用特征根方程法求数列通项
特征根法求数列的通项公式
数列通项公式的求法 特征根法题型一、设已知数列{}n a 的项满足11,n n a b a ca d +==+,其中0,1,c c ≠≠求这个数列的通项公式。
【解题步骤】Ⅰ、将1n n a ca d +=+中的下标去掉（剃光头），即为a ca d =+，由此可以解得1d a c=–，这个“a ”的值就叫做“特征根”。
Ⅱ、在1n n a ca d +=+的左右两边同时减去“特征根”a ，即 111n n d d a ca d c c+-=+-–– 将上式变形得 ()111n n d d a c a c c +-=-–– 即 111n n da c c d a c +-=-–– 此时，你就会得到一个以c 为公比的等比数列{}111n n n d a c b d a c +⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭–– Ⅲ、求出数列{}n b 的通项公式，由此求出数列{}n a 的通项公式。
注意：第Ⅰ步的过程只能在草稿纸上进行，决不可写在试卷上，否则老师会扣分。
【典例1】已知数列{}n a 的项满足115,23n n a a a +==+,求这个数列的通项公式。
解、在123n n a a +=+的两边同时减去3–得1236n n a a +=++则有 1323n n a a ++=+ 又因为 1+3=8a 所以 1+2+3=82=2n n n a -因此数列{}n a 的通项公式+2=23n n a –注意在草稿纸上进行此过程由题意得23a a =+，可以解得a =-3草稿纸题型二、已知数列{}n a 满足21n n n a pa qa ++=+，其中12,a a αβ==，求数列{}n a 的通项公式。
【解题步骤】Ⅰ、将21n n n a pa qa ++=+中的下标去掉（剃光头），即2a pa q =+，为了方便把a 替换为x ，则有2=0x p x q --此时，我们把2=0x p x q --叫做数列{}n a 的“特征方程”。
特征方程特征根法求解数列通项公式
特征方程特征根法求解数列通项公式一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数.（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p).（2）此处如果用特征根法：特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p）注意：若用特征根法，λ的系数要是-1例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则λ=1/（1-2）= -1那么A（n+1）+1=2（An+1）二：再来个有点意思的,三项之间的关系：A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],则m+k=p, mk=q（2）此处如果用特征根法：特征方程是y×y=py+q（※）注意：①m n为（※）两根。
②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。
例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An，特征方程为：y×y= - 5y+6那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1)A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2)所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)you see 消元消去A（n+1），就是An勒例三：【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。
那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)显然这是一个线性递推数列。
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式特征根法和不动点法是两种常用的方法来求解递推数列的通项公式。
本文将从这两个角度详细介绍这两种求解方法，并举例说明其应用。
一、特征根法（Characteristic Root Method）特征根法是一种基于代数方法的求解递推数列通项公式的方法，它通过寻找递推关系式的特征根来获取通项公式。
1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。
（2）设通项公式：假设递推数列的通项公式为Un=a^n。
（3）代入递推关系式：将通项公式Un=a^n代入递推关系式，得到方程Un=P(Un-1,Un-2,...,Un-k)，其中P为k个变量的多项式函数。
（4）寻找特征根：解方程Un=0，得到特征根r1，r2，...，rk。
（5）确定通项公式：根据特征根，得到通项公式Un=C1*r1^n+C2*r2^n+...+Ck*rk^n，其中C1，C2，...，Ck为待定系数。
（6）确定待定系数：利用已知序列的初始条件，求解待定系数，得到最终的通项公式。
2.示例：求解递推数列Un=3Un-1-2Un-2，已知U0=1，U1=2（1）建立递推关系式：Un=3Un-1-2Un-2（2）设通项公式：Un=a^n。
（3）代入递推关系式：a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)。
（4）寻找特征根：解方程a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)，得到特征根a=2，a=1（5）确定通项公式：Un=C1*2^n+C2*1^n。
（6）确定待定系数：利用初始条件U0=1，U1=2，得到方程组C1+C2=1，2C1+C2=2，解得C1=1，C2=0。
最终的通项公式为Un=2^n。
二、不动点法（Fixed Point Method）不动点法是一种基于迭代的求解递推数列通项公式的方法，它通过设定一个迭代公式，求解极限来获得通项公式。
1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。
特征根法求通项公式
特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个,1,0≠≠c c 数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为,d cx x +=特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为}{n b c 公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征,1,0≠c 方程得作换.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为}{n b c 公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.例1．已知数列满}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为}{n b 31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满}{n a 足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数i 单位。
