二元函数的泰勒公式
多元函数的泰勒公式与极限
多元函数的泰勒公式与极限多元函数的泰勒公式是数学中重要的概念，它与极限有密切关系。
在本文中，我们将介绍多元函数的泰勒公式以及其与极限的关联。
首先，让我们回顾一元函数的泰勒公式。
对于一元函数$f(x)$，其在$x=a$处的泰勒展开式可以表示为：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的一阶导数，$f''(a)$表示二阶导数，以此类推。
泰勒公式可以将函数在$x=a$附近的值用无穷项级数展开，使我们能够近似计算函数在该点的值。
现在我们将泰勒公式推广到多元函数。
考虑一个二元函数$f(x,y)$，我们希望在点$(x=a,y=b)$处进行泰勒展开。
多元函数的泰勒公式可以表示为：$$f(x,y) = f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b) + \frac{1}{2!} \left( \frac{\partial^2 f}{\partialx^2}(a,b)(x-a)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)(x-a)(y-b) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)(y-b)^2 \right) + \cdots$$其中$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$表示函数$f(x,y)$在点$(x=a,y=b)$处对$x$的偏导数，$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$表示对$y$的偏导数，类似地，$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)$表示二阶偏导数，以此类推。
数一考二元函数的泰勒公式吗
数一考二元函数的泰勒公式吗泰勒公式是一种用于研究和求解二元函数的方法，它是经典的微积分中的一种非常重要的概念。
在一般情况下，泰勒公式作为函数附近局部行为分析时最重要的理论技术。
它在科学，技术，工程，经济等各个领域有着广泛的应用。
首先，我们来回顾一下泰勒公式的定义。
泰勒公式是指在n阶导数的基础上，构造出的函数拓展。
一元函数泰勒公式是我们常见的格林函数，而二元函数泰勒公式即在n阶导函数的基础上，对其函数进行拓展构造出来的函数。
具体来说，泰勒公式可以表示为： f(x) = f(a) + f'(a)[x-a] + f''(a)[x-a]2/2! + f'''(a)[x-a]3/3! + ...+ f^(n)(a)[x-a]n/n!，其中f(x)为二元函数，a也是一个实数，f'(a),f''(a),...,f^(n)(a)为f(x)的n阶导数。
从这个表达式中可以看出，二元函数泰勒公式的核心是导函数的信息。
同样的，我们可以把这个表达式中的系数乘合起来写成一个多项式，也就是所谓的阶数多项式。
仔细考虑，这个多项式就是我们要求解二元函数的本质。
由此可见，二元函数泰勒公式可以用来求解和分析复杂而又式本质复杂的二元函数。
在实际的应用中，对其局部行为的研究和分析该公式非常有用。
通过计算二元函数某一特定点的泰勒公式可以准确地计算出在这个点附近存在的加减乘除平方以及其他任何操作。
另外，泰勒公式也可以用来应用到最优化问题中，即求解系统是如何最优化，从而用以解决实际问题。
换句话说，二元函数泰勒公式可以用来估算一个二元函数所有极值点，这非常有用。
另外，泰勒公式也可以用来求解边界值，即求解解的临界值范围。
总之，二元函数泰勒公式是一种用来求解和分析二元函数的重要概念，它既可用于函数的局部行为分析，也可用于最优化问题的求解。
由此可以看出，泰勒公式对于科学、工程以及经济等领域有着广泛的应用价值。
数学分析报告10.4--二元函数地泰勒公式
§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数x z ∂∂，yz ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。
若他们存在关于x 和y 的偏导数，即 x ∂∂（x z ∂∂）， y ∂∂（x z ∂∂）， x ∂∂（y z ∂∂）， y ∂∂（yz ∂∂）. 称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。
