5月河北省普通高中学业水平考试数学附答案

合集下载

河北省博野中学高二5月月考数学(理)试题Word版含答案

博野中学高二5月月考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合11=4,42mM m m ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z ，211N x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则MN =（）A ．∅B ．{}2C ．{}12x x <≤D ．{}2,1,0,1,2--2.设i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（） A ．12-B ．0C ．12D ．23.若正方形ABCD 边长为2，E 为边上任意一点，则AE 的概率等于（） A ．23B ．14C ．12D ．134.已知3a =，5b =，7a b +=，则a 在b 方向上的投影为（） A ．12-B ．1C ．32D ．25.()52x y ++的展开式中，22x y 的系数为（） A ．60B ．48C ．32D ．306.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 向渐近线作垂线，交两条渐近线于A ，B 两点，若2FB FA =，则双曲线的离心率e 等于（）ABC ．2D ．37.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱长为（）A ．3B ．C ．D8.已知0ω>，函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.执行如图所示的程序框图，如果输入的5n =，则输出的最后一个S 的值为（）A ．186B ．188C ．90D ．9610.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC ，11A D 的中点，则BC 与平面EDF 所成角的余弦值为（）A ．13B C D 11.A ，P ，Q 是半径为2的圆上的三个动点，若PAQ ∠恒等于π6，则PAQ ∆面积的最大值为（） A．2+B．2+ C．2 D1+12.已知奇函数()f x 是定义在R 上的连续函数，满足()523f =，且()f x 在()0,+∞上的导函数()2f x x '<，则不等式()333x f x ->的解集为（）A ．()2,2-B ．(),2-∞C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数()()2121a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =__________． 14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，112n n n S S a +++=（*n ∈N ），则5a =__________．15.已知实数x ，y 满足1,220,22,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩若z x ay =-只在点()4,3处取得最大值，则a 的取值范围是__________．16.AB 是过抛物线24y x =的焦点的弦，点M 坐标为()1,0-，当4tan 3AMB ∠=时，直线AB 的方程为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22224cos 2A Cac a c b +=+-．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3c =，且AC边的中线BM =，求a 的值． 18.（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，2AB AD ==，3CB CD ==，将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BDC '-，O 为BD 的中点，M 为OC 的中点，点N 在线段A B '上，满足14A N AB ''=．（Ⅰ）证明：MN P 平面A CD '；（Ⅱ）若3A C '=，在线段A D '上是否存在点Q ，使得二面角Q BC D --的余弦值为A Q AD'的值；若不存在，请说明理由． 19.（本小题满分12分）某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查．根据从其中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：已知在抽取的50份调查问卷中随机抽取一份，抽到不同意限定区域停车问卷的概率为25．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关？请说明理由；（Ⅲ）学校计划在同意限定区域停车的家长中，按照性别分层抽样选取9人，在上学、放学期间在学校门口维持秩序．已知在同意限定区域停车的10位女性家长中，有3位日常开车接送孩子．记参与维持秩序的女性家长中，日常开车接送孩子的女性家长人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附临界值表及参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 20.（本小题满分12分）已知抛物线22x y =，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，且2PA PB k k =-．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．21.（本小题满分12分）定义在()0,+∞上的函数()y f x =及其导函数()y f x '=满足()()ln 0f x f x x x x'+-=．（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）若不等式()()222112x x f x x mx +-+<在3,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（e 2.718 28=）上的解集非空，求实数m 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，θ为参数）若以坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为π4θ=（ρ∈R ）．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将曲线2C 向下平移m （0m >）个单位后得到的曲线恰与曲线1C 有两个公共点，求实数m 的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2122f x x x =++-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若()1f x ax <+有解，求实数a 的取值范围．博野中学5月月考理科数学参考答案一、选择题1.B2.D3.B4.C5.A6.C7.A8.D9.A 10.C 11.C 12.B 二、填空题13.1 14.162 15.(),1-∞ 16.10x ±-= 三、解答题17.（本小题满分12分）()0,πB ∈，π3B ∴=．…………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）BM 为AC 边的中点，()12BM BA BC ∴=+，……………………………………………8分两边同时平方，得21311923442a a ⎛⎫=++⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，整理，得2340a a +-=， (10)分解得4a =-（舍去）或1a =．…………………………………………………………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过点N 作BD 的平行线，交直线A D '于点E ，过点M 作BD 的平行线，交直线CD 于点F ，………………………………………………………1分NE BD P ，MF BD P ，NE MF ∴P ，且14NE MF BD ==，∴四边形MNEF 为平行四边形，……………………………………………3分MN EF ∴P ，且EF ⊂平面A CD '，MN ⊄平面A CD '， MN ∴P 平面A CD '．……………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）3A C '=，A O OC '∴⊥，且A O BD '⊥，OC BD O =，A O '∴⊥平面BCD ，如图以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，…………………………………………………………6分则有(A '，()0,B，)C，()D ．设(A Q A D λλ''==（01λ≤≤），()Q ∴，))()11BQ λλ∴=+-，()7,BC =，设平面BQC 的法向量为(),,m x y z =，0,0,m BQ m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2,m ⎛=- ⎝，………………………………………………………………………9分又平面BCD的法向量为()0,0,1n=，………………………………………………………………10分由14cos,m n=22520λλ-+=，12λ∴=或2λ=（舍去），12A QAD'∴=． (12)分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）列联表补充如下：………………………………………………………………………………………………………………3分（Ⅱ）因为()25020155108.3337.87925253020k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以我们有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关．…………………………………………………………………………………5分（Ⅲ）由题意知，同意限定区域停车的10位女性家长中，参与维持秩序的女性家长人数为3人．随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．…………………………………………………………6分()37310C 70C 24P ξ===；()2173310C C 211C 10P ξ===；()1273310C C 72C 40P ξ===；()33310C 13C 120P ξ===．所以ξ的分布列为………………………………………………………………………………………………………………10分则()721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………………………12分20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设()00,P x y ，则直线PA ：()00PA y y k x x -=-，代入抛物线方程：2002220PA PA x k x y k x --+=，直线与抛物线相切，2000220PA PA k x k y ∴∆=⇒-+=，………………………………………2分同理，有200220PB PB k x k y -+=，……………………………………………………………………3分PA k ∴，PB k 分别为方程200220k x k y -+=的两个不同的实数根，………………………………5分022PA PB k k y =-=，01y ∴=-，∴点P 的轨迹方程为1y =-．…………………………………6分（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，212y x =，y x '=，∴抛物线在A ，B 点的切线方程分别为 110x x y y --=，220x x y y --=，…………………………………………………………………8分又都过点()0,1P x -，10120210,10,x x y x x y -+=⎧∴⎨-+=⎩……………………………………………………………………………………9分∴直线AB 的方程为010xx y -+=，…………………………………………………………………11分∴直线AB 恒过定点()0,1．……………………………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，可得()()ln f x f x x x x'+=，即()()ln f x x x '=，…………………………1分设()()ln g x f x x =，则()212g x x a =+（a 为常数）．即()21ln 2f x x x a =+，………………………………………………………………………………2分函数()y f x =在定义域()0,+∞上为连续函数，()21e ln e e 2f a ∴=⨯+，解得12a =-．……………………………………………………………4分()211ln 22f x x x ∴=-，()212ln x f x x -∴=（1x ≠）．………………………………………………5分当1x =时，由()()ln f x f x x x x'+=，可得()11f =， ()()()21 1,1 1.2ln x f x x x x⎧=⎪∴=⎨-≠⎪⎩………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()212ln x f x x -∴=， ()()22211222ln x x x f x x x mx +-∴+=+<在3,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解集非空，即21ln 11x x m x +>+在3,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解． 03,e 2x ⎡⎤∴∃∈⎢⎥⎣⎦，使0020ln 111x x m x +>+．设()2ln 11x x h x x +=+（3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），则只需()min 1h x m <．………………………………………8分 ()()()()2211ln 11x x x x h x x -++-⎡⎤⎣⎦'=+，令()()1ln 1t x x x x =++-（3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）， ()11ln 1ln 0x t x x x x x+'=+-=+>， ()t x ∴在3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为增函数． ∴当3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()3531ln 02222t x t ⎛⎫≥=-> ⎪⎝⎭． ()()()()2211ln 101x x x x h x x -++-⎡⎤⎣⎦'∴=<+．()h x ∴在3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为减函数，()()2min e 1e e 1h x h +∴==+．……………………………………11分 2e 11e 1m+∴<+，解得2e 10e 1m +<<+． ∴实数m 的取值范围是2e 10,e 1⎛⎫+ ⎪+⎝⎭．…………………………………………………………………12分 22.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由已知，得1C ：()2224x y -+=（24x ≤≤，22y -≤≤），………………………3分 2C ：y x =．……………………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）将曲线2C 向下平移m （0m >）个单位后得到的曲线对应方程为y x m =-，则当2，即2m =±8分又直线恰过点()2,2-时，4m =，结合图象，可得42m ≤<+10分23.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由不等式的性质，可得212221223x x x x ++-≥+-+=，所以当且仅当112x -≤≤时函数()f x 的最小值为3．……………………………………………5分（Ⅱ）()()4 1 1,12122 3 1,2114 ,2x x f x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪⎛⎫=++-=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩……………………………………………7分又函数1y ax =+恒过定点()0,1，结合函数图象，可得4a <-或2a >．………………………10分。

河北省普通高中2025届(高三)5月考数学试题试卷

河北省普通高中2025届（高三）5月考数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（） A ．（1，＋∞） B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）2．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（） A ．②④ B ．①③C ．②③D ．①②④3．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（）A ．3B 22C ．2D ．135．已知33a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>6．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>8．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（） A ．110B ．15C ．140D ．9409．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（） A ．-2B ．2C ．4D ．710．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞ ()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,1--C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．17B ．27C ．13D ．183512．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省邯郸高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一数学试题说明：1．本试卷共4页，满分150分．2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知复数满足，则的虚部为（）z 3i 12i z ⋅=-z A . B. C. D.11-22-【答案】A【解析】【分析】由复数运算可求得，根据虚部定义可得结果.2i z =+【详解】由得：，的虚部为. 3i 12i z ⋅=-()3212i i 12i 12i 2i i i i z -⋅--====+--z ∴1故选：A.2. 某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：91 89 90 92 94 87 93 96 91 85 89 93 88 98 93则这组数据的40%分位数、70%分位数分别为（）A. 90，94B. 91，93C. 90.5，93D. 90.5，94.2 【答案】C【解析】【分析】将数据从小到大依次排列，而且15×40%=6，15×70%=10.5，故这组数据的40%分位数是第6、7个数的平均数，70%分位数是第11个数．【详解】将数据从小到大依次排列如下：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，而15×40%=6，15×70%=10.5，故这组数据的40%分位数是， 1(9091)90.52⨯+=这组数据的70%分位数是93，故选：D ．3. 设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则1OA e = 2OB e = 1e 2e P AB :2AP PB = OP =（）A. B. C. D. 121233e e - 122133e e + 121233e e + 122133e e - 【答案】C【解析】【分析】根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系，即可知正确选项.,,OP OA OB 【详解】由， 2,,3OP OA AP AP AB AB OB OA =+==- ∴. 121122212()()3333OP OA OB OA e e e e e =+-=+-=+ 故选：C4. 已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（） a b 2a b - bA.B. C. D. b 2b - 12b - b -【答案】B【解析】【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可0a b ⋅= ()2a b b -⋅ 得.【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，a b 所以，且，0a b ⋅= 1a b ==r r 所以，()222222a b b a b b a b b -⋅=⋅-=⋅-=- 所以向量在向量上的投影向量为. 2a b -r r b ()22a b b b b b b-⋅⋅=- 故选：B5. 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则等于（）ABC A 22()a c b ac +-=BA.B. C. D.120︒60︒45︒30︒【答案】A【解析】【分析】由题得，进而根据余弦定理求解即可.222a c b ac +-=-【详解】解：依题意，即，22()a c b ac +-=2222a c ac b ac ++-=所以， 222a c b ac +-=-所以，由于， 2221cos 22a cb B ac +-==-0180B <<︒所以．120B =︒故选：A6. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人数比为4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中O 型血的人数比AB 型血的人数多20，则（）n n =A. 100B. 120C. 200D. 240 【答案】B【解析】【分析】由题知，再解方程即可得答案. 422043324332n n -=++++++【详解】解：因为感染人群中O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人数比为4:3:3:2，所以，抽取样本量为的样本中，O 型血的人数为， AB 型血的人数为， n 44332n +++24332n +++所以，，解得 422043324332n n -=++++++120n =故选：B7. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度.其中小雨（），中雨（mm 10mm <），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的10mm 25mm -25mm 50mm -50mm 100mm -雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为()200100mm 2=，高为的圆锥， ()20015050mm 2300⨯=()150mm 所以积水厚度，属于中雨. ()22150150312.5mm 100d ππ⨯⨯==⨯故选：B.8. 设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）m n αβA. 若，，，则m n ∥m α∥n β∥αβ∥B. 若，，，则m n ⊥m α∥n β∥αβ∥C. 若，，，则m n ∥m α∥n β⊥αβ⊥D. 若，，，则αβ⊥m α∥n β∥m n ∥【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，若，则有，，，故A 选项错误； //.//r l m l n l αβ⋂=m n ∥m α∥n β∥对于B 选项，若，，，则或相交，故B 选项错误；m n ⊥m α∥n β∥αβ∥对于C 选项，若，，，则，故C 选项正确；m n ∥m α∥n β⊥αβ⊥对于D 选项，若，，，则或相交，或异面，故D 选项错误.αβ⊥m α∥n β∥m n ∥故选：C二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，又选错的得0分，部分选对的得2分．）9. 已知，则下列命题正确的是（）z C ∈A. 若，则为纯虚数z z =z B. 若，则的虚部为1()i 12i z =-zC. （）且，则i z a =+a ∈R z =1a =D. 若，则的最大值为21z =1z +【答案】BD 【解析】【分析】根据复数的定义，以及复数的运算，以及复数的几何意义，分别判断选项.【详解】A.若，则是实数，故A 错误；z z =z B.若，则的虚部为1，故B 正确；()i 12i i 2z =-=+zC.，故C 错误；z ==1a =±D.若，则其复数对应的向量的终点在以原点为圆心的单位圆上，的几何意义表示，单1z =z OZ1z +位圆上的点与定点的距离，很显然，点与的距离最大，最大值是2，故D 正确. ()1,0-()1,0()1,0-故选：BD10. 某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿5险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽5样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是（）A. 周岁以上的参保人数最少54B. 周岁人群参保的总费用最少1829～C. 丁险种更受参保人青睐D. 周岁及以上的参保人数占总参保人数的3020%【答案】AC【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保人数比例图可知，周岁以上参保人数最少，周岁以上的人群约占参保人群的543080%，故A 正确，D 错误;由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故 C 正确;由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为1829~20%，所以总费用不一定最少，故B 错误．故选：AC ．11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M 、N 分别为侧棱、的中点，O 是底面四边P ABCD -PA PB 形对角线的交点，下列结论正确的有（）ABCDA. 平面B. 平面平面 //PC OMN //PCD OMNC.D. 平面OM PA ⊥PD ⊥OMN 【答案】ABC【解析】【分析】A 选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B 选项，在A 选项的基础上证明面面平行；从而推导出D 错误；由勾股定理的逆定理得到，从而得到.PA PC ⊥OM PA ⊥【详解】因为O 为底面四边形对角线的交点，ABCD 所以O 为的中点，由M 是的中点，可得，AC PA ∥PC MO 因为在平面，平面，PC ⊄OMN OM ⊂OMN 所以平面，A 正确；//PC OMN 同理可推得平面，//PD OMN 而，PC PD P ⋂=所以平面平面，B 正确；//PCD OMN 因为平面，故不可能垂直平面，D 错误；PD ⊂PCD PD OMN 设该正四棱锥的棱长为a ，则，,===PA PC a AC 所以，PA PC ⊥因为，∥PC MO 所以，C 正确. OM PA ⊥故选ABC ．12. 在棱长为1的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内1111ABCD A B C D -O 1111D C B A E 11ABB A （含边界）一个动点，则下列结论正确的是（）A.BO AC ⊥B. 点存在无数个位置满足平面E OE A 1ACDC. 直线与平面 1CC 1ACDD. 三棱锥体积的最大值为1A ECD -13【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，分别作图，利用图象，根据线面垂直、面面平行、线面角定义、三棱锥的体积公式，可得答案.【详解】对于选项A ，根据题意作图如下：在正方体中，易知，1111ABCD A B C D -',OO AC AC BD ⊥⊥因为，所以平面，即，故A 正确； ''OO BD O = AC ⊥'OO B AC OB ⊥对于选项B ，根据题意作图如下：在正方体中，易知，1111ABCD A B C D -11//AD BC 因为平面，平面，所以平面，1BC ⊄1ACD 1AD ⊂1ACD 1//BC 1ACD 同理可得：平面，因为，所以平面平面， 1//BA 1ACD 11BA BC B = 11//BAC 1D AC 易知平面，当时，平面，故B 正确；OB ⊂11BAC 1E BA ∈//OE 1D AC 对于选项C ，根据题意作图如下：在正方体中，易知，1111ABCD A B C D -1,AC BD BB AC ⊥⊥因为，所以平面，即，同理可得：， 1BD BB B ⋂=AC ⊥1BDB 1AC B D ⊥11B D D C ⊥因为，所以平面，连接，易知， 1AC CD C = 1B D ⊥1ACD 1'D O 11'D O B D F = 则为直线与平面所成角，1DD F ∠1DD 1ACD 在中，， 1'Rt DD OA 111cos 'DD DD F D O ∠===因为，所以直线与平面.故C 错误； 11//CC DD 1CC 1ACD 对于选项D ，根据题意作图如下：在正方体中，1111ABCD A B C D -易知当点与点重合时，三棱锥体积取最大值，E 1B 1A ECD -设点到平面的距离为，则，1B 1ACD h 11sin 'h B D DD DDO =-∠由选项B 可知，可得 1cos 'DD O ∠=1sin 'DD O ∠=h =则三棱锥体积取最大值：1A ECD -，故D 正确. 1111333ACD V S h =⋅⋅==A 故选：ABD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第_____象限． 32i 1i z +=-i z 【答案】一【解析】【分析】利用复数除法法则计算出，得到其在复平面内对应的点所在象限. 15i 22z =+【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为， ()()()(32i)1i 32i 15i 1i 1i 1i 22z +++===+--+z 15(,)22故复数在复平面内对应的点位于第一象限．z 故答案为：一．14. 已知一组样本数据x 1，x 2，…，x 10，且++…+=2020，平均数，则该组数据的标准21x 22x 210x 11x =差为_________.【答案】9【解析】【分析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案．【详解】根据题意，一组样本数据，且，1210,,...,x x x 22212102020x x x ++⋯+=平均数，11x =则其方差 ()()()()22221210110S x x x x x x =-+-+⋯+-， ()()222221210111020201011811010x x x x =++⋯+-=-⨯=则其标准差，9S ==故答案为：9.15. 已知向量，向量，若，则的值为______．()4,2a = ()2,1b k k =-+ a b a b +=- k 【答案】5【解析】【分析】由条件求得，再根据数量积的坐标表示求. 0a b ⋅=k 【详解】，两边平方后得，a b a b +=- 0a b ⋅= 即，解得：.()()42210k k -++=5k =故答案为：516. 三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接-P ABC PA ⊥ABC 2PA BC ==30BAC ∠= -P ABC 球表面积为__________．【答案】20π【解析】【分析】先求出求出到平面的距离，由正弦定理求出的外接圆半径，即可求出球半径，得出表面积.ABC ABC A 【详解】如图，设外接球的球心为O ，设的外接圆圆心为，ABC A 1O 平面，， PA ⊥ABC 1112OO PA ∴==设的外接圆半径为，ABC A R 则由正弦定理可得，即， 224sin sin 30BC R BAC ===∠2R =则在中，1Rt OO A △OA ==则三棱锥的外接球表面积为.-P ABC 2420ππ⨯=故答案为：.20π四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；（2.【答案】（1）π（2）S =侧【解析】【分析】（1）根据弧长公式计算可得；（2）设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为，根据三角形相似求出，即可得解.r r 【小问1详解】因为圆锥的底面半径，母线长，2R =4l =设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为，则. α2π4ππ4R l α===【小问2详解】设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为，r则，，2R OC ==4AC =AO ==易知 A A ∽AEB AOC，，圆柱的侧面积. ∴C AE EB AO O =2r =∴1r =∴S =侧18. 已知向量.,a b 满足||1,||2a b ==（1）若，求的值； ||a b += |23|a b -（2）若，求的夹角.()0a a b ⋅-= ,a b【答案】（1）（2） π3【解析】【分析】（1）将条件平方后，利用向量的数量积的运算求得向量的数量积，进而求得，从,a b 223a b - 而得到的值；|23|a b - （2）根据条件利用向量的数量积的运算求得，进而得解. 1cos ,2a b =【小问1详解】由两边平方得，又，||a b += 2225a b a b ++⋅= ||1,||2a b == 代入得，所以， 0a b ⋅= 222234912a ba b a b -=+-⋅ 4194040=⨯+⨯-=所以. |23|a b -=【小问2详解】，∴， 2()cos ,12cos ,0a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-= 1cos ,2a b =又∵，∴. [],0,π∈ a b π,3a b = 19. 的内角的对边分别为，向量，，且.ABC A ,,A B C ,,a b c (1,)m a = (,cos cos )n a b C c B =+ m n ∥（1）求；a（2）若，求的周长. π,3A ABC =A ABC A 【答案】（1）1（2）3 【解析】【分析】(1)根据向量平行，再结合正弦定理，即可求出a.(2)先根据面积公式求出，再结合余弦定理，即可求解.1bc =解：因为，所以，根据正弦定理得， m n∥2cos cos b C c B a +=,即，即,sin cos sin cos sin B C C B a A +=()sin sin B C a A +=sin sin A a A =又，所以.()0,π,sin 0A A ∈≠1a =【小问2详解】,所以 1πsin 23ABC S bc ==A 1bc =根据余弦定理得，,即， 2222cos a b c bc A =+-()()2222133b c bc b c bc b c =+-=+-=+-所以，所以的周长为.2b c +=ABC A 3a b c ++=20. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成200[]40,100绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．[)40,50[)50,60L []90,100（1）求频率分布直方图中的值；a （2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．150【答案】（1）0.020a =（2）众数为，平均数为7574.5（3）65【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值；1a （2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，将矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得应聘者笔试成绩的平均数；（3）计算出百分位数，可得结果.25%解：由题意有，解得.()0.0050.0100.0300.015101a a +++++⨯=0.020a =【小问2详解】解：应聘者笔试成绩的众数为， 7080752+=应聘者笔试成绩的平均数为．450.05550.1650.2750.3850.2950.1574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】解：，所以，面试成绩的最低分为百分位数， 1500.75200= 25%前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，0.050.10.15+=0.150.20.35+=设百分位数为，则，解得.25%m ()0.15600.020.25m +-⨯=65m =因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.1506521. 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为平行四边形．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，M 、N 、Q 分别为PC 、CD 、AB 的中点．（1）求证：平面MNQ ∥平面PAD ；（2）求证：BC ∥l ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理、平行四边形的性质，结合线面平行和面面平行的判定，可得证明；（2）由线面平行的判定和性质，可得证明．【小问1详解】证明：因为M 、N 、Q 分别为PC 、CD 、AB 的中点，底面ABCD 为平行四边形，所以MN ∥PD ，NQ ∥AD ，又MN ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，则MN ∥平面PAD ，同理可得NQ ∥平面PAD ，又平面MNQ,,MN NQ N MN NQ =⊂ 所以平面MNQ ∥平面PAD .【小问2详解】证明：因为BC ∥AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ，又BC ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l ．22. 四边形ABCD 为正方形，平面，，． PD ⊥ABCD PD//QA 12QA AB PD ==（1）证明：平面PQ ⊥DCQ （2）求二面角的正切值．B PQC --【答案】（1）证明见解析（2．【解析】【分析】（1）利用直线和平面垂直的判定定理证明即可；（2）二面角的大小等于二面角与二面角的差，利用二面角的定义B PQ C --B PQ D --C PQ D --分别求出二面角与二面角的大小，最后利用两角差的正切公式即可求解.B PQ D --C PQD --【小问1详解】证明：∵平面ABCD ，,平面，∴面面ABCD ,PD ⊥PD ⊂PQAD PQAD ⊥∵平面平面，面，,PQAD ABCD AD =CD ⊂ABCD CD AD ⊥∴平面，∴,CD ⊥PQAD CD PQ ⊥设，则，，四边形PQAD 是直角梯形，1AB =2PD =1QA AD ==则，∵，∴．PQ QD ==222PQ QD PD +=PQ QD ⊥又∵，平面,平面,且， PQ CD ⊥QD ⊂DCQ CD ⊂DCQ CD QD D ⋂=∴平面DCQ ；PQ ⊥【小问2详解】由（1）平面，∴，，PQ ⊥DCQ PQ DQ ⊥PQ CQ ⊥∴就是二面角的平面角,CQD ∠C PQ D --记，则CQD α∠=tan α==过作交延长线于，连接、,A AE PQ ⊥PQ E BE CE ∵,,,平面,平面, AB AD ⊥DP AB ⊥AD DP D = AD ⊂ADPQ DP ⊂ADPQ ∴平面,BA ⊥ADPQ ∵平面，∴,同理可证平面,PE ⊂ADPQ BA PE ⊥PE ⊥BAE ∴为二面角的平面角，记，则BAE ∠B PQ D --BEA β∠=tan β==于是就是二面角的平面角的大小，βα-B PQ C --则，tan tan tan()1tan tan βαβαβα--===+⋅∴二面角． B PQ C --。

