曲线系理论及其应用

第21讲:曲线系理论及其应用 173

第21讲:曲线系理论及其应用

在一个关于x,y 的二元方程中,如果它含有一个不定的常数,赋于这个常数一些不同的值,可以得到一系列具有某种共同性质的曲线(包括直线),它们的全体组成的集合叫做具有某种共同性质曲线系.

利用曲线系解题,体现了参数变换的数学观点、整体处理的解题策略,以及“基本量”和“待定系数”的解题方法.这种观点、策略、方法的三位一体,能使解题水平更高、思维更活.下面介绍几类重要的曲线系. 定理1:过曲线C 1:f 1(x,y)=0与C 2:f 2(x,y)=0的交点的曲线系方程为:f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0.

定理2:设二次曲线C:ax 2

+cy 2

+dx+ey+f=0与直线mx+ny+p=0有两个不同的交点,则过这两点的圆系方程为:(ax 2

+cy 2

+dx+ey+

f)+λ(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,这里λ=

2

2n m a c +-,t 为任意实数.

定理3:过圆M:x 2

+y 2

+2dx+2ey+f=0外一点P(x 0,y 0)作圆M 的两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B,则双切线PA 与PB 构成的曲线方程为:(x 02

+y 02

+2dx 0+2ey 0+f)(x 2

+y 2

+2dx+2ey+f)-[x 0x+y 0y+d(x+x 0)+e(y+y 0)+f]2

=0,即包含切线PA:a 1x+b 1y+c=0与PB: a 2x+b 2y+c 2=0的方程.

定理4:设二次曲线C:ax 2

+bxy+cy 2

+dx+ey+f=0与直线l 1:m 1x+n 1y+p 1=0,l 2:m 2x+n 2y+p 2=0都有公共点,则过这些公共点的二次曲

线系方程为:(ax 2+bxy+cy 2

+dx+ey+f)+λ(m 1x+n 1y+p 1)(m 2x+n 2y+p 2)=0.

例1:过曲线交点的直线系.

[始源问题]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生数学试题)求过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的直线方

程.

[解析]:由过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的曲线系:(2x 2-2x-1-y)+λ(-5x 2+2x+3-y)=0,即(2-5λ)x 2+2(λ-

1)x-(λ+1)y+3λ-1=0;令2-5λ=0⇒λ=5

2⇒曲线系:6x+7y-1=0⇒过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2

+2x+3两交点的直线方程:6x+7y-1=0.

[原创问题]:已知抛物线C 1:y=2x 2+3x-3,C 2:y=-5x 2+tx+4

21-t.

(Ⅰ)求证:过抛物线C 1与C 2两交点的直线l 过定点A; (Ⅱ)过点A 作斜率互为相反数的两直线与椭圆C:

42x +3

2

y =1分别交于异于点A 的点M 、N,求证:直线MN 的斜率为定值. [解析]:(Ⅰ)由y=2x 2+3x-3⇒5y=10x 2+15x-15…①;由y=-5x 2+tx+4

21-t ⇒2y=-10x 2+2tx+2

21-2t …②;由①+②得:7y=15x

+2tx-

29-2t ⇒2(x-1)t=7y-15x+29⇒直线l 过定点A(1,2

3

); (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线MN:y=kx+t;由⎩⎨⎧=++=12

432

2y x t kx y ⇒(3+4k 2)x 2+8ktx+4t 2

-12=0⇒x 1+x 2=-2438k kt +,x 1x 2=2243124k t +-; 由k AM +k AN =0⇒

123

11--

x y +

12322--x y =0⇒12311--+x t kx +12322--+x t kx =0⇒2kx 1x 2+(t-23-k)(x 1+x 2)-(2t-3)=0⇒2

2

43)3(8k t k +--(t-23-k)

2

438k kt +-(2t-3)=0⇒8k(t 2

-3)-8kt(t-

2

3-k)-(2t-3)(3+4k 2)=0⇒6(2k-1)t+12k 2

-24k+9=0⇒6(2k-1)t+3(2k-1)(2k-3)=0 ⇒k=

2

1

为定值. 例2:过曲线交点的圆系.

174 第21讲:曲线系理论及其应用 [始源问题]:(2001年新课程高考试题)设0<θ<2

π

,曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ-y 2sin θ=1有4不同的交点.

(Ⅰ)求θ的取值范围;

(Ⅱ)证明:这4交点共圆,求圆半径的取值范围.

[解析]:(Ⅰ)由⎪⎩⎪⎨⎧

=-=+1sin cos 1

cos sin 2

22

2

θθθθy x y x ⇒x 2=sin θ+cos θ,y 2

=cos θ-sin θ>0⇒tan θ<1⇒θ∈(0,

4

π)⇒θ的取值范围是

(0,

4

π);

(Ⅱ)由过曲线x 2

sin θ+y 2

cos θ=1和x 2

cos θ-y 2

sin θ=1交点的曲线系:(x 2

sin θ+y 2

cos θ-1)+λ(x 2

cos θ-y 2

sin θ-1)=0,即(sin θ+λcos θ)x 2

+(cos θ-λsin θ)y 2

=1+λ;令sin θ+λcos θ=cos θ-λsin θ得:λ=θ

θθθcos sin sin cos +-⇒曲线系:x 2+y 2

=

2cos θ为圆⇒这4交点共圆;圆的半径r=θcos 2,由θ∈(0,

4

π)⇒r=θcos 2∈(42,2).

[原创问题]:设抛物线C 1:y 2=4x 与y=x 2-2

15x+c 有4不同的交点.

(Ⅰ)求c 的取值范围;

(Ⅱ)证明:这4交点共圆,并求圆半径的取值范围.

[解析]:(Ⅰ)由⎪⎩

⎪

⎨⎧+-==c x x y x y 215

422⇒y 4-30y 2-16y+16c=0;令f(t)=t 4-30t 2-16t+16c,则f '(t)=4(t 3-15t-4)=4(t-4)(t 2+4t+1)= 4(t-4)(t+2+3)(t+2-3)⇒f(t)的极大值=f(-2+3)(t 2+4t+1=0⇒t 2

=-4t-1)=16c+483-81>0⇒c>16

1

(81-483); f(t)的极小值=f(-2-3)(t 2

+4t+1=0⇒t 2

=-4t-1)=16c-483-81<0⇒c<

16

1

(81+483);f(4)的极小值=16c-16×18<0 ⇒c<18.综上,c ∈(

161(81-483),16

1

(81483)); (Ⅱ)由过抛物线C 1:y 2

=4x 与y=x 2

-2x+c 交点的曲线系:(x 2

-2x+c-y)+λ(y 2

-4x)=0,即x 2

+λy 2

-2(1+2λ)x-y+c=0;令λ=1⇒曲线系:x 2

+y 2

-6x-y+c=0为圆⇒这4交点共圆;圆的半径r=

2437c -;由c ∈(161(81-483),16

1

(81+483))⇒r ∈(0, 4

3

4867+).

例3:过两交点的圆系.

[始源问题]:(2004年湖北高考试题)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B.