通常将 x ∂∂（x z ∂∂）记为22xz ∂∂或''xx f ),(y x . y ∂∂（x z ∂∂）记为yx z ∂∂∂2或''xy f ),(y x . (混合偏导数) x ∂∂（y z ∂∂）记为xy x ∂∂∂2或''yx f ),(y x . (混合偏导数) y ∂∂（y z ∂∂）记为22yz ∂∂或''yy f ),(y x . 一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有2n 个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号k k n n yx z ∂∂∂-或 )(n y x k k n f -),(y x 表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1 求函数332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.解 x z ∂∂=23263y xy y x +-， yz ∂∂=xy x y x 233223+-. 22xz ∂∂=y xy 663-.yx z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. x y z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. (y x z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2) 22yz ∂∂=x y x 263+. 例2 证明：若u=r1,r=222)()()(c z b y a x -+-+-,则 22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂=0. 证明 由§10.3例2，有x u ∂∂=3r a x --，yu ∂∂=3r b y --，z u ∂∂=3r c z --. 22x u ∂∂=6233)(r x r r a x r ∂∂---(x r ∂∂=r a x -) =6233)(r r a x r a x r ---- =31r -+53r 2)(a x -. 同样，可得22yu ∂∂=31r -+53r 2)(b y -, 22z u ∂∂=31r -+53r 2)(c z - 于是，22x u ∂∂+22y u ∂∂+22zu ∂∂=31r -53r +])()()[(222c z b y a x -+-+- =33r -+33r=0. 由例1看到，y x z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求导的顺序无关。
高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
泰勒公式常用公式
泰勒公式常用公式在数学中，泰勒公式是一个非常有用的工具，它用于求解函数类型的函数的极限，例如求解一元函数，二元函数，幂函数和指数函数的极限。
泰勒公式而言，它是一种通过分析函数关于某一点的导数来求解函数极限的方法，其原理是使用附近函数值与其导数的变化进行乘积求和来求解函数极限。
泰勒公式是一种特殊类型的数学公式，它可以用来求解连续函数的极限，从而计算函数在某一点的导数，这里所谓的极限是指函数的导数和函数的值的比值在某一点的值趋近于某一值。
泰勒公式即可以用来求解连续函数的极限，也可以用来解决连续函数的微分方程。
一般来说，泰勒公式是一个非常有用的数学工具，它可以用来准确的求解函数的极限，从而得出函数的导数，因此有许多学术研究中使用到了它，比如物理学、工程学和系统工程等领域中，泰勒公式更经常用于求解微分方程。
泰勒公式的具体表达形式是，在某一点x处，函数f的n阶邻域的值可以使用以下公式来表示：f(x) = f(x) + (x-x)f’(x) + (x x)^2*f’’(x)/2! + + (x x)^n*f^(n)(x)/n! +其中，f(x)表示函数f在点x处的值，f’(x)表示函数f关于点x的一阶导数，f’’(x)表示函数f关于点x的二阶导数，f^(n)(x)表示函数f关于点x的n阶导数，(x x)^n表示x与x之间的差的n 次方，n!表示n的阶乘。
泰勒公式的有效性被越来越多的科学研究验证，它的应用领域也越来越广泛，无论是在物理学，工程学还是系统工程等学科，泰勒公式都有着不可替代的作用，从而提高了研究的效率，有利于科学的发展。
在实际应用中，我们通常使用以下几种泰勒公式：1.函数的泰勒公式：在实际计算中，我们可以使用以下泰勒公式来计算x处幂函数的极限：f^(n)(x) = f(x) + (x-x)f’(x) + (x x)^2*f’’(x)/2! + + (x x)^n*f^(n)(x)/n!2. 一元函数的泰勒公式：对于一元函数的计算，我们可以使用以下泰勒公式：f(x) = f(x) + (x-x)f’(x) + (x x)^2*f’’(x)/2! + + (x x)^n*f^(n)(x)/n!3. 二元函数的泰勒公式：对于二元函数的极限计算，我们可以使用以下公式：f(x,y) = f(x,y) + (x-x)f’_x(x,y) + (y-y)f’_y(x,y) + (x x)^2*f”_xx(x,y)/2! + (x x)*(y-y)*f”_xy(x,y)+ (y y)^2*f”_yy(x,y)/2! +4.数函数的泰勒公式：对于指数函数的极限计算，我们可以使用以下公式：f(x) = e^x = f(x) + (x-x)f’(x) + (x x)^2*f’’(x)/2! + + (x x)^n*f^(n)(x)/n!总之，泰勒公式是一种非常重要的计算工具，它可以使我们精准的求解函数的极限，从而得出函数的导数，它的应用领域也越来越广泛，从而为科学研究提供了有力的帮助。
二元函数的泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广 多元函数泰勒公式
记号 (设下面涉及的偏导数连续): •
•
表示
• 一般地,
表示
定理1.
