用特征根方程法求数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项

当f(x)二X 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。

aa n ■ b 人

ax ■ b

2

典型例子：a n 1

-

令 x

，即 ex • (d -a)x —b = 0

ca n

+d

cx + d

令此方程的两个根为 x , , x 2

1

(1)若x , = x 2，则有

a

n^ _x 1

a n — X , a - — X ,

a — ex ,

⑵若X i=X 2,则有—— -=q — -(其中q

—)

a

n 半 一 x 2

a

n —X 2

a

~ cx 2

—2x +3

例题1：设f(x)=

2x —7

(i)求函数y = f (x)的不动点；(2 )对(i)中的二个不动点a,b (a ::- b)，求使

f (x)

_

a

= k

x

_

a

恒成立 f(x)-b

x —b

的常数k 的值；

2X 3

⑶对由a —

=1,a n

= f (a n

丄)(n_2)定义的数列｛a n

｝，求其通项公式a n

。f(x)=

2x —7

解析：⑴设函数f (x)的不动点为x 0，则X o

2X0 3

2x

o

-7

-2x 3 1 1 / 1、 1

X (x ) x —

⑵由 2X-7 2 2 U 2 -2x+3 3 8x+24 -8(x-3) 8 x -3

2x -7

可知使f

(x) -a

_k x _a 恒成立的常数 f (x)

-b x -b

a n 1 31 3(1厂-〕

—2=2 .(丄严，则a 二吐 2 a n -3 4 8 n

「3(—严

4 W

a +4

例2•已知数列｛a n

｝满足性质：对于n ・N,a n1

n ,且a^3,求｛a n

｝的通项公式.

2 a n 3

1

P (其中P )

a n

- x !

a d

1 解得x 0

或x 0 =3 2 1

+ 丄 ，2

k 。(3)由⑵可知an 2 J an 」2，所以数列

8

a 8 a 丄 (3)

-为公比的等比数列。则

8

x + 4 2

解:依定理作特征方程x ,变形得2x •2x-4=0,其根为‘1 =1,‘2 — -2.故特征方程有两个相异的

2x 3

根，则有

a n 4

2a n ■： 3 a n ■' 4 - 2a n - 3 a n 1 - -1a n 1 2

a

n 4

2 a n 2a n +3

（1）当p =1时，数列｛a n ｝为等差数列；（2）当p =0时，数列｛a n ｝为常数数列；

（3） 当p =1,q =0时，数列｛a n ｝为等比数列；

（4） 当p =0,1,q =0时，称x= px q 是数列｛a n ｝的一阶特征方程，其根 x — 叫做特征方程的特征根，这时

1-p

数列｛a n ｝的通项公式为：a n =（a^x ）p nd x ；

例1 :已知数列｛a n ｝中，a^ 5，且n _ 2时，求a n ；

、数列的二阶特征方程（a n 2二pa n 1 ' qa n 型）

在数列｛a n ｝中，a 1与a 2已知，且a n pa n d

qa n

（ p,q 是常数），则称x = px q 是数列｛a n

｝的二阶特征方程,

其根x 1， x 2叫做特征方程的特征根。

2a n 3 亠 4 亠4a n

亠6 5a n

T0 1 a n -1 即 % 1 一1

a n 1 2

5 a n 2

印「1

「一 3-12 又 a 1

2 3 2 5

•••数列 —

.a n

a _ 1 I

2

1

n

是以—为首项，

为公比的等比数列

2

5 5

3厶* a n

2

5 5

4

(」)心1

a 5

5

N ] 2, 1、n1 1 (-一) 一 5 5

2 (-5)n N.

例3•已知数列｛a n ｝满足：对于

n N,都有 a

n d

13a

n

_25

a n 3

(1)

若 a , = 5,求 a n ;

(2)若 a 1 = 6,求a n ；

13x _ 25

解：作特征方程x 二

x +3

2

变形得x -10x

25 0,

特征方程有两个相同的特征根

x = 5.

(1

)丁 a , =5,. q = x..对于 n

(2)

，an 「2n. N .

n +7

一、数列的一阶特征方程（a n = pa nd -q 型)

在数列｛a n ｝中，a ,已知，且n _ 2时,

a^ pa n j q （ p,q 是常数），

（参考答案: a n = 27

22