衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题(原卷版)
河北衡水中学2019年度全国高三第一次摸底联考
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知全集R ，22x x -≥，则 A.{}20x x -<<B.{}20x x -≤≤ C.{}20x x x <->或D.{}20x x x ≤-≥或3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少B.与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C.与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A.11B.12C.13D.145.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()ln f x x x =，则0x <时，()f x = A.ln x xB.()ln x x -C.ln x x -D.()ln x x --6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>和直线:143x y l +=，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为A.45B.35C.34D.157.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =u u u r u u u r，则ED =u u u rA.1233AD AB -u u ur u u u r B.2133AD AB +u u ur u u u r C.2133AD AB -u u ur u u u r D.1233AD AB +u u ur u u u r 8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体A.有四个两两全等的面B.有两对相互全等的面C.只有一对相互全等的面D.所有面均不全等9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A.413C.92610.已知函数(),0,ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有两个不相等的实根，则a 的取值范围是A.1a >-B.11a -<<C.01a <≤D.1a <11.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为A.y =B.y =C.y x =±D.2y x =±12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连结1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111A B C D 所成角为α，则sin α的最大值为A.2B.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试卷 及答案
衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D2.已知全集U=R，则A. B.C. D.【答案】C3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.【答案】B6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A 10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是 A.B.C.D.【答案】C11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B.C.D.【答案】A 12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【100所名校】2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（理）试题数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．复数z =(−3−4i )i 在复平面内对应的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限2．已知全集U=R ，M ={x|−x 2≥2x }则C U M =A ． {x |−2<x <0 }B ． {x |−2≤x ≤0 }C ． {x|x <−2或x >0 }D ． {x|x ≤−2或x ≥0 }3．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是 A ． 与2015年相比，2018年一本达线人数减少 B ． 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍 C ． 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同 D ． 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 7的值为 A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ． 14 5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若x >0时，f (x )=xlnx ，则x <0时，f (x )= A ． xlnx B ． xln (−x ) C ． −xlnx D ． −xln (−x ) 6．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l:x 4+y 3=1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为 A ． 45 B ． 35 C ． 34D ． 15 7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =2EO ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则ED ⃑⃑⃑⃑⃑ = A ． 13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ． 23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ C ． 23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ D ． 13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体 A ． 有四个两两全等的面 级姓名准考证号考场号座位号B ． 有两对相互全等的面C ． 只有一对相互全等的面D ． 所有面均不全等9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF =2AF =2，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A ． 413B ． 2√1313C ． 926D ． 3√132610．已知函数f (x )={−e x ,x ≤0,lnx,x >0 （e 为自然对数的底数），若关于x 的方程f (x )+a =0有两个不相等的实根，则a 的取值范围是A ． a >−1B ． −1<a <1C ． 0<a ≤1D ． a <111．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45°，则双曲线的渐近线方程为A ． y =±√2xB ． y =±√3xC ． y =±xD ． y =±2x12．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱BB 1，CC 1的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含A 1的部分为V 1，不含A 1的部分为V 2，连结A 1和V 2的任一点M ，设A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为α，则sinα的最大值为A ． √22B ． 2√55C ． 2√65D ． 2√66 二、填空题 13．已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0,2x +y −4≤0,y ≥0, ，则z =x −2y 的最小值为________. 14．已知数列{a n }，若数列{3n−1a n }的前n 项和T n =15×6n −15，则a 5的值为________. 15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个. 16．已知函数f (x )=−sin (π3x +φ)+|x −2|(|φ|<π2)的图像关于直线x =2对称，当x ∈[−1,2]时，f (x )的最大值为____________. 三、解答题 17．如图，在ΔABC 中，P 是BC 边上的一点，∠APC =60°，AB =2√3，AP +PB =4. （1）求BP 的长； （2）若AC =5√34，求cos∠ACP 的值.18．在ΔABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=2BC=2CD，如图1.以DE为折痕将ΔADE折起，使点A到达点P的位置，如图2.如图1 如图2（1）证明：平面BCP⊥平面CEP；（2）若平面DEP⊥平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值。
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学