2023-2024学年河北省石家庄市高二下学期5月联考数学质量检测试题(含解析)

1 / 162023-2024学年河北省石家庄市高二下学期5月联考数学质量检测试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色鉴字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5，本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆的焦点坐标为（）22176y x +=A ．B ．(0,1),(0,1)-(1,0),(1,0)-C ．D．(0,(0,,2．已知函数在处的导数为3，则（）()f x 0x x =()()000lim2x f x x f x x∆→+∆-=∆A ．3B ．C ．6D ．32233．某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（）A ．14B ．64C ．72D ．804．在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷()2100,(0)N σσ>满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分16到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（）A ．1600B ．1800C ．2100D ．24005．一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（）324150146146146520C C C C C C C ++A ．没有白球B ．至多有2个黑球C ．至少有2个白球D ．至少有2个黑球6．设点P 是函数图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取()e x f x =值范围是（）A ．B ．C ．D ．2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭π2,2π3⎛⎫⎪⎝⎭π2π0,,π23⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ π2π0,,π23⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角(1,2,1),(,1,)m n t t =-=- m ⊥ ,n α⊥ βαβ，则实数的值为（）t A ．或－1B ．或1C ．－1或2D ．121512-8．已知函数满足（其中是的导数），若，()f x ()()1ln 0f x x f x x '+<()f x '()f x 12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则下列选项中正确的是（）13e b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭14e c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．643a b c <<634a c b <<463b a c <<436b c a<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．圆M ：，则下列说法正确的是（）22430x y x +-+=A ．点在圆内B ．圆M 关于直线对称()3,2240x y +-=C ．圆M 的半径为2D ．直线与圆M 相切0x =10．关于的展开式的说法中正确的是（）52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．各项的系数之和为B ．二项式系数的和为641-C ．展开式中无常数项D ．第4项的系数最大11．一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑3 / 16球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（）1A 2A 1B 2B A ．()121249P A B =B ．()()121P B P B +=C ．()()11211P B A P B A +=∣∣D ．()()21121P B A P B A +=∣∣三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为盏.13．已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独1330立，设甲次射击的总得分为随机变量，则.10X ()D X =14．有甲､乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是.710①列联表中的值为的值为40；c 20,b ②列联表中的值为的值为50；c 30,b ③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；97.5%④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.97.5%附：，其中.()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++α0.150.10.050.0250.010.001x α2.0722.7063.8415.0246.63510.828四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15．已知等差数列的前项和为.{}n a n 2325,3,31n S a a S a =+=(1)求数列的通项公式：{}n a (2)已知，求数列的前项和.()()1477n n n b a a +=++{}n b n nT16．已知抛物线C ：过点．()220y px p =>()1,2A (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长度．17．某收费APP （手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP 所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x （单位：元）及该月对应的用户数量y （单位：万人），得到如下数据表格：用户一个月月租减免的费用x （元）45678用户数量y （万人）22.12.52.93.2已知x 与y 线性相关.(1)求y 关于x 的经验回归方程；521190ii x==∑5179.4i ii x y==∑(2)据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线(),(1,2,,)i i x y i n = 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，y bx a =+$$$()()()1122211nniii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑ .a y bx =-$$18．某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备,A B 从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个()*n n ∈N 集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．514(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望．X X5 / 1619．已知函数．()()1ln R f x a x a x =+∈(1)求函数的单调区间；()f x (2)若函数有两个极值点．()()g x x f x =-12,x x ①求实数a 的取值范围；②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围．11,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭e 2.71828e =()()12g x g x -1．A【分析】根据椭圆的简单几何性质计算可得；【详解】解：因为椭圆方程为，焦点在轴上，且，，因为22176y x +=y 27a =26b =，所以，所以焦点坐标为、2221c a b =-=1c =()0,1-()0,1故选：A 2．B【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.0x x =【详解】因为函数在处的导数为3，()f x 0x x =所以，()()()0000lim3x f x f f x x x x ∆→'+∆∆=-=所以．()()()()000000113lim lim 32222x x f x x f x f x x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-=⋅=⨯=∆∆故选：B.3．B【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种.48264⨯⨯=故选：B ．4．D【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在80分到100分的概率，即可求解作答.【详解】依题意，随机变量，有，即正态曲线的对称轴为，2(100,)X N σ 100μ=100x =由，得，1(120)6P X >=111(80100)(100120)263P X P X ≤≤=≤≤=-=7 / 1680分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，所以设参加本次联考的总人数约为，n 则，解得.80013n =2400n =故选：D.5．B【分析】利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率，32146520C C C 表示任取5个球中，有1个黑球的概率41146520C C C 表示任取5个球中，没有黑球的概率50146520C C C 所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率．324150146146146520C C C C C C C ++故选：B ．6．C【分析】求导，得到α的取()f x '>tan α>值范围.【详解】()e x fx '=>∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，∴tan α>∵，[)0,πα∈∴．2π0,,23ππα⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭故选：C ．7．B【分析】根据平面夹角的向量公式求解可得.【详解】因为22,|||m n t m n ⋅=+==或1．=15t=故选：B．8．A【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的()()lng x f x x=单调性，结合不等式的性质即可求解.【详解】由，得，()()1ln0f x x f xx'+<()ln0f x x'⎡⎤<⎣⎦令，，则()()lng x f x x=()0,x∈+∞，()()()1ln0g x f x x f xx''=+<所以在上恒成立，()0g x'<()0,∞+所以在上为减函数，()g x()0,∞+因为，且在上单调性递增；111234>>e xy=R所以，111324e e e>>所以，111324e e eg g g⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，111111332244e ln e e ln e e ln ef f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，即．111234a b c<<643a b c<<故选：A.关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合()()lng x f x x=指数函数的单调性及不等式的性质即可.9．BD【分析】将圆的方程化成标准方程，根据点与圆心距离和半径的比较判断点位置，通过判断圆心在直线上得出圆关于直线的对称性，以及圆心到直线距离等于半径判断直线与圆相切.【详解】将圆M：化成标准方程：知圆心坐标为圆22430x y x+-+=22(2)1,x y-+=(2,0),M的半径为1.9 / 16A 项中，由点到圆心的距离：知点在圆外，A 项错误；()3,21d ==>()3,2B 项中，因圆心在直线上，而圆是轴对称图形，故圆M 关于直线(2,0)M 240x y +-=对称，B 项正确；240x y +-=C 项中，显然错误，C 项错误；D 项中，由圆心到直线的距离为：知直线与(2,0)M 0x=1d ==0x =圆M 相切，D 项正确.故选：BD.10．AC【分析】利用二项式展开式公式、二项式系数和以及各项系数的性质逐项验证即可.【详解】由，令得：，52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1x =()5521111⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭即各项的系数之和为，故A 正确；1-由二项式系数的和为：，故B 错误；5232=因为，552155C (2)(2)C r rr r r r rr T xx x ---+=-=-所以当时，不符合题意，所以无常数项，故C 正确；520r -= 2.5r =在中，当时系数最大，即第5项的系数最大，故D 错误．5(2)C r r-4r =故选：AC ．11．BC【分析】由独立事件与条件概率的概率公式计算判断即可.【详解】由题意，，()137P A =()247P A =因为在“第一次取得黑球”的前提条件下，盒子中还有2个黑球，4个白球，共6个球，所以,,1121(|)63P B A ==2142(|)63P B A ==因为在“第一次取得白球”的前提条件下，盒子中还有3个黑球，3个白球，共6个球，所以,1231(|)62P B A ==2231(|)62P B A ==第一次取得黑球，第二次取得黑球的概率为：，()()11111311(|)737P A B P A P B A ==⨯=第一次取得黑球，第二次取得白球的概率为：，故A 错()()12121322(|)737P A B P A P B A ==⨯=误；第一次取得白球，第二次取得黑球的概率为：，()()21212412(|)727P A B P A P B A ==⨯=第一次取得白球，第二次取得白球的概率为：，()()22222412(|)727P A B P A P B A ==⨯=第二次取得黑球的概率为，()()()11121213777P B P A B P A B =+=+=第二次取得白球的概率为，()()()21222224777P B P A B P A B =+=+=所以，故B 正确；()()121P B P B +=，，()1113P B A =∣()2123P B A =∣故，故C 正确；()()11211P B A P B A +=∣∣，，故D 错误；()1212P B A =∣()()2112217326P B A P B A +=+=∣∣故选：BC.12．30【分析】根据给定条件，构造等比数列，再利用等比数列列n 项和公式计算即得.【详解】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列，公比，，前6项和{}n a 2q =6n =，61890S =于是，解得，66116(11218901)(12)a q a S q --===--130a =所以底层所开灯的数量为30盏.故3013．20【分析】设命中的次数为，则，，根据二项分布的方差公式及方差的Y 110,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭ 3X Y =性质计算可得.【详解】设命中的次数为，则，所以，Y 110,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1120101339D Y ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭又，所以.3X Y =()()()220339209D X D Y D Y ===⨯=11 / 16故2014．①【分析】根据题中条件计算可判断选项①、②；根据列联表计算出的值，即可判断选项2K ③④.【详解】由题意知，成绩非优秀的学生数是，71007010⨯=成绩非优秀的学生数是70，所以，20,40c b ==选项①正确、②错误；根据列联表中的数据，得到()2210010302040 4.762 5.02450503070K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯因此没有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.故③，④错误，故①.15．(1)27n a n =-(2)1nn +【分析】（1）设出公差，根据条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）裂项得到，进而求和即可.()11111n b n n n n ==-++【详解】（1）设公差为，则，d ()()1111322341a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+++=⎪⎩解得，15,2a d =-=故；()1152227n a a n d n n =+-=-+-=-（2），()()()411127725711n b n n n n n n ===--+-+++故.1211111111223111n n n T b b b n n n n =+++=-+-++-=-=+++ 16．(1)，准线方程为24y x ==1x -(2)163【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程；（2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出AB 答案.【详解】（1）∵过点，()220y px p =>()1,2A ∴，解得，24p =2p =∴抛物线C ：，准线方程为；24y x ==1x -（2）由（1）知，抛物线焦点为，()1,0设直线AB ：，，，)1y x =-()11,A x y ()22,B x y 由，得：，则，)214y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩231030x x -+=12103x x +=则．121016233AB x x p =++=+=17．(1)0.320.62y x =+(2)5.10万人【分析】（1）分别求出，的值，再由公式可计算得，继而易得，从而得出答案；x y 0.32b = a （2）代入（1）得到的回归方程即可得出结论.14x =【详解】（1）由，1(84567)65x =⨯++++=，1(2 2.1 2.5 2.9 3.2) 2.545y =⨯++++=有，279.456 2.540.3219056b -⨯⨯==-⨯ ，2.540.3260.62a =-⨯=故y 关于x 的经验回归方程为；0.320.62y x =+（2）由（1）知经验回归方程为，当时，，0.320.62y x =+14x =0.32140.62 5.10y =⨯+=13 / 16所以预测该月的用户数量为5.10万人18．(1)313(2)分布列见解析，158【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算全为小集团的概率值；（2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望X 值．【详解】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团3n +23C n +的情况有，故全是大集团的概率是，2C n ()()()2231C 5C 3214n n n n n n +-==++整理得到，解得．2939300n n --=5n =若2个全是大集团，共有种情况；25C 10=若2个全是小集团，共有种情况；23C 3=故全为小集团的概率为．3331013=+（2）由题意知，随机变量的可能取值为，X 0,1,2,3计算，，，()035338C C 10C 56P X ===()125338C C 151C 56P X ===，；()215338C C 152C 28P X ===()305338C C 103C 56P X ===故的分布列为：X X 0123 P 156155615281056数学期望为．()1151510150123565628568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19．(1)答案见解析.(2)①；②()2,+∞40,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数的正负与函数的单调性的关系及对参数讨论即可求解；（2）①利用导数法求函数的极值的步骤及参数的讨论即可求解；②根据已知条件及韦达定理构造函数，，利用导数法求出函()11ln h t t t t t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1,1e t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭数的最值即可求解.【详解】（1）由题知，函数的定义域为，()f x ()0,∞+，()2211a ax f x x x x -'=-+=当时，对任意的，在上恒成立不恒为零，0a ≤0x >()0f x '≤()0,∞+故在上单调递减；()f x ()0,∞+当时，令，则，解得，0a >()0f x '=210ax x -=1x a =当时，；10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<当时，．1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；0a ≤()f x ()0,∞+当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）①由题知，，()()1ln g x x f x x a x x =-=--函数的定义域为，，()g x ()0,∞+()222111a x ax g x x x x -='+=+-当时，对任意的，且不恒为零，0a ≤0x >()0g x '≥()g x '故在上单调递增，没有极值点；()g x ()0,∞+当时，，且不恒为零，02a <≤240a ∆=-≤()0g x '≥()g x '15 / 16故在上单调递增，没有极值点；()g x R 当时，令，解得，，2a >()0g x '=2x =1x =210x x >>当时，；()()120,,x x x ∞∈⋃+()0g x '>当时，；()12,x x x ∈()0g x '<所以函数的单调递增区间为，，()g x ⎛⎝⎫+∞⎪⎪⎭单调递减区间为．综上，当时，有两极值点；2a >()g x 12,x x ②由①可知，，，12x x a +=121=x x 所以()()112112211212111ln ln 2ln x g x g x x a x x a x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-----=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111111122ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，其中，1x t =()11ln h t t t t t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1,1e t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以，()()222221ln 11111ln 1t t h t t t t t t -⎛⎫⎛⎫'=+---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为，可知，1,1e t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0h t '<所以在上单调递减．()h t 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∴，即，()()11e h h t h ⎛⎫≥> ⎪⎝⎭()20e h t ≥>所以的取值范围为．()()12g x g x -40,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦关键点睛：解决此题的关键是第一问是利用导数法求函数的单调性的步骤，注意对参数进行讨论即可，第二问第一小问利用导数法求出函数的极值的步骤，注意对参数的讨论即可，第二小问利用韦达定理及已知条件构造函数，利用导数法求函数的最值即可.。

河北省高三下学期5月月考数学试题(解析版)

