高考数学一轮总复习：线性回归分析与统计案例

答案 B 解析 根据相关关系的概念知 A 正确；当 r>0 时，r 越大， 相关性越强，当 r<0 时，r 越大，相关性越弱，故 B 不正确；对 于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区 域越窄，拟合效果越好，二是 R2 越大，拟合效果越好，所以 R2 为 0.98 的模型比 R2 为 0.80 的模型拟合的效果好，C，D 正确， 故选 B.
3．下列说法错误的是( ) A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两 个变量之间的关系叫做相关关系 B．在线性回归分析中，相关系数 r 的值越大，变量间的相 关性越强 C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其 模型拟合的精度越高 D．在回归分析中，R2 为 0.98 的模型比 R2 为 0.80 的模型拟 合的效果好
B．有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该项运 动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该项运 动与性别无关”
答案 C
题型一 判断变量的相关性 (1)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人 员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年 龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( )
(4)相关系数．
①r＝
n
∑ （xi－－x ）（yi－－y ）
i＝1
n
nwenku.baidu.com
；
∑ （xi－－x ）2∑ （yi－－y ）2
i＝1
r＝1
②当 r>0 时，表明两个变量_正__相__关__；
当 r<0 时，表明两个变量_负__相__关__．
r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性_越_强___．r
【答案】 B
(2)对四组数据进行统计，获得以下关于其相关系数的比较， 正确的是( )
A．r2<r4<0<r3<r1 C．r4<r2<0<r3<r1
B．r4<r2<0<r1<r3 D．r2<r4<0<r1<r3
【解析】 由相关系数的定义及散点图所表达的含义，可知 r2<r4<0<r3<r1，故选 A.
B．0<r2<r1 D．r2＝r1
【解析】 对于变量 Y 与 X 而言，Y 随 X 的增大而增大， 故 Y 与 X 成正相关，即 r1>0；对于变量 V 与 U 而言，V 随 U 的 增大而减小，故 V 与 U 成负相关，即 r2<0，所以有 r2<0<r1.
【答案】 C
(2)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关 关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；与变量 U 与 V 相对应
的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1 表示变量 y 与 x 之间的线性相关系数，r2 表示变量 V 与 U 之间的 线性相关系数，则( )
A．r2<r1<0 C．r2<0<r1
的绝对值越接近于 0 时，表明两个变量之间__几_乎__不__存_在__线_性__相_关___ __关_系___．通常|r|大于_0_.7_5__时，认为两个变量有很强的线性相关性．
独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的__不_同__类_别___，
像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表：列出两个分类变量的___频_数__表___，称为列联表．假
n
n
∑ （xi－－x ）（yi－－y ） ∑xiyi－n－x －y
b^＝i＝1 n
＝i＝1 n
∑ （xi－－x ）2
i＝1
∑xi2－n－x 2
i＝1
a^＝－y －b^－x
(－x ，－y )称为样本点的中心点．
(3)回归分析：对具有__相__关_关__系___的两个变量进行统计分析的
一种常用方法．
(3)独立性检验． 利用随机变量__K_2 __来确定是否能有一定把握认为“两个分 类变量_有__关_系___”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水 平成正相关关系． (2)两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接 近于 0. (3)某同学研究卖出的热饮杯数 y 与气温 x(℃)之间的关系， 得回归方程y^＝－2.352x＋147.767，则气温为 2 ℃时，一定可卖 出 143 杯热饮．
表1
停车距离 (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60]
d(米)
频数
26
a
b
8
2
表2
平均每毫升血液 10 30 50 70 90
酒精含量 x(毫克)
平均停车距离 y(米) 30 50 60 70 90
已知表 1 数据的中位数估计值为 26，回答以下问题．
(1)求 a，b 的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均
★状元笔记★ 判定两个变量正、负相关性的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关； 点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关． (2)相关系数：r>0 时，正相关；r<0 时，负相关． (3)线性回归方程中：b^>0 时，正相关；b^<0 时，负相关．
思考题 1 (1)与变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10，1)，
n
A．使得∑[yi－(a＋bxi)]最小 i＝1
n
B．使得∑[yi－(a＋bxi)2]最小 i＝1
n
C．使得∑[yi2－(a＋bxi)2]最小 i＝1
n
D．使得∑[yi－(a＋bxi)]2 最小 i＝1
答案 D
解析 根据回归方程表示到各点距离之和最小的直线方程，
n
即总体偏差最小，亦即∑[yi－(a＋bxi)]2 最小． i＝1
A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于 20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于 20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于 20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于 20%
【解析】 观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且 脂肪含量的中位数小于 20%，故选 B.