绝密★启用前河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的相应位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔记签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数(34)z i i =--在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，2{|2}M x x x =-≥，则U M =ðA ．{|20}x x -<<B ．{|20}x x -≤≤C ．{|20}x x x <->或D ．{|20}x x x ≤-≥或3．某所高中2018年高考考生人数是2015年考生人数的1.5倍．为了更好的对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考各层次的达线率，得到如下柱状图则下列结论正确的是A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．与2015年相比，2018年艺体达线人数不变D ．与2015年相比，2018年未达线人数有所增加4．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a =A ．11B ．12C ．13D ．145．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()ln f x x x =，则0x <时，()f x =A ．ln x xB ．ln()x x -C ．ln x x -D ．ln()x x --6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>和直线l ：143x y +=，若过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线与直线l 平行，则椭圆C 的离心率为A ．45B ．35C ．34 D ．157．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =A ．1233AD AB -B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体A ．有四个两两全等的面B ．有两个互相全等的面C ．只有一对互相全等的面D ．所有面都不全等9．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成了一个大等边三角形．设22DF AF ==，若在大等边三角形中随即取一点，则此点来自小等边三角形的概率是A ．413BC ．926D 10．已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有两个不等的实根，则a 的取值范围是A ．1a >-B ．11a -<<C ．01a <≤D ．1a <11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线的右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,BB CC 的中点，点O 为上底面的中心，过,,E F O 三点的平面分别把正方体分为两部分，其中含有1A 的部分为几何体1V ，不含1A 的部分为几何体2V ，已知M 为几何体2V 中（内部与表面）的任意一点，设1A M 与平面1111A B C D 所成的角为α，则sin α的最大值为A ．BC ．5D ．6 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数,x y 满足约束条件102400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为________．14．已知数列{}n a ，若数列1{3}n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，则5a =________． 15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好由7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有______个．16．已知函数()sin()|2|(||)32f x x x ππϕϕ=-++-<的图像关于直线2x =对称，当[1,2]x ∈-时，()f x 的最大值为________． 三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题12分）如图，在ABC ∆中，P 是边BC 上一点，60APC ∠=︒，AB =4AP PB +=．（1）求BP 的长；（2）若AC =，求cos ACP ∠的值．18．（本小题12分）在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，22AB BC CD ==，如图1．以DE 为轴将ADE ∆翻折，使点A 到达点P 的位置，如图2．（1）证明：平面BCP ⊥平面CEP ；（2）若平面DEP ⊥平面BCED ，求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值．19．（本小题12分）某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x 在[100,150)内，且其频率y 满足1020n y a =-（其中1010(1)n x n ≤<+，n N +∈） （1）求a 的值；（2）请画出这40名新生高考数学分数的频率的分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组的中间值代替）（3）将此样本的频率估计为总体的太绿，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量ξ，求ξ的数学期望．20．（本小题12分）已知抛物线E ：22(0)x py p =>的焦点为F ，0(2,)A y 是E 上一点，且||2AF =．（1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，求证：直线BM 过定点．21．（本小题12分）已知函数()1()ax f x e x a R =--∈．（1）当1a =时，求证：()0f x ≥；（2）讨论函数()f x 的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，注意，只能做所选定的题目，如果多做则按所做的第一道题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=，求a 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）已知函数()|2|f x x =-．（1）求不等式(1)(3)f x xf x +<+的解集；（2）若函数2()log [(3)()2]g x f x f x a =++-的值域为R ，求实数a 的取值范围．。
衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)
2
A. 2
26
C. 5
25
B. 5
26
D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】 连结EF.可证平行四边形EFGH即为截面. 五棱柱A1B1EHA−D1C1FGD为V1，三棱柱EBH−FCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线 ，垂足为N，连结A1N，则∠MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以∠MA1N = α. 进而得到sinα的最大值.
故选B.
【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.
x2
C: 6.已知椭圆 a2
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)和直线l:4x
+
y 3
=
1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率
为
4
3
3
1
A. 5 B. 5 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
3
b3
直线l的斜率为−4，因为过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，c = 4，由此可求椭圆C的离心率.
有两个不同交点，由图可知−1 ≤ −a < 0，所以0 < a ≤ 1.
故选C.
【点睛】本题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题．
x2
11.已知双曲线a2
-
y2 b2
=
1(a
>
0,b
>
0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2
+
y2
=
a2的切线，交双曲线右支
于点M，若∠F1MF2 = 45°，则双曲线的渐近线方程为
2019届河北衡水中学高中三年级第一次摸底考试数学理试题解析版
（2）若点 的极坐标为 ， ，求 的值.
Hale Waihona Puke 23．已知函数 .（1）求不等式 的解集；
（2）若函数 的值域为 ，求实数 的取值范围.
2019届河北省衡水中学
高三第一次摸底考试数学（理）试题
数学答案
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集U=R， 则
A． B．
C． D．
3．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：
20．已知抛物线 的焦点为 ， 是 上一点，且 .
（1）求 的方程；
（2）设点 是上异于点 的一点，直线 与直线 交于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，证明：直线 过定点.
21．已知函数 .
（1）当 时，求证： ；
（2）讨论函数 的零点的个数。
22．在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ；直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 与曲线 分别交于 ， 两点.