唐山开滦第二中学2022—2023年高三下学期5月考试数学注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数满足，则（）z 1i 1zz +=-1z +=A. B.C.D.12【答案】B 【解析】【分析】利用已知条件可得出，化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 1i1iz -+=+z 【详解】因为，则，所以，， 1i 1z z +=-()1i 1z z +=-()()()21i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z ---+====++-因此，.11i z +=+==故选：B.2. 设集合，，则下列关系式正确的是（） {}254,R M x x a a a ==-+∈{}e 1,R aN y y a ==+∈A. B. C.D.M N =M N ⋂=∅M N N ⋃=()()M N ⊆R R ðð【答案】D 【解析】【分析】先利用二次函数和指数函数求值域分别化简集合M,N ,再判断包含关系即可【详解】，{}(){}{}2254,R 21,R 1M x x a a a x x a a x x ==-+∈==-+∈=≥ ，{}{}e 1,R 1a N y y a y y ==+∈=>可得，，，， N M M N ∴≠M N ⋂≠∅M N M ⋃=()()M N ⊆R R ðð故选：D.3. 若，，，（）π02α<<π02β-<<π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 42β⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先计算出，，再根据利用两角差πsin()4α+πsin(42β-sin(sin ()()2442βππβαα⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦的正弦公式展开计算可得. 【详解】因为所以， π0,2α<<ππ3π444α<+<所以，πsin 4α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭因为所以， π0,2β-<<πππ4422β<-<因为，πcos 42β⎛⎫-=⎪⎝⎭πsin(42β-===所以ππsin(sin ()(2442ββαα⎡⎤+=+--=⎢⎥⎣⎦ππππsin()cos(cos()sin()442442ββαα+--+-. 13=-=故选：D4. 如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于ABC D BC 4BC BD =D AB AC 点，，若，，则的最小值是（）M NAM AB λ= ()0,0AN AC μλμ=>>u u ur u u u r 1μλ-A.B.C.D.7【答案】A 【解析】【分析】根据三点共线以及平面向量基本定理推出，再根据基本不等式可求出结果. 14133λμ=-【详解】因为三点共线，所以可设，,,M D N MD tDN =则，()AD AM t AN AD -=-又，14AD AB BD AB BC =+=+ 1()4AB AC AB =+- 3144AB AC =+所以，3131()4444AB AC AM t AN AB AC +-=--又，，AM AB λ= AN AC μ=所以，3131()4444AB AC AB t AC AB AC λμ+-=--所以，3131()(4444AB AC t AB t AC λμ-+=-+-所以，消去得，334411()44t t λμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t 14133λμ=-所以， 14133μμλμ-=-+因为，，得，得，0λ>0μ>141033λμ=->14μ>所以，当且仅当，即144333μμ+-≥-=13μμ=μ=所以. 1μλ-故选：A5. 若，，，则（） ln5a =43b =4cos1c =A. B.C.D.a cb >>bc a >>c b a >>c a b >>【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用对数函数、余弦函数的单调性，借助“媒介数”比较大小作答. 【详解】函数在上单调递增，，ln y x =(0,)+∞2ln5ln e 2a =<=，因此， 34344111125ln 5(ln 5ln e )(ln 5ln 3)ln 0333381a b -=-=->-=>2b a <<而，余弦函数在上单调递减，于是，即， ππ143<<cos y x =π(0,)2π1cos1cos 32>=4cos12c =>所以.c a b >>故选：D6. 已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为12,S S 122S S =，则（） 12,V V 12V V=A. 8B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用圆锥的体积公式及侧面积公式，及圆锥的外接球半径求法，即可得解. 【详解】设两个圆锥的母线长分别为，高分别为，底面圆的半径分别为， 12,l l 12,h h 12,r r 对应圆锥的外接球半径分别为， 12,R R 由题可得，，同理得：，111122l r l r ππ⇒==11h =222l r =22h =由，得 1111122222222S rl r r S r l r r ππππ⋅===⋅21222r r =又，化简得，222()R r hR =+-222h r Rh += 221112222222212122h r R h r h r R r h +∴====+331113322243==43R V R V R R π∴π故选：C7. 已知函数，若方程在的解为，则()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()13f x =()0,π()1212,x x x x <（）()12cos 22x x -=A.B. C.D.7979-1313-【答案】B 【解析】【分析】结合图形得，利用二倍角的余弦公式和诱导公式将化为125π6x x +=()12cos 22x x -即可求解.1πsin(23x -【详解】当时，， π()0,x ∈ππ5π2(,333x -∈-依题意有， 12ππ1sin(2sin(2)0333x x -=-=>结合图象可知，，即，， 12πππ222332x x -+-=⨯125π6x x +=215π6x x =-所以 21212cos(22)2cos ()1x x x x -=--2115π2cos (())16x x =---21π2cos (2)16x 5=--. 21ππ2cos (2132x =---21π2sin (2)13x =--2172(139=⨯-=-故选：B8. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两()2:20C y px p =>F F l C A B 点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为AB M l CNAB MN =l （）A.B.C.D.12【答案】C 【解析】【分析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直l 2px my =+0m >()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y 线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得l C AB MN AB MN =的值，即可得出直线的斜率.m l 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，C ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭l 2p x my =+0m >设点、、，()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y 联立可得，，，222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩2220y mpy p --=222440m p p ∆=+>122y y mp +=所以，，()21212222AB x x p m y y p m p p =++=++=+，， 1202y y y mp +==20022p px my m p =+=+直线的斜率为，则直线的斜率为， l 1mMN m -所以，，3222p p MN m p p ⎛⎫=++=⋅⎪⎝⎭因为，则，因为，解得，ABMN =()3221p m+=⋅0m >m =因此，直线的斜率为. l 1m=故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知圆，则（） ()()22:ln 1C x a y a -+-=A. 存在个不同的，使得圆与轴相切2a C x B. 存在个不同的，使得圆在两坐标轴上截得的线段长度相等 2a C C. 存在个不同的，使得圆过坐标原点2a C D. 存在个不同的，使得圆的面积被直线平分 2a C 1y x =-【答案】AC 【解析】【分析】根据圆与轴相切，可得出，解此方程可判断A 选项；分析可得，判断出x ln 1a =()221ln 1ln a a a a ⎧<⎪⎪<⎨⎪=⎪⎩满足条件的实数的个数，可判断B 选项；数形结合可判断C 选项；由已知可得出，构造a ln 10a a --=，其中，利用导数法可判断D 选项.()1l n h a a a =--0a >【详解】由题意可知，，且圆的圆心为，半径为. 0a >C (),ln C a a 1对于A 选项，若圆与轴相切，则，解得或，A 对； C x ln 1a =e a =1ea =对于B 选项，若圆在两坐标轴上截得的线段长度相等，则，可得，C 1ln 1a a ⎧<⎪⎨<⎪⎩11e a <<圆截轴所得弦长为截轴所得弦长为，C x Cy所以，，所以，，=()()()22ln ln ln 0a a a a a a -=-+=令，，其中， ()ln f a a a =-()ln g a a a =+11ea <<所以，，， ()1110a f a a a -'=-=<()110g a a'=+>所以，函数在上单调递减，在上单调递增，()f a 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g a 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，当时，，，， 11e a <<()()110f a f >=>1110e eg ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110g =>所以，函数在上无零点，函数在上只有一个零点，B 错； ()f a 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭()g a 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭对于C 选项，若圆过原点，则，C ()22ln 1a a +=由图可知，与有两个交点，所以满足要求的有个，故C 正确；ln y x =221x y +=a 2对于D 选项，若圆的面积被直线平分，则直线过圆心， C 1y x =-1y x =-C 所以，，即， 1ln a a -=ln 10a a --=令，其中，则. ()1l n h aa a =--0a >()111a h a a a-'=-=当时，，此时函数单调递减， 01a <<()0h a '<()h a 当时，，此时函数单调递增， 1a >()0h a '>()h a 所以，，()()10h a h ≥=因此，存在唯一的，使得圆的面积被直线平分，D 错. a C 1y x =-故选：AC.10. 棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法1111ABCD A B C D -E F G AB BC 11B C 正确的有（）A. 点在直线上运动时，三棱锥的体积不变 P 1BC 1A D PC -B. 点在直线上运动时，直线始终与平面平行 Q EF GQ 11AAC CC. 直线与直线所成的角为EG 1AD π6D. 三棱锥的体积为D EFG -38【答案】ABC 【解析】【分析】根据的面积为矩形的面积的一半，且点到平面的距离不变，可判定1AD P △11ABC D C 11ABC DA 正确；由平面和平面，证得平面平面，可判定B 正//EF 11AAC C //GF 11AAC C //EFG 11AAC C 确；取的中点，把直线与直线所成的角即为直线与所成的角，在中，1BB M EG 1AD MG EG MEG 利用余弦定理求得C 正确；结合，可判定D 错误. cos θ=D EFG G DEF V V --=【详解】对于A 中，点在直线上运动时，的面积为矩形的面积的一半， P 1BC 1AD P △11ABC D 且点到平面的距离不变，所以三棱锥的体积不变，所以A 正确； C 11ABC D 1A D PC -对于B 中，点在直线上运动时，Q EF 由分别为的中点，可得， ,,E F G 11,,AB BC B C 1//,//EF AC GF CC 又由平面，平面，所以平面， EF ⊄11AAC C AC ⊂11AAC C //EF 11AAC C 同理可证：平面，//GF 11AAC C 因为且平面，所以平面平面， EF GF F = ,EF GF ⊂EFG //EFG 11AAC C 又因为平面，所以平面，所以B 正确； GQ ⊂EFG //GQ 11AAC C 对于C 中，取的中点，分别连接，1BB M ,ME MG 因为的中点，所以，又由，所以，G 1//MG BC 11//AD BC 1//MG AD 所以异面直线与直线所成的角即为直线与所成的角，设， EG 1AD MG EG EGM θ∠=设正方体的棱长为，可得， 1111ABCD A B C D -1MG ME ==在直角中，可得，所以EFG 1EF FG ==EG =所以，所以C 正确；222cos 2EG GM ME EG GMθ+-===⋅π6θ=对于D 中，由， 1111111311122222228DEF S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= 所以，所以D 错误.113113388D EFG G DEF DEF V V S GF --==⨯⨯=⨯⨯= 故选：ABC.11. 已知是数列的前项和，，则（）n S {}n a n 21n n S S n +=-+A. 121n n a a n ++=-B .当时，10a =501225S =C. 当时，为等差数列11a ={}n a D. 当数列单调递增时，的取值范围是 {}n a 1a 11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由，多写一项，两式相减得到，注意检验21n n S S n +=-+121(2)n n a a n n ++=-≥时是否成立即可；1n =对于B ，先根据题意求得，从而得到奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，22n n a a +-={}n a 10a =偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列得前项和公式即可求解；21a =n 对于C ，结合B 选项求得，，得到数列为，进而223n a n =-2122n a n +=+{}n a 1,4,1,6,3,8,5,10,- 判断即可；对于D ，先结合选项C 求得，，再根据数列单调递增，则必有21221n a n a =--21122n a n a +=+{}n a ，且，求解即可得出的取值范围．22212n n n a a a ++>>21a a >1a 【详解】对于A ，因为，当，，21n n S S n +=-+2n ≥21(1)n n S S n -=-+-两式相减得，121(2)n n a a n n ++=-≥但当时，，即，得，不符合，故A 错误；1n =2211S S =-+21211a a a +=-+1221a a +=对于B ，结合A 选项有，所以， 121(2)n n a a n n ++=-≥122(1)121n n a a n n +++=+-=+两式相减得，22(2)n n a a n +-=≥又，21n n S S n +=-+令，则，，得，又，所以，1n =211S S =-+1211a a a +=-+2121a a =-+10a =21a =令，则，，得，所以2n =324S S =-+112324a a a a a ++=--+312122422a a a a =--+=+32a =，则，所以，312a a -=22n n a a +-=所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数{}n a 10a =21a =列，则100123495013492450()()S a a a a a a a a a a a =+++++=+++++++ ，所以B 正确； 25242524(2502)(2512)122522⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=对于C ，结合B 选项有，，， 22(2)n n a a n +-=≥2121a a =-+3122a a =+又，11a =则，()()()()2222222442211212122123n n n n n a a a a a a a a n a n a n ---=-+-++-+=--+=--=- ，()()()()21212121235333121222222n n n n n a a a a a a a a n a n a n ++---=-+-++-+=-+=-++=+ 即数列的偶数项和奇数项都是等差数列，但数列为， {}n a {}n a 1,4,1,6,3,8,5,10,- 所以数列不是等差数列，故C 错误；{}n a 对于D ，结合选项C 有，， 21221n a n a =--21122n a n a +=+又数列单调递增，则必有，且， {}n a 22212n n n a a a ++>>21a a >所以，且，解得， 111222122221n a n a n a +-->+>--1112a a ->11144a -<<所以的取值范围是，所以D 正确．1a 11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：BD ．【点睛】关键点点睛：数列单调性问题或不等式问题，要充分挖掘题干条件，通常由递推公式求通项公式，或研究出数列的性质，结合等差数列或等比数列的性质进行求解．12. 已知，若，且，则（） ,,a b c ∈R 2221a b c ++=()()()111a b c abc ---=A. B. 1a b c ++=1ab bc ca ++<C. 的最大值为1 D. 的最小值为1c a 【答案】ABC 【解析】【分析】由题可得，设，则可得，即可解出1ab bc ca a b c ++=++-a b c x ++=22(1)1x x --=，，判断AB 正确；将条件转化为，利用判别式1a b c ++=0ab bc ca ++=22(1)0b a b a a +-+-=可求出的范围，同理求出的范围.a c 【详解】由，得，(1)(1)(1)a b c abc ---=1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=，1ab bc ca a b c ∴++=++-设，则.a b c x ++=1ab bc ca x ++=-，2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++= ，解得，即，，故AB 正确； 22(1)1x x ∴--=1x =1a b c ++=0ab bc ca ++=，即.()0ab a b c ∴++=()(1)0ab a b a b ++--=，即.220a b ab a b ∴++--=22(1)0b a b a a +-+-=由a ，知，.R b ∈()()22140a a a ∆=---≥∴，解得，同理可得，故C 正确，D 错误. 23210a a --£113a -≤≤113c -≤≤故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题考查根据已知等量关系求范围，解题的关键是根据条件令，转化出a b c x ++=，即可求出，进一步利用判别式可求出范围. 22(1)1x x --=1a b c ++=,a c 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数在上有最大值4，则的值为________．()221f x ax ax =++[1,2]a 【答案】38【解析】【分析】化简函数，分，和，三种情况讨论，得到函数的单调()2(1)1f x a x a =++-0a =0a >a<0性和最值，即可求解.【详解】由题意，函数，()2221(1)1f x ax ax a x a =++=++-①当时，函数在区间上的值为常数，不符合题意，舍去； 0a =()f x [1,2]1②当时，函数在区间上是单调递增函数， 0a >()f x [1,2]此时最大值为，解得； ()2814f a =+=38a =③当时，函数在区间上是单调递减函数，a<0()f x [1,2]此时最大值为，解得，不符合题意，舍去．()1314f a =+=1a =综上可知，的值为.a 38【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及二次函数的最值问题，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类讨论得到函数的单调性是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.14. 过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为______. ()2,3M -22:19y C x -=【答案】（或） 390x y -+=330x y ++=【解析】【分析】由双曲线方程得渐近线方程，进而求出结果.【详解】因为双曲线方程为，所以渐近线方程为，即渐近线的斜率为或，2219y x -=3y x =±33-所以与渐近线平行的直线方程为或， ()332y x -=+()332y x -=-+即或.390x y -+=330x y ++=故答案为：（或）.390x y -+=330x y ++=15. 设展开式中的常数项为，则实数的值为______.()51mx x ⎛- ⎝80m 【答案】 1-【解析】【分析】写出展开式的通项，分析可知的展开式中不含常数项，从而可知5x ⎛-⎝5x ⎛⎝的常数项为，结合已知条件可求得实数的值.()51mx x ⎛-- ⎝()445C 2m -⋅-m 【详解】的展开式通项为， 5x ⎛⎝()()3552155C C 20,1,2,,5kk k k k k k T x xk --+⎛=⋅⋅=⋅-⋅= ⎝，()5551mx x x x mx ⎛⎛⎛--- ⎝-⎝⎝= 在的展开式中，令，可得，不合乎题意；5x ⎛⎝3502k -=103k =∉N 在的展开式中，，5mx x ⎛- ⎝()()36215C 20,1,2,,5r r r r mxT m x r -+=⋅-⋅= 令，可得， 3602r -=4r =所以，展开式中的常数项为，解得. ()51mx x ⎛-- ⎝()445C 28080m m -⋅-=-=1m =-故答案为：.1-16. 已知定义在上的函数满足：，，当时，R ()f x ()()0f x f x -+=()()2f x f x -=01x ≤≤，则______.()21x f x =-()2log 2023f =【答案】 9991024-【解析】【分析】根据已知条件推导出函数是周期为的周期函数，求得，结合()f x 422log 202383<-<，结合已知条件代值计算即可得解.()()()222log 2023log 20238log 202310f f f =-=--【详解】因为定义在上的函数满足：，， R ()f x ()()0f x f x -+=()()2f x f x -=所以，，即函数为奇函数，()()f x f x -=-()f x 则，所以，， ()()()22f x f x f x =-=--()()()22f x f x f x +=-=-故函数是周期为的周期函数，()f x 4因为，所以，， 101121024202322048=<<=210log 202311<<则，，22log 202383<-<2110log 20230-<-<所以，()()()()2222log 2023log 202382log 2023810log 2023f f f f =-=--=-⎡⎤⎣⎦. ()2log 2023102102023999log 20231012121024f -=--=-=-=-故答案为：. 9991024-四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 休闲服装是现代一种新兴流行服装类别名称，是一种运动衣式的服装，如网球装、慢跑装、高尔夫球装等，是运动服和平时的生活服的结合，常用于晨间的拳操、爬山、郊游、打球等.休闲服装受到当今社会各类人士的热爱.现某机构针对本地区成年人爱穿休闲服装与性别是否有关联进行了问卷调查，在本地区随机抽取了名成年人样本进行分析，得到列联表如下：200 爱穿休闲服装不爱穿休闲服装总计男性 90 30120女性30 50 80总计12080200（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为本地区成年人爱穿休闲服装与性0.001α=别有关？（2）将此样本频率视为总体的概率，从本地区随机抽取名成年男性，记这人中“不爱穿休闲服装”44的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望.Y 2Y =Y ()E Y附：，其中.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++ α 0.15 0.10 0.05 0.01 0.001o x2.0722.7063.8416.63510.828【答案】（1）能，理由见解析（2）， ()272128P Y ==()1E Y =【解析】【分析】（1）提出零假设本地区成年人爱穿休闲服装与性别相互独立，计算出的观测值，结合临0:H 2χ界值表可得出结论；（2）分析可知，利用独立重复实验的概率公式可求得的值，利用二项分布的期1~4,4Y B ⎛⎫⎪⎝⎭()2P Y =望公式可求得的值. ()E Y 【小问1详解】解：零假设本地区成年人爱穿休闲服装与性别相互独立，0:H 根据列联表中的数据可得，()229050303020022528.12510.82812080120808χ⨯-⨯⨯===>⨯⨯⨯所以，根据小概率值的独立性检验，能认为本地区成年人爱穿休闲服装与性别有关.0.001α=【小问2详解】解：由表格中的数据可知，本地区成年男性不爱穿休闲服装的概率为， 3011204=将此样本频率视为总体的概率，从本地区随机抽取名成年男性， 4记这人中“不爱穿休闲服装”的人数为，则， 4Y 1~4,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，. ()222413272C 44128P Y ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1414E Y =⨯=18. 已知数列为等差数列，且，.{}ln n a 5228a a -=25678a a a =（1）求数列的通项公式； {}n a （2）求数列的前项和. {}n n a ⋅n n T 【答案】（1）2n n a =（2）1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】【分析】（1）根据数列为等差数列，推出数列为等比数列，再根据等比数列的通项公式列式{}ln n a {}n a 求出首项和公比，可得通项公式；（2）根据错位相减法可求出结果. 【小问1详解】设数列的公差为，则，即，则， {}ln n a d 1ln ln n n a a d +-=1ln n n a d a +=1e d n naa +=则数列为等比数列，设其公比为，{}n a q 由，得，解得， 5228a a -=25678a a a =()4112456111288a q a q a q a q a q ⎧-=⎪⎨⋅=⎪⎩122a q =⎧⎨=⎩所以. 2n n a =【小问2详解】由（1）得，2nn n a n ⋅=⋅， 231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ，234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅ 所以，231222222n n n n T T n +-=++++-⋅ 12(12)212n n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-所以.1(1)22n n T n +=-⋅+19. 在中，角，，所对的边分别为，，，.ABC A B C a b c 222sin sin 2sin 2sin ab A ab Ba b c B A+=+-（1）求证：； π03C <≤（2）若，求. 111tan tan tan B A C=+cos A 【答案】（1）证明过程见详解（2【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，再利用余弦定理和基本不等式即可证明；2222a b c +=（2）利用切化弦，结合两角和的正弦公式和正、余弦定理可得，再结合（1）的结论和余2223a c b +=弦定理即可求解. 【小问1详解】在中，因为，ABC 222sin sin 2sin 2sin ab A ab Ba b c B A+=+-由正弦定理可得，化简可得，2222222a b ab a b c b a +=+-2222a b c +=由余弦定理可得，当且仅当时取等222222222212cos 22442a b a b a b c a b ab C ab ab ab ab ++-+-+===≥=a b =号，所以，因为角是的内角，所以， 1cos 2C ≥C ABC 0πC <<所以. π03C <≤【小问2详解】由111cos cos sin cos cos sin tan tan tan sin sin sin sin A C C A C A B A C A C A C+=+=+=，则， sin()sin cos sin sin sin sin sin C A B B A C A C B +===22sin cos sin sin B b B A C ac==即，所以，又，22222a c b b ac ac +-=2223ac b +=2222a b c +=所以，在中，由余弦定理可得，,b a ==ABC .222cos 2b c a A bc+-===20. 三棱锥中，，，，直线与平面所成的角-P ABCPAB PAC ≅△△BC PA AB ⊥PC ABC 为，点在线段上.3πD PA（1）求证：； BD AC ⊥（2）若点在上，满足，点满足，求实数使得二面角E PC 34PE PC =D (01)AD AP λλ=<<λ的余弦值为. A BE D --25【答案】（1）证明见解析；（2）. 12λ=【解析】【分析】（1）证明平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；AC ⊥PAB （2）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直1AB AC ==A AB AC AP x y z 角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. λλ【小问1详解】证明：因为，，则且，PAB PAC ≅△△PA AB ⊥PA AC ⊥AB AC =，平面，AB AC A ⋂= PA ∴⊥ABC 所以为直线与平面所成的线面角，即，PCA ∠PC ABC 3PCA π∠=，故，，BC == 222AB AC BC +=AC AB ∴⊥，平面，PA AB A = AC ∴⊥PAB 平面，因此，.BD ⊂Q PAB BD AC ⊥【小问2详解】解：设，由（1）可知且，1AB AC ==3PCA π∠=PA AC ⊥tan3PA AC π∴==因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴PA ⊥ABC AB AC ⊥A AB AC AP x y z 建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，()1,0,0B ()0,1,0C (P 30,4E ⎛ ⎝()()01D λ<<设平面的法向量为，，，ABE ()111,,m x y z =()1,0,0AB = 30,4AE⎛= ⎝ 则，取，可得， 110304m AB x y m AE ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩1y =(0,1,m =设平面的法向量为，，， BDE ()222,,n x y z =()1,0,DB =31,4BE ⎛=- ⎝ 由，取，则，222220304n DB x z n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩23x λ=(3,4n λλ=- 由已知可得，解得.2cos ,5m n m n m n ⋅<>===⋅ 12λ=当点为线段的中点时，二面角的平面角为锐角，合乎题意. D AP A BE D --综上所述，. 12λ=21. 椭圆：的上顶点为，下顶点为，点.Γ()222210x y a b a b +=>>(A B ()0,2P （1）水椭圆的方程；Γ（2）过点的动直线交椭圆于，两点（不同于，两点），若直线与直线交于点P l C M N A B AN BM Q ，试问点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.Q 【答案】（1）22142x y +=（2）点在定直线上. Q1y =【解析】【分析】（1）先利用题给条件求得a 、b 的值，进而求得椭圆的方程；（2）设出直线的方程，并与椭圆的方程联立，利用设而不求的方法求得直线AN 与直线BM 交点Q 的纵坐标，化简整理即可求得点的纵坐标为定值，可得答案．【小问1详解】，则，则，又，c a =c =222,a b c b =+=则，解得，22221a a =+24a =则椭圆的方程为；22142x y +=【小问2详解】由题意可得，，过点的直线斜率存在，(0,A B (0,2)P设直线的方程为，令，，2y kx =+()11,M x y ()22,N x y 由，整理得， 221422x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2212840k x kx +++=则，即，()222(8)161232160k kk∆=-+=->k >k <， 12122284,1212kx x x x k k -+=⋅=++又直线AN 的方程为，直线BM 的方程为，y x =+y x =-由，可得y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又，12122x x kx x +=-⋅则1y ===则直线AN 与直线BM 交点的纵坐标为定值1， Q 所以点在定直线上. Q 1y =22. 已知函数.()e 2xf x x =-（1）求证：当时，；()0,1x ∈()3ln 2x x x f x x ++>（2）求函数在上的零点个数. ()()cos g x f x x =-π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】（1）证明见解析（2） 2【解析】【分析】（1）先证明出当时，，将所证不等式变形为，先证0x >e 1xx >+2e ln 0xx x x+->，其中，构造函数，其中，利用导数分析21ln 0x x x x ++->()0,1x ∈()21ln 1p x x x x=++-()0,1x ∈函数在上的单调性，证得，即可证得结论成立；()p x ()0,1()0p x >（2）求导得到，因无法轻易求得的解，故根据导函数的性质将的取值()e sin 2xg x x '=+-()0g x '=x 范围分为三段分别讨论，即可求解零点个数. 【小问1详解】证明：构造函数，其中，则，()e 1xh x x =--0x >()e 10xh x '=->所以，函数在上为增函数，则当时，，即， ()h x ()0,∞+0x >()()00h x h >=e 1x x >+当时，要证，即证，()0,1x ∈()3ln 2x x x f x x ++>3ln e x x x x +>即证，先证， 2e ln 0xx x x+->21ln 0x x x x ++->令，其中，则， ()21ln 1p x x x x =++-()0,1x ∈()22111220x p x x x x x x-'=--=-<所以，函数在上单调递减，()p x ()0,1故当时，，即，则， ()0,1x ∈()()110p x p >=>21ln 0x x x x ++->2eln 0xx x x+->故当时，.()0,1x ∈()3ln 2x x x f x x ++>【小问2详解】解：由已知得，，则． ()e 2cos xg x x x =--π,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()e sin 2x g x x '=+-①当时，因为，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()e 1sin 10xg x x '=-+-<所以在上单调递减，所以．()g x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()()00g x g >=所以在上无零点；()g x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭②当时，因为单调递增，且，，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x '()010g '=-<π2πe 102g ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭所以存在，使． 00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00g x '=当时，；当时，．[)00,x x ∈()0g x '<0π,2x x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增，且． ()g x [)00,x 0π,2x ⎛⎤ ⎥⎝⎦()00g =所以．设，，则． ()00g x <()e 2x m x x =-0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()e 2x m x '=-令，得．()0m x '=ln 2x =所以在上单调递减，在上单调递增． ()m x ()0,ln 2πln 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以．()()min ln 222ln 20m x m ==->所以．所以． π2πe π02m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π2πe π02g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭所以．所以在上存在一个零点． ()0π02g x g ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭()g x 0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在有个零点； ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2③当时，， π,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()2e sin 2e 30x g x x π'=+->->所以在上单调递增． ()g x π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭因为，所以在上无零点． 0πg 2⎛⎫> ⎪⎝⎭()g x π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上所述，在上的零点个数为． ()g x π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形x 结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数()0f x =()a g x =y a =的图象的交点问题. ()y g x =。