到 n + 1 阶连续偏导数 , 一点, 则有
的某一邻域内有直 为此邻域内任
其中
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, 朗日型余项 .
① ② ②称为其拉格
在区域D 上的两个一阶偏导数
恒为零, 由中值公式可知在该区域上
例1. 求函数
勒公式. 解:
因此,
的三阶泰
其中
二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件)
若函数
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当 2) 当 3) 当
时, 具有极值 时, 没有极值.
A < 0 时取极大值; A > 0 时取极小值.
证: 令
则 利用多元复合函数求导法则可得:
一般地,
由
的麦克劳林公式, 得
将前述导计式.
因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,
邻域其绝对值必有上界 M ,
在某闭 则有
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
定理1
(3) 若函数
因此
作业
P123 1 , 3 , 4 , 5
第十节
时, 有
同号. 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
异号;
若 A＝C ＝0 ,则必有 B≠0 ,
不妨设 B＞0 ,
此时
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
(3) 当AC－B2 ＝0 时,
泰勒公式的讲解
二 者 不 等
×
定理17.7 若 f x y ( x,y)和 f y x ( x,y)都在点 x0 , y0 ) 连续, 则 定理 (
f x y ( x0 , y0 ) = f y x ( x0 , y0 )
元函数的高阶混合偏导数也成立. 本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立 例如 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 连续时, 在点 (x , y , z) 连续时 有
1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ + h + k f ( x0 , y0 ) +L+ h + k f ( x0 , y0 ) + Rn 2! ∂x n! ∂x ∂y ∂y
1 ∂ ∂ h + k Rn = (n +1)! ∂x ∂y
说明 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 数可以选择方便的求导顺序 今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续， 今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续， 从而混合偏导数与求导顺序无关. 从而混合偏导数与求导顺序无关
2
+ f12 ⋅ x y
+ f22 ⋅ x y
= f11 + y( x + z) f12 + x y2 z f22 + y f2
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二、中值定理和泰勒公式
凸区域 若区域 D 上任意两点的连线都含 为凸区域. 于 D 内，则称 D 为凸区域 为区域， 若 D 为区域，则对任何
P ( x1, y1 ), P ( x2 , y2 )∈ D 1 2
二元泰勒展开
第九节 二元函数的泰勒公式
一、问题的提出 二、二元函数的泰勒公式 三、极值充分条件的证明
一、问题的提出
一元函数的泰勒公式
f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
( n) ′′( x0 ) f f ( x0 ) 2 ( x − x0 ) +L+ ( x − x0 )n + 2 n! f (n+1) ( x0 +θ ( x − x0 )) ( x − x0 )n+1 (0 < θ < 1). + (n + 1)!
2
∂ ∂ x + y f (0,0) = x3 fxxx(0,0) + 3x2 yfxxy(0,0) ∂y ∂x + 3xy2 fxyy (0,0) + y3 f yyy (0,0) = 2( x + y)3 ,
3
1 1 2 ln(1 + x + y) = x + y − ( x + y) + ( x + y)3 + R3 , 2 3
(0 < θ < 1)
其中记号
∂ ∂ h + k f ( x0 , y0 ) ∂y ∂x
GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式
再将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.证毕
定理2在多元函数的计算上有重要价值.其中拉格朗日余项
1 Rn = d n +1 f ( x 0 + θ ∆ x , y 0 + θ ∆ y ) ( n + 1)!
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y
或写成
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) + df ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ).
记
f ( Pt ) = f ( x0 + t ∆x, y0 + t ∆y ), 则上式又可写成为
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ),
可用偏导数来估计. 假定其 n + 1 阶偏导数有界,即有常数 M , 使
∂ n +1 f ≤ M, l n +1−l ∂x ∂y
则
l = 0,1,⋯ , n + 1;
M Rn ≤ ( ∆x + ∆y ( n + 1) !