A． 11 B． 12 C． 13 D． 14
5．已知 是定义在 上的奇函数，若 时， ，则 时，
河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷
河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷·3·河北省衡水中学2019～2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}21x x -≤<B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x < 2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3．若{}na 是等差数列，首项10,a>201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0nS>成立的最大正整数n 是（ ） A ．2019 B ．2019 C ．4022D ．4023·4·4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可 以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续 7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。
A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤5.在长方体ABCD —A1B1C1D1中，对角线B1D 与平面A1BC1相交于点E ，则点E 为△A1BC1的（ ） A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心6.设yx ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是（ ）A ．613B ．365C ．651·5·D ．36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π 8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（ ） A ．115,106π- B ．21,3π-C ．7,106π-D ．4,53π-9. 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x=的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．12+C ．13+D ．23+10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为( ) A.)0,(-∞ B. ()+∞,0 C.)1,(-∞ D. ()+∞,1·6·11.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )A.x23＋y24＝1(y≠0)B.x24＋y23＝1(y≠0) C.x23＋y24＝1(x≠0) D.x24＋y23＝1 (x≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R，满足(2)()32xf x f x +-≤⋅，(6)()632xf x f x +-≥⋅，则)2008(f =（ ）A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置） 13.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。
2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】由及公差为 2.代入前项和公示，求出，得到挺喜欢上，即可求出的值.【详解】由及公差为2.得.所以，故.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属基础题.5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出函数f（x）的解析式，【详解】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线的斜率为，因为过的左焦点和下顶点的直线与平行，，由此可求椭圆的离心率.【详解】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，故选A.【点睛】本题考查椭圆的离心率求法，属基础题. 7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可..【详解】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，，.所以≌.因为平面，所以.同理，.因为，，，所以≌.又与不全等.故选B.【点睛】本题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题.9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，利用数形结合法可求的取值范围，【详解】画出函数的图像如图所示，若关于的方程有两个不相等的实根，则函数与直线有两个不同交点，由图可知，所以.故选C.【点睛】本题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题．11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率．【详解】如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，.又点在双曲线上.所以.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.进而得到的最大值.【详解】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线.过点作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形即为截面.则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意.故.故选B.【点睛】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2018-2019学年高三第一次摸底考试数学(理)试卷含答案
2018—2019学年河北省衡水中学 高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．下列命题正确的个数为 ①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 A ．B ．3C ．D ．43．已知双曲线 与抛物线 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．4．如图，一只蚂蚁从点 出发沿着水平面的线条爬行到点 ，再由点 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点 ，则它可以爬行的不同的最短路径有准考证号考场号座位号A．40条B．60条C．80条D．120条5．函数的图象大致是A．B．C．D．6．若，则A．B．2 C．D．7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为A．72 B．56 C．57 D．638．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．9．已知函数，下列结论不正确的是A．的图象关于点中心对称B．既是奇函数，又是周期函数C．的图象关于直线对称D．的最大值为10．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为A．B．C．D．11．已知的准线交轴于点，焦点为，过且斜率大于0的直线交于，，则A．B．C．4 D．312．已知是减函数，且有三个零点，则的取值范围为A．B．C．D．二、解答题13．数列满足，（）.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前999项和.14．在四棱锥，，，，平面平面，分别是中点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.15．在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，且，求.16．如图，直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，，，，，分别是与的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.17．如图，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，，设.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）求的取值范围.18．已知函数的图象的一条切线为轴.（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：.三、填空题19．已知向量夹角为，且，，则_______.20．已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_______.21．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.22．三棱锥中，平面，为正三角形，外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为______2018—2019学年河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.2．C【解析】【分析】利用等差数列前项和公式，代入即可求出，再利用等差数列通项公式就能算出.【详解】∵是公差为1的等差数列，，∴解得，则，故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前项和公式的运用，是基础题。
