二项分布、泊松分布

9
5.概率函数 概率函数P(X) 概率函数
P( X ) = e
λ
λ
X
X!
X = 0, 1, 2, … e=2.71828 λ=n π
10
6.POISSION分布的图形 分布的图形
λ =3 λ =5 λ =10 λ =20
0.2 p(x) 0.1 0.0
0 4 8 0 4 8 12 4 8 12 16 20 8 12 16 20 24 28 32
12
6、 Poisson分布的应用 、 Poisson分布的应用
（1） 概率估计 （2） 单侧累积概率计算
P( X ≤ k ) =
X =0
∑ P( X ) =
k
X =0
e λ ∑
k
λX
X!
P ( X ≥ k ) = 1 P ( X ≤ k 1)
13
Sas应用（一）
二项分布的概率分布函数: PROBBNML（p，n，k） 其中0≤p≤1，n≥1,0≤k≤n。 用于计算阳性率为p，样本例数为n的二项分布， 随机变量x≤k的概率，k为阳性例数。 如求p（x＝k）的值，可计算 probbnml（p，n，k）-probbnml（p，n，k-1) 或PDF(“BINOMIAL”,k,p,n)。
作业存在问题：
1．频数表不完整，只有数字没有线条，最后一个 组的上限要列出，注意频率和累计频数的百分数是用 百分数来表示的。 2．不理解合适的统计量的含义，描述频数表的特 征时表达为数据分布不均匀，接着又说资料呈明显对 称分布或呈正态分布，这是否前后矛盾，如果你的结 论为数据分布不均匀，就应选用M和四分位数间距（ Q3－Q1）来描述资料的集中趋势和离散趋势，反之就 应选用算术均数和标准差。
∑ P (X )
0
n
k
最少有X例阳性的概率： P(X ≥ k ) = ∑ P (X )
k
X = 0,1,2,...K...n
8
4. Poisson分布的应用条件 Poisson分布的应用条件
观察结果是二分类变量； 观察结果是二分类变量 二分类变量； 概率为π 每个观察对象发生阳性结果的概率为π，发生阴性 每个观察对象发生阳性结果的概率为 结果的概率为1 结果的概率为1-π； 各个观察对象的结果是相互独立的； 各个观察对象的结果是相互独立 独立的 π很小(π<0.01)，n很大。 很小( <0.01)， 很大。 此时二项分布逼近POISSON分布， POISSON分布 Possion是 此时二项分布逼近POISSON分布，即 Possion是 二项分布的特例。 二项分布的特例。 常用于研究单位容积(面积，时间) 常用于研究单位容积(面积，时间)内某罕见事件 的发生数。 的发生数。
probbnml函数 probbnml函数 poisson函数 poisson函数
pdf函数 pdf函数
22
作业
课本p66 ５、6
23
20
结果２
Obs m p21 p22 p23 1 0.96 0.013550 0.99692 0.003082683 从上结果可见： 恰好有4人得病的概率为0.013550，至多4人 得病的概率为0.99692，至少5人得病的概率 为0.003082683。
21
总结
本节课所学习的SAS函数 函数 本节课所学习的
17
应用（ SAS 应用（二）
泊松分布概率分布函数 POISSON（p，k） 其中p≥0，k≥0。 用于计算参数为p的泊松分布的随机变量x≤k的概率。 如计算P（x＝k）的值， 可用Poisson（p，k）-Poisson（p，k-1）或 PDF(“poisson”,k，p)。
18
SAS应用2
例 某地新生儿先天性心脏病的发病概率为8‰， 那么该地120名新生儿中有4人患先天性心脏病 的概率有多大？至多有4人患先天性心脏病的概 率有多大？至少有5人患先天性心脏病的概率有 多大？
4
2.二项分布图形 二项分布图形
0.4 0.3 p(x) 0.2 0.1 0.0 4 8 12 16 0 2 4 0 2 4 6 4 8 12 16 图 ２.1 二项分布示意图 N= 20 π =0.5 N= 5 π =0.3 N= 10 π =0.3 N= 30 π =0.3
5
二项分布图的形态取决于π与n，高峰在 =nπ处。 当π接近0.5时，图形是对称的；π离0.5愈 远，对称性愈差，但随着n的增大，分布 趋于对称。 当n→∞时，只要π不太靠近0或1， 二项分 布近似于正态分布。
6
3.二项分布应用 二项分布应用
（1）概率估计 如果发生阳性结果的例数X服从二项分布，那么 发生阳性数为X的概率为：
X (1π )n X P( X ) = C π
X n
CnX = n! X !(n X )!
