沪教版相似三角形教案及练习

相似三角形

一、相似三角形的定义：

对应角相等 、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

二、相似三角形的判定方法(一)

判定方法（1）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定方法（2）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定方法（3）：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似。

除了上述三种判定方法外，还有以下三种判定方法：

（1）定义法：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似（这种方法一般不常用）

（2）平行于于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。

（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形原三角形相似。(此知识常用，但用时需要证明)

三、判定相似三角形的思路

1、有一对等角，找 :①、另一对等角 ②、 等角的两边对应成比例

2、有两边对应成比例，找：①、夹角相等 ②、第三边也成比例

3、直角三角形，找一对锐角相等

4、等腰三角 形，找：①、顶角相等 ②、一对底角相等 ③、底和腰成比例

四、在做题过程中，某些图像出现的频率会比较高，所以我们要熟知这些常见的图形，并学会从习题中基本图形很快的寻找和发现相似：

1、平行线型：

A

（ 1 ） （ 2 ）

（a ）如图1，“A ” 型：即公共角的对边平行

(b) 如图2，“X ”型：对顶角的对边平行

2、斜交型：指公共角的对边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对的边延长线相交，其中再有一角相等，或其公共角（或对顶角）的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似，基本图形常见如下：

E D

A

B C C

D E B A E C B D

A B D

C E B

D C A

( 3 ) ( 4 ) ( 5 )

a 、如图3，若 ∠D=∠B 或 ∠ACB=∠AED ,或AB:AD=AC:AE ， 则△ABC ∽△ADE ；

b 、如图4，若∠ACD=∠B 或 ∠ADC=∠ACB ，或AC:AB=AD:AC, 则△ACD ∽ △ABC ；

C 、如图5，若∠AED=∠C 或 ∠ADE=∠B ，或 AD:AB=AE:AC, 则△ADE ∽ △ABC ；

( 6 )

d 、如图6，若∠A=∠D , 或 ∠B=∠C ,或OA:OB=OD:OC,则△AOB ∽ △DOC;

五、相似三角形面积之比等于相似比的平方

例题、习题

1、P 是ΔABC 中AB 边上一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截ΔABC ，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样的条件的直线最多有（ ）条

A 2条

B 3条

C 4条

D 5条 2、如图，已知D 为△ABC 内一点，

E 为△ABC 外一点，且∠1＝∠2， ∠3 ＝∠4。 求证 ： △ABC ∽ △DBE

3、如图，菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到E ，使EB ＝2AB ，连接EC 并延长交AD 延长线于F ，如果△EBC ∽△EAF ，试求AF 的长

D A B C O

A

B C E

D 1 2 3 F 4 A D E

C

B

4、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且DE=

32BC=2cm ，△ADE 的周长为10cm ，求梯形BCDE 的周长。

5、如图，△ABC 被DE 、FG 分成面积相等的三部分，且DE ∥FG ∥BC 。求DE ：FG ：BC 。

三、训练题：

1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 分成两部分面积的比是1：2，EF 是中位线，则被EF 分成的两部分面积之比为S AEFD ：S BCFE =（ ）

A 、3：4

B 、4：5

C ：5：7

D 、7：9

2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若S △AOD :S △ACD =1：3，则S △AOD :S △BOC 等于（ ）

A 、1：6

B 、1：3

C 、1：4

D 、1：6

3、如图，DE ∥BC ，DE 把△ABC 的面积分成相等的两部分，那么DE ：BC 等于（ ）

A 、1：2

B 、1：4

C 、2：2

D 、2：2

4、如图，将△ABC 的高AD 三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3=（ ）

A B C D E

S 3S 1S 2A B C D E F G

A 、1：2：3

B 、2：3：4

C 、1：3：5

D 、3：5：7

5、如图，在△ABC 中，∠CBA=90°，BD ⊥AC 于D ，则下面关系式中错误的是（ ）

A 、A

B 2=AD×A

C B 、B

D 2=AD×DC C 、AB 2=AC 2－BC 2 D 、AB 2=AC×DC

6、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，PQMN 为正方形，且顶点在△ABC 各边上，BC=60cm ，AD=40cm ，则正方形边长为（ ）

A 、12cm

B 、16cm

C 、20cm

D 、24cm

7、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm ，那么这两个三角形的周长分别为_______________。

8、△ABC 中，BC=54cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，另一个与它相似的三角形的最短边为15cm ，则周长为_______________。

9、在△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，DE ∥AC ，AB ：DB=2：1，F 为AC 上任一点，△DEF 面积为22，则S △ABC =_________________。

10、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，5

3==AB AE AC AD ，△ABC 的角平分线AH 交DE 于点F ，过点F 作BC 的平行线，分别交AB 、AC 于点G 、K 。已知BC=20cm ，求GK 。

11、点M 是Rt △ABC 的斜边AB 的中点，过M 作MD ⊥AB 交AC 于D ，交BC 的延长线于E 。求证：MC 是MD 、ME 的比例中项。

B C D H F G K B C M E D