河北衡水中学2019-2020学年全国高三第一次摸底联考理科数学
河北衡水中学2019-2020学年全国高三第一次摸底联考理科数学一 选择题(每小题5分,共60分)1.复数 在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2.已知全集U=R ， 则 A. B. C. 或 D. 或3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计 则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4.已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 ，则 的值为 A. 11 B. 12 C. 13 D. 145.已知 是定义在 上的奇函数，若 时， ，则 时， A. B. C. D.6.已知椭圆和直线，若过 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆 的离心率为A.B.C.D.7.如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，且，则A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A. B. C. D.10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆 的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.12.如图，在正方体 中，点 ， 分别为棱 ， 的中点，点 为上底面的中心，过 ， ， 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 的部分为 ，不含 的部分为 ，连结 和 的任一点 ，设 与平面 所成角为 ，则 的最大值为A. B.C. D.二 填空题(每小题5分,共20分)13.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.14若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知=，则___ ___ ． 15．已知，且，则的最小值等于_______．16．如图，在中，，点在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．三 解答题(共70分)17．(10分) 命题：函数的定义域为；命题:函数在上单调递减，若命题为真，为假，求实数的取值范围.ABC △sin 2ABC ∠=D AC 2AD DC=BD =ABC△p ()()21f x lg x ax =++R q ()221f x x ax =--(]1,-∞-"p q"∨"p q"∧a18.(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a （sin A ﹣sin B ）=（c ﹣b ）（sin C +sin B ） （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =，△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长．19.(12分)数列满足. （1）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.20(12分)在四棱锥中，都为等腰直角三角形，，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若是边长为2的等边三角形，，求三棱锥的体积．21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n +n=2a n (n ∈N *). (1)证明:数列{a n +1}为等比数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =(2n+1)a n +2n+1,数列{b n }的前n 项和为T n ,求满足不等式>2 010的n 的最小值.22.(12分)已知函数f (x )=2ln x+ax-(a ∈R )在x=2处的切线经过点(-4,ln 2). (1)讨论函数f (x )的单调性;(2)若不等式>mx-1恒成立,求实数m 的取值范围.7233{}n a 11()n a a n N ++==∈{}2n a {}n a 12n n n b a a +=+{}n b河北衡水中学2019-2020学年全国高三第一次摸底联考理科数学1.复数 在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D2.已知全集U=R ， 则 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计 则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D4.已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 ，则 的值为 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C5.已知 是定义在 上的奇函数，若 时， ，则 时， A. B. C. D. 【答案】B6.已知椭圆和直线，若过 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆 的离心率为A. B. C. D.【答案】A7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A. B. C.D.【答案】A10.已知函数（为自然对数的底数），若关于 的方程 有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C11.已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆 的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A12.如图，在正方体 中，点 ， 分别为棱 ， 的中点，点 为上底面的中心，过 ， ， 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 的部分为 ，不含 的部分为 ，连结 和 的任一点 ，设 与平面 所成角为 ，则 的最大值为A. B.C. D.【答案】B二填空题13.___8____. 14._4 ． 15．16．17．3218.解：（Ⅰ）由已知a （sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）（sinC+sinB ） 由正弦定理，得a （a ﹣b ）=（c ﹣b ）（c+b ），即a 2+b 2﹣c 2=ab ． 所以cosC==，又C ∈（0，π），所以C=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a 2+b 2﹣c 2=ab ．所以（a+b ）2﹣3ab=c 2=7， 又S=sinC=ab=，所以ab=6，所以（a+b ）2=7+3ab=25，即a+b=5．所以△ABC 周长为a+b+c=5+．19.2021 (1)证明 当n=1时,2a 1=a 1+1,∴a 1=1.∵2a n =S n +n ,n ∈N *,∴2a n-1=S n-1+n-1,n ≥2, 两式相减,得a n =2a n-1+1,n ≥2, 即a n +1=2(a n-1+1),n ≥2,∴数列{a n +1}为以2为首项,2为公比的等比数列, ∴a n +1=2n ,∴a n =2n -1,n ∈N *.(2)解 b n =(2n+1)a n +2n+1=(2n+1)·2n ,∴T n =3×2+5×22+…+(2n+1)·2n , ∴2T n =3×22+5×23+…+(2n+1)·2n+1,两式相减可得-T n =3×2+2×22+2×23+…+2·2n -(2n+1)·2n+1,∴T n =(2n-1)·2n+1+2,∴>2010可化为2n+1>2010.22解(1)f'(x )=+a+,令x=2,则f'(2)=1+a+f'(2),∴a=-1, 因切点为(2,2ln2+2a-2f'(2)),则y-(2ln2+2a-2f'(2))=f'(2)(x-2),代入(-4,2ln2),得2ln2-2ln2-2a+2f'(2)=-6f'(2),∴f'(2)=-,∴f'(x)=-1-≤0, ∴f(x)在(0,+∞)单调递减.(2)>mx-1恒成立,即>m,令φ(x)=2ln x+,由(1)可知φ(x)在(0,+∞)单调递减,∵φ(1)=0,∴x∈(0,1),φ(x)>0,x∈(1,+∞),φ(x)<0,∴φ(x)在(0,+∞)恒大于0,∴m≤0.。
