【猿辅导几何模型】中考必会几何模型：三垂直全等模型

中考必考几何模型（猿辅导）
最
新
讲
义
三垂直全等模型
模型三垂直全等模型
如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.
结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.
图①图②
三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.
图③图④
D
E
A
B
C
例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.
D
证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.
∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.
∴∠BAE＝∠CED.
在△ABE和△ECD中，
A
B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△ECD .
∴AB ＝EC ，BE ＝CD .
∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.
例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ E D
A
B
解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，
∴∠E ＝∠ADC ＝90°.
∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.
∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，
∴∠EBC ＝∠DCA .
在△CEB 和△ADC 中，
E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CEB ≌△ADC .
∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .
∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .
例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.
x
y
图①B
A (0,3)
C (-2,0)
O
解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .
∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.
由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，
∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°.
∴∠DBC ＝∠ACO .
在△BCD 和△CAO 中，
BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BCD ≌△CAO .
∴CD ＝OA ，BD ＝OC .
∵OA ＝3，OC ＝2.
∴CD ＝3，BD ＝2.
∴OD ＝5.
∴B （－5，2）.
（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .
在△ACD 和△CBO 中，
ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△CBO .
∴CD ＝OB ，AD ＝CO .
∵B （－1，0），C （0，3）
∴OB ＝1，OC ＝3.
∴AD ＝3，OD ＝2.
∴OD ＝5.
∴A （3，2）
. 跟踪练习
1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .
F
证明：
（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.
在△ABE 和△BCF 中，
AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△BCF .
∴AE ＝BF .
（2）∵△ABE ≌△BCF .
∴∠BAE ＝∠CBF .
∵∠ABE ＝90°，
∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.
∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.
∴∠BGE ＝90°，
∴AE ⊥BF .
2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____.
解答：∵a 、b 、c 都是正方形，
∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.
∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°，
∴∠BAC ＝∠DCE .
在△ABC 和△CBE 中，
ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACB ≌△CDE .
∴AB ＝CE ，BC ＝DE .
在Rt △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE
即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.
3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E 、CF ⊥AP 于F .
（1）求证：EF ＝CF －BE ；
（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.
P
解答：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，
∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°.
∴∠F AC ＋∠ACF ＝90°，
∵∠BAC ＝90°，
∴∠BAE ＋∠F AC ＝90°，
∴∠BAE ＝∠ACF .
在△ABE 和△CAF 中，
AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△CAF .
∴AE ＝CF ，BE ＝AF .
∵EF ＝AE －AF ，
∴EF ＝CF －BE .
（2）如图，EF ＝BE ＋CF .
理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF .
∴AE ＝CF ，BE ＝AF .
∵EF ＝AE ＋AF ，
∴EF ＝ BE ＋ CF .
4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，设∠BCD ＝α，以D 为旋转中心，将 腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE .
（1）当α＝45°时，求△EAD 的面积；
（2）当α＝45°时，求△EAD的面积；
（3）当0°<α<90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论.
E
A
D
B
解答：
（1）1；
（2）1；
（3）过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AD交AD延长线于点F.
∵AD∥BC，DG⊥BC，
∴∠GDF＝90°.
又∵∠EDC＝90°，
∴∠1＝∠2.
在△CGD和△EFD中，
12
DGE DFE
CD DE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△DCG≌△DEF
∴EF＝CG，
∵AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，
∴BG＝AD＝2，
∴CG＝1.
∴
EAD
S
V
＝
1
2
AD·EF＝1.
∴△EAD的面积与α大小无关.
5．向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P. 求证：BC＝2AP.
P
F
D E A
G
解答：过点G 作GM ⊥AP 于点M ，过点E 作EN ⊥AP 交AP 延长线于点N . ∵四边形ACFG 是正方形，
∴AC ＝AG ，∠CAG ＝90°.
∴∠CAH ＋∠GAM ＝90°.
又∵AH ⊥BC ，
∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.
∴∠ACH ＝∠GAM .
在△ACH 和△GAM 中，
AHC GMA
ACH GAM AC GA
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ACH ≌△GAM
∴CH ＝AM ，AH ＝GM .
同理可证△ABH ≌△EAN
∴BH ＝AN ，AH ＝EN .
∴EN ＝GM .
在△EPN 和△GPM 中，
EPN GPM
ENP GMP EN GM
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△EPN ≌△GPM .
∴NP ＝MP ，
∴BC ＝BH ＋CH
＝AN ＋AM
＝AP ＋PN ＋AP －PM
＝2AP .。