【高中数学】特征根法求通项公式
特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
浅析特征根法求通项
2013-04治学之法数列通项公式直接表述了数列的本质。
数列通项公式具备两大功能：（1）可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；（2）可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题。
因此，求数列通项公式是高中数学中较为常见的题型之一，它既考查等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，经常渗透在高考和数学竞赛中。
下面，本人结合自身的数学教学实践，就利用特征根法求某类数列通项的方法做些归纳延伸，以期能给大家一些启示。
一、常系数齐次线性递归数列一般地，我们称由初始值a 1，a 2，a 3，…a k 及递推关系a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n +f （n ）所确定的数列为k 阶常系数线性递归数列，其中c 1，c 2，…c k 为常数，且c k ≠0，当f （n ）时，称为常系数齐次线性递归数列（又称为k 阶循环数列）.我们把对应于常系数齐次线性递归数列a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n ①的方程x k =c 1x k -1+c 2x k -2+…+c k ②称为其特征方程，方程的根称为｛a n ｝的特征根.下面不加证明地引进两个定理：定理1若递推关系①对应的特征方程②有k 个不同的单根x 1，x 2…x k ，（包括虚根在内）那么a n =A 1x n 1+A 2x n 2+…A k x nk ，其中A 1，A 2，A k是待定系数，可由初始值确定.定理2若递推关系①对应的特征方程②有不同的特征根x 1，x 2…x s （s <k ），（包括虚根在内），其中x i （1≤i ≤s ）是②的t i 重根，那么t 1+t 2+…+t =R ，那么a n =A 1（n ）x n 1+A 2（n ）x n 2+A s （n ）x n s .其中A i （n）=B （i ）1+B （i ）2…+B （i ）t n ti -1，i =1，2…s ，这里B （i ）1，B （i ）2…B （i ）t （i =1，2…s ）的是待定系数，可由初始值确定.下面我们通过两个典型的例子来深入地理解线性递归数列.例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2+a n +1+a n =0，n =1，2…求数列｛a n ｝的通项.解析：依题其特征方程为x 2+x +1=0，特征根为x 1=-12+3√2i ，x 2=-12-3√2i ，所以a n =A 1x n 1+A 2x n 2，由初始条件解得A 1=-9+3i √6，A 2=-9-3i √6因此a n =-9+3i √6，（-12+3√2i ）n +-9-3i √6（-12-3√2i ）n 评注：此类型问题解决的关键在于要熟记引入的定理1，注意特征根包括虚根，剩下的任务就是计算.例：设数列｛a n ｝满足a 1=a 2=1，a 3=2，3a n +3=4a n +2+a n +1-2a n ，n =1，2…求数列｛a n ｝的通项.解析：依题其特征方程为3x 3-4x 2-x +2=0，特征根为x 1=x 2=1，x 3=2，所以a n =（A 1+A 2n ）x n 1+A n3，有初始条件解得A 1=125A 2=35，A 3=2750因此a n =125［1+15n -272（-23）n］评注：这里的x =1是二重根，请注意，要利用定理2.二、常系数非齐次线性递归数列一般地，a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n +f （n ），其中c 1，c 2，…c k 为常数，且c k ≠0，当f （n ）≠0时，可以分成三类：第一类：f （n ）常数例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n +1-6a n +2，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n +1-6a n +2…①把①式中的n 用n -1代替可得a n +1=5a n -6a n -1+2…②①和②整理可得：a n +2=6a n +1-11a n +6an -1就回归到常系数齐次线性递归数列，按部就班利用特征根法就可以解决问题.评注：此类型问题解决的关键在于应用化归转化的数学解题思想，化归成常系数齐次线性递归数列.第二类：f （n ）关于n 的多项式例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n -1-6a n +n 2，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n -1-6a n +n 2……①把①式中的n 用n -1代替可得a n +1=5a n -6a n -1+（n -1）2…②①和②整理可得：a n +2=6a n+1-11a n +6a n -1+2n -1…③把③式中的n 用n -1代替可得：a n +1=6a n -11a n -1+6a n -2+2（n -1）-1…④③和④整理可得：a n +2=7a n +1-17a n +17a n -1-6a n -2+2就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.评注：若f （n ）关于n 的p 次多项式，我们只需重复上述p +1次替代就可化归至常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.第三类：f （n ）关于n 的指数函数形式例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n +1-6a n +2n ，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n +1-6a n +2n …①把①式两边同时除以2n +2，整理得：a n +22n +2=52a n +12n +1-32a n 2n +14…②令b n =a n 2n 可得：b n +2=52，b n +1-32b n +14就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.评注：若f （n ）关于n 的指数函数形式，我们只需等式两边同时除以适当的指数幂，就可划归为第一类题型，最终转化为常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.当然，本文只是对适合特征根法求通项的数列做点归纳及延伸.数列通项的求解方法灵活多变，望读者能多加思考和总结，对数列通项的各种类型的解决方法有自己独特的见解.（作者单位福建省泉州南安一中）摘要：数列通项公式不仅在高考中占有一席之地.而且在中学数学竞赛中也是常客。