完整word版河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学
圆满word版河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学绝密★启用前河北衡水中学2019 届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷 4 页， 23 小题，满分150 分。
考试时间120 分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的相应地址。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔录签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题给出的选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．复数z( 3 4i)i 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U R ， M { x | x22x} ，则 e U MA ．{ x |2 x 0}B．{ x |2 x0}C．{ x | x2或 x 0}D．{ x | x2或 x0}3．某所高中 2018 年高考考生人数是 2015 年考生人数的 1.5 倍．为了更好的比较该校考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考各层次的达线率，获取以下柱状图则以下结论正确的选项是A．与 2015 年比较， 2018 年一本达线人数减少B．与 2015 年比较， 2018 年二本达线人数增加了0.5 倍C．与 2015 年比较， 2018 年艺体达线人数不变D．与 2015 年比较， 2018 年未达线人数有所增加4．已知等差数列{ a n}的公差为 2，前 n 项和为S n，且S10 100 ，则 a7A ．11 B． 12 C． 13 D． 145．已知f ( x)是定义在R上的奇函数，若x 0 时， f ( x) x ln x ，则 x 0 时， f ( x)A ．x ln x B．xln( x) C．x ln x D．x ln( x)6．已知椭圆C ： x2 y 2 和直线l：xy 1 ，若过椭圆C的左焦点和下极点的直线与直a 2 b21(a b 0)4 3线 l 平行，则椭圆 C 的离心率为理科数学试题第1页 ( 共 4 页 )圆满word 版河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学A ．4B ．3C ．3D ．15 5 4uuuruuur uuur57．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，且 AE2EO，则EDA ． 1 uuur 2 uuurADAB3 3B ． 2 uuur 1 uuurADAB33C ． 2 uuur 1 uuurAD AB3 3D ． 1 uuur 2 uuurAD AB3 38．某几何体的三视图以以下列图，则此几何体 A ．有四个两两全等的面B ．有两个互相全等的面C ．只有一对互相全等的面D ．全部面都不全等9．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大体在公元 222 年，赵爽为《周髀 算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得 到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成） ．类 比“赵爽弦图” ，可近似的构造以以下列图的图形，它是由3 个全等的三角形与 中间的一个小等边三角形拼成了一个大等边三角形．设DF 2 AF 2 ，若在 大等边三角形中随即取一点，则此点来自小等边三角形的概率是A ．4B ． 2 13C ．9D ． 3 131313262610．已知函数 f ( x)e x, x 0（ e 为自然对数的底数） ，若关于 x 的方程 f (x) a 0 有两个不等的实根，ln x, x 0则 a 的取值范围是A ． a1B ． 1 a 1C ． 0 a 1D ． a 111．已知双曲线x 2y 2 1(a 0,b 0) 的左，右焦点分别为 F 1, F 2 ，过 F 1 作圆 x 2 y 2 a 2 的切线，交双 a 2b 2曲线的右支于点 M ，若 F 1MF 2 45 ，则双曲线的渐近线方程为A ． y 2xB ． y3xC ． yxD ． y2x12．如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D1中，点E, F分别是棱BB 1,CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过E, F , O 三点的平面分别把正方体分为两部分，其中含有A1的部分为几何体V1，不含A1的部分为几何体 V2 ，已知M 为几何体V 2 中（内部与表面）的任意一点，设1 1 1 1 1，则 sin 的最AM 与平面 A B C D 所成的角为大值为2 A ． 22 5B ．26C ．26D ．二．填空题：本题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．理科数学试题 第 2页 ( 共 4 页)圆满word 版河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学x y 1 013．已知实数x, y满足拘束条件 2 x y 4 0 ，则 z x2 y 的最小值为 ________．y 014 ．已知数列 { a } ，若数列 {3 n 1 a } 的前 n 项和T n 1 6 n1，则 a．n n55 ________515 ．由数字 0，1 组成的一串数字代码，其中恰好由 7 个 1， 3 个 0，则这样的不同样样数字代码共有 ______个． 16．已知函数 f ( x) sin( x) | x 2 | (| |) 的图像关于直线 x 2 对称，当 x [ 1,2] 时， f (x)的最大值为 ________． 32三．解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17 ．（本小题 12 分）如图，在 ABC 中， P 是边 BC 上一点， APC 60 ， AB 2 3 ， AP PB 4 ．1 BP 的长；（ ）求（2）若 AC 5 3，求 cos ACP 的值．418．（本小题 12 分）在 ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， AB 2BC 2CD ，如图 1．以 DE 为轴将 ADE 翻折，使点 A 到达点 P 的地址，如图2．（ 1）证明：平面 BCP平面 CEP ；（ 2）若平面 DEP 平面 BCED ，求直线 DP 与平面 BCP 所成角的正弦值．19．（本小题 12 分）某高校为了对 2018 年录取的大一理工科再生有针对性地进行授课，从大一理工科再生中随机抽取 40 名， 对他们 2018 年高考的数学分数进行剖析，研究发现这 40 名再生的数学分数 x 在 [100,150)内，且其频率 y满足 y10an（其中 10n x 10(n 1) ， n N）20（ 1）求 a 的值；（ 2）请画出这 40 名再生高考数学分数的频率的分布直方图，并估计这 40 名再生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组的中间值代替）理科数学试题 第3页 ( 共 4 页 )（ 3）将此样本的频率估计为整体的太绿，随机检查 4 名该校的大一理工科再生，记检查的 4 名再生中“高考数学分数不低于130 分”的人数为随机变量，求的数学希望．20 ．