2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题

一、单选题二、多选题1.已知函数，则（）A ．14B ．5C ．1D．2. 函数在区间内的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．53.已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（）A ．4个B ．5个C ．3个或4个D ．4个或5个4.在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（）．A ．2B ．3C ．4D ．55. 已知空间向量两两相互垂直，且，若则的取值范围是（）A．B．C．D．6.已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（）A．B．C．D．7. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军，”对乙说：“你不是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（）不同的排列A ．36B ．54C ．60D ．728.已知，则（）A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知函数，．若实数a ，b (a ，b 均大于1)满足，则下列说法正确的是( )A ．函数在R 上单调递增B．函数的图象关于中心对称C．D．10. 已知空间中三条不同的直线a 、b 、c，三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A ．若，，则B．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，则11. 已知点P 在：上，点，则（）A ．点P 到直线AB的距离最大值是B．满足的点P 有2个2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题三、填空题四、解答题C ．过直线AB 上任意一点作的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN过定点D．的最小值为12. 已知函数，则下列说法正确的是（）A．若函数的最小值为，则B ．若），则使得成立C ．若，都有成立，则D ．若函数在上存在最大值，则正实数的取值范围是13. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.14. 等差数列的公差，其前n项和为，若，则中不同的数值有________个．15. 某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本．进行5次试验，收集到的数据如表：产品数个1020304050产品总成本（元）62a758189由最小二乘法得到回归方程，则______．16. 2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中率均为，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望；(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数为，①当时，请直接写出数学期望与的关系；②求出关于的表达式.17. 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足.(1)求证：；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.18.如图，是正方形，是正方形的中心，底面是的中点.(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积.19. 在①函数的图像关于直线对称；②函数的图像关于点对称；③函数的图像经过点；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知函数最小正周期为，(1)求函数的解析式；(2)函数在上的最大值和最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20. 如图，在中，，D为AC边上一点且，.（1）若，求的面积；（2）求的取值范围.21. 求函数的最小值.。

河北省高碑店市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一5月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 甲､乙去同一家药店各购一种医用外科口罩，已知这家药店出售A ，B ､C 三种医用外科口罩，则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（）A. B. C. D.13141512【答案】A【解析】【分析】分别写出基本事件数和符合条件的事件数，利用古典概型公式求解即可.【详解】甲、乙在A ，B ，C 三种医用外科口罩中各购一种的基本事件有,,, (,)B A (,)B B (,)B C ，,,,,共9种，(,)A A (,)A B (A,C)(C,A)(,)C B (,)C C 其中甲，乙购买的是同一种医用外科口罩基本事件有,3种，(,)A A (,)B B (,)C C 则其概率为. 3193P ==故选:.A 2. 在复平面内，复数对应的点位于（） 112i z =+A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数在复平面内的坐标表示可得答案. 【详解】解：由题意得：()()112i 12=i 12i 12i 12i 55z -==-++-在复平面上对应的点为，该点在第四象限.∴z 12(55-，故选：D3. 若向量，满足，则与的夹角为（）a b ||(2,1),5a b a b ==-⋅= a b A. B. C. D.90︒60︒45︒30︒【答案】C【解析】【分析】先求出，即可根据数量积的定义求出夹角.b 【详解】解：∵，∴，(2,1)b =-||b == 又，两向量的夹角的取值范围是，，||5a a b =⋅= θ[0,]θπ∈∴. cos ,||||a b a b a b ⋅<>=== ∴与的夹角为.a b 45︒故选：C.4. 在三棱锥中，PA 、AB 、AC 两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为-P ABC 3AP =6BC =（）A.B. C. D. 57π63π45π84π【答案】C【解析】【分析】由PA ，AB ，AC 两两垂直，可判定该三棱锥为长方体的一部分，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，可知外接球半径为长方体体对角线的一半，进而求解.【详解】由于PA ，AB ，AC 两两垂直，故可得该三棱锥为长方体的一部分，因为外接球半径为长方体体对角线的一半，所以，R ===故，2445S R ππ==故选：C5. 已知，是两条不同的直线，是平面，且则“”是“”的（）a b αa b αα⊄⊂，//a α//a b A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件【答案】B【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系以及线面平行的判定定理，结合必要不充分条件的概念即可得出结论.【详解】依题意得，当，时，直线与直线的位置关系为平行或者异面，a b αα⊄⊂，//a αa b 当，时，由线面平行的判定定理可得，a b αα⊄⊂，//a b //a α综上所述，“”是“”的必要不充分条件.//a α//a b 故选：B.6. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑.如图，在鳖臑中，平S ABC -SC ⊥面ABC ，是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形，且，则异面直线BC 与SA 所成角ABC A SC =的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】【分析】将底面补形为正方形，找到异面直线BC 与SA 所成角的平面角，在求解即可.ABCD SAD A 【详解】作正方形，连接SD ，则异面直线BC 与SA 所成角的平面角为ABCD （或其补角），如图所示 SAD ∠由已知有平面ABC ，所以SC ⊥,⊥SC BC 又因为，,BC CD ⊥⋂=CD SC C 则面SCD ，因为,BC ⊥//AD BC 所以面SCD ，所以，AD ⊥AD SD ⊥设则，，1,AB =SC =1AD CD ==， SD =tan ∠==SD SAD AD 所以60SAD ∠= 故选：C.7. 要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续.则第四袋牛奶的标号是（）（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）844217553157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998301071851286735807443952387933211A. 358B. 301C. 071D. 206【答案】C【解析】【分析】根据题意，按照所提供的随机数表和读数规则依次读取有效数据，注意删除重复数据即可得出第四袋牛奶的标号.【详解】由题意可知，读取的第一个数据是583，不符合条件，第二个数据是921，不符合条件，第三个数据是206，符合条件；即随机选取的第一袋牛奶标号是206；以下数据依次是766，301，647，859，169，555，671，998，301，其中符合题意的数据只有301，169，301三个数据，但是301属于重复数据，继续往后计数；下一个数是071，符合条件，即前四袋牛奶的标号依次为206，301，169，071；所以，第四袋牛奶的标号为071.故选：C.8. 如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于A. B. C. 1 D. －1【答案】C【解析】【分析】在ABC 中，由正弦定理得AC ＝，再在ADC 中，由正弦定理得解.A A 【详解】在ABC 中，由正弦定理得， A sin 30sin135AB AC =∴AC ＝．在ADC 中，， A sin(90)sin15AC CD θ=+∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝. sin151AC CD⋅=-故选：C【点睛】结论点睛：解一个三角形需要已知三个几何元素（边和角），且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到其它三角形中求解.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列事件中，是随机事件的是（）A. 年月日，北京市不下雨2021818B. 在标准大气压下，水在时结冰4C C. 从标有，，，的张号签中任取一张，恰为号签123441D. 若，则x R ∈20x ≥【答案】AC【解析】【分析】根据事件的概念进行判断，在某次实验中可能发生也可能不发生的事件成为随机事件．【详解】A 选项与C 选项为随机事件，B 为不可能事件，D 为必然事件．故选：AC ．10. 正方体绕直线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（）1111ABCD A B C D -1BD θθA. B. C. D. 23π56π43π53π【答案】AC【解析】【分析】由正方体的特点，对角线垂直于平面，且三角形为等边三角形得答案．1BD 1AB C 1AB C 【详解】解：如图，正方体中，对角线垂直于平面，且三角形为等边三角形， 1111ABCD A B C D -1BD 1AB C 1AB C 正方体绕对角线旋转能与原正方体重合．120︒故选：．AC 11. 如图所示，已知正方体的棱长为2，线段上有两个动点，，且1111ABCD A B C D -11B D E F，则下列结论中，正确的是（）EF =A. 平面平面AEF A 1DBC B. 存在点（与不重合），使得与共面E E 1D BE 1ADC. 当点运动时，总有 E 1AC AE ⊥D. 三棱锥的体积为定值B AEF -【答案】ACD【解析】【分析】对于A ，连接，证明，则有平面，同理可证1111,,,,AD AB BD BC DC 11AD BC ∥1AD A 1DBC 平面，从而可判断；对于B ，若与共面，则平面与平面重合，即可1AB A 1DBC BE 1AD 11AB D 11BDD B 判断；对于C ，证明平面，即可判断；对于D ，根据即可判断.1A C ⊥11AB D B AEF A BEF V V --=【详解】解：对于A ，连接，1111,,,,AD AB BD BC DC 因为且，11AB D C ∥11AB D C =所以四边形是平行四边形，11ABC D 所以，11AD BC ∥又平面，平面，1AD ⊄1DBC 1BC ⊂1DBC 所以平面， 1AD A 1DBC 同理平面，1AB A 1DBC 又平面，1111,,AD AB A AD AB ⋂=⊂AEF 所以平面平面，故A 正确；AEF ∥1DBC 对于B ，因为平面平面，11AB D 1111BDD B B D =平面，平面，1AD ⊂11AB D BE ⊂11BDD B ，111111,AD B D D BE B D E ⋂=⋂=若与共面，则平面与平面重合，BE 1AD 11AB D 11BDD B 与题意相矛盾，故不存在点（与不重合），使得与共面，故B 错误；E E 1D BE 1AD 对于C ，连接，则， 11,AC AC 1111AC B D ⊥因为平面，平面，1AA ⊥1111D C B A 11B D ⊂1111D C B A所以，111AA B D ⊥又平面，1111111,,AA AC A AA AC ⋂=⊂11ACC A 所以平面，11B D ⊥11ACC A 又平面，所以，1AC ⊂11ACC A 111AC B D ⊥同理，11AD AC ⊥又平面，1111111,,AD B D D AD B D ⋂=⊂11AB D 所以平面，1A C ⊥11AB D 又平面，AE ⊂11AB D 所以，1AC AE ⊥即当点运动时，总有，故C 正确；E 1AC AE ⊥对于D ，因为平面，平面，1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 所以，1BB AC ⊥又平面，11,,,AC BD BD BB B BD BB ⊥⋂=⊂11BDD B 所以平面，AC ⊥11BDD B则三棱锥的高为，A BEF -12AC =，122BEF S =⨯=A则为定值，故D 正确.1233B AEF A BEF V V --===故选：ACD.12. 已知平面向量，则下列结论正确的是（）()()3,4,7,1a b ==r rA. B.()10,5a b += 10b a = C. D. 与的夹角为45°a A ()ab - a b 【答案】AD【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算逐项分析判断.【详解】对A ：根据向量的坐标运算易知，A 选项正确；()10,5a b +=对B ：因为，所以B 选项错误；5,a b ====r r 对C ：因为，可得，则与不共线，所以C 选项错误；()4,3a b -=-r r ()33440⨯-⨯-≠a a b - 对D ：因为，则，所以与的夹角为45°，374125a b ⋅=⨯+⨯=rr cos ,a b a b a b ⋅===r r r r r r a b D 选项正确．故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为______．【答案】8【解析】【分析】根据第5组的频率为0.1可求第5组的频数，从而可求第6组的频数.【详解】因为第5组的频率为0.1，故第5组的频数为，0.1404⨯=故第6组的频数为，4010576430228-----=-=故答案为：8.14. 已知向量满足，_______．,,a b c 20a b c ++= 1,a b c === a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 【答案】-2【解析】【分析】利用，得到，，两式()20b a b c ⋅++= ()20a b c c ++⋅= 22a b b c ⋅+⋅=- 22a c b c ⋅+⋅=- 相加即可得到答案.【详解】，故①，()2220b a b c b a b b c ⋅++=+⋅+⋅= 22a b b c ⋅+⋅=- ，故②，()2220a b c c a c b c c ++⋅=⋅+⋅+= 22a c b c ⋅+⋅=-则①+②得：，所以2224a b b c a c ⋅+⋅+⋅=- 2a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- 故答案为：-215. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则cos C 的最小值为____．ABCA 2a c =【解析】【分析】由已知及余弦定理得，由此利用基本不等式能求出的最小值． 2232cos 8a b C ab +=-cos C 【详解】解：∵在中，角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，，ABC A 2a c+=∴222cos 2a b c C ab+-== 22328a bab +=3288a b b a =+-≥=当且仅当时，即时取等号， 3288a b b a=2232a b =∴． cos C．16. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥，则该四棱锥的外接球的体积为_________． S ABCD-【解析】【分析】由题意可得正方形的中心即为球心，设球半径为，结合题中条件求出半径即可得出结ABCD r 果.【详解】由题可知正方形的中心即为球心，ABCD 设球半径为，则，r 22ABCD S r =， 211233S ABCD ABCD V S r r r -=⋅=⋅⋅=解得，r =该四棱锥的外接球的体积为． 334433V r ππ==⨯=. 四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，且. ABC A AB AC ⋅ 2,3AC AB ==（1）求； sin sin A B（2）若点为边上一点，且与的面积之比为1:3.D AB ACD ∆ABC ∆①求证：；AB CD ⊥②求内切圆的半径.ACD ∆r【答案】（1；（2）①证明见解析；②. r =【解析】【详解】试题分析：（1）由面积公式确定，再由余弦定理确定，然后结合正弦定理即可得到；（2）①由勾股定理易得二者垂直；②利用面积公式建立半径方程，解之即可.试题解析：（1）∵的面积为，∴， ABC ∆1sin cos 2bc A A =tan A =∴3A π=由余弦定理得，∴，2222cos 4967a b c bc A =+-=+-=a =∴由余弦定理得 sin sin A a B b ==（2）①∵与的面积之比为，∴，ACD ∆ABC ∆:1:3AD AB =1AD =由余弦定理得，CD =∴，∴即222AD CD AC +=AD CD ⊥AD CD ⊥②（法一）在中， Rt ADC ∆2AD CD AC r +-==（法二）设的周长为，由得 ACD ∆C 11·122C r =⨯r =考点：解三角形.18. 已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.11i z a =+a R ∈a<0i 21z （1）求实数a 的值；（2）若，求复数的模. 1221iz z =++2z 2z 【答案】（1）1a =-（2【解析】【分析】（1）先求得，再根据是纯虚数建立方程即可求出； 22112i z a a =-+21z （2）根据复数除法运算法则求出，即可求出.2z 2z 【小问1详解】由已知得：，且是纯虚数 22112i z a a =-+21z ，∵，∴. 21020a a ⎧-=∴⎨≠⎩a<01a =-【小问2详解】由（1）得：，∴ 11i z =-()()()2121i 1i 2222i 1i 1i 1i 1i z z --=+=+=+=-+++-∴22i z =-=19. 已知向量，．(3,4)a =- (2,2)b =（1）求与夹角的余弦值； a b（2）为何值时，与垂直．λa b λ+ a 【答案】（1（2） 252λ=-【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算及夹角公式计算可得；（2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可；a b λ+ ()0a b a λ+⋅= 【小问1详解】解：由题意可得，，5a == b == ，设与夹角为， 32422a b ⋅=-⨯+⨯= a bθ，即与． ∴cos a b a b θ⋅=== a b 【小问2详解】解：因为，，所以，(3,4)a =- (2,2)b = ()()()3,42,232,42a b λλλλ+=-+=-++ 与垂直，a b λ+ a 所以，解得． ()(3)(32)4(42)0a b a λλλ+⋅=--+++= 252λ=-20. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补3cos2cos 1B C -=tantan 2C B =sin 2B C +=充在下面问题中.问题：如图，直角中，，，且__________，点在的延长线上，，求ABC A 2A π=4BC =D BC 1CD =长.AD 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；.AD =【解析】【分析】若选①，根据二倍角公式求得，从而求出，再用余弦定理求即可； 1sin 2B =6B π=AD 若选②，运用切化弦、二倍角公式得，从而求出，再用余弦定理求即可； 1cos 2C =3C π=AD 若选③，运用辅助角公式得，再用余弦定理求即可；3C π=AD 【详解】选①直角中，ABC A 2A π=()23cos2cos 312sin sin 1B C B B ∴-=--=即，得 26sin sin 20B B +-=1sin 2B =，02B π<< 6B π∴=，且 4BC = 2AC ∴=23ACD π∠=，.1CD =AD ∴==选②直角中， ABC A 2A π= 2sin 2sin 22tan 2cos 2sin cos 222C C C C C C ∴==⋅，得 1cos sin cos tan sin cos sin C B C B C B C -====1cos 2C =，02C π<< 3C π∴=，且 4BC =2AC ∴=23ACD π∠=，.1CD = AD ∴==选③直角中，ABC A 2A π=sin cos 2B C C C ∴+=+= 1cos sin 126C C C π⎫⎛+=+= ⎪⎝⎭， 02C π<<2663C πππ∴<+<，62C ππ∴+=3C π∴=，且 4BC = 2AC ∴=23ACD π∠=，.1CD = AD ∴==21. 已知四棱锥的底面是菱形，，点E 是边的中点．P ABCD -60,BCD PD AD ∠=︒⊥BC（Ⅰ）求证：平面；AD ⊥PDE（Ⅱ）若二面角的大小等于，且 P AD C --60︒4,AB PD ==①点P 到平面的距离；ABCD ②求直线与平面所成角的大小．PB ABCD 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①4，②. 3π【解析】【分析】（Ⅰ）连接BD ，点E 是BC 边的中点，得出，再由，得出结果； DE BC ⊥DEAD ⊥DP AD ⊥（Ⅱ），，为二面角的平面角，，过P 在平面DE AD ⊥PD AD ⊥PDE ∠P AD C --60PDE ∠=︒PDE 内做于K ，易证面ABCD ，PK 为点到面的距离，即为线面角.PK DE ⊥PK ⊥PBK ∠【详解】（Ⅰ）连接BD ，底面ABCD 是菱形，∠BDC =60°，∴△BCD 是正三角形．∵点E 是BC 边的中点，∴DE ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴DE ⊥AD ．∵DP ⊥AD ，DP ∩AD =D ，∴AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）①∵DE ⊥AD ，PD ⊥AD ，∴为二面角P -AD -C 的平面角，∴，PDE ∠60PDE ∠=︒过P 在平面PDE 内做于K ，由（Ⅰ）易．PK DE ⊥AD PK ⊥∴面ABCD ．PK ⊥∵∴， PD =DK =4PK =即点P 到平面ABCD 的距离是4．②AB =4，∴∴，∴K 为重心． DE =23DK DE =BCD △连接BK ，∵为正三角形，所以BK 为BP 在面ABCD 内的射影．BCD △∴PB ⊥AB ，为直线与平面所成角，PBK ∠PB ABCD中，， RT PKB △tan PK PK PKB KB DK ∠===3PKB π∠=直线与平面所成角的大小为.PB ABCD 3π【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．22. 国家射击队的某队员射击一次，命中7~10环的概率如表所示：命中环数10环 9环 8环 7环概率 0.32 0.28 0.18 0.12求该射击队员射击一次求:（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率．【答案】(1)0.6;(2)0.78;(3)0.22.【解析】【详解】分析：（1）根据互斥事件概率加法得结果，（2）根据互斥事件概率加法得结果，（3）根据对立事件概率关系求结果.详解：记事件“射击一次，命中k环”为A k（k∈N，k≤10），则事件A k彼此互斥．（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得BP（）=1-P（B）=1-0.78=0.22点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).。

