数学建模试题

数学建模试题1．设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,43)(+-=+=kp p f p p ϕ其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。

解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：)()(1n n p f p =-ϕ 2分9431+-=+-n n kp p即： kp k p n n 531+-=- 经递推有：kk p kk k k p k p n nn nn n 5)3()3(5)53(31102⋅-+⋅-=++-⋅-=-=-∑6分0p 表示初始时的市场价格:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13n p k 即k<<<-。

10分 2．某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手) 由遗传学原理有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n cb ac c b a b c b a a 4分设向量T n n n n c b a x )..(=1-⋅=n n X M x式中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12100211000M 递推可得：0X M X n n ⋅=对M 矩阵进行相似对角化后可得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ1000210000其相似对角阵1111012001-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=p p 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅Λ=-111012001)21(111012001101n n n p p M ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=----1)21(1)21(10)21()21(0001111n n n n n M10101010))21(1())21(1(0)21()21(0b ac c b a b a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=++==---- 8分 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。

10分 3．试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什么？解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。

人口量的极限为M ，当前人口数量为N （t ），r 为比例系数。

建立模型：)())(1()(t N Mt N r dt t dN ⋅-⋅= 00|N N t == 4分求解得到rtm me N NN t N --+=)1(1)(06分注意到当M t N →)(时，r Mt N r →-⋅))(1(并说明r 即为自然增长率。

10分 4．1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。

随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。

后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。

谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。

结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。

试建立数学模型解释这个现象。

解：依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧⨯+-=-=y f cy dt dybxy ax dt dx式中a b c f 均大于零。

4分解方程组（1）yf cy bxy ax dy dx ⨯+--= 得：dx xcfx y dy by a -=-)( k by fx x c y a ++=+ln lnk e x y by fx c a '⨯=⋅+（3） k ee x y by fc ca '=⋅⋅式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值 则有 dt c yy f T x T )(110+'=⎰ dt xx a b T y T ⎰'-⋅=0)(11 6分 ba Tb a y fcy T y f c x =××+==+=(0)])([(0)])([ln ln ln ln当使用杀虫剂DDT 后，设杀死介壳虫，)(t x ⋅ε，澳洲瓢虫)(t y ⋅ε则有模型为：⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=--=--=fxy y c fxy y cy dtdybxyx a bxy x ax dt dx)()(εεεε显然此时有： ba y fc x εε-=+=即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。

10分 5．根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.9, 出现高水水情的概 率为0.05，出现洪水水情的概率为0.05。

位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：（1） 运走，需支付运费15万元。

（2） 修堤坝保护，需支付修坝费5万元。

（3） 不作任何防范，不需任何支出。

若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失400万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失200万元，发生洪水时损失设备400万元。

根据上述条件，选择最佳决策方案。

解：我们利用数学期望来评判方案的优劣：运走 -15不发生洪水0.95 -5A -15 修坝 B发生洪水0.05 -405 平水0.9 0 C 高水0.05 -200 洪水0.05 -400E(A)=-15 （2分） E(B)=0.95×(-5)+0.05×（-405）= -25 （5分） E(C)=0×0.75+(-200)×0.05+0.05×(-400)=-30 （8分） 所以-E(A)< -E(B)< -E(C)，因而A 方案是最佳决策方案。

（10分） 6．某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的 柴油机。

已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元，建立一个数学模型（不要求求解），要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产解：设ij x 为第i 季度生产的用于第j 季度交货的柴油机的台数，则由题意 ：=+++=++=+=2025151044342414332313221211x x x x x x x x x x （3分）又由生产能力的要求，有<+++<++<+<2535301413121124232234334410x x x x x x x x x x （6分）再设ij c 表示第i 季度生产的用于第j 季度交货的每台柴油机的实际成本，其值如设i a 表示第j 季度的生产能力，j b 表示第i 季度的合同供应量，则建立本问题模型：∑∑===4141i j ij ij x c z min4141≥=∑≤∑==ij j i iji j ijx b x a x t s .. （10分） 7．考虑某地区影响青年生长发育主要因素分析。

已知13岁至18岁各年龄组 的四项指标为0X ——生长发育不良的比率；1X ——五项身体素质不及格的比率；2X ——营养不良比率；3X ——患病比率，数据见下表：请利用关联分析法分析影响发育的三项指标哪个对生长发育不良影响大？分辨系数5.0=ρ. 解：（1）进行初始化处理7,1.2147)1701,1.212,1.1651,1.(1.,1.1409)40.3949.06,40.3948.989,40.3947.26,40.3947.06,,40.3946.08,40.3940.39(0==X （2分） 同理得到,1.3057)963,1.16691.0322,1.0(1,1.0626,0=X及2X ，3X（5分）（2）利用公式)()(ρ)()()()(ρ)()()(ξ0000k X k X k X k X k X k X k X k X k i kiii i kiii kiii max max max max min min ++=计算各个关联系数：91,0.84)78,0.87,0.(1,0.86,0.ξ1= 3,0.38)5,0.36,0.3(1,0.77,0.ξ2=55,0.71)61,0.96,0.(1,0.76,0.ξ3=（8分） （3）计算关联度 利用公式∑)(ξ11nk i i k nr ==得到 87601.=r ，0.5582=r ，0.7633=r从而1X 即五项身体素质不及格的比率对生长发育不良的比率影响最大。

（10分）2004《数学建模》课程成绩分析理学院沈继红这次考试面对的对象是三个班：03-1121,03-1131,03-1132，共有111人参加考试，课程为考查课。

1.覆盖面情况分析《数学建模》课程共讲授8章内容，其中第一章是数学建模概述，考试中未出题，其它各章皆有试题。

《数学建模》课程主要是锻炼学生利用所学的数学知识解决实际问题。

由于数学系各专业的学生数学专业课相对滞后，因此，很多数学建模所需的知识未学，因此，在学生比较熟悉的初等模型与微分方程模型中出题比例较大；在学生以前未接触的第五章数学规划、第六章图论及第七章概率论与数理统计中，出了一道综合题。

试卷共出7道题，具体分布如下：2.难易程度分析由于《数学建模》课程主要是锻炼学生利用所学的数学知识解决实际问题，而客观世界的实际问题比较复杂，根本不是一次考试可以完成的。

因此，我们并未出那种真实的客观实际问题。

我们出的题目是参考所讲的书本内容后比较理想化的题目。

只要学生认真听讲，认真看书，都可以获得比较理想的成绩。

当然，由于毕竟是解决实际问题，因此，题目仍有一定难度。

3.成绩分析经统计，考试三个班（03-1121,03-1131,03-1132）成绩分布如下：考试平均成绩为73.7分，考试成绩分布呈现正态分布。

4.学生对知识点掌握情况分析总的看，学生对建立数学模型的基本步骤清晰，对利用什么方法解决实际问题也基本掌握。

具体到题目类型上，对需要仔细分析后建模的题目掌握稍差些，对计算性的建模题目掌握得比较好，如对数学规划的建模题目普遍答的不好。

5.工作中存在的不足和今后努力方向由于本学期的《数学建模》课程采用的是双语教学，导致课堂效果不理想。

由于是首次进行双语教学，没有任何经验。

开始尝试英语电子教案、双语教学（即先用英语讲完后再翻译一遍），起初学生很有兴趣，但坚持不了多久，有很多学生因为听不懂而放弃听课，最后只有30%的学生在坚持听课。