（本小题 12 分）已知抛物线 E ：x2 2 py( p 0) 的焦点为F， A(2, y0 ) 是E上一点，且 | AF | 2 ．（1）求E的方程；（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y x 3 交于点 P ，过点 P 作x轴的垂线交 E 于点M ，求证：直线BM 过定点．21．（本小题 12 分）已知函数 f (x) e ax x 1(a R) ．（1）当a 1时，求证：f ( x) 0；（2）议论函数f ( x)的零点个数．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，注意，只能做所选定的题目，若是多做则按所做的第一道题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑．22．[选修 4 —4：坐标系与参数方程 ] （本小题 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为x2 2t2sin 2a cos (a 0)；直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），直线l与曲线C分别交于2y tM , N 两点．2（ 1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l 的一般方程；（ 2）若点P的极坐标为(2, )，| PM | | PN | 5 2 ，求a的值．23．[选修 4—5：不等式选讲 ]（本小题 10 分）已知函数 f (x) | x 2 | ．（ 1）求不等式 f (x 1) xf ( x 3) 的解集；（ 2）若函数g ( x) log2 [ f (x 3) f ( x) 2a] 的值域为R，求实数a的取值范围．理科数学试题第 4页 ( 共 4 页)理科数学试题第5页 ( 共 4 页 )理科数学试题第 6页 ( 共 4 页)理科数学试题第7页 ( 共 4 页 )理科数学试题第 8页 ( 共 4 页)。
河北衡水中学2019年度届全国高三第一次摸底联考理科数学
绝密★启用前河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的相应位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔记签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数(34)z i i =--在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，2{|2}M x x x =-≥，则U M =ðA ．{|20}x x -<<B ．{|20}x x -≤≤C ．{|20}x x x <->或D ．{|20}x x x ≤-≥或3．某所高中2018年高考考生人数是2015年考生人数的1.5倍．为了更好的对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考各层次的达线率，得到如下柱状图则下列结论正确的是A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．与2015年相比，2018年艺体达线人数不变D ．与2015年相比，2018年未达线人数有所增加4．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a =A ．11B ．12C ．13D ．14 5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()ln f x x x =，则0x <时，()f x =A ．ln x xB ．ln()x x -C ．ln x x -D ．ln()x x --6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>和直线l ：143x y +=，若过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线与直线l 平行，则椭圆C 的离心率为A ．45 B ．35C ．34D ．157．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =u u u r u u u r ，则ED =u u u rA ．1233AD AB -u u ur u u u rB ．2133AD AB +u u ur u u u rC ．2133AD AB -u u ur u u u rD ．1233AD AB +u u ur u u u r8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体 A ．有四个两两全等的面 B ．有两个互相全等的面 C ．只有一对互相全等的面 D ．所有面都不全等9．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成了一个大等边三角形．设22DF AF ==，若在大等边三角形中随即取一点，则此点来自小等边三角形的概率是A ．413B ．213C ．926D ．31310．已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有两个不等的实根，则a 的取值范围是A ．1a >-B ．11a -<<C ．01a <≤D ．1a <11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线的右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为A ．2y x =±B ．3y x =±C ．y x =±D ．2y x =±12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,BB CC 的中点，点O 为上底面的中心，过,,E F O 三点的平面分别把正方体分为两部分，其中含有1A 的部分为几何体1V ，不含1A 的部分为几何体2V ，已知M 为几何体2V 中（内部与表面）的任意一点，设1A M 与平面1111A B C D 所成的角为α，则sin α的最大值为A ．22 B ．25C ．265D ．266二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数,x y 满足约束条件102400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为________．14．已知数列{}n a ，若数列1{3}n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，则5a =________．15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好由7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有______个． 16．已知函数()sin()|2|(||)32f x x x ππϕϕ=-++-<的图像关于直线2x =对称，当[1,2]x ∈-时，()f x 的最大值为________．三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）如图，在ABC ∆中，P 是边BC 上一点，60APC ∠=︒，AB =4AP PB +=．（1）求BP 的长； （2）若AC =，求cos ACP ∠的值．18．（本小题12分）在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，22AB BC CD ==，如图1．以DE 为轴将ADE ∆翻折，使点A 到达点P 的位置，如图2．（1）证明：平面BCP ⊥平面CEP ；（2）若平面DEP ⊥平面BCED ，求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值． 19．（本小题12分）某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x 在[100,150)内，且其频率y 满足1020ny a =-（其中1010(1)n x n ≤<+，n N +∈） （1）求a 的值；（2）请画出这40名新生高考数学分数的频率的分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组的中间值代替）（3）将此样本的频率估计为总体的太绿，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量ξ，求ξ的数学期望． 20．（本小题12分） 已知抛物线E ：22(0)x py p =>的焦点为F ，0(2,)A y 是E 上一点，且||2AF =． （1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，求证：直线BM 过定点． 21．（本小题12分）已知函数()1()axf x e x a R =--∈．（1）当1a =时，求证：()0f x ≥； （2）讨论函数()f x 的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，注意，只能做所选定的题目，如果多做则按所做的第一道题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=，求a 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分） 已知函数()|2|f x x =-．（1）求不等式(1)(3)f x xf x +<+的解集；（2）若函数2()log [(3)()2]g x f x f x a =++-的值域为R ，求实数a 的取值范围．。