)
n +1
,
令 ρ = ∆x 2 + ∆y 2 ,
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ), (0 < θ < 1)
视频1--38 二元函数带拉格朗日型余项的泰勒公式
2/2
2 f 2 x 矩阵 2 f xy
2 f xy 称为函数 f ( x, y) 的 Hessian 矩阵（梯度向量的 Jacobi 矩阵；某 2 f y 2
种意义下，多元函数的梯度向量与一元函数的导数类似，Hessian 矩阵则与二阶 导数类似） ．
f ( a x, b y ) f (a, b) x y f (a, b) x y
1 x y f ( a x, b y ) ， 2 x y
2
其中
x y f (a x, b y ) y x
n 1
f ( a x, b y ) 称为 Peano 型余项．
Note1★： 0 阶情形
f ( a x, b y ) f (a, b) x y f (a x, b y ) ， y x
这就是二元函数的微分中值定理． Note2★： 1 阶情形
f ( x, y h ) f ( x, y ) h
所以
2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) 1 f ( x h , y ) f ( x h , y ) f ( x , y h ) f ( x , y h ) 4 f ( x , y ) x 2 y 2 h2
视频 1--38
二元函数带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式
1/2
三、二元函数带有 Lagrange 型余项的泰勒公式 定理：设函数 f ( x, y) 在点 (a, b) 的某个邻域内具有 n 1 阶连续偏导数，当
(a x, b y ) 在此邻域时，成立
10-4二元函数的泰勒公式
都具有连续的二阶偏导数，则复合函 若函数 f , ϕ , ψ 都具有连续的二阶偏导数，则复合函
数 z = f (ϕ ( s , t ),ψ ( s , t )) 对于 s , t 同样存在二阶连续
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注 1 若二元函数 f ( x , y ) 在某一点存在直到 n 阶的
连续混合偏导数， 连续混合偏导数，则在这一点的所有 m ( m ≤ n) 阶混
合偏导数都与求导顺序无关． 合偏导数都与求导顺序无关． 元函数的混合偏导数也成立. 注2 这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立 例 如三元函数 f ( x , y , z ) 的如下六个三阶混合偏导数
式. 由于
f ( x + ∆ x, y) − f ( x, y) f x ( x , y ) = lim , ∆x→0 ∆x
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因此有
f x ( x 0 , y0 + ∆ y ) − f x ( x 0 , y0 ) f x y ( x0 , y0 ) = lim ∆y →0 ∆y
f ( x 0 + ∆ x , y0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y0 + ∆ y ) 1 = lim ∆lim0 ∆y →0 ∆ y ∆x x→ f ( x0 + ∆ x , y0 ) − f ( x0 , y0 ) − lim ∆x→0 ∆x
∂ z ∂ 3z ∂ = f x 3 ( x , y ), 2= 3 ∂x ∂x ∂x
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∂ ∂z ∂ 2z = f x 2 y ( x , y ), 2= 2 ∂ y ∂x ∂x ∂ y
二元函数的泰勒公式.doc
§10.4. 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数z f ( x, y) 的两个（一阶）偏导数zxz, 仍是x 与y 的二元函数.y若它们存在关于x 和y 的偏导数，即z x zx,zyzx;zxzy,zyzy.称它们是二元函数z f (x, y) 的二阶偏导（函）数. 二阶偏导数至多有 2 2 个. 通常将它们表为：z x zx表为2z2x或 f (x, y).xxz y zx表为2xzy或 f ( x, y).xy （混合偏导数）z x zy表为2zy x或 f yx (x, y). （混合偏导数）z y zy表为2yz2或 f (x, y).yy一般地，二元函数z f (x, y) 的n 1阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数. 二元函数的n阶偏导数至多有n 2 个. 二元函数z f (x, y) 的n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似. 例如，符号n x nkzky( n) x y或 f ( , )n k kx y表示二元函数z f (x, y) 的n 阶偏导数，首先对x求n k 阶偏导数，其次接着对y求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.3 y3 x2 y xy2例1. 求函数z x 3 3 的二阶偏导数.z z2 x y2 x xy3 2 3 2 解： 3 6 . 3 3 2 .x y xy yx y2z 2 x 6 3xy6 .y2 y2z 9 6 2 .2 2 2 2z9 6 2 .x y x y x y x yx x y2xzy2yzx2z36x y 2x. 2y1 2 2 2 例2. 证明：若u ,r (x a) ( y b) (z c) ,则r2 u 2 x 2u2y2u2z0.证明：由§10.3. 