分类讨论思想方法.ppt
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5．树立划分意识，训练思维的严谨性，保证解题的正确 与完整。
二、分类讨论的步骤、原则和方法
1．分类评论的一般步骤是：
→明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类 →逐步进行讨论，获取阶段性结果→归纳小结，综合得出结论。
2．逻辑划分应遵循的原则：
分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、 分层次，不越级讨论。
A.
8 3；B. 9
4 9
3 ；C. 2
9
3 ；D. 4 9
3或8 9
3。
5．过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_________。
A.3x－2y＝0；
B.x＋y－5＝0；
C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0；
D.不能确定。
Ⅱ、示范性题组：
例1.设0<x<1，a>0且a≠1，比较| 的大小。
当a>1时，| log a (1 x)|－| log a (1 x)|＝……
由①、②可知，……
例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素， 试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①CA∪B且 C中含有3个元素；②C∩A≠φ。
【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类： ①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中 元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
1．通过“补集”间接求解。 2．有条件时，尽量减少分类层次，寻求整体解决方法。
Ⅰ、再现性题组：
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}， 若AB，那么a的范围是_________。
A.0≤a≤1；B.a≤1；C.a<1；D.0<a<1。
2．若a>0且a≠1，p＝ log a (a3 a 1)，q＝ log a (a 2 a 1，)
百度文库
1
1
【解】当a>0时，f(x)＝a（x－ a ）＋2－ a
∴
1
1 a
4
f
( 1 )＝2 a
1 a
0
或
1 a
≤1
f (1)＝a 2 2≥0
或
1 a
≥4
f (4)＝16a 8 2≥0
∴a≥1或
1<a<1或φ即a > 2
1
；
2
当a<0时，
f f
(1)＝a 2 2≥ 0 (4)＝16a 8 2≥
0
，解得φ；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2 , f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意
由上而得，实数a的取值范围是a > 1 。 2
(x 4a)(x 6a)
1
例4.解不等式
2a 1
>0 (a为常数，a≠－ 2)
【分析】含参不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根
1
1
－分【4解别a、加】6以2aa的＋讨大1论>小.0时，，故a对> a－>012、；a＝－04、a<－6a时2<，a<a0>、0a。<－ 2
一、在什么情况下要进行分类讨论
1．数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义 或分类给出的，在运用它们时要进行分类讨论。
2．研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的 “量变”而导致结果发生“质变”，因而也要进行分类讨论。
3．在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定 或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对各 种情况分别进行讨论。 4．含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基 本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的 划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合 加法原理或乘法原理完成解答。
所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x <－4a或x>6a；
当a＝0时，x 2 >0，解得：x≠0；
1 当－ 2 <a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得:x<6a或x>－4a；
当a>－ 1 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a<x<－4a。 2
综上所述，……
则p、q的大小关系是_________。
A.p＝q；B.p<q；C.p>q；D.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q。
3．函数 y sin x cos x tgx ctgx 的值域是_________。
| sin x | | cos x | | tgx | | ctgx |
4.若
0,
分类讨论思想方法
南宁三中 颜显桐
分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况 加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论 思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练 人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
log a (1 x)|与|
log a (1 x)|
【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。
【解】∵0<x<1∴0<1－x<1,1＋x>1
当0<a<1时， |log a (1 x)|－| log a (1 x) |＝ log a (1 x) －
log a (1 x) log a (1 x 2 ) >0;
2
，则 lim cosnθ sin nθ
n→∞cosnθ＋sin nθ
的值为_________。
A.1或－1；B.0或－1；C.0或1；D.0或1或－1。
5.函数
y x 1 x
的值域是_________。
A.[2,+∞]；B.(-∞,-2]∪[2,+∞]；C.(-∞,+∞)；D.[-2,2]。
6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形， 则它的体积为_________。
【解】 C112·C82＋ C122·C81＋ C132· C80＝1084
【另解】（排除法）：
例3.设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有 f(x)>0，求实数a的取值范围。
【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题， 先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分 类讨论。（也属数形结合法）
3．多层次分类及“二分法”——处理复杂问题的分类方法。
4．分类讨论后如何归纳结论。
（1）统一式。针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题 有不同的结论，归纳结论时应采用分列式。
（2）分列式。针对参数分类讨论的，且每一类讨论结果均 是 总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。
三、灵活运用逻辑划分的思想方法
【注】含参问题，结合参数的意义及对结果的影响 而分类讨论。（含参型）
二、分类讨论的步骤、原则和方法
1．分类评论的一般步骤是：
→明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类 →逐步进行讨论，获取阶段性结果→归纳小结，综合得出结论。
2．逻辑划分应遵循的原则：
分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、 分层次，不越级讨论。
A.