2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题

2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题（正文开始）第一部分：选择题（共30题，每题4分，共120分）1. 已知函数f(x) = 2x + 5，求f(3)的值是多少？2. 设a = 3，b = -4，c = 2，计算a^2 + b^2 - c^2的结果。

3. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，a = 3，b = 4，求c的值。

4. 解方程2x + 7 = 15。

5. 已知函数y = 3x - 2，求当x = 4时，y的值。

6. 若x > 0，求不等式4x + 6 > 18的解集。

7. 已知a:b = 3:4，b:c = 5:6，求a:b:c的比值。

8. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3, 4)，点B的坐标为(-5, -2)，求AB的距离。

9. 设x = 5，求x的倒数的平方。

10. 已知函数y = 2x^2 + 3x - 5，求当x = 2时，y的值。

11. 设a = 3，b = 4，求a与b的算术平均数与几何平均数之差。

12. 用分数表示小数0.4。

13. 若x为一个正数且x ≠ 1，求(x - 1)^2 + 1的最小值。

14. 解方程5x + 3 = x^2。

15. 在平面直角坐标系中，点A(3, 4)关于y轴的对称点为A'，求A'的坐标。

16. 若a:b = 2:5，b:c = 3:4，求(a + b + c):(a - b - c)的值。

17. 设a为一个正整数，且a ≠ 1，求(a^2 + 5a + 4) ÷ (a + 2)的值。

18. 解方程4(2x - 3) - 2(x + 1) = 5。

19. 已知函数y = 3x^2 + 2x + 1，求当x = -1时，y的值。

20. 计算4!(4的阶乘)的值。

21. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-3, 2)，点B的坐标为(2, -1)，求AB的中点坐标。

22. 若x为正整数，求使得(x^2 + 2) ÷(x - 1)为整数的最小正整数x。

河北省高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一年级5月月考数学试题一、单选题（每题5分，共12题）1. 已知向量，，则（）()1,2a =r ()0,1b = a b -=A. B.C.D.()1,3()3,1()1,1()1,1--【答案】C 【解析】【分析】由向量减法的坐标运算求解．【详解】由题设，．(1,2)(0,1)(1,1)a b -=-=故选：C ．2. 已知向量，，且，则（）()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥2a b += A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】【分析】由，可得，求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出a b ⊥1220m -+=m 2a b + 2a b +【详解】解：因为向量，，且，()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥所以，解得， 1220m -+=32m =所以，()2,1b =r所以，2(1,2)2(2,1)(3,4)a b +=-+=所以，25a b +== 故选：A3. 若单位向量，满足，则与的夹角为（）a b ()2a b a -⊥ a b A.B.C.D.6π3π2ππ【答案】B 【解析】【分析】先求出，然后用夹角公式求解.12a b ⋅= 【详解】由，得，()2a b a -⊥()20a b a -⋅=r r r所以，所以， 12a b ⋅= 1cos ,2||||a b a b a b ⋅==⋅又，所以.[],0,a b π∈,3a b π=r r 故选：B.4. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（）A. B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】方法一：还原原图形，再求出面积；方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解【详解】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，1OB O B ''==，故面积为.2OAO A ''==OAOB ⋅=方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为， 111⨯=故原图的面积为1=故选：A5. 在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为1111ABCD A B C D -M ABCD 1A D 1B M （）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A 【解析】【分析】如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线1B C MC MB 1CB M ∠1A D 所成角大小.1B M 【详解】设正方体的棱长为，连接，，，2a 1B C MC MB 因为，故或其补角为直线与直线所成角. 11//B C A D 1CB M ∠1A D 1B M而，，，1B C =MC =1B M ===故，所以，22211B C B M CM =+1MB CM ⊥所以为锐角，故， 1cos CB M ∠==1CB M ∠130CB M ∠=︒故选：A.6. 在中，角所对的边分别为．若，则ABC A A B C ，，a b c ，，1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-ABC A 为（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理，化简得，进而对进行分类讨论，分为①sin cos sin cos 0A C B C -=cos C ；②两种情况进行求解，即可得到答案.cos 0C =cos 0C ≠【详解】，利用正弦定理，可得， 1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-，1111sin sin sin sin sin tan sin tan C A C B B A A B -=-，11cos cos sin sin sin sin sin sin A BC A C B B A--=，sin sin sin cos sin cos B A C A C B -=-，sin()sin()sin cos sin cos A C B C C A C B +-+=-，sin cos sin cos 0A C B C -=①时，有等式成立，此时；cos 0C =2C π=②时，有，因为，所以，.cos 0C≠sin sin A B =0,0A B ππ<<<<A B =故为等腰或直角三角形. ABC A 故选：D7. 如图，△ABC 是简易遮阳棚，A ，B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角应为（）A. 75°B. 60°C. 50°D. 45°【答案】C 【解析】【分析】作出遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，再借助正弦定理推理、计算作答. 【详解】过C 作平面于E ，连DE 并延长交AB 于O ，连CO ，如图，CE ⊥ABD依题意，，而，，则平面，又平面，有⊥DO AB CE AB ⊥CE DO E ⋂=AB ⊥COD CO ⊂COD ，CO AB ⊥因此，是遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，令，而， COD ∠COD α∠=40CDO ∠= 由于AB 长一定，要使遮阴影面ABD 面积最大，当且仅当最长，DO在中，长是定值，由正弦定理得：，当且仅当COD △CO sin(40)sin 40sin 40CO COOD α+=≤，即取“=”， sin(40)1α+= 50α= 所以遮阳棚ABC 与地面所成的角应为. 50 故选：C8. 锐角中，已知，则取值范围是（）ABC ∆3a A π==223b c bc ++A. B.C.D.(]5,15(]7,15(]7,11(]11,15【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理得：，再由正弦定理得：，则223b c bc +=+2sin ,2sin b B c C ==4sin sin bc B C =，利用三角形内角和定理和三角函数的恒等变换，转化为求三角函数的值域，求出范围即可得到结果. bc 【详解】，由余弦定理得：，即，3a A π==∴2222cos a b c bc A =+-223b c bc +=+由正弦定理得：，， 2sin sin sin a b cA B C===2sin ,2sin b B c C ∴==，4sin sin 4sin sin 2sin 2136bc B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴==+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由得：，， 022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩62B ππ<<52,666B πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 1sin 21,2326B bc π⎛⎫∴<-≤∴<≤ ⎪⎝⎭.(]2234311,15b c bc bc ∴++=+∈故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，三角函数的性质，解题的关键是将边化角转化为三角函数的值域求解.二、多选题（每题选全得5分，错选不得分，漏选得2分）9. 已知a ，，，，则下列说法正确的是（）b ∈R ()1i 32i a b --=-()1i a bz -=+A. z 的虚部是B.2i 2z =C. D. z 对应的点在第二象限2i z =-【答案】BC 【解析】【分析】根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.【详解】由复数相等可得解得所以，3,12,b a -=⎧⎨-=-⎩1,3,a b =-⎧⎨=-⎩2(1i)(1i)2i a bz -=+=+=对于A ，的虚部是2，故A 错误； z 对于B ，，故B 正确； |||2i |2z ==对于C ，，故C 正确；2i z =-对于D ，对应的点在虚轴上，故D 错误. z 故选：BC10. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，）.a b2a b ==a b +=A.B. 与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C.D. 在上的投影向量为a b a b -<+ a b - b 12b r 【答案】BC 【解析】【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】，,2a b ==a b += ,解得,故A 错误22212||2424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+2⋅= a b ,，·cos ,2a b a b a b ⋅== 1cos ,2a b a b a b ⋅==由于，与的夹角为，故B 正确, ()0π，，a b ∈a ∴r bπ3故C 正确2a b a b -====<+=在上的投影向量为，故D 错误, a b - b()21··22b a b b a b b b b b b b b b⋅-⋅-==-=-故选：BC11. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（） m n αβA. 若，，则 B. 若，，则//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n C. 若，，则 D. 若，，，则//m αm β⊂//αβm α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若，，则或与相交或与异面，故选项A 错误； //m α//n α//m n m n m n 对B ：若，，则，故选项B 正确；m α⊥n α⊥//m n 对C ：若，，则或与相交，故选项C 正确； //m αm β⊂//αβαβ对D ：若，，，则，故选项D 正确. m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥故选：BD.12. 如图所示，在三棱锥中，，且，为线段V ABC -AB BC =90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒P VC 的中点.则（）A. 与垂直 PB ACB. 与平行PB VA C. 点到点，，，的距离相等P A B C V D. 与平面，与平面所成的角可能相等 VB ABC PB ABC 【答案】AC 【解析】【分析】由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为VA ⊥ABC AC H //PH VA PB AC ⊥H 外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距Rt ABC A P ,,A B C P Rt VAC △P A B C V离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等 VB ABC PB ABC 【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点.P PH AC ⊥H BH H AC 因为，所以，所以平面，所以，从而A 正确； AB BC =BH AC ⊥AC ⊥PBH AC PB ⊥由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B 错误； //PH VA PH PB PB VA 点是的外心，所以到，，的距离相等，P Rt VAC △P V A C 根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到VA ⊥ABC PH ⊥ABC H Rt ABC △P A ，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C 正确； B C P A B C V 与平面所成的角即，与平面所成的角即，，VB ABC VBA ∠PB ABC PBH ∠tan VAVBA AB∠=，所以两个角不可能相等，D 错误.tan tan PH PBH VBA BH ∠===<∠故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法：（1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.三、填空题（13、14五分，第一空2分，第二个空3分） 1516、13. 已知，若向量与共线，则____________．(1,),(3,1)a b λ== a b 2a = 【答案】## 109119【解析】【分析】首先根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再根据向量数量积的坐标运算计算可得； λ【详解】解：因为且，所以，解得， (1,),(3,1)a b λ==//a b r r113λ⨯=13λ=所以，所以; 11,3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 222110139a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭故答案为：10914. 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是___________. 【答案】【解析】【分析】将此三棱锥放入正方体中，即转化为正方体的外接球的问题，而正方体的体对角线即为相应的外接球的球直径，进而可以求得体积.【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱均为， 2所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长为，2所以球的直径是.343π⨯=故答案为：.15. 在中，，D 是AC 中点，，试用表示为___________，若ABC A ,CA a CB b == 2CB BE = ,a bDE ，则的最大值为____________AB DE ⊥ACB ∠【答案】 ①. ②.3122b a - 6π【解析】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由DE{},a b ,A B D E 可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．AB DE ⊥2234b a b a +=⋅法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点E (0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y AB DE ⊥A 的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，(1,0)M -2r =22(1)4x y ++=当且仅当与相切时，最大，即求出． CA M A C ∠【详解】方法一：，，31=22DE CE CD b a -=- ,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，当且仅当2234b a a b +=⋅223cos 4a b b a ACB a b a b ⋅+⇒∠==≥ a = 而，所以．0πACB <∠<(0,]6ACB π∠∈故答案为：；．3122b a - 6π方法二：如图所示，建立坐标系：，，(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y 3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=--，所以点的轨迹是以为圆心，以23(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)4x y ⇒++=A (1,0)M -为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 2r =CA M A C ∠21sin ,426r C C CM π===∠=故答案为：；．3122b a - 6π16. 已知是虚数单位.若为实数，则___________，的最小值为,, a b R i ∈(2)(1)z a i bi =-+ab =||z ___________. 【答案】 ①. 2②. 4【解析】【分析】由题设条件计算出复数z ,再由复数是实数的条件即可得ab 值；计算出|z |，配方即可得解. 【详解】，则，而，所以，即2；,a b R ∈(2)(2)z a b ab i =++-z R ∈20-=ab ab =，，当且仅当a =2b ，即2z a b =+|||2|4z a b =+===≥a =2，b =1时取“=”，所以的最小值为4.||z 故答案为：2；4四、解答题（17题10分，其它五题每题12分）17. 已知△的内角，，的对边分别为，，，若．ABC A B C a b c sin cos a C A =（1）求角．A（2）若，求△的面积．a =2c =ABC【答案】（1）；（23A π=【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而求角． sin A A =A （2）由余弦定理得求b ，再利用三角形面积公式求△的面积．2230b b --=ABC【详解】（1）由正弦定理，，又，sin sin cos A C C A =sin 0C ≠，即，由，得. sin A A ∴=tan A =(0,)A π∈3A π=（2）由余弦定理知：，2222cos a b c bc A =+-∴，解得，2230b b --=3b =1sin 2ABC S bc A ∴==A 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，-P ABC D E ，AB PB ，EB EA =PA AC ⊥．求证：平面．PC BC ⊥BC ⊥PAC【答案】证明见解析.【解析】【分析】由题可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然PA AB ⊥PA ⊥ABC PA BC ⊥后利用线面垂直的判定定理即得.【详解】∵在中，D 是AB 的中点，，AEB △EB EA =∴,ED AB ⊥∵E 是PB 的中点，D 是AB 的中点，∴，ED PA ∥∴，PA AB ⊥又，，平面，平面， PA AC ⊥AB ACA ⋂=AB ⊂ABC AC ⊂ABC ∴平面，PA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，PA BC ⊥又，，平面，平面，PC BC ⊥PA PC P = PA ⊂PAC PC⊂PAC ∴平面． BC ⊥PAC 19. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD ，，E 是PD 的中点． P ABCD -//BC 12BC AD =（1）求证：；//BC AD （2）线段AD 上是否存在点N ，使平面平面PAB ，若不存在请说明理由：若存在给出证明．//CEN 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.N AD 【解析】【分析】（1）由线面平行性质定理可以得证；（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 分别证得平面和平N AD //CEN PAB //EN PAB //CN 面，由面面平行判定定理可证得结论.PAB 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以//BC PAD BC ⊂ABCD PAD ⋂ABCD AD =；//BC AD （2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：N AD //CEN PAB 因为、分别是、的中点，所以，E N PD AD //EN PA 又平面，平面，所以平面.EN ⊄PAB PA ⊂PAB //EN PAB 由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平//BC AN N AD 12BC AD =BC AN =ABCN 行四边形，从而，//CN BA 又平面，平面，所以平面.CN ⊄PAB BA ⊂PAB //CN PAB 又因为，所以，平面平面 CN EN N = //CEN PAB【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是证明平面.//CN PAB20. 某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发A B D 出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B 点北偏西，这时位于点南偏西且与相D A 45 75 B 45 B 距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.80C 35（1）求点到点的距离；B D BD （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.C D D 【答案】（1）海里；（2）小时502【解析】【分析】（1）根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解；ADB ∠ABD △（2）求出，在中由余弦定理求出，再根据速度即可得所需要的的时间.CBD ∠BCD △CD 【详解】（1）由题意知：，，，AB =907515DBA ∠=-= 904545DAB ∠=-= 所以，1804515120ADB ∠=--= 在中，由正弦定理可得：即， ABD△sin sin BD AB DAB ADB =∠∠sin 45BD = 所以海里，50BD ===（2）在中，，，，BCD △180754560CBD ∠=--= 80BC =50BD =由余弦定理可得：2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠， 1640025002805049002=+-⨯⨯⨯=所以海里，70CD =所以需要的时间为小时， 70235=所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.B D 50BD =D 221. 如图，在正三棱柱中，分别为，的中点.ABC A B C '''-22,,AC AA E F ='=BC A C ''（1）证明：平面.EF A ABB A ''（2）求直线与平面所成角的正切值.EF ACC A ''【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）依据线面平行判定定理去证明平面；EF A ABB A ''（2）先作出直线与平面所成角，再求其正切值即可解决.EF ACC A ''【小问1详解】如图，取的中点，连接.A B ''M ,FM BM 为的中点，，且. F A C ''MF B C ∴''∥12MF B C =''，且，，且， BE B C ''∥ 12BE B C =''MF BE ∴∥MF BE =四边形是平行四边形，.∴BEFM EF BM ∴∥平面，平面平面.BM ⊂ ABB A ''EF ⊄,//ABB A EF '∴'ABB A ''【小问2详解】取的中点的中点，连接.AC ,N CN D ,,,BN DE DF NF 平面平面，平面平面，ABC ⊥ACC A ''ABC ⋂,ACC A AC BN AC ''=⊥平面.BN ∴⊥ACC A ''平面，//,DE BN DE ∴⊥ ACC A ''直线与平面所成的角为.∴EF ACC A ''DFE ∠， 12DE BN DF ====tan DE DFE DF ∠∴==22. 在中，角，，的对边分别为，，，． ABC A A B C a b c 22sin1sin 2B C A +=+（1）求； A ∠（2）再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求． ABC A c 条件①：，；2a =3b =条件②：；cos B ab ==【答案】（1）4A π=（2）1c =【解析】【分析】（1）根据已知条件代入二倍角的余弦公式，化简可得，即可求解；tan 1A =（2）若选条件①：根据余弦定理得到，则，无解；250c -+=182020∆=-=-<c 若选条件②：根据，，得到，又根据正弦定理得到，解得cos B =0B π<<1sin 3B=a =a ，后代入正弦定理即可求解．b 【小问1详解】解：因为，所以， 22sin 1sin 2B C A +=+()1cos 1sin B C A -+=+所以，则， 1cos 1sin A A +=+sin tan 1cos A A A ==又，；0A π<<4A π∴=【小问2详解】若选条件①：因为， 222cos 2b c a A bc +-=222326c c+-=所以，则，250c -+=182020∆=-=-<故无解；c 若选条件②：因为，又，所以， cos B =0B π<<1sin3B =由正弦定理得：，sin sin a b A B =13b =所以，又，，a =ab =3a=b =因为，()1sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+==所以. sin 1sin a C c A ===+。