注：0! = 1
7
（2）单侧累积概率 ）
最多有X例阳性的概率 最多有 例阳性的概率： P (X ≤ k ) = 例阳性的概率
19
程序2 程序 DATA exam7; m=120*0.008; p21= POISSON(m,4)- POISSON(m,3);/*恰好 有4人*/ p22=POISSON(m,4); /*至多4人*/ p23=1-POISSON(m,4); /*至少5人*/ PROC PRINT; RUN;
1
上次课所学SAS过程和语句
SAS过程： 过程： 过程 Freq过程 过程 Univariate过程 过程 Means过程 过程 SAS语句： 语句： 语句 赋值语句（用在数据步） 赋值语句（用在数据步） Var语句 语句 Freq语句 语句
2
实验二 常用概率分布
目的要求： 目的要求： 1.了解SAS中的probbnml（二项分布）函数、 了解SAS中的probbnml（二项分布）函数、 SAS中的probbnml poisson函数和pdf函数的用法； poisson函数和pdf函数的用法； 函数和pdf函数的用法 2.掌握定性资料的统计描述方法。 掌握定性资料的统计描述方法。 3.掌握二项分布、poisson分布概率函数式的计算 掌握二项分布、poisson分布概率函数式的计算 方法。 方法。
图2.2 Poisson 分布示意图
ຫໍສະໝຸດ Baidu
图形由λ决定，λ越大，越趋向正态。λ=20，接近正态。 λ <5时，呈偏态。
11
5.特征
POISSON属于离散型分布。
方差σ2=均数λ(如果某资料σ2=λ，可以提示 方差σ 均数 λ
该资料可能服从POISSION分布) Possion分布的可加性。 Possion分布的可加性。较小度量单位发生数 分布的可加性 Possion分布时 把若干个小单位合并， 分布时， 呈Possion分布时，把若干个小单位合并，其 总计数也呈Possion分布。 Possion分布 总计数也呈Possion分布。
14
SAS应用1
1、某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地 150人，其中至多有2名感染钩虫的概率有 多大？恰好有2人感染的概率有多大？至少 有2名感染钩虫的概率有多大？至少有20名 感染的概率有多大？
15
程序1
DATA exam6; n=150;prob=0.13; p1=PROBBNML(prob,n,2);/*至多有2名*/ P2=PROBBNML(prob,n,2)-PROBBNML(prob,n,1); /*恰好有2名*/ p3=1-PROBBNML(prob,n,1); /*至少有2名*/ p4=1-PROBBNML(prob,n,19); /*至少有20名*/ KEEP P1 P2 P3 P4;(DROP N PROB;) PROC PRINT;RUN;
16
结果１
Obs 1 n 150 prob 0.13 p1 .000000231 P2 .000000211 p3 1.00000 p4 0.48798
从以上结果可见： 至多有2名得病的概率为0.000000231 ，恰好有 2名得病的概率为0.000000211；至少有2名得病 的概率为1，至少有20名得病的概率为0.48798。
3
理论回顾
二项分布的应用条件： 二项分布的应用条件：
观察结果是二分类变量，如阳性与阴性、 观察结果是二分类变量，如阳性与阴性、治愈与未 二分类变量 生存与死亡等； 愈、生存与死亡等； 每个观察对象发生阳性结果的概率固定为π 每个观察对象发生阳性结果的概率固定为π，发生 概率固定为 阴性结果的概率为1 阴性结果的概率为1-π； 各个观察对象的结果是相互独立的 各个观察对象的结果是相互独立的。 独立