例2，有u x xra u yb u z, ,3 r3y r z3c. 32 r (x a)3ru2x r 62 rxr x ax rr 3 ( )3x a r6r 2x ar1 3 23 x a5( ) . rr同样，可得2 u 2 y21 3 u 1 3 22( y b) , (z c)3 5 2 3 5r r z r r.2 2 2u u u 3 3 2 2 2于是，[( x a) (y b) ( z c) ]2 2 23 5x y z r r30.33r 3r定理1. 若函数 f (x, y) 在点P(x0 , y0 ) 的邻域G存在二阶混合偏导数 f xy (x, y) 与f (x, y)yx ，并且它们在点P(x0, y0 ) 连续，则f xy yx (1)(x0 , y0 ) f (x0 , y0 )2证明 令 F ( x, y)( , ) ( , ) f x 0 x yy f xx y( , ) ( , ) f x 0 yy f x y ，①令 (x)( , ) ( , ) . 对 (x) 在[ x 0 , x 0 x] 上应用拉格朗日中f x y 0y f x y值定理, 得 F ( x, y)(x 01x) xf x (x 01x, y 0 y) f x (x 01x, y 0 ) xf x y (x 01, 0 2) ； x yy x y②令 (y)f (x 0 x, y) f (x 0 , y) . 同样方法可以得到F ( x, y) fyx (x 0,) . 于是有 x y x x y30 4f x yx y yf yx (x 0 3x, y 04x) .(x,)12令 x 0, y 0, 取极限得(1) 式.例 3. 证明：若 z f (x, y), xcos , y sin , 则22ff f 22f f 11x2 222y2.证明：f f xxf yyf xf cos sin . yf f xx f yyf xf sincos .y2f2f f ff x cos f y sin2 f 2 x 2 cos 2 x f y sin cos2 y f x sin cos 2 f 2y2sin.2f2f f ff xsinf ycos 2f 2 x 22fsin 2 2x ysin cosfxcos3。
高数9_9二元泰勒公式
+ ( x0 , y0 )
x Q(h, k )可能
*第九节
第九章
二元函数的泰勒公式
一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明
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一、二元函数的泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
2hk f x y ( x0 ht , y0 k t )
k 2 f y y ( x0 ht , y0 k t )
2 (0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
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一般地,
m f ( m) p p m p (t ) C m h k p m p ( x ht , y k t ) x y 0 0 p 0
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则
2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h B k ) k ] ( AC B ) A
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
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二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
二元函数的泰勒公式
泰勒公式可用于建模和优化电路、机械和材料的行为与性能。
泰勒公式的误差估计
误差估计是用来判断泰勒级数逼近与原函数之间的精确度和准确度。
一阶和二阶导数的应用
一阶导数
一阶导数可以表示函数的斜率和变化率，它在 泰勒公式中的系数决定函数的线性行为。
二阶导数
二阶导数可以表示函数的曲率和凸凹性，它在 泰勒公式中的系数决定函数的二次行为。
二元函数的泰勒公式
泰勒公式是一种近似表示函数的方法，通过展开函数成无穷级数来近似描述 函数在某点附近的行为。
泰勒公式的定义和作用
泰勒公式是一种用多项式来逼近一元或多元函数的方法，它能够在函数值和导数值已知的点上给出函数 的逼近值。
泰勒级数的推导和表达
1
推导
泰勒级数是通过对函数进行多次求导和代入点的函数值来构造一个无穷级数的方 法。
泰勒公式的局限性和改进方法
1
局限性
泰勒公式仅在附近的小范围内有效，且对于某些函数可能需要更高阶的级数展开。
2
改进方法
改进方法包括使用拉格朗日余项和泰勒公式的剩余项来提高逼近的准确性。
3
数值方法
数值方法可以通过数值逼近来解决泰勒公式在全局范围内的局限性。
总结和要点
泰勒公式是一种重要的数学工具，能够帮助我们理解函数的行为和进行函数 逼近。它在许多领域有广泛的应用。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表达
泰勒级数以多项式的形式表示函数，并包含函数在某个点及其导数上的信息。
3
级数展开
级数展开可以理解为将函数用无穷多个多项式相加的形式来逼近函数。
泰勒公式的应用场景
物理学
泰勒公式可用于近似描述物体在不同速度和加速度条件下的运动。
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二元函数的泰勒公式
1、一元函数泰勒公式：
对于较复杂的函数来说，为了简便研究，往往用一些简单的函数来近似表达（多项式近似表达函数）
例如：
1~+x e x
x x ~)1ln(
+ 上式只有当，误差才是比x 的高阶无穷小。
0→x 但是：不能具体估计出误差的大小。
泰勒定理（Taylor ）:函数)(x f y =在含有的开区间(a , b)内具有直到n+1阶导数,当x 在(a , b)内时，可以表示为x-的一个n 次多项式，与一个余项之和：
0x )(x f y =0
x )(x R n （1）n 阶泰勒公式： )(!