特征方程法求数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项是一种解线性递推数列的方法，其原理如下：
1.对于递推数列$a_n$，可以写成线性递推方程$a_n=a_{n-1}+b_{n-1}$的形式，其中$b_n$是已知数列。
2.将递推方程转化为特征方程，令$a_n=r^n$，带入递推方程，得到：$r^n=r^{n-1}+b_{n-1}$。
3. 令特征方程的根为 $r_i$，则 $a_n$ 的通项公式为
$a_n=\sum_{i=1}^k C_ir_i^n$，其中 $C_i$ 是由初始条件求出的常数。
4.当特征方程的根为实数时，通项公式中的系数$C_i$可以通过初始
条件和根的值求解。
当特征方程的根为复数时，通项公式中的系数
$C_i$可以通过欧拉公式求解。
5.对于非齐次递推数列，通项公式需要加上一个特解，其形式可以根
据非齐次项的不同而不同。
特征方程法求解数列通项的依据
特征方程法求解递推关系中的数列通项湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列的项满足其中求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）.例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换则①∵是特征方程的根，∴将该式代入①式得②将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是③当，即=时，由②式得故当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：④由是方程的两个相同的根可以求得∴将此式代入④式得令则故数列是以为公差的等差数列.∴其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得⑤由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：⑥∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.∴将上两式代入⑥式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注：当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题.解：依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有∴∴即例4已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）∵对于都有（2）∵∴令，得.故数列从第5项开始都不存在，当≤4，时，.（3）∵∴∴令则∴对于∴（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.2010-12-21 人教网。
特征根法求数列的通项公式
特征根法求数列的通项公式类型一、n n n qa pa a +=++12 对于由递推公式n n n qa pa a+=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根.(1)当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；(2)当21x x=时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）.例1. 数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n aa a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为232xx =-，解得121,2x x ==，令n n n B A a 21⋅+⋅=，由⎩⎨⎧=+==+=342221B A a B A a ，得⎪⎩⎪⎨⎧==211B A ， 112n na-∴=+.例2.已知数列{}na 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求{}n a 的通项n a .解：其特征方程为2441xx =-，解得1212x x ==，令n nnB A a)21)((+=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=241)2(121)(21B A a B A a ，得⎩⎨⎧=-=64B A ， 1322n n n a --∴=.类型二、 hra qpa a n n n ++=+1如果数列}{na 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa an n n ++=+1， （其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h ar qr ph -≠≠≠1,0,），那么，其特征方程为hrx qpx x ++=，变形为0)(2=--+q x p h rx(1)若方程有二异根1x 、2x ，则可令212111x a x a c x a x an nn n --⋅=--++（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列12nn ax a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为2111x a x a --，公比为c 的等比数列，于是可求得na .(2)若方程有二重根0x ，则c x a x a n n +-=-+00111（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为011x a -，公差为c 的等差数列，于是可求得na .例3. 已知数列{}na 满足11122,(2)21n n n a aa n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a=得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn nna --∴=+-.例4.已知数列{}na 满足*11212,()46n n n a aa n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410xx ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++由12,a=得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-.例5（2005，重庆,文,22）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a aa n n n n n且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{nb 的通项公式及数列}{nn b a 的前n 项和.nS解：由已知,得nn n a a a816521-+=+,其特征方程为xx x 81652-+=解之得,211=x 或452=x∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,nn n a a a 816)45(12451--=-+∴452121452111--⋅=--++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(45214521111-=⋅--=---∴42521++=-nn n a )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故121()2n b b b n=++++ 1(12)53123n n -=+-1(251)3n n =+-.。
