数学建模试题

数学建模试题

1．设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,

43)(+-=+=kp p f p p ϕ

其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：

)()(1n n p f p =-ϕ 2分

9431+-=+-n n kp p

即： k

p k p n n 531+-

=- 经递推有：

k

k p k

k k k p k p n n

n n

n n 5

)3()3

(5

)53(31

1

02⋅-+

⋅-=++-⋅-=-=-∑

6分

0p 表示初始时的市场价格

:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13

n p k 即k

<<<-

。 10分 2．某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？

依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手) 由遗传学原理有：

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

++⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n c

b a

c c b a b c b a a 4分

设向量T n n n n c b a x )..(=

1-⋅=n n X M x

式中 ⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12100211

000M 递推可得：0X M X n n ⋅=

对M 矩阵进行相似对角化后可得：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ100021

0000

其相似对角阵

1111012001-=⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=p p 从而

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅Λ=-111012001)21(111012001101

n n n p p M ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=----1)21(1)21(10)21

()21(0001111n n n n n M

10101010))2

1

(1())21(1(0

)2

1

()21(0

b a

c c b a b a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=++==---- 8分 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。 10分 3．试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为

什么？

解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M ，当前人口数量为N （t ），r 为比例系数。建立模型：

)())

(1()(t N M

t N r dt t dN ⋅-⋅= 00|N N t == 4分

求解得到

rt

m m

e N N

N t N --+=

)1(1)(0

6分

注意到当M t N →)(时，r M

t N r →-

⋅))

(1(并说明r 即为自然增长率。 10分 4．1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。

解：依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：

（1）⎪⎩⎪⎨⎧⨯+-=-=y f cy dt dy

bxy ax dt dx

式中a b c f 均大于零。 4分

解方程组（1）

y

f cy bxy ax dy dx ⨯+--= 得：

dx x

c

fx y dy by a -=-)( k by fx x c y a ++=+ln ln

k e x y by fx c a '⨯=⋅+

（3） k e

e x y by fc c

a '=⋅⋅

式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值 则有 dt c y

y f T x T )(110+'

=

⎰ dt x

x a b T y T ⎰'

-⋅=

0)(11 6分 b

a T

b a y f

c

y T y f c x =××+=

=+=(0)])([(0)])([ln ln ln ln

当使用杀虫剂DDT 后，设杀死介壳虫，)(t x ⋅ε，澳洲瓢虫)(t y ⋅ε

则有模型为：⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=--=--=fxy y c fxy y cy dt

dy

bxy

x a bxy x ax dt dx

)()(εεεε

显然此时有： b

a y f

c x ε

ε-=

+=

即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。 10分 5．根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.9, 出现高水水情的概 率为0.05，出现洪水水情的概率为0.05。位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：

（1） 运走，需支付运费15万元。

（2） 修堤坝保护，需支付修坝费5万元。 （3） 不作任何防范，不需任何支出。 若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失400万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失200万元，发生洪水时损失设备400万元。根据上述条件，选择最佳决策方案。 解：我们利用数学期望来评判方案的优劣：

运走 -15

不发生洪水0.95 -5

A -15 修坝 B

发生洪水0.05 -405 平水0.9 0 C 高水0.05 -200 洪水0.05 -400

E(A)=-15 （2分） E(B)=0.95×(-5)+0.05×（-405）= -25 （5分） E(C)=0×0.75+(-200)×0.05+0.05×(-400)=-30 （8分） 所以-E(A)< -E(B)< -E(C)，因而A 方案是最佳决策方案。 （10分） 6．某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的 柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元，建立一个数学模型（不要求求解），要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产解：设ij x 为第i 季度生产的用于第j 季度交货的柴油机的台数，则由题意 ：