1)()()(000x x x f x f x f -'+=+200)(!2)(x x x f -''+300)(!
3)(x x x f -'''+400)4()(!4)(x x x f -+……+n n x x n x f )(!
)(00)(-+ )(x R n （2）拉格朗日型余项：
)(x R n =10)1()()!
1()(++-+n n x x n f ξ （3）函数按x-的幂展开的n 次近似多项
式：
0x )(!
1)(f )()(000x x x x f x f -'+=+200)(!2)(x x x f -''+3)00(!3)(x x x f -'''+400)4()(!
4)(x x x f -+……+
n n x )0-x n x f (!
)(0)( 其中：=
)(x R n 10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ ξ为与x 之间的某个值
0x = )(x R n ])[(0
n x x o -（4）迈克劳林公式
当取=0，则0
x ξ为0与x 之间，因此可以令x θξ=)10(<<θ从而使泰勒公式变成较简单的形式： )(!1)0()0()(x f f x f '+=+2)(!2)0(x f ''+3)(!
3)0(x f '''+4)4()(!4)0(x f +……+n n x n f )(!
)0()(+ 1)1()()!1()(+++n n x n x f θ )10(<<θ
由此可以得到近似公式：
)(!1)0()0()(x f f x f '+=+2)(!2)0(x f ''+3)(!3)0(x f '''+
4)4()(!4)0(x f +……+n n x n f )(!
)0()( 2、 二元函数泰勒公式：
对于多元函数来说，也必须考虑用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并具体估算其误差的大小。
定理：
设二元函数),(y x f z =在点的某一邻域内连续且具有直到n+1阶连续偏导数，),(00y x ),0k y h (0x ++是此区域内任一点，则有：
),(00k y h x f ++=),()(),(0000y x f y
k x h y x f ∂∂+∂∂++),((!21002y x f y k x h ∂∂+∂∂+),()(!31003y x f y
k x h ∂∂+∂∂+……+),((!100y x f y k x h n n ∂∂+∂∂+)
,(()!1(1001k y h x f y k x h n n θθ++∂∂+∂∂++)10<<(θ
其中：
（1）
),()(00y x f y
k x h ∂∂+∂∂=),(),(0000y x kf y x hf y x +
),()(002y x f y k x h ∂∂+∂∂=
),(2),(),(00002002y x hkf y x f k y x f h xy yy xx ++
（2）
),()(00y x f y
k x h m ∂∂+∂∂=∑=-m p p m p p m k h C
0-∂∂y x p m p m y x f ),(00
（3）拉格朗日型余项： =)(x R n ),()()!1(1001k y h x f y
k x h n n θθ++∂∂+∂∂++ （4）n 阶迈克劳林公式：
=),(y x f )0,0()()0,0(0f y k x h f ∂∂+∂∂++)0,0((!212f y k x h ∂∂+∂∂+)0,0((!313f y
k x h ∂∂+∂∂+……+)0,0((!1f y k x h n n ∂∂+∂∂+),()()!1(11y x f y k x h n n θθ+∂∂+∂∂+。