特征方程法求解递推关系中的数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列｛a n ｝的项满足a j = b,a n 4 = ca n • d ,其中c = 0, c = 1,求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程 法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x =cx • d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式•下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为 x 0，则当x 0 = a 4时，a n为常数列，即a n 二a i ；当X o 二a i 时,a^ b n ' x o ，其中｛b n ｝是以c 为公比 的等比数列，即 b n = b 4c n J,b 4 =a 4-x 0.pl证明：因为c = 0,1,由特征方程得x 0——.作换元b n = a n - x 0,贝U 1 -c n 1当X 。
=a 1时，b 1 =0 ,数列｛b n ｝是以c 为公比的等比数列， 故b n =b1C _; 当 x ° 二a 1 时，d =0 , ｛b n ｝为 0 数列，故 a * =a 1,n • N.（证毕） 下面列举两例，说明定理 1的应用.1例1•已知数列｛a n ｝满足：a n^^a -2,- N,a—,求a n.13 解：作方程x x -2,则x 0. 3 2b"a n「x0 © d—注乂a .cd1 -c二 c(a n -X °) = cb n . 11一2 -3 一2 +X — a-fl等的比公为11 1 n4丁 3) ,a n-3b n —3叫-」)n‘, n N. 2 2 2 3b n列是例2.已知数列｛a n｝满足递推关系：a n ^（2a n - 3）i, n，N,其中i为虚数3单位。
当a i 取何值时，数列｛a .｝是常数数列?a^ :-,a 2二：给出的数列：a n 爲方程x 2- px -q =0，叫做数列 :a n / 的特征方程。
谈谈利用特征根求解数列通项
谈谈利用特征根求解数列通项作者：曹丽萍来源：《理科考试研究·高中》2015年第01期一、形如an+1=pan+q（p、q为常数）的一阶线性式其特征方程为x=px+q，特征根为α.方法一：通过待定系数法，转化成an+1+m=p（an+m），如an+1=3an+6，设an+1+m=3（an+m），利用两式等价得m=3，即原式可转化为an+1+3=3（an+3），即数列an+3是以3为公比的等比数列.方法二：两边同时减去特征根α，也可将已知转化成an+1+m=p（an+m）.如an+1=-2an+6，特征方程为x=-2x+6，x=2，同时减2得an+1-2=-2（an-2）.例1 已知a1=3，an+1=-3an+8，求an.方法一：设an+1+m=-3（an+m），利用两式等价，可得m=-2，即数列an-2是以-3为公比的等比数列，则an-2=（a1-2）（-3）n-1=（-3）n-1，所以an=（-3）n-1+2.方法二：特征方程：x=-3x+8，x=2.同时减去2，得an+1-2=-3（an-2），接下来同上.二、形如an+1=Aan+BCan+D的分式线性式对于数列an=Aan+BCan+D，其特征方程为x=Ax+BCx+D，特征根为α，β（1）若α≠β，可对an+1=Aan+BCan+D同时减去特征根，得an+1-α=Aan+BCan+D-α，an+1-β=Aan+BCan+D-β，相除后可化简得an+1-αan+1-β=c·an-αan-β，{an-αan-β}为等比数列，最后求解通项an-αan-β，可求得an.当然在已知{an-αan-β}为等比数列的前提下，也可利用待定系数法求解（其中c是待定常数），即设an+1-αan+1-β=c·an-αan-β，代入a1，a2的值可求得c值即可.结论：数列{an-αan-β}是首项为a1-αa1-β，公比为c的等比数列，于是这样可求得an.（2）若α=β，同时减去特征根α，即得an+1-α=Aan+BCan+D-α，两边同时取倒数，可化成1an+1-α=1an-a+c，这样数列{1an+1-α}是首项为1a1-α，公差为c的等差数列.当然在已知数列{1an-α}是等差数列，可假设1an+1-α=1an-α+c（其中c是待定常数），代入a1，a2的值可求得c值.结论数列{1an-α}是首项为1a1-α公差为c的等差数列，于是这样可求得an.例2 已知数列{an}满足a1=2，an=an-1+22an-1+1（n≥2），求数列{an}的通项an.解其特征方程为x=x+22x+1，化简得2x2-2=0，解得x1=1，x2=-1.则an+1=an-1+22an-1+1+1，an-1=an-1+22an-1+1-1，相除化简得an-1an+1=-13（an-1an+1），所以数列{an-1an+1}是以a1-1a1+1=13为首项，以-13为公比的等比数列，所以an-1an+1=13·（-13）n-1，所以an=3n-（-1）n3n+（-1）n.思考对于数列an+1=Aan+BCan+D，其特征方程为x=Ax+BCx+D，若无实特征根，则会是什么情况呢？（个人猜想是周期数列，有待验证）三、形如an+2=pan+1+qan（p，q是常数）的二阶线性式形如a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为x2=px+q…①.若①有二异根α，β，则可令an=c1αn+c2βn（c1，c2是待定常数）;若①有二重根α=β，则可令an=（c1+nc2）αn（c1，c2是待定常数）.再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c2，进而求得an.例3 已知数列{an}满足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*），求数列{an}的通项an.解其特征方程为x2=3x-2，解得x1=1，x2=2，令an=c1·1n+c2·2n，由a1=c1+2c2=2，a2=c1+4c2=3，得c1=1，c2=12.所以an=1+2n-1.四、形如an+2=pan+1+qan+m的二阶式先利用待定系数法转化为an+2+c=p（an+1+c）+q（an+c），令bn=an+c，即bn+2=pbn+1+qbn，利用题型三方法求解.。