2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题 (2)

一、单选题二、多选题1. 平面直角坐标系中有两点和，以为圆心，正整数i 为半径的圆记为，以O 2为圆心，正整数j为半径的圆记为.对于正整数（），点是圆与圆的交点，且，，，，都位于第二象限，则这5个点都在同一（）A ．直线上B ．椭圆上C ．抛物线上D ．双曲线上2. 已知直线a ，b 和平面，下列推论错误的是（）A ．，B ．，C ．，或D ．，3.已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（）A．B．C．D．5.已知双曲线的左､右焦点分别为，点是的一条渐近线上的两点，且（为坐标原点），.若为的左顶点，且，则双曲线的离心率为（）A．B ．2C．D．6.集合，，则（）A．B．C．D．7.设为等差数列的前项和，若，，则（）A ．26B ．27C ．28D ．298. 已知i 是虚数单位，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位:℃）的记录数据（记录数据都是正整数）:①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有（）A ．一个都没有B ．甲地C ．乙地D ．丙地10. 下列函数，在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．11. 不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件“两球同色”，事件2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题 (2)2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题 (2)三、填空题四、解答题“两球异色”，事件 “至少有一红球”，则（）A．B．C ．事件A 与事件B 是对立事件D ．事件A 与事件B 是相互独立事件12.已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（）A ．直线与圆相离B．当为两定点时，满足的点有2个C ．当时，的最大值是D ．当为圆的两条切线时，直线过定点13. 命题,则命题的否定为__________.14. __________.15. 已知平面向量，，若，则实数的值为______．16. 已知函数，其中常数．（1）当时，求函数的单调区间．（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为．当时，若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”．当时，是否存在“类对称点”？若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．17.在锐角中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．(1)求角的大小；(2)若，，求c 的值．18.已知函数，(1)若，为偶函数，求a ，b ，c 的值；(2)若对任意实数x ，不等式恒成立，求的取值范围；(3)当时，对任意，，恒有，求实数b 的取值范围．19. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，．（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知是奇函数.(Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 若关于x的方程有实解,求m的取值范围.21.四棱锥中，底面为矩形，，，平面与平面的交线为.(1)求证：直线平行于平面；(2)求二面角的余弦值.。

河北省普通高中学业水平考试-数学(附答案)

河北省普通高中学业水平考试-数学(附答案)2014年5月河北省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题（本题共22道小题，1-10题，每题2分，11-30题，每题3分，共80分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,5}，则M∩N=（）A。

{3,5} B。

{1,2,3,5} C。

{1,3} D。

{2,3}2.cos(-60°)=（）A。

-1/2 B。

-3/2 C。

1/2 D。

3/23.在等差数列{an}中，已知a2=3，a4=9，则a3=（）A。

6 B。

7 C。

4 D。

54.已知向量a=(2,1)，b=(3,-2)，则向量2a-b=（）A。

(-1,3) B。

(-1,) C。

(1,4) D。

(1,3)5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1C1和AD1所成的角是（）A。

60° B。

90° C。

30° D。

45°6.坐标原点到直线3x+4y+5=的距离是（）A。

4 B。

3 C。

2 D。

17.函数fx=3cos2x，x∈R的周期是（）A。

π/2 B。

π C。

2π D。

3π8.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）A。

1/2 B。

1/3 C。

2/3 D。

19.函数f(x)=2x^2，x∈[0,2]，则f(x)的值域是（）A。

[0,6] B。

[0,8] C。

[2,4] D。

[2,8]10.某学生离开家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，如图，x轴表示出发后的时间，y轴表示学生距学校的路程，则较符合该学生走法的函数图像是（图略）11.已知函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数，如f(2)=2，则f(-2)=（）A。

-2 B。

0 C。

2 D。

2或-212.已知等比数列{an}，a1=9，q=-1/n，S_n是其前n项和，且a13，则S3=（）A。

5 B。

6 C。

7 D。

河北省重点高中2023-2024学年高三下学期5月模拟考试数学试题(二)含答案

河北省重点高中高三5月高考模拟数学试题（二）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A y y x x ==-++∣，B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，则A B = （）A.)+∞B.⎡⎣C.[)3,+∞ D.(⎤⎦2.已知复数1i z =+，则3i1z z +=+（）A.23i 55+ B.43i 55+ C.23i 55- D.43i 55-3.已知圆O 的半径为2，弦MN 的长为2MP PN =，则MO OP ⋅= （）A ．-4B ．-2C ．2D ．44.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则2023a =（）A.2B.-2C.-1D.125.已知函数()f x 的导函数()()()22f x x x x m '=+++，若函数()f x 有一极大值点为2-，则实数m 的取值范围为（）A ．()2,∞-+B ．(]4,2--C ．(],2∞--D ．(),2∞--6.已知实数0a b >>，则下列选项可作为1a b -<的充分条件的是（）1= B.1112b a -= C.221a b -= D.22log log 1a b -=7.已知四面体ABCD 满足π11,cos ,cos ,2,3,2334BAC CAD DAB AB AC AD ∠∠∠======，则点A 到平面BCD 的距离为（）A.2B.32D.28.在边长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是BC 的中点，点P 是侧面11ABB A 内的动点（含四条边），且tan 4tan APD EPB ∠=∠，则P 的轨迹长度为（）A ．π9B ．2π9C ．4π9D ．8π9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.甲袋中有20个红球．10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各换出1个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为13B.2个球中恰有1个红球的概率为12C.不都是红球的概率为23D.都不是红球的概率为2310.如图所示，有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.直线AE 与PB 所成的角为π2B.ABE 的周长最小值为4+C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为25-11.已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则()()f x f y ≠.则（）A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +-≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f -=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .F ，交C 于点A ，交准线l 于点B （A ，B 在x 轴的两侧），若|16|AB =，则抛物线C 的方程为________________.13.关于双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，四位同学给出了四个说法：小明：双曲线C 的实轴长为8；小红：双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3；小强：双曲线C 的离心率为32；小同：双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1；若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是______；双曲线C 的方程为______．（第一空的横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）14.设A ，B ，C ，D 为平面内四点，已知||2AB = ，||1AC = ，AB 与AC的夹角为60︒，M 为AB 的中点，||1MD = ，则AC AD ⋅的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．16．（15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n ==+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足13b =，令21n n n n a b a b ++⋅=⋅，求证：192nk k b =<∑．17．（15分）已知抛物线2:4C x y =-，直线l 垂直于y 轴，与C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，过点N 且平行于y 轴的直线与直线OM 交于点P ，记动点P 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点A 在直线1y =-上运动，过点A 作曲线E 的两条切线，切点分别为12,P P ，在平面内是否存在定点B ，使得12AB PP ⊥？若存在，请求出定点B 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（17分）现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为23，56，12，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.（1）若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；（2）因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数ξ的分布列及数学期望.19．（17分）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；2．假设n k=（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．如7321=⨯+，则7mod 31=；再如3703=⨯+，则3mod 73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．现从序号分别为0a ，1a ，2a ，3a ，…，n a 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ．（1）求10mod3；（2）当1n ≥时，()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当1212kk n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．河北省重点高中高三5月高考模拟数学试题（二）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2024年5月河北省普通高中学业水平合格性考试

2024年5月河北省普通高中学业水平合格性考试一、单选题1．生命系统存在着不同的结构层次。

下列叙述正确的是（）A．细胞是基本的生命系统B．单细胞生物只有细胞层次C．植物的叶属于系统层次D．地球上所有生物构成生物圈2．下列关于蓝细菌的叙述，错误的是（）A．没有核膜B．有核糖体C．是自养生物D．没有细胞壁3．某同学在“使用高倍显微镜观察几种细胞”的实验中，为进一步观察细胞结构，将视野甲转换为视野乙（如图）。

下列叙述正确的是（）A．向上移动装片可使箭头所指细胞移至视野中央B．转动转换器可将低倍物镜换成高倍物镜C．换高倍物镜后调节粗准焦螺旋可使物像更加清晰D．视野甲、乙中观察到的细胞数目相等4．蔗糖是生活中最常见的二糖，其组成元素是（）A．C、H、O B．C、H、O、NC．C、H、O、N、P D．C、H、O、N、S5．下列关于细胞中水的叙述，错误的是（）A．自由水是细胞内良好的溶剂B．结合水约占细胞内全部水分的45%C．水是活细胞中含量最多的化合物D．水可参与细胞内的许多生物化学反应6．下列化合物的组成中含有脱氧核糖的是（）A．乳糖B．ATP C．DNA D．糖原7．下列关于细胞中核酸的叙述，错误的是（）A．是生物大分子B．只存在于细胞核内C．单体是核苷酸D．是携带遗传信息的物质8．采用透析型人工肾替代病变的肾行使功能，是目前治疗尿毒症的常用方法。

其中起关键作用的血液透析膜是一种人工合成的膜材料，可将病人血液中的代谢废物透析掉。

血液透析膜主要模拟的细胞膜功能是（）A．将细胞与外界环境分隔开B．控制物质进出细胞C．进行细胞间的信息交流D．细胞膜具有流动性9．细胞膜中的蛋白质分子以不同方式镶嵌在磷脂双分子层中。

下列叙述错误的是（）A．有的蛋白质分子部分嵌入磷脂双分子层中B．有的蛋白质分子贯穿于整个磷脂双分子层C．有的蛋白质分子全部嵌入磷脂双分子层中D．镶嵌在磷脂双分子层中的蛋白质都与糖类分子结合10．某单细胞生物具有叶绿体，该生物是（）A．支原体B．大肠杆菌C．衣藻D．酵母菌11．下列关于细胞核结构与功能的叙述，错误的是（）A．具有双层膜B．含有染色质C．是细胞代谢的中心D．是遗传信息库12．将人的红细胞放入质量分数为9%的NaCl溶液中，一段时间后，红细胞将会发生的变化是（）A．失水皱缩B．吸水膨胀C．质壁分离D．形态不变13．细胞中物质的输入和输出都必须经过细胞膜。

2023-2024学年河北省保定市曲阳县高一下册5月月考数学质量检测试卷(附解析)

