n1
+
m n
知能拓展
考法一 排列、组合问题的解题方法
例1 有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)选其中5人排成一排; (2)排成前后两排,前排3人,后排4人; (3)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻.
A
6 6
种
方法,故共有5×A66 =3 600(种)方法.
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有
A
4 4
种方
法,再将4名女生进行全排列,有
A
4 4
种方法,故共有
A
4 4
·A
4 4
=576(种)方法.
(5)(插空法)男生互不相邻,而女生不作要求,∴应先排女生,有
A
4 4
种方法,再