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ．例1. 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+．例2.已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=．二、形如2n n n Aa B a Ca D++=+的数列 对于数列2n n n Aa B a Ca D ++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D +=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…② 若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值． 这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a ．若②有二重根αβ=，则可令111n n c a a αα+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值． 这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a ．此方法又称不动点法．例3.已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n nn n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =，可得13c =-，∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n n n n n a --∴=+-．例4.已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++ 由12,a =得2314a =，求得1c =，∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+，135106n na n -∴=-．。
(完整版)特征根法求数列通项
特征根法求解数列递推公式类型一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 （二阶线性递推式） 形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①（1）若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）（2）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a例1 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=类型二、形如1n n n Aa B a Ca D++=+的数列 （分式递推式） 对于数列1n n n Aa B a Ca D ++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…② （1） 若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数） 代入12,a a 的值可求得c 值。
特征根求通项
特征根法求通项1、设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
作出一个方程,d cx x +=则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +=≠=时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.例19．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n2、对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。
例20：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。
特征方程法求解递推关系中的数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列｛a n ｝的项满足a-\ = b, a n ca n d ,其中c = 0, c = 1,求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题， 然而这样做太过繁琐，而且在猜想 通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程 法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x =cx • d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式•下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为x 0，则当x 0 = a 1时，a n为常数列，即a n 二a 1；当X 0二a 1时，a n 二b n ■ x°，其中｛b n ｝是以c 为公比 的等比数列，即b n = 0亍」，0 = a 1-x 0• n 1 当X 。
=a 1时，6=0 ,数列｛b n ｝是以c 为公比的等比数列， 故b n -当 x ° 二a 1 时，0=0, ｛b n ｝为 0 数列，故 a * =a1,n • N.（证毕） F 面列举两例，说明定理 1的应用•1例1.已知数列｛a n｝满足：a n^^a -2,- N»4,求a n .1 3--x -2,则X 。
- -3当a1 =4时,例2.已知数列｛a n ｝满足递推关系:a n ^（2a n - 3）i, n ，N,其中 i 为虚数数列｛b n ｝ b n讪-3）n -41是 以 ——311 1 n4（）,a n 2 3-3 b比数列•于是证明：因为c = 0,1,由特征方程得x ob"a n 「X 0 © d —注乂Kd —•作换元b n = a n - X ° ,贝U1 -cC （a n -X °） = cb n .1 -c解：作方程x2 11单位。
当a i 取何值时，数列｛a .｝是常数数列?a^ :-,a 2二：给出的数列：a n 爲方程x 2 - px -q =0，叫做数列 :a n / 的特征方程。
特征根法求数列的通项公式