(完整word)河北衡水中学2019高三第一次调研考试--数学(理)
河北衡水中学2019高三第一次调研考试--数学（理）高三年级数学试卷 〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷 （非选择题）两部分。
第一卷共2页，第二卷共2页。
共150分。
考试时间120分钟。
第一卷〔选择题共60分〕5分，共60分。
每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选 项填涂在答题卡上〕1.集合 M{x|x 1 22x 3 0}，N {x |x a}，假设 M 范围是〔〕件 5. _2(1 cosx) dx ()2[3,) B 、(3,) C 、(1] D 、(2.f(x)在R 上是奇函数，且N ，那么实数a 的取值1）【一】选择题〔每题f (xf (Q) 4) f (xx)当x (0,2)时，f (x) 2x 2,则f (7)()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条A. （ ,4]B.[4, ）C.[ 4,4]D.（ 4,4] 8.有下面四个判断：其中正确的个数是（）A.-2B.23、函数f (x)C.-98log 2 x (x 1 x 2(xD.98 °），那么不等式 0）f （x ） 0的解集为〔〕A. {x | 0 x1} B {x|1 x 0} C. {x | 1 x1} D. {x | x 1}4.“a 0”是“方程ax 22x 10至少有一个负根”的〔〕A.B. 2C.2 D.A 、[0 , 1〕B 、( pC [1 ,+◎D (,1]7、函数2f(x) log °.5(xax 3a)在[2,）单调递减，那么a 的取值范围（）⑤abc 4 ； ® abc 4其中正确结论的序号是() A.①③⑤B.①④⑥C.②③⑤D.②④⑥设0 a 1，函数f(x) log a (a 2x 2a x 2)，那么使f (x) 0的取值范围是〔〕A. (, log a 3) B. (log a 3, ) C. (0, )D. ( ,0)12.函数sin x (0 x 1)，假设a,b,c 互不相等，且f(a) f(b) f(c)，那么 f (x)log 2010 x (x 1)a b c 的取值范围是()函数为f/(x)，f/(x)的导函数为f 〃(x)，那么有f 〃(Xo)0。
2019届衡水市高三数学摸底考试(理科)1
2019届衡水市高三数学摸底考试（理科）数学（理科）试题2010.9说明：考试时间120分钟，满分150分、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出旳四个选项中，只仁复数z旳共轭复数是（）1 i1 1. 1 1 .A.-iB. i22 2 22.已知全集U R, S{y|y 2x},A.B.{x|0x2} C.3.为了得到函数y2sin(7 )，x有一项是符合题意要求旳。
）上所有旳点（)C. 1 iD. 14.A.向左平移B.向右平移C.向左平移T {x|l n(x 1){x|0 x 1}0}，贝U SITD. {x|1 2}R旳图像，只需把函数y2sin x , x R旳图像6个单位长度，—个单位长度,6个单位长度,6个单位长度,6给出下列四个命题：D.向右平移再把所得各点旳横坐标缩短到原来旳再把所得各点旳横坐标缩短到原来旳再把所得各点旳横坐标伸长到原来旳再把所得各点旳横坐标伸长到原来旳①垂直于同一直线旳两条直线互相平行②垂直于同一平面旳两个平面互相平行③若直线l1,l2与同一平面所成旳角相等，则l1,l2互相平行④若直线l1,l2是异面直线，则与l1,l2都相交旳两条直线是异面直线其中假命题旳个数是（A. 1B. 25.已知a,b均为单位向量,B. -101 一、倍（纵坐标不变）31倍3（纵坐标不变）D. 4它们旳夹角为60°,那么，|丫3b |等于（C. 3C. '13D. 4（纵坐标不变）（纵坐标不变）26.为了解某校高三学生旳视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生旳视力情况，得到频率分布直方图如右，由于不慎 将部分数据丢失，但知道前4组旳频数成等比数列，后6组旳频数成等差数列，设最大频率为 a ，视力在4.6到5.0之间旳学生人数为b ，则a 、b 旳值分别为（）A. 0.27, 78B. 0.27, 83C. 2.7，78D. 2.7，837. 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y i 与仓库到车站旳距离成反比，而每月车存货物旳运费y 2与仓库到车站旳距离成正比。
高中数学精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)
考试注意事项1．进入考场时携带物品。
考生进入考场,只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。
严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。
考场内不得自行传递文具等物品。
由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备,所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品,以免影响入场时间。
2．准确填写、填涂和核对个人信息。
考生在领到答题卡和试卷后,在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。
填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规,查实后按照有关规定严肃处理。
监考员贴好条形码后,考生必须核对所贴条形码与自己姓名、准考证号是否一致,如发现不一致,立即报告监考员要求更正。
3．考场面向考生正前方墙壁上方悬挂时钟,为考生提供时间参考。
考场时钟时间指示不作为考试时间信号,考试时间一律以考点统一发出铃声信号为准。
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求。
1.复数在复平面内对应点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数乘法运算化简,求出z对应点坐标,则答案可求．【详解】复数.对应点为,位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式乘法运算,考查了复数代数表示法及其几何意义,是基础题．2.已知全集U=R,则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M,进而根据集合补集运算定义,可得答案．【详解】∵全集U=R,M={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2},∴∁U M={x|x≤0或x≥2},故选：C．【点睛】本题考查知识点是集合交集,并集,补集运算,熟练掌握并正确理解集合运算定义是解答关键．3.某地某所高中2018年高考考生人数是2015年高考考生人数1.5倍,为了更好地对比该校考生升学情况,统计了该校2015年和2018年高考情况,得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确是A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比,2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比,2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比,2018年不上线人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考人数为,则2018年该校参加高考人数为.观察柱状统计图,找出各数据,再利用各数量间关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考人数为,则2018年该校参加高考人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为,可见一本达线人数增加了,故选项A错误；对于选项B,2015年二本达线人数为,2018年二本达线人数为,显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍,故选项B错误；对于选项C,2015年和2018年.