请注意 1．以考查线性回归系数为主，同时可考查利用散点图判断 两个变量间的相关关系． 2．以实际生活为背景，重在考查回归方程的求法．
两个变量的线性相关 (1)正相关． 在散点图中，点散布在从__左__下_角__到__右_上__角__的区域．对于两 个变量的这种相关关系，我们将它们称为正相关． (2)负相关． 在散点图中，点散布在从__左__上_角__到__右_下__角__的区域，两个变 量的这种相关关系称为负相关．
设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1， y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为
2×2 列联表
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 B D b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
构造一个随机变量 K2＝______________________________， 其中 n＝__a_＋__b_＋_c_＋__d__为样本容量．
(3)线性相关关系、回归直线． 如果散点图中点的分布从整体上看大致在_一__条__直_线__附_近___，就 称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
回归方程 (1)最小二乘法．求回归直线使得样本数据的点到回归直线的 __距__离_平__方__和_最__小___的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程． 方程y^＝b^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^，b^是待定参 数．
【答案】 A
【探究】 线性相关关系与函数关系的区别 (1)函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如，正方 形面积 S 与边长 x 之间的关系 S＝x2 就是函数关系． (2)相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是随机变量与 随机变量之间的关系．例如，商品的销售额与广告费是相关关 系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
4．(2014·湖北，理)根据如下样本数据
x3 4 5 6 7 8
－－ y 4.0 2.5 －0.5 0.5
2.0 3.0
得到的回归方程为y^＝b^x＋a^，则( )
A.a^>0，b^>0
B.^a>0，b^<0
C.^a<0，b^ >0
D.a^<0，b^<0
答案 B 解析 根据题中表内数据画出散点图(图略)，由散点图可知b^ <0，a^>0，选 B.
5．(2019·沧州七校联考)通过随机询问 200 名性别不同的大
学 生 是 否 爱 好 踢 毽 子 运 动 ， 计 算 得 到 统 计 量 K2 的 观 测 值
k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是( )
P(K2≥k) 0.10
0.05 0.025
k
2.706 3.841 5.024
A.有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
数；
(2)根据最小二乘法，由表 2 的数据计算 y 关于 x 的回归方程
y^＝b^x＋a^；
(3) 该 测 试 团 队 认 为 ： 若 驾 驶 员 酒 后 驾 车 的 平 均 “ 停 车 距
离”y 大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的 3 倍，则认定驾
驶员是“醉驾”．请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒
(4)事件 X，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的 K2 的 观测值越大．
(5)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过 1%的前提下 认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有 99%的可能物理优秀．
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
2．最小二乘法的原理是( )
①y 与 x 负相关且y^＝2.347x－6.423；
②y 与 x 负相关且y^＝－3.476x＋5.648；
③y 与 x 正相关且y^＝5.437x＋8.493；
④y 与 x 正相关且y^＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【解析】 正相关指的是 y 随 x 的增大而增大．负相关指的 是 y 随 x 的增大而减小，故不正确的为①④，故选 D.
【答案】 D
题型二 线性回归分析 (2019·福建泉州一模)某测试团队为了研究“饮酒”对 “驾车安全”的影响，随机选取 100 名驾驶员先后在无酒状态、 酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：电脑模拟驾驶， 以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到 意外情况到车子停下所需要的距离)，无酒状态与酒后状态下的试 验数据分别列于下表．
(3)由(1)知当 y>81 时，认定驾驶员是“醉驾”． 令y^>81，得 0.7x＋25>81，解得 x>80， 则当每毫升血液酒精含量大于 80 毫克时认定为“醉驾”． 【答案】 (1)a＝40 b＝24 27 (2)y^＝0.7x＋25 (3)80
思考题 2 (2014·课标全国Ⅱ，理)某地区 2007 年至 2013
高考数学一轮总复习
第十章 算法初步及概率与统计
第7课时 线性回归分析与统计案例
…复习任务… 1．会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认 识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系 数公式建立线性回归方程． 3．了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法 以及其简单应用． 4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
精含量大于多少毫克时为“醉驾”？
n
∑xiyi－n－x －y
(附：回归方程y^＝b^x＋a^中，b^＝i＝1n
，a^＝－y －b^－x )
∑xi2－n－x 2
i＝1
【解析】 (1)依题意，得160a＝50－26，解得 a＝40. 又 a＋b＋36＝100，解得 b＝24， 故停车距离的平均数为 15×12060＋25×14000＋35×12040＋45×1800＋55×1020＝27. (2)依题意，可知－x ＝50，－y ＝60， b^＝10×30＋30×1052＋0＋30520＋×56002＋＋7700× 2＋7900＋2－905××9500－2 5×50×60 ＝0.7，a^＝60－0.7×50＝25， 所以回归直线方程为y^＝0.7x＋25.