特征根法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列{}n a 满足1n n n a a ba c a d+⋅+=⋅+......①其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.定义1:方程ax bx cx d+=+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ.定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a a c a a c a αααβββ++−−−=⋅−−−.证明:2()0,ax b a d bx cx d a x b cx d c cαβαβ+−=⇒+−−=⇒+==−+(),d a c b cαβαβ∴=−+=−11()()()()()()()()n n n n n n nn n n n n aa ba ca d aab ca d ac a bd aa b a aa b ca d a c a b d ca d αααααβββββ+++−−++−+−+−∴===+−+−+−+−−+()[()]()()()[()]()()n n n n a c a c a c c a c a a c a c a c a c c a c a a c ααβαβααααβαβαβββββ−+−−−−−−−==−+−−−−−−−n n a a c a c a ααββ−−=⋅−−证毕定理2:若1a αβ=≠且0a d +≠,则1121n n c a a d a αα+=+−+−.证明:22,d a c b cαα=−=−∵111()()()n n n n n n n n ca d ca daa b a aa b ca d a c a b dca dααααα+++∴===+−+−+−+−−+22222()(2)()()()2n n n n n nca a c ca a c ca a ca d a c a c a c a c a a αααααααααα+−+−+−===+−−+−−−−2242(2)2()()()()()()()()n n n n n n ca a c ca a c d c a a d a d a a d a a d a αααααα+−+−+−++===+−+−+−21n c a d a α=++−证毕例1.（09·江西·理·22）各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++.(1)当14,25a b ==时,求通项n a ;(2)略.解:由(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++得121121(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a −−++=++++将14,25a b ==代入上式化简得11212n n n a a a −−+=+考虑特征方程212x x x +=+得特征根1x =±所以11111121112112113112n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−−−+−−+−==⋅+++++所以数列11n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是以111113a a −=−+为首项,公比为13的等比数列故11111()()1333n nn n a a −−=−⋅=−+即3131n n na −=+例2.已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a −==−∈,求通项n a .解:考虑特征方程12x x=−得特征根1x =111111111111111(2)11n n n n n n a a a a a a −−−−−====+−−−−−−所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭是以1111a =−为首项,公差为1的等差数列故11n n a =−即1n n a n+=例3.已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a −−+==≥+，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x −=，解得121,1x x ==−，令111111n nn n a a c a a ++−−=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =−，∴数列11n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是以111113a a −=+为首项，以13−为公比的等比数列，1111133n n n a a −−⎛⎞∴=⋅−⎜⎟+⎝⎠，3(1)3(1)n nn n n a −−∴=+−例4.已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +−==∈+，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为2146x x x −=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==−，令1111122n n ca a +=+++由12,a =得2314a =，求得1c =，∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+−⋅=−+，135106n n a n −∴=−2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+②其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈.定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ.定理3:若12λλ≠,则1122n n n a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足111222221122a b b a b b λλλλ=+⎧⎨=+⎩.定理4:若12λλλ==,则12()n n a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122212()(2)a b b a b b λλ=+⎧⎨=+⎩.设)(11−+−=−n n n n ta a s ta a ，则11)(−+−+=n n n sta a t s a ,令⎩⎨⎧−==+qst p t s （*）（1）若方程组（*）有两组不同的解),(),,(2211t s t s ,则)(11111−+−=−n n n n a t a s a t a ,)(12221−+−=−n n n n a t a s a t a ,由等比数列性质可得1111211)(−+−=−n n n s a t a a t a ,1212221)(1−+−=−n n n s a t a a t a ,,21t t ≠∵由上两式消去1+n a 可得()()()n n n s t t s a t a s t t s a t a a 21221221121112..−−−−−=.（2）若方程组（*）有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11t s =，则()()112112112111111)(a t a s a t a s a t a s a t a n n n n n n n −==−=−=−−−−−+…，211121111s a t a s a s a nn n n −=−∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列，由等差数列性质可知()21112111.1s a t a n s a s a n n −−+=，所以n n s n s a t a s a t a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=．