2023-2024学年河北省保定市曲阳县高一下学期5月月考数学质量检测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（）202313i1i z +=+i z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若，则的形状一定ABC cos cos a C c A a +=ABC 是（）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形3．已知向量，满足，，在向量方向上的投影向量为a b 2a = ()3,0b = a - a b （）A ．B ．C ．D ．1,06⎛⎫⎪⎝⎭1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,04．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积3:4是（）A ．B ．C ．D ．1784π31884π32304π32504π35．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（）A ．0.8B ．0.675C ．0.74D ．0.826．设m 、n 为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（）αβA ．若m 上有两个点到平面的距离相等，则αm αB ．若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件m α⊥n β⊂m n ∥αβ⊥C ．若，，，则αβ⊥m α⊂n β⊂m n⊥D ．若m 、n 是异面直线，，，，，则m α⊂m β n β⊂n α∥αβ∥7．在中，，D 为AB 的中点，P 为CD 上一点，且ABC 2AC =12CD BC ==，则（）13AP mAC AB =+ AP =A B C D 8．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知，则关于图中的1AB =半正多面体，下列说法正确的有（）AB ．该半正多面体过，，A BC C ．该半正多面体外接球的表面积为8πD ．该半正多面体的表面积为6+二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）A ．0.030m =B ．样本质量指标值的平均数为75C ．样本质量指标值的众数小于其平均数D ．样本质量指标值的第75百分位数为8510．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的是（）A ．若，则A B >sin sin A B>B ．若，则△ABC 为钝角三角形222a b c +<C ．若，，，则符合条件的△ABC 有两个10a =8c =π3C =D ．若，则△ABC 为等腰三角形或者直角三角形cos cos a A b B =11．如图，已知直三棱柱的所有棱长均为3，分别在棱，上，111ABC A B C -,,,D E F G 1111,A B A C ,AB AC 且分别为的中点，则（）11,,A D A E BF CG H P ===1,BC A HA ．平面//DE PFGB ．若分别是平面和内的动点，则周长的最小值为,M N 11A ABB 11A ACC MNP △94C ．若，过13BF AB =,,P F G D ．过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有1条A 1AA BC 45︒三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知向量，若B ，C ，D 三点共线，则．()()()3,1,2,3,,3BC AC AD m ===-m =13．已知在中，内角所对的边分别为，点是的重心，且ABC ,,A B C ,,a b c G ABC ，则角的大小为．0357a b c GA GB GC ++=C 14．如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角ABC αAC α边，若平面上存在点，使得长度的最BC π6BAC ∠=αP ABP CP 小值为．四、解答题（共5道大题，其中15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分，共77分）15．已知向量满足，．,a b()3,1a b += ()20,7a b -= (1)求；()a a b⋅-(2)求；12a b + (3)若向量与向量的方向相反，求实数的值．a mb + ma b +m 16．某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.[)1000,1500(1)求居民月收入在的频率；[)3000,3500(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？[)2500,300017．如图，在四棱锥中，，，，E 为棱的中P ABCD -//AD BC AD DC ⊥112BC CD AD ===AD 点，平面.PA ⊥ABCD(1)求证：平面；//AB PCE (2)求证：平面平面；PAB ⊥PBD (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.P CD A --45︒PA PBD 18．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量，，且ABC (,sin 2)m a A = (,sin )n b B =.m n ∥(1)求角A 的大小；(2)已知，，求的值.2224a b c c =+-AMCS =△||||AB AC AB AC ⋅+19．如图，已知三棱台平面，是以为111ABC A B C -11ABBA ⊥11BCCB ABC B 直角顶点的等腰直角三角形，且，1111222AB AA A B BB ===(1)证明：平面；BC ⊥11ABB A (2)求点到面的距离；B 11ACC A (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存1CC F F AB C --π6CF 在，请说明理由.1．B【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数，再利用复数的几何意义即可.z 【详解】复数()()()()202313i 1i 13i 13i 24i12i1i 1i 1i 1i 2z ++++-+=====-++--+所以在复平面内复数所对应的点为，z ()1,2-该点位于第二象限.故选：B.2．A【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦推理判断即可.【详解】在中，由及正弦定理，得，ABC cos cos a C c A a +=sin cos sin cos sin A C C A A +=于是，而，则，sin sin()sin A A C B =+=0π,0π,0πA B A B <<<<<+<A B =所以是等腰三角形.ABC 故选：A 3．C【分析】由题意可知：，根据模长关系结合数量积的运算律可得，进而可求投影向量.3b =32a b ⋅=【详解】由题意可知：，3b = 因为，则，a - 2222ab a a b b -=-⋅+r r r r r r 即，可得，10429a b =-⋅+r r 32a b ⋅=所以向量在向量方向上的投影向量为.a b 211,062a b b b b ⎛⎫⋅⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r rr r r 故选：C.4．D【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案.【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米，3:4314634⨯=+下圆台的高为厘米，414834⨯=+故上圆台的体积为立方厘米，16312πV ==下圆台的体积为立方厘米，115688π3V ==故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米.113152506824π31ππ3V V +=+=故选：D 5．D【分析】根据分层抽样的均值与方差公式计算即可.【详解】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人，60106100⨯=从乙队中抽取人，40104100⨯=这人答对题目的平均数为，10()1614 1.5 1.210⨯+⨯=所以这人答对题目的方差为.10()()2221611 1.240.4 1.5 1.20.8210⎡⎤+-++-=⎣⎦6．D【分析】对于A ，m 与可以相交，直线m 上关于交点对称的两点到平面的距离相等；对于αB ，C ，根据面面垂直的判定及性质进行判断；对于D ，根据面面平行的判定定理进行判断.【详解】对于A ，当直线m 与相交时，直线m 上关于交点对称的两点到平面的距离相等，故A α错误；对于B ，若，，，则，又，所以；当时，，当m α⊥n β⊂m n ∥n α⊥n β⊂αβ⊥αβ⊥m α⊥时，，可以相交，所以“”是“”的充分不必要条件，故B 错误；m β⊂n β⊂,m n m n ∥αβ⊥对于C ，若，，，m 与n 位置关系不固定，可以是各自平面内的任意直线，故αβ⊥m α⊂n β⊂C 错误；对于D ，若m 、n 是异面直线，，，，，则在直线任取一点，过直线m α⊂m β n β⊂n α∥m P 与点确定平面，，又，则，，，所以，又，n P γc γα= n α∥n c ∥n β⊂c β⊄c β∥m β ，所以，故D 正确.,,m c αα⊂⊂m c P = αβ∥故选：D.7．D【分析】由中点可知，根据模长关系可得，设，结合平面向()12CD CA CB=+2CA CB ⋅=- CP CD λ= 量的线性运算以及基本定理可得，用表示，结合模长运算求解.1323m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩CA CB ,AP 【详解】因为D 为AB 的中点，则，()12CD CA CB=+ 可得，即，解得，()222124CD CA CB CA CB =++⋅ ()1742824CA CB=++⋅ 2CA CB ⋅=- 又因为P 为CD 上一点，设，CP CD λ=则，()111223AP AC CP AC CD AC AB AC AC AB mAC ABλλλλ⎛⎫=+=+=+-=-+=+ ⎪⎝⎭可得，解得，即，1123m λλ-=⎧⎪⎨=⎪⎩1323m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23=u u r u u u r CP CD 则，2112132233AP AC CP CA CA CB CA CB⎛⎫=+=-++=-+ ⎪⎝⎭可得，即222414529999=+-⋅=u u u r u u r u u r u u r u u r AP CA CB CA CB AP = 故选：D.关键点睛：1.根据模长关系可得；2CA CB ⋅=-2.设，根据平面向量基本定理求得；CP CD λ=1323m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3.以为基底表示，进而运算求解.CA CB ,AP8．D【分析】先将该半正多面体补形为正方体，利用正方体与棱锥的体积公式判断A ，利用该半正多面体的对称性，得到截面为正六边形与外接球的球心位置，从而判断BC ，利用正三角形与正方体的面积公式判断D.【详解】A ：如图，因为，1AB =8个三棱锥所得到的，所以该半正多面体的体积为：A 错误；2311832V =-⨯⨯⨯=B ：根据该半正多面体的对称性可知，过三点的截面为正六边形，,,A B C ABCFED 又，所以正六边形面积为，故B 错误；1AB =261S ==C ：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，即正六边形的中心，故半径为，ABCFED 1AB =所以该半正多面体外接球的表面积为，故C 错误；224π4π14πS R ==⨯=D ：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为，1所以其表面积为D 正确.2281616+⨯=+故选：D.关键点点睛：本题解决的关键有二，一是将该半正多面体补形为正方体，二是充分利用该半正多面体的对称性，从而得解.9．ACD【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即可.【详解】对于A 项，由题意知，解得0.030，故A 项正()0.0100.0150.0350.010101m ++++⨯=m =确；对于B 项，样本质量指标值的平均数为，故B 550.1650.15750.35850.3950.176.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=项错误；对于C 项，样本质量指标值的众数是，故C 项正确；70807576.52+=<对于D 项，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为()0.0100.0150.035100.60++⨯=，0.600.030100.90+⨯=故第75百分位数位于第4组，设其为，t 则，解得，()800.0300.600.75t -⨯+=85t =即第75百分位数为85，故D 项正确.故选：ACD 项.10．ABD【分析】利用正弦定理、余弦定理逐一判断即可.【详解】A 选项，根据大角对大边，，>⇒>A B a b 根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径，2sin 2sin R A a b R B =>=R 于是，A 选项正确；sin sin A B >B 选项，根据余弦定理结合选项可知，，222cos 02a b c C ab +-=<由，进而，B 选项正确；(0,π)C ∈π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C 选项，根据正弦定理，，结合选项数据，得出，sin sin a cA C =sin 1A =>故这样的三角形不存在，C 选项错误；D 选项，若，由正弦定理，，cos cos a A b B =2sin cos 2sin cos R A A R B B =则，则或者，sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=即，或者，即是等腰三角形或者直角三角形，D 选项正确.A B =π2A B +=ABC 故选：ABD.11．BC【分析】根据线面平行的定义判断A ；求出点P 关于平面和的对称点的距离判断11A ABB 11A ACC B ；计算截面面积判断C ；找出与过点A 且与直线和BC 所成的角都为的直线条数判断D.1AA 45︒【详解】直三棱柱的所有棱长均为3，111ABC A B C -对于A ，由，得，11A D A E BF CG ===11//////DE B C BC FG显然构成一个平面，连接DF ，EG ，和，FGDE 1A B 1A C 正方形中，，设，显然≌，11AA B B 1A D BF =11A B DF O = 11A DO 1BFO 则，即为的中点，于是，即为DF 的中点，111A O BO =1O 1A B 11DO FO =1O 同理设，则为EG 的中点，因此是中位线，12A C EG O = 2O 12O O 1A BC 由为中线，得P 为中点，因为平面FGED ，1A H 1A BC 12O O 12O O ⊂因此平面FGED ，即平面PFG 与平面FGED 为同一个平面，则DE 在平面PFG 内，A 错误；P ∈对于B ，显然平面与平面所成锐二面角大小为，11A ABB 11A ACC 60︒计算可得点H 到平面和A 知，是的中点，11A ABB 11A ACC P AH则点P 到平面和P 关于平面和的对称点分别为11A ABB 11A ACC 11A ABB 11A ACC ，，1M 1N 则当M ，N 分别取直线与平面和的交点时，的周长最短，11M N 11A ABB 11A ACC MNP △由，得，1111||||120PM PN M PN ︒==∠=119||4M N ==所以周长的最小值为，B 正确；MNP △94对于C ，由选项A 知，D ，E 在过P ，F ，G 三点的平面内，截面为四边形FGED ，C 正确；1,2,DE FG DF EG ====1(12)2+对于D ，显然，过点A 作BC 的平行线，则，1AA BC ⊥B C ''1AA B C ''⊥与成的所有直线构成以A 为顶点的两个对顶圆锥（为轴），1AA 45︒1AA 同理与成的所有直线构成以A 为顶点两个对顶圆锥（为轴），B C ''45︒B C ''而与所成角，因此圆锥面上公共直线共有两条，1AA B C ''90︒所以过点A 且与直线和BC 所成的角都为的直线有2条，D 错误.1AA 45︒故选：BC关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.12．16-【分析】求出，再利用共线向量的坐标表示求出.CDm 【详解】依题意，，由B ，C ，D 三点共线，得，(2,6)CD AD AC m =-=-- //BC CD 则，所以.218m -=-16m =-故16-13．2π3【分析】根据重心性质可得，代入已知，结合平面向量基本定理可得，()GC GA GB =-+ 3757a c b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩然后由余弦定理可解.【详解】记的中点分别为，,,AB BC CA ,,D E F 则，2GA GB GD +=由重心性质可知，，所以，2GC GD =- ()GC GA GB=-+ 所以，即，()0357a b c GA GB GA GB +-+= 737502135a c b c GA GB --+=由平面向量基本定理可知，即，730750a c b c -=⎧⎨-=⎩3757a c b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，，22222292514949cos 3522277c c ca b c C ab cc +-+-===-⨯⨯因为，所以.()0,πC ∈2π3C =故2π314【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得平面，利用线面垂直的性质可得，BC ⊥ABC BC ⊥CP 进而，即可求解.CP 1sin BPθ=【详解】在中，，则Rt ABC π6BC BAC =∠=AB =又平面，平面平面，ABC α⊥ABC ,,AC AC BC BC α=⊥⊂ ABC所以平面，连接，，所以，BC ⊥ABC CP CP α⊂BC ⊥CP得，设（），CP ABP θ∠=0πθ<<则，得，1sin 2ABP S AB BP θ=⋅ 1sin 2BP θ=1sin BP θ=当即即时，取到最小值1，sin 1θ=π2θ=AB BP ⊥BP此时CP关键点点睛：本题的解题关键是利用勾股定理和三角形面积公式计算得到CP ，而，即为所求.1sin BP θ=sin 1θ≤15．(1)17(3)1-【分析】（1）首先求出、的坐标，从而得到的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得；a ba b - （2）求出的坐标，利用坐标法计算可得；12a b +（3）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，再代入检验.a mb + ma b +m 【详解】（1）因为，，()3,1a b +=()20,7a b -=所以，则，()()()()32223,10,76,9a a b a b =++-=+= ()2,3a = 所以，()()()3,12,31,2b =-=-所以，()()()2,31,21,5a b -=--=所以；()213517a ab ⋅-=⨯+⨯=（2）因为，()()1112,31,22,222a b ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭ 所以12a b +==（3）因为，，()2,3a =()1,2b =- 所以，()()()2,31,22,32a mb m m m +=+-=+-，()()()2,31,221,32ma b m m m +=+-=+-因为与共线，a mb + ma b + 则，解得或，()()()()3221232m m m m -+=+-1m =1m =-当时，，，则，1m =()3,1ma b +=()3,1a mb +=a b mb ma +=+ 此时与方向相同，不符题意；a mb + ma b +当时，，，则，1m =-()1,5ma b +=()1,5a mb +=--()a mb ma b+=-+ 此时与方向相反，符合题意；a mb + ma b +综上可得．1m =-16．(1)0.15(2)2400元(3)25人【分析】（1）根据图中所对应的频率/组距的值，乘上组距，即可得到月收入在[)3000,3500的频率.[)3000,3500（2）通过比较几个区间的频率之和与0.5的关系，判断出中位数所在区间，进而求出样本数据的中位数.（3）根据表格先居民月收入在的频率，接着计算10000人中月收入在的[)2500,3000[)2500,3000人数，再根据分层抽样抽出100人，计算得出月收入在的这段应抽取的人数.[)2500,3000【详解】（1）月收入在的频率为：[)3000,3500()0.0003350030000.15⨯-=∴居民月收入在的频率为0.15.[)3000,3500（2），0.0002(15001000)0.1⨯-=，0.0004(20001500)0.2⨯-=，0.0005(25002000)0.25⨯-=，0.10.20.250.550.5++=>∴样本数据的中位数为()0.50.10.22000200040024000.0005-++=+=∴样本数据的中位数为2400元.（3）居民月收入在的频率为：[)2500,3000，0.0005(30002500)0.25⨯-=∴10000人中月收入在的人数为：[)2500,3000，0.25100002500⨯=再从10000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在的这段应抽取：[)2500,3000，25001002510000⨯=∴月收入在的这段应抽25人.[)2500,300017．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可BCEA //AB EC 证明；（2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直BD EC ⊥BD ⊥PAB 的判定定理即可证明；（3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，PDA ∠P CD A --45PDA ︒∠=作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解.AM PB ⊥APM ∠PA PBD 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，//BC AE BC AE =BCEA 则，又平面，平面，//AB EC AB ⊄PCE EC ⊂PCE 所以平面；//AB PCE （2）由平面，平面，得，PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥连接，由且，BE //BC DE BC DE =所以四边形为平行四边形，又，BCDE ,1DE CD BC CD ⊥==所以平行四边形为正方形，所以，BCDE BD EC ⊥又，所以，又平面，//AB EC BD AB ⊥,PA AB A PA AB =⊂ 、PAB 所以平面，由平面，BD ⊥PAB BD ⊂PBD 所以平面平面；PBD ⊥PAB （3）由平面，平面，所以，PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，CD AD ⊥,PA AD A PA AD =⊂ 、PAD 所以平面，又平面，所以，CD ⊥PAD PD ⊂PAD CD PD ⊥故为二面角的平面角，即，PDA ∠P CD A --45PDA ︒∠=在中，，作，垂足为M ，Rt PAD 2PA AD ==AM PB ⊥由（2）知，平面平面，平面平面，平面，PBD ⊥PAB PBD PAB PB =AM ⊂PAB 所以平面，则为直线在平面上的投影，AM ⊥PBD PM AP PBD 所以为直线与平面所成的角，APM ∠AP PBD 在中，Rt PAB 2,AB CE PA PB ====PA AB AM PB ⋅===在中，Rt AMP sin AM APM AP ∠===即直线与平面AP PBD18．(1)π3A =(2)43【分析】（1）根据向量共线的坐标运算及正弦定理得，化简得sin sin 2sin sin cos A B B A A =，根据特殊角的三角函数值求解即可；1cos 2A =（2）方法一：结合题干利用余弦定理求得，再代入面积公式求得，利用数量积定义求得4b =8c =，即可解答；16AB AC ⋅=方法二：根据三角形面积公式求得，进而利用数量积的定义求得，再利用余弦32bc =16AB AC ⋅=定理和题干求得和，即可得解.4b =8c =【详解】（1）由向量，，且，得，(,sin 2)m a A = (,sin )n b B = m n∥sin sin 2a B b A =利用正弦定理可得，sin sin 2sin sin cos A B B A A =又，所以，可得.sin sin 0A B ≠2cos 1A =1cos 2A =又，所以.(0,π)A ∈π3A =（2）方法一：由（1）得，即.2221cos 22b c a A bc +-==222b c a bc +-=由.得，得.2224a b c c =+-4c bc =4b =又可得，1sin 2ABC S bc A === 8c =此时，πcos 84cos 163AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=所以.164843||||AB AC AB AC ⋅==++ 方法二：由（1）得，，又，1cos 2A =sin A =1sin 2ABC S bc A == 32bc =此时，πcos 32cos 163AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯= 由余弦定理可得，即，2221cos 22b c a A bc +-==222b c a bc +-=由，得，得，2224a b c c =+-4c bc =4b =由，可得，32bc =8c =故.164843||||AB ACAB AC ⋅==++19．(1)证明见解析(3)存在，CF =【分析】（1）根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证得；由面面垂直和线面垂直的11AB BB ⊥性质可证得，结合可证得结论；1AB BC ⊥BC AB ⊥（2）延长交于一点，根据可求得，利用体积桥111,,AA BB CC P 11187P ABC ABC A B C V--=P ABC V -可构造方程求得结果；P ABC B PAC V V --=（3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出FE =，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果.DE t 【详解】（1）连接，1AB在三棱台中，；111ABC A B C -11//AB A B ，四边形为等腰梯形且，1111222AB AA A B BB === ∴11ABB A 1160ABB BAA ∠=∠= 设，则.2AB x =1BB x =由余弦定理得：，22221112cos 603AB AB BB AB BB x =+-⋅= ，；22211AB AB BB ∴=+11AB BB ∴⊥平面平面，平面平面，平面，11ABB A ⊥11BCC B 11ABB A 111BCC B BB =1AB ⊂11ABB A 平面，又平面，；1AB ∴⊥11BCC B BC ⊂11BCC B 1AB BC ∴⊥是以为直角顶点的等腰直角三角形，，ABC B BC AB ∴⊥，平面，平面.1AB AB A = 1,AB AB ⊂11ABB A BC ∴⊥11ABB A （2）由棱台性质知：延长交于一点，111,,AA BB CC P，，，1112A B AB = 1114ABC A B C S S ∴= 1118P ABC P A B C V V --∴=；1118877P ABC ABC A B C V V --∴===平面，即平面，BC ⊥ 11ABB A BC ⊥PAB 即为三棱锥中，点到平面的距离，BC ∴-P ABC B PAB 由（1）中所设：，，2AB BC x ==60PAB PBA ∠=∠=为等边三角形，，PAB ∴ 2PA PB AB x ∴===，；()2311122332P ABC PAB V S BC x x x -∴=⋅=⨯⨯== 1x ∴=，2AB BC PA PB ∴====AC PC ∴==122PAC S ∴=⨯= 设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离，B 11ACC A d B PAC，，解得.P ABC B PAC V V --= 13PAC S d ∴⋅== d =即点到平面.B 11ACC A （3）平面，平面，平面平面，BC ⊥ 11ABB A BC ⊂ABC ∴ABC ⊥PAB 平面平面 ABC ⋂PAB AB=取中点，在正中，，平面，∴AB N PAB PN AB ⊥PN ∴⊥ABC 又平面，平面平面．PN ⊂PNC ∴PNC ⊥ABC 作，平面平面，则平面，FE CN ⊥PNC ABC CN =FE ⊥ABC 作，连接，则即在平面上的射影，ED AB ⊥FD ED FD ABC平面，平面，，FE ⊥ ABC AB ⊂ABC AB FE ∴⊥，平面，平面，DE FE E = ,DE FE ⊂DEF AB ∴⊥DEF 平面，，即二面角的平面角.FD ⊂ DEF AB FD ∴⊥FDE ∴∠F AB C --设，FE 在中，作，PCN △PO CN ⊥，，又平面，平面，FE CN ⊥ //PO FE ∴FE ⊥ABC PO ∴⊥ABC，11122332P ABC ABC V S PO PO -∴=⋅=⨯⨯⨯= PO =由（2）知：，，AC PC ==OC ∴==，，EF CE PO OC = CE ∴==，，CN == EN ∴=，，//DE BC 222EN DE BC t CN ∴=⋅==-若存在使得二面角的大小为，F F AB C --π6则，πtan tan 6FE FDE DE ∠====25t =，1CF CC ∴==<=存在满足题意的点，∴F CF =关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长FE 度的方程，从而求得结果.。