艺体达线率没变,但是人数是不相同,故选项C错误；对于选项D,2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体,观察柱状统计图,找出各数据,再利用各数量间关系列式计算是解题关键．4.已知等差数列公差为2,前项和为,且,则值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】由及公差为2.代入前项和公示,求出,得到挺喜欢上,即可求出值.【详解】由及公差为2.得.所以,故.故选C.【点睛】本题考查等差数列基本量计算,属基础题.5.已知是定义在上奇函数,若时,,则时,A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设,则由奇函数性质f（-x）=-f（x）,求出函数f（x）解析式,【详解】设,则,所以.又因为是定义在上奇函数,所以,所以.故选B.【点睛】本题考查函数奇偶性综合运用,属基础题.6.已知椭圆和直线,若过左焦点和下顶点直线与平行,则椭圆离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线斜率为,因为过左焦点和下顶点直线与平行,,由此可求椭圆离心率.【详解】直线斜率为,过左焦点和下顶点直线与平行,所以,又,所以,故选A.【点睛】本题考查椭圆离心率求法,属基础题.7.如图,在平行四边形中,对角线与交于点,且,则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】.故选C.【点睛】本题考查向量线性运算,属基础题.8.某几何体三视图如图所示,则此几何体A. 有四个两两全等面B. 有两对相互全等面C. 只有一对相互全等面D. 所有面均不全等【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体直观图,由三视图给出几何量证明即可..【详解】几何体直观图为四棱锥.如图.因为,,.所以≌.因为平面,所以.同理,.因为,,,所以≌.又与不全等.故选B.【点睛】本题考查三视图原原几何体,以及线面关系有关证明,属中档题.9.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周碑算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到正方形是由4个全等直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图所示图形,它是由3个全等三角形与中间一个小等边三角形拼成一个大等边三角形,设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边亚角形概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域面积与大三角形面积比值即可．【详解】在中,,,,由余弦定理,得, 所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型概率计算问题,是基础题．10.已知函数（为自然对数底数）,若关于方程有两个不相等实根,则取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数图像,利用数形结合法可求取值范围,【详解】画出函数图像如图所示,若关于方程有两个不相等实根,则函数与直线有两个不同交点,由图可知,所以.故选C.【点睛】本题考查方程根个数求参数范围,考查数形结合思想方法,属于中档题．11.已知双曲线左、右焦点分别为,,过作圆切线,交双曲线右支于点,若,则双曲线渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线定义可得,结合条件可得,运用勾股定理,结合a,b,c关系,可得,进而得到渐近线斜率．【详解】如图,作于点.于点.因为与圆相切,,所以,,,.又点在双曲线上.所以.整理,得.所以.所以双曲线渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线渐近线斜率,注意运用圆切线性质,结合双曲线定义,考查运算能力,属于中档题．12.如图,在正方体中,点,分别为棱,中点,点为上底面中心,过,,三点平面把正方体分为两部分,其中含部分为,不含部分为,连结和任一点,设与平面所成角为,则最大值为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为,三棱柱为,设点为任一点,过点作底面垂线,垂足为,连结,则即为与平面所成角,所以.进而得到最大值.【详解】连结.因为平面.所以过平面与平面交线一定是过点且与平行直线.过点作交于点,交于点,则,连结,.则平行四边形即为截面.则五棱柱为,三棱柱为,设点为任一点,过点作底面垂线,垂足为,连结,则即为与平面所成角,所以.因为,要使正弦值最大,必须最大,最小,当点与点重合时符合题意.故.故选B.【点睛】本题考查了空间中平行关系与平面公理应用问题,考查线面角求法,属中档题.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
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河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.已知全集U=R，则
A. B.
C. D.
3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：
2015年高考数据统计 2018年高考数据统计
则下列结论正确的是
A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍
C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加
4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，
A. B. C. D.
6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则
A. B.
C. D.
8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )
A. 有四个两两全等的面
B. 有两对相互全等的面
C. 只有一对相互全等的面
D. 所有面均不全等
9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股
圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）
A. B. C. D.
10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是
A. B. C. D.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知实数，满足约束条件，则的最小值为________.
14.已知数列，若数列的前项和，则的值为________.
15.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.
16.已知函数的图像关于直线对称，当时，的最大值为
____________.
三、解答题：共70分。
解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.如图，在中，是边上的一点，，，，（1）求的长；（2）若，求的值.
18.在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.
如图1如图2
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值。
19.某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数在内，且其频率满足（其中，）.
（1）求的值；
（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.
20.已知抛物线的焦点为，是上一点，且.
（1）求的方程；
（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点，证明：直线过定点.
21.已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）讨论函数的零点的个数。
22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若点的极坐标为，，求的值.
23.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.。