例5.已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===−∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为232x x =−，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩，112n n a −∴=+例6.已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===−∈，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为2441x x =−，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+×=⎪⎪⎨⎪=+×=⎪⎩，得1246c c =−⎧⎨=⎩，1322n n n a −−∴=例7.已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===−,求通项n a .解:考虑特征方程244x x =−得特征根2λ=则12()2n n a b b n =+其中1211222()2024(2)81nn b b b a n b b b +==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩。
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特征方程法求解递推关系中的数列通项当f(x)二X 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
aa n ■ b 人ax ■ b2典型例子：a n 1-令 x，即 ex • (d -a)x —b = 0ca n+dcx + d令此方程的两个根为 x , , x 21(1)若x , = x 2，则有an^ _x 1a n — X , a - — X ,a — ex ,⑵若X i=X 2,则有—— -=q — -(其中q—)an 半 一 x 2an —X 2a~ cx 2—2x +3例题1：设f(x)=2x —7(i)求函数y = f (x)的不动点；(2 )对(i)中的二个不动点a,b (a ::- b)，求使f (x)_a= kx_a恒成立 f(x)-bx —b的常数k 的值；2X 3⑶对由a —=1,a n= f (a n丄)(n_2)定义的数列｛a n｝，求其通项公式a n。
f(x)=2x —7解析：⑴设函数f (x)的不动点为x 0，则X o2X0 32xo-7-2x 3 1 1 / 1、 1X (x ) x —⑵由 2X-7 2 2 U 2 -2x+3 3 8x+24 -8(x-3) 8 x -32x -7可知使f(x) -a_k x _a 恒成立的常数 f (x)-b x -ba n 1 31 3(1厂-〕—2=2 .(丄严，则a 二吐 2 a n -3 4 8 n「3(—严4 Wa +4例2•已知数列｛a n｝满足性质：对于n ・N,a n1n ,且a^3,求｛a n｝的通项公式.2 a n 31P (其中P )a n- x !a d1 解得x 0或x 0 =3 2 1+ 丄 ，2k 。
(3)由⑵可知an 2 J an 」2，所以数列8a 8 a 丄 (3)-为公比的等比数列。
则8x + 4 2解:依定理作特征方程x ,变形得2x •2x-4=0,其根为‘1 =1,‘2 — -2.故特征方程有两个相异的2x 3根，则有a n 42a n ■： 3 a n ■' 4 - 2a n - 3 a n 1 - -1a n 1 2an 42 a n 2a n +3（1）当p =1时，数列｛a n ｝为等差数列；（2）当p =0时，数列｛a n ｝为常数数列；（3） 当p =1,q =0时，数列｛a n ｝为等比数列；（4） 当p =0,1,q =0时，称x= px q 是数列｛a n ｝的一阶特征方程，其根 x — 叫做特征方程的特征根，这时1-p数列｛a n ｝的通项公式为：a n =（a^x ）p nd x ；例1 :已知数列｛a n ｝中，a^ 5，且n _ 2时，求a n ；、数列的二阶特征方程（a n 2二pa n 1 ' qa n 型）在数列｛a n ｝中，a 1与a 2已知，且a n pa n dqa n（ p,q 是常数），则称x = px q 是数列｛a n｝的二阶特征方程,其根x 1， x 2叫做特征方程的特征根。
2a n 3 亠 4 亠4a n亠6 5a nT0 1 a n -1 即 % 1 一1a n 1 25 a n 2印「1「一 3-12 又 a 12 3 2 5•••数列 —.a na _ 1 I21n是以—为首项，为公比的等比数列25 53厶* a n25 54(」)心1a 55N ] 2, 1、n1 1 (-一) 一 5 52 (-5)n N.例3•已知数列｛a n ｝满足：对于n N,都有 an d13an_25a n 3(1)若 a , = 5,求 a n ;(2)若 a 1 = 6,求a n ；13x _ 25解：作特征方程x 二x +32变形得x -10x25 0,特征方程有两个相同的特征根x = 5.(1)丁 a , =5,. q = x..对于 n(2)，an 「2n. N .n +7一、数列的一阶特征方程（a n = pa nd -q 型)在数列｛a n ｝中，a ,已知，且n _ 2时,a^ pa n j q （ p,q 是常数），（参考答案: a n = 2722(。
当X i =X 2 时，有 a n • C 2X 2; (2)当X i =X 2 时，有 a n 二[3 - (n - 1)d]x ：」其中G ,c 2, d 由a 1,a 2代入a n 后确定。
例 2：在数列｛a n ｝中，aj =3,a 2 =7，且 n _3时，a n -3a n 丄「4a n = 0，求 a n ； (参考答案：a n =(-1)n 1 - 22nJ )考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列｛a n ｝的项满足a^b , a n ca n■ d其中c = 0, c = 1,求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学 生掌握的解法一一特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x =cx • d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理i.设上述递推关系式的特征方程的根为x 0，则当x 0二a1时，a n 为常数列，即a n= a 1;S x 0=印时，a n = b nX 0，其中｛b n ｝是以c 为公比的等比数列，即b^ b 1c nJ ,b^a^x 0.-J证明：因为c=0,1,由特征方程得X 0 —.作换元b n =a n -x 0,1 -c n 1当x 0 = a 1时，6=0，数列｛b n ｝是以c 为公比的等比数列，故 b n 二b 1c ;当 X 0 = 3 时，d = 0，｛b n ｝为 o 数列，故 a n = a 1,n • N.(证毕) 下面列举两例，说明定理 1的应用.1例1 •已知数列｛a n｝满足：an da n —2, n ・N, a^ 4,求a n. 3 13 解：作方程Xx -2,则X 0 . 32 3 11 1当a^ 4时，印=a j.数列｛b n｝是以 为公比的等比数列.于是2 2 3例2•已知数列｛a n ｝满足递推关系：a n1 =(2a n 3)i,n ，N,其中i 为虚数单位.则 b n4 二 a n 」-X 。
