衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题(原卷版)

河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数在复平面内对应的点位于

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2.已知全集U=R，则

A. B.

C. D.

3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：

2015年高考数据统计 2018年高考数据统计

则下列结论正确的是

A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少

B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍

C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同

D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加

4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，

A. B. C. D.

6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为

A. B. C. D.

7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则

A. B.

C. D.

8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )

A. 有四个两两全等的面

B. 有两对相互全等的面

C. 只有一对相互全等的面

D. 所有面均不全等

9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股

圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）

A. B. C. D.

10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是

A. B. C. D.

11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为

A. B. C. D.

12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为

A. B.

C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数，满足约束条件，则的最小值为________.

14.已知数列，若数列的前项和，则的值为________.

15.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.

16.已知函数的图像关于直线对称，当时，的最大值为

____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.如图，在中，是边上的一点，，，，（1）求的长；（2）若，求的值.

18.在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.

如图1如图2

（1）证明：平面平面；

（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值。

19.某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数在内，且其频率满足（其中，）.

（1）求的值；

（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.

20.已知抛物线的焦点为，是上一点，且.

（1）求的方程；

（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点，证明：直线过定点.

21.已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）讨论函数的零点的个数。

22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若点的极坐标为，，求的值.

23.已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.