河北省承德市2023-2024学年高二下学期5月联考试题数学含答案

2024年河北承德高二下学期5月联考数学试题（答案在最后）1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题p ：()3,2x ∀∈-，22e 360xx x +-<，则p ⌝是（）A ．()3,2x ∀∈-，22e 360xx x +-≥B ．()3,2x ∃∈-，22e360xx x +-≥C ．()3,2x ∀∉-，22e 360xx x +-<D ．()3,2x ∃∈-，22e360xx x +-<2．已知()()22e ln 2xf x x x x a a =-++∈R ，则()1f '=（）A ．2e 1-B ．2e 1+C ．22e 1-D ．22e 1+3．中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，相互渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，如图，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（）A ．16B ．20C ．24D ．284．曲线()23f x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．120°D ．135°5．已知集合{}1,2,3A =，{}2450B x x x =∈--≤N ，若{},A B x x A x B =∉∈ ，则A B = （）A ．{}0,4B ．{}1,4,5-C ．{}0,4,5D ．{}1,0,4,5-6．根据国务院统一部署，2024年五一假期从5月1日至5月5日放假，某单位根据工作安排，需要每天都要有且仅有一人值班，若对甲，乙，丙，丁，戊五人进行排班，其中甲只能值1～3号，丙丁两人需要连着，则有（）种不同的值班方式．A ．28B ．30C ．36D ．487．已知离散型随机变量X 的分布列如下表，其中满足a b c =+，则()D x 的最大值为（）X 012PabcA ．23B ．34C ．1D ．548．已知函数()22ln f x x x m x =-+是增函数，则实数m 的取值范围为（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．[)1,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知某产品的销售额Y （单位：万元）与广告费用X （单位：万元）之间的关系如下表X 01234Y10m203035若根据表中的数据用最小二乘法求得Y 关于X 的经验回归方程为ˆ 6.59Y X =+，则下列说法正确的是（）A ．产品的销售额与广告费用负相关B ．该回归直线过点()2,22C ．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D ．m 的值是1510．关于多项式5212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式，下列说法正确的是（）A ．常数项为-88B ．2x 项的系数为80C ．展开式的系数和为32D ．展开式含有9x-11．已知()2ln 2f x x x x =++，()()e g x f x x =-，则下列选项正确的是（）A ．函数()f x 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3B ．0x ∀>，()2f x >C ．函数()g x 在()3,4上没有零点D ．函数()g x 的极值点有2个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设随机变量X 服从正态分布，即()21,X N σ～，若()()21P X a P X a >-=<，则a =______．13．已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '为()f x 的导函数，()f x '定义域也是R ，()f x 满足()()1012101341f x f x x +--=+，则()20241i f i ='=∑______．14．甲和乙两个箱子中各装有大小、质地完全相同的10个球，其中甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球.3个白球和3个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出2个球，则两次都取到红球的概率为______；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知p ：实数x 满足2120x x +-≤，q ：实数x 满足22520x mx m -+≤．（1）若2m =，且p 和q 至少有一个为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若0m >，且q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．16．（15分）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每道题目的概率均为23，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答．（1）求甲、乙共答对2道题目的概率；（2）设甲答对的题数为随机变量X ，求X 的分布列、数学期望和方差；（3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛．17．（15分）已知()()e ln xa f x a x a x x=+-∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若e a >，()()g x f x m =-有三个不同的零点，求m 的取值范围．18．（17分）近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为15．（1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率；（2）随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表：成年男性成年女性合计养宠物386098不养宠物6240102合计100100200依据小概率值0.01α=的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关？（3）记2018-2023年的年份代码x 依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为y （单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y ，关于x 的回归方程为ˆ0.860.63yx =+，且3.61≈．求相关系数r，并判断该回归方程是否有价值．参考公式及数据：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++α0.100.050.01 xα2.7063.841 6.635回归方程ˆˆˆy bx a=+，其中()()()121ˆni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-，相关系()()ni ix x y y r--=∑0.75r≥，则认为y与x有较强的相关性．4.18≈．19．（17分）“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为()11,x y，()22,x y，那么称()1212,d A B x x y y=-+-为A，B两点间的曼哈顿距离．（1）已知点1N，2N分别在直线20x y-=，20x y-=上，点()0,2M与点1N，2N的曼哈顿距离分别为()1,d M N，()2,d M N，求()1,d M N和()2,d M N的最小值；（2）已知点N是曲线lny x=上的动点，其中261eex≤≤，点()1,1M与点N的曼哈顿距离(),d M N记为()f x，求()f x的最大值．参考数据()e 2.7,2.8∈．2024年河北承德高二下学期5月联考数学参考答案及评分意见1．B 命题“p ：()3,2x ∀∈-，22e 360x x x +-<”的否定是“()3,2x ∃∈-，22e 360x x x +-≥”，故选B ．2．D【解析】已知()22e ln 12x f x x x '=--+，所以()212e 1f '=+，故选D ．3．C 【解析】梯形的上、下底平行且不相等，如图，若以AB 为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有2816⨯=个，若以AC 为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有188⨯=个，所以梯形的个数是16824+=个．故选C．4．D【解析】因为()23f x x x =+，则()232f x x x '=-，所以3211tan1351k =⨯-=-=︒，所以曲线()23f x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为135°，故选D ．5．C【解析】已知集合{}{}24500,1,2,3,4,5B x x x =∈--≤=N ，又知{},A B x x A x B =∉∈ ，所以{}0,4,5A B = ，故选C ．6．A 【解析】若甲值1号，则排3232A A 12=种；若甲值2号，则排122222C A A 8=种；若甲值3号，则排122222C A A 8=种，所以满足条件的有128828++=种，故选A ．7．C 【解析】由题意得1,,a b c a b c ++=⎧⎨=+⎩解得1,21,2a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以()122E X b c c =+=+，()22221111312222224D X c c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+-⨯-+-⨯=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为10,2c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12c =时，()max 1D x =，故选C ．8．A 【解析】∵()22ln f x x x m x =-+的定义域为()0,+∞，且是增函数，∴()220mf x x x'=-+≥在()0,+∞上恒成立，即222m x x ≥-+在()0,+∞上恒成立，令()()2211222022g x x x x x ⎛⎫=-+=--+> ⎪⎝⎭，∴()max 1122g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴12m ≥，即实数m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选A ．9．BD 【解析】对于A 项，因Y 关于X 的经验回归方程为ˆ 6.59YX =+，其中6.50>，故产品的销售额与广告费用正相关，即选项A 项错误；对于B 选项，由表格知123425X +++==，代入 6.59Y X =+，解得22Y =，即样本中心点坐标为()2,22，回归直线必过样本中心点()2,22，故B 选项正确；对于C 项，由Y 关于X 的线性回归方程为ˆ 6.59YX =+知，当10X =时，代入可得74Y =，即销售额的预报值为74万元，但实际不一定是，故C 项错误；对于D 选项，由B 选项知22Y =，即10203035225m ++++=，解得15m =．故D 项正确．故选BD ．10．AC【解析】5212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为()121225532C C 1C 2288⨯⨯-⨯⨯+=-，A 正确；5212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项为()1412335153C C 1C C 275⨯⨯-+⨯⨯=，B 错误；令1x =，展开式的系数和为5232=，C 正确；展开式中含有2x -，很显然不可能凑成9x -，D 错误．故选AC ．11．AC 【解析】对A ，B ，因为()2ln 2f x x x x =++，0x >，所以()2ln 1f x x x '=++，0x >．设()2ln 1h x x x =++，0x >，则()12h x x'=+，因为0x >，所以()0h x '>在()0,+∞上恒成立，所以()2ln 1f x x x '=++在()0,+∞上单调递增，且()2222e 2e 2110ef --'=-+=-<，()112e 2e 110ef --'=-+=>，所以()210e ,e x --∃∈，使得()00f x '=，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．又111331ln 22ln 24162162f ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭，()11023f =++=，()20000ln 2f x x x x =++，因为002ln 10x x ++=，所以000ln 1x x x +=--，所以()()()2220000000000ln 2ln 2122f x x x x x x x x x x x =++=++=--+=--，因为()210e ,e x --∈，所以()02f x <，即函数()f x 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()13f =，故A 正确，B 错误；对C 、D 选项，又()2g x x =+ln 2x x ex +-，0x >，所以()2ln 1e g x x x '=++-，0x >．设()2ln 1e m x x x =++-，0x >，则()12m x x'=+，0x >，所以()0m x '>在()0,+∞恒成立，所以()2ln 1e g x x x '=++-在()0,+∞上单调递增，又因为()13e 0g '=->，12e 0e eg ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，所以()0g x '=只有一解且在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内，所以()g x 在()3,4上单调递增，且()30g >，所以()g x 在()3,4上无零点，故C 正确，D 错误，故选AC ．12．1【解析】随机变量X 服从正态分布()21,N σ且()()21P X a P X a >-=<，则由对称性得2121a a +-=⨯，所以1a =．故答案为1．13．4048【解析】对()()1012101341f x f x x +--=+，两边同时求导得()()101210134f x f x ''++-=，即()()20254f x f x ''+-=，则()()120244f f ''+=，()()220234f f ''+=，…，()()101210134f f ''+=，则()20241410124048i f i ='=⨯=∑．故答案为4048．14．29；922【解析】因为从甲箱中不放回地依次随机取出2个球，共有210A 90=种取法，又两次都取到红球，共有25A 20=种取法，由古典概率公式知，两次都取到红球的概率为202909P ==．记事件1A 表示从甲箱中随机取出一球是红球，记事件2A 表示从甲箱中随机取出一球是白球，记事件3A 表示从甲箱中随机取出一球是黑球，记事件B 表示从乙箱中取出的球是红球，则()112P A =，()215P A =，()3310P A =，()15|11P B A =，()24|11P B A =，()44|11P B A =，所以()()()1231P B P BA BA BA P BA =++=+()()()()()()()()23112233151434|||2115111011P BA P BA P B A P A P B A P A P B A P A +=++=⨯+⨯+⨯922=．故答案为29；922．（第1空2分，第2空3分）15．解：（1）p ：实数x 满足2120x x +-≤，解得43x -≤≤．当2m =时，q ：2540x x -+≤，解得14x ≤≤，∵p 和q 至少有一个为真命题，∴ 44x ≤≤，∴实数x 的取值范围为[]4,4-．（2）∵0m >，∴由222520x mx m -+≤，得()14202x m x m ⎛⎫--≤⎪⎝⎭，解得122m x m ≤≤，即q ：122m x m ≤≤，∵q 是p 的充分不必要条件，∴14223m m ⎧≥-⎪⎨⎪≤⎩（等号不同时取），∴382m -≤≤，又0m >，∴302m <≤，故实数m 的取值范围为30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．16．解：（1）由题意得若甲乙共答对2道题目，则有2种可能情况：①甲答对2道，乙未答对；②甲、乙各答对1道，所以甲、乙两名学生共答对2道题目的概率：322112014242333366C C C C 21211C C C 33C 3315P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）设学生甲答对的题数为X ，则X 的所有可能取值为1，2，3．()124236C C 11C 5P X ===，()214236C C 32C 5P X ===，()3436C 13C 5P X ===．X 的分布列为：X 123P153515所以()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()22213121222325555D X =⨯-+⨯-+⨯-=．（3）设学生乙答对的题数为Y ，则Y 的所有可能取值为0，1，2，3．则23,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～．所以()2323E Y =⨯=，()22231333D Y ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．则()()E X E Y =，()()D X D Y <，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．17．解：（1）由于()()e ln xa f x a x x x x=+-∈R ，且()f x 的定义域为()0,+∞，所以()()()()()222e 1e 10x xa x x a a f x x x x x x ---'=-+-=>，故当1a ≤时，e 0xa -<，此时函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；当1e a <<时，令e 0xa -=，则ln 1x a =<，令()()()2e 10xa x f x x --'=>，得ln 1a x <<，令()0f x '<，得0ln x a <<或1x >，所以函数()f x 的单调递减区间为()0,ln a ，()1,+∞，单调递增区间为()ln ,1a ；当e a =时，()0f x '≤，所以函数()f x 的单调递减区间为()0,+∞，无单调递增区间；当e a >时，令e 0x a -=，则ln 1x a =>，令()()()2e 10xa x f x x --'=>，得1ln x a <<，令()0f x '<，得01x <<或ln x a >，所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，()ln ,a +∞，单调递增区间为()1,ln a ．综上所述：当1a ≤时，单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；当1e a <<时，()f x 的单调递减区间为()0,ln a ，()1,+∞，单调递增区间为()ln ,1a ；当e a =时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞，无单调递增区间；当e a >时，()f x 的单调递减区间为()0,1，()ln ,a +∞，单调递增区间为()1,ln a ．（2）若e a >，由(1)知函数()f x 的单调递减区间为()0,1，()ln ,a +∞，单调递增区间为()1,ln a ，所以()f x 的极大值为()()ln ln ln f a a a =，()f x 的极小值为()1e f a =-，令()()0g x f x m =-=，若()()g x f x m =-有三个不同零点，即()m f x =有三个不同的解，故可得m 的取值范围为()e ln ln a m a a -<<．18．解：（1）由题意得4户中至少有3户养宠物的概率34344414117C C 555625P ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为()22200384062609.684 6.63510010010298χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，依据小概率值0.01α=的独立性检验，可以认为是否养宠物与性别有关联．（3）由x 的取值依次为1，2，3，4，5，6，得 3.5x =，()62117.5i i x x =-=∑，因为回归方程为ˆ0.860.63yx =+，所以()()()()()6611621ˆ0.8617.5iii ii i ii x x y y x x y y b x x ===----===-∑∑∑，所以()()6115.05iii x x y y =--=∑，所以()()615.050.9974.18 3.61iix x y y r --=≈⨯∑．因为0.75r >，所以y 与x 有较强的相关性，该同归方程有价值．19．解：（1）因为1N 在直线20x y -=上，故可设11,2N x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()0,2M ，所以()132,0,211,022,04,2232,4,2x x d M N x x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=-+-=+≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩所以()1,d M N 在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，且当0x =时，()1,2d M N =，故()1,2d M N ≥，即()1,d M N 的最小值为2；因为2N 在直线20x y -=上，故可设()2,2N x x ，又()0,2M ，所以()232,0,,222,01,32,1,x x d M N x x x x x x -+<⎧⎪=+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩所以()1,d M N 在(),1-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，且当1x =时，()1,1d M N =，则()2,1d M N ≥，即()2,d M N 的最小值为1．（2）因为N 是曲线ln y x =上的动点，故设(),ln N x x ，所以()()6212ln ,1,e ,1ln 1ln ,1e,ln 2,e e ,x x x f x d M N x x x x x x x x ⎧-++≤<⎪⎪==-+-=-≤≤⎨⎪+-<≤⎪⎩当611e x ≤<时，()2ln f x x x =--，()110f x x'=--<，此时()f x 在61,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，故()66max 118e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当1e x ≤≤时，()ln f x x x =-，()110f x x'=->，此时()f x 在[]1,e 上单调递增，故()()66max 11e e 18e e f x f f ⎛⎫==-<-= ⎪⎝⎭；当2e e x <≤时，()ln 2f x x x =+-，()110f x x'=+≥，此时()f x 存(2e,e ⎤⎦上单调递增，故()()22max e e f x f ==；又()e 2.7,2.8∈，所以666111887.9e e 2f ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，()222e e 2.87.847.9f =<=<，即()261e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，综上，()f x 的最大值为618e -．。

2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题(2)

一、单选题二、多选题1. 已知函数，若把的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍后，再将图象向右平移个单位，可以得到，则下列说法不正确的是（）A．B．的周期为C ．的一个单调递增区间为D ．在区间上有5个不同的解，则的取值范围为2. 已知向量，向量满足，，则（）A．B．C．D．3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（）A．B．C．D．4.若，则以下结论的是（）A．B．C．D．错误5. 已知集合，，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（）A．B．C．D．6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（）A ．2B．C．D ．47. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A ．63.7B ．64.5C ．65.5D ．66.78. 若，，，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．9. 设随机变量服从正态分布，且，则实数的值可为（）A．B．C．D．10.下列关于随机变量的说法正确的是（）A ．若服从正态分布，则B．已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则C ．若服从超几何分布，则期望D ．若服从二项分布，则方差2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题(2)2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题(2)三、填空题四、解答题11. 在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（）A．B．C．D ．212.设复数且，则下列结论正确的是（）A ．可能是实数B．恒成立C ．若，则D ．若，则13. 已知函数若方程有四个不同的实根，满足，则的取值范围是______.14.若，，则______．15.已知函数，若直线与曲线相切，求最大值_____________.16. 某市为应急处理突如其来的新冠疾病，防止疫情扩散，采取对疑似病人集中隔离观察.如图，征用了该市一半径为2百米的半圆形广场及其东边绿化带设立隔离观察服务区，现决定在圆心O 处设立一个观察监测中心（大小忽略不计），在圆心O 正东方向相距4百米的点A 处安装一套监测设备，为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及圆弧外的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足.定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”：OC 的长为“最远直接监测距离”.设.(1)求“直接监测覆盖区域”的面积的最大值：(2)试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大.17.已知数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)求的值.18.已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．19. 已知函数.(1)求的极值；(2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围.20. 已知椭圆的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于两点，点，且，求直线的方程．21. 如图，在三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，，底面是边长为2的正三角形，其重心为点，是线段上一点，且．（1）求证：∥平面;（2）求平面与底面所成锐二面角的余弦值．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2014年5月河北省普通高中学业水平考试
数学试卷
一、选择题（本题共22道小题，1－10题，每题2分，11－30题，每题3分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M ＝{
}3,2,1，N ＝{}5,3,2，则M ⋂N ＝（） A ．{}5,3 B ．{
}5,3,2,1 C ．{}3,1 D ．{}3,2 2．cos(-60°)＝（）
A ．21-
B ．23-
C ．21
D ．2
3
3．在等差数列{}n a 中，已知32=a ，94=a ，则3a ＝（）
A ．6
B ．7
C ．4
D ．5
4．已知向量a ＝（2，1），b ＝（3，–2），则向量2a –b ＝（） A ．（–1，3） B ．（–1，0） C ．（1，4） D ．（1，3） 5．在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1C 1和AD 1所成的角是（） A ．60° B ．90° C ．30° D ．45° 6．坐标原点到直线0543=++y x 的距离是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．函数()x x f 2cos 3=，R x ∈的周期是（） A ．
2
π
B ．π
C ．2π
D ．3π 8．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）
A ．2
1
B ．31
C ．32
D ．1
9．函数()2
2x x f =，[]2,0∈x ，则()x f 的值域是（）
A ．[0,6]
B ．[0,8]
C ．[2,4]
D ．[2,8]
10．某学生离开家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，如图，x 轴表示出发后的时间，y 轴表示学生距学校的路程，则较符合该学生走法的函数图像是（）
A B C D
11．已知函数()x f 是定义在实数集R 上的奇函数，如()2f ＝2，则()2-f ＝（）
A ．–2
B ．0
C ．2
D ．2或–2 12．已知等比数列{}n a ，n S 是其前n 项和，且1a ＝9，q =–3
1
，则3S ＝（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．63
13．在△ABC 中，a ，b ，c 为其三边，且a ＝1，b ＝2，c =
7，则其面积等于（）
A ．
21 B ．2
3
C ．3
D ．32 14．若一个球的表面积为12π，则该球的体积是（） A ．32
π B ．π33 C ．π
34 D ．
π33
4
15．某班有男生20人，女生30人，用分层抽样的方法抽取一个铜梁为10的样本，则应分别抽取（）
A ．男生4人，女生6人
B ．男生5人，女生5人
C ．男生2人，女生8人
D ．男生3人，女生7人 16．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（） A ．4 B ．
32 C ．38 D ．3
4
17．函数
()x f ＝x
x 2
ln -
的零点所在区间是（） A ．（1，2） B ．（2，e ） C ．（e ，3） D ．（3，+∞）
18．在等差数列{}n a 中，1a +2a +3a ＝39，7a +8a +9a ＝27，则数列{}n a 的前9项和9S ＝（）
A ．88
B ．297
C ．144
D ．99
19．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-2002x y x y x ，则y x z 2+=的最小值是（）
A ．－3
B ．－2
C ．1
D ．10
20．直线0943=--y x 与圆42
2
=+y x 的位置关系是（）
A ．相交且过圆心
B ．相切
C ．相离
D ．相交但不过圆心
21．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子（假设它落在正方形区域内任何位置的机会均等），它落在阴影区域内的概率为3
2
，则阴影区域的面积为（）
A ．
34 B ．38 C ．32 D ．3
5
22．若平面四边形ABCD 满足0=+CD AB ，且()
0=⋅-AC AD AB ，则该四边形一定是（） A ．直角梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形
23．函数1
1
+=
x y 的定义域是（） A ．（－1，+∞） B ．[－1，+∞） C ．（－∞，－1） D ．（－∞，－1]
24．电流i （安）随时间t （秒）变化的函数是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=3sin πwx A i ，),0[+∞∈t ，（A>0,w>0），
其图象如图所示，则当50
1
=t 秒时，电流i 的值为（）
A ．32
B ．33
C ．34
D ．35
25．下列命题正确的是（）
A ．三个点确定一个平面
B ．过一点和一条直线确定一个平面
C ．四边形确定一个平面
D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
26．已知m a =lg ，n b =lg ，则b
a 2
lg ＝（）
A ．n m -2
B ．n m +2
C ．n
m 2
D ．n m 2
27．已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a -3b |＝（） A ．7 B ．7 C ．13 D ．13
28．执行如图所示的程序框图，其运行结果是（） A ．20 B ．30 C ．40 D ．50
29．设函数()()⎩⎨⎧=x g x f x 2 0
><x x ，若()x f 是奇函数，()2g 的值是（）
A ．—41
B ．—4
C ．4
1
D ．4
30．正项等比数列{}n a 满足：1232a a a +=，若存在两项m a ，n a ，使得14a a a n m =，则
n
m 4
1+的最小值为（） A ．
625 B ．35 C ．2
3
D ．不存在
二、解答题（本题共3道小题，31题6分，32题7分，共20分，解答应写出文字说明、演算步骤
或证明过程）
31．已知函数()()x x x f cos sin 2-=π，R x ∈．
（Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,6ππ上的最大值和最小值．
32．从甲乙两个班级各随机抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，茎叶图如图所示，规定成绩不小于90分为及格，超过100分为优秀．
（Ⅰ）根据茎叶图估计甲班数学成绩的中位数和及格率；
（Ⅱ）现从所抽取的优秀学生中随机挑选两名学生的试卷进行分析，求两名学生来自不同班级的概
33．已知圆C的圆心是直线0
1=
+
-y
x与x轴的交点，且圆C与直线0
3=
+
+y
x相切．（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与圆C相交于A,B两点，试判断直线AB的斜率是否为定值，并说明理由．
答案
一、选择题
1、D
2、C
3、A
4、C
5、A
6、D
7、B
8、C
9、B
10、D 11、A 12、C 13、B 14、C 15、A 16、D 17、B
18、D 19、B 20、D 21、B 22、C 23、A 24、B 25、C
26、A 27、A 28、B 29、A 30、C 二、解答题 31、（1）周期为π
（2）最大值1，最小值0 32、（1）中位数85，及格率40%
（2）来自不同班级的概率为32
33、（1）圆C 的方程为()212
2=++y x
（2）直线AB 的斜率是定值，为1。

5月河北省普通高中学业水平考试数学附答案

河北省博野中学高二5月月考数学(理)试题Word版含答案

河北省普通高中2025届(高三)5月考数学试题试卷

河北省邯郸高一下学期5月月考数学试题(解析版)

2023-2024学年河北省石家庄市高二下学期5月联考数学质量检测试题(含解析)

河北省高三下学期5月月考数学试题(解析版)

2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题

河北省高碑店市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题

河北省高一下学期5月月考数学试题(解析版)

2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题 (2)

河北省普通高中学业水平考试-数学(附答案)

河北省重点高中2023-2024学年高三下学期5月模拟考试数学试题(二)含答案

2024年5月河北省普通高中学业水平合格性考试

最新河北省普通高中学业水平考试-数学(附答案)

2023-2024学年河北省保定市曲阳县高一下册5月月考数学质量检测试卷(附解析)

河北省承德市2023-2024学年高二下学期5月联考试题 数学含答案

2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题(2)

河北省承德市2023-2024学年高二下学期5月联考试题数学含答案