二 ca n • dd 1 -ccd 1 -c二 c(a n - X 0) =Cb n .b n当a1取何值时，数列｛a n｝是常数数列?+ 3i 6^ + 3 i解：作方程X =（2x • 3）i,则X o = ------------------ .要使a n 为常数，即则必须 a i = --------------------------------------5 5现在考虑一个分式递推问题（*）.a n■ 4例3•已知数列｛a n ｝满足性质：对于n • N,a n 」-,且a 1= 3,求｛a n｝的通项公式'■ 2a - +3于n E N ，都有a n ^ =—q （其中p 、q 、r 、h 均为常数，且ph 式qr,r 式0,a 1式一』）,那么，可作特征方ra n+hr护 px +q 程x.rx h则 d n1"n1 —一’ ep-)「hra n+ hra n+ hd n (P -M) —[r&2 +^(h — p) —q]rd n+ h _r 丸丁九是特征方程的根，二九=— n r 丸2 +入（h — p ） — q = 0. r h+h 将该式代入①式得 d n 1 - d n （ P，- - N.②rd n + h — "ph 二qr,这与已知条件ph 尸qr 矛盾.故特征方程的根八代p ,于是r将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2.如果数列｛a n ｝满足下列条件：已知a 1的值且对（i ）当特征方程有两个相同的根 ■（称作特征根）时，若1若 a 1 二.■-.，则 a n" , n • N,其中 b nb n(n -1)n ^ N .特别地，当存在b n0 =0时，无穷数列｛a n｝不存在.■ 2C n 一（2）当特征方程有两个相异的根 ■ 1、 ■ 2 （称作特征根）时，则 a n = -------6 —1n ・N,其中a 〔 - ' 1 p 一 ’ 1「 n _1--( -)，-N,(其中 a 1= 2).证明：先证明定理的第（ 1）部分.作交换d n 二a n 「％, n • N(d n " ■-)( p -%r) q J hr(d n +G + h将x 二&代入特征方程可整理得rp _ ' r =0.③当d i =0即a^ ■时，由②、③两式可得 d n =0, n ・N.此时可对②式作如下变化:再证明定理的第(2)部分如下:p、 p 、 p由第(1)部分的证明过程知 x不是特征方程的根，故■ 1, '2.rrr_ a +q _'1h故p —q r =0, p -■u 2r =0.所以由⑤式可得：p —'点订nP 仝订 “⑥6十=— ■ --- ，n ^= NP —上2 r c 4 q ^-2 ha n ；p - '2「px + q2：特征方程x有两个相异根’1、 ’ 2一 方程rx • x(h - p) - q = 0有两个相异根’1、' 2，而方程rx hd n 1 d n (p-r)h - ,；.,r 1 r-------- ——+ --------- p -t r d n p -'』；r由■是方程x 二rx + hpX―q 的两个相同的根可以求得2r令b nd n•- b n h2r 将此式代入④式得d n 1 d n——r — ,n N. p 「％r2rN.则 bm=b 1(n -1)=b n,n 三N.故数列｛b n｝是以p - ：r为公差的等差数列.N.其中b 1d 1 a1 - ■ 当 n N ,b n= 0 时,N.当存在n° • N,使b n 0an 0 二d n 。
n o —'无意义.故此时，无穷数列b ｛a n ｝是不存在的.n 。
T 特征方程有两个相异的根'2，二其中必有一个特征根不等于a 1，不妨令■ 2 = a 1.于是可作变换a n,n N.故C n 1a n 1 " '1..—，将a n 卅an 1 一 ' 2pa n J 代入再整理得 ra n h C n 1 -a n (P - ’*) q - \h ,n E N a n (p - ‘2。
q - 2hq _ 2h = 一工—x二匸型与方程rx2—x(h - p) — q二0又是同解方程• 匚』二-二p -xr将上两式代入⑥式得^^=^^Cn, n ・ Np —扎2 r a n —入 2 p — Z-2 r当G , =0,即a 1 =「时，数列｛c n ｝是等比数列，公比为现在求解前述例3的分类递推问题(”).■ 1r-.此时对于n 三N 都有P - '当C i=0即a 1 = ■ 1时，上式也成立.由C nN.所以a n注:当 ph =qr 时ra n +h—q 会退化为常数 ；当r=0时，a n4 = -Pan q可化归为较易解的递推关系，在此不再赘 ra n +h根,、x + 4 解:依定理作特征方程x ,变形得2x +3使用定理2的第(2)部分，则有2x 2 • 2x - 4 = 0,其根为■ 1= 1, ■ 2二-2.故特征方程有两个相异的C na 1/ P - ‘1 r 、n 」 ( ) P - *3 -1 ,1 -1 2、n 』 ( )3 2 1-22,n N. 二 C n /(-丄)：n N.5 5例4. C n-1勻一丄厂-1——n e2(」)n — 1 ' 5 5N.即 a n2 (-5)nN.已知数列 ｛a n ｝满足：对于n • N,都有an -113a n -25 a n 3(0若a 1 = 5,求a n ; (2)若印=3,求a n ; (3)若a 1 = 6,求a n ; (4)当a 1取哪些值时，无穷数列｛a n ｝不存在?解：作特征方程X 二13x一25.变形得X 2 - 10x • 25 = 0,x +3特征方程有两个相同的特征根 & =5.依定理2的第(1)部分解答.(1)丁a 1=5r a<)=对于 n • N,都有 a n二’=5; (2)va 1=3,. a^i = ； .「• b n=—1(n -1)——a r _人p _ r 九1 1 (n -1)1- 3 -513-1 5令b n =0，得n =5.故数列｛a.｝从第5项开始都不存在，当n < 4, N时，a. ■ =2^1!b n n — 5(3)v a1二6, ■二5,二a1■- /..1r n —1 r-bn=(n -1)-=1 , n N .令b n= 0,则n = -7 ' n.二对于n N, b n= 0a1一扎P-■ r8115n 43 “■- -+ 几=5,n N.b n n -1n 718(4)显然当a^ -3时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知，a^ 5时，数列｛a n｝是1 r 1 n -1存在的，当印--■ = 5时，则有b n(n -1) , n • N.令b n= 0,则得a1 —丸p —r a1 — 5 85n-13 口a1 , n N 且n > 2.n -1t 5n —13二当a1(其中N且N >2)时，数列｛a n｝从第n项开始便不存在.n -1于是知：当a1在集合｛-3或5n ~13： n・N,且n >2｝上取值时，无穷数列｛a n｝都不存在.n —1。