8 3；B. 9
4 9
3 ；C. 2
9
3 ；D. 4 9
3或8 9
3。
5．过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_________。
A.3x－2y＝0；
B.x＋y－5＝0；
C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0；
D.不能确定。
Ⅱ、示范性题组：
例1.设0<x<1，a>0且a≠1，比较| 的大小。
当a>1时，| log a (1 x)|－| log a (1 x)|＝……
由①、②可知，……
例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素， 试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①CA∪B且 C中含有3个元素；②C∩A≠φ。
【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类： ①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中 元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
1．通过“补集”间接求解。 2．有条件时，尽量减少分类层次，寻求整体解决方法。
Ⅰ、再现性题组：
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}， 若AB，那么a的范围是_________。
A.0≤a≤1；B.a≤1；C.a<1；D.0<a<1。
2．若a>0且a≠1，p＝ log a (a3 a 1)，q＝ log a (a 2 a 1，)
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1
1
【解】当a>0时，f(x)＝a（x－ a ）＋2－ a
∴
1
1 a
4
f
( 1 )＝2 a
1 a
0
或
1 a
≤1
f (1)＝a 2 2≥0
或
1 a
≥4
f (4)＝16a 8 2≥0
∴a≥1或
1<a<1或φ即a > 2
1
；
2
当a<0时，
f f
(1)＝a 2 2≥ 0 (4)＝16a 8 2≥
0
，解得φ；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2 , f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意
由上而得，实数a的取值范围是a > 1 。 2
(x 4a)(x 6a)
1
例4.解不等式
2a 1
>0 (a为常数，a≠－ 2)
【分析】含参不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根
1
1
－分【4解别a、加】6以2aa的＋讨大1论>小.0时，，故a对> a－>012、；a＝－04、a<－6a时2<，a<a0>、0a。<－ 2
一、在什么情况下要进行分类讨论
1．数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义 或分类给出的，在运用它们时要进行分类讨论。
2．研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的 “量变”而导致结果发生“质变”，因而也要进行分类讨论。
3．在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定 或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对各 种情况分别进行讨论。 4．含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基 本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的 划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合 加法原理或乘法原理完成解答。
所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x <－4a或x>6a；
当a＝0时，x 2 >0，解得：x≠0；
1 当－ 2 <a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得:x<6a或x>－4a；
当a>－ 1 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a<x<－4a。 2
综上所述，……
则p、q的大小关系是_________。
A.p＝q；B.p<q；C.p>q；D.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q。
3．函数 y sin x cos x tgx ctgx 的值域是_________。
| sin x | | cos x | | tgx | | ctgx |
4.若
0,
分类讨论思想方法
南宁三中 颜显桐
分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况 加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论 思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练 人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
log a (1 x)|与|
log a (1 x)|
【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。
【解】∵0<x<1∴0<1－x<1,1＋x>1
当0<a<1时， |log a (1 x)|－| log a (1 x) |＝ log a (1 x) －
log a (1 x) log a (1 x 2 ) >0;
2
，则 lim cosnθ sin nθ
n→∞cosnθ＋sin nθ
的值为_________。
A.1或－1；B.0或－1；C.0或1；D.0或1或－1。
5.函数
y x 1 x
的值域是_________。
A.[2,+∞]；B.(-∞,-2]∪[2,+∞]；C.(-∞,+∞)；D.[-2,2]。
6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形， 则它的体积为_________。
【解】 C112·C82＋ C122·C81＋ C132· C80＝1084
【另解】（排除法）：
例3.设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有 f(x)>0，求实数a的取值范围。
【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题， 先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分 类讨论。（也属数形结合法）
3．多层次分类及“二分法”——处理复杂问题的分类方法。
4．分类讨论后如何归纳结论。
（1）统一式。针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题 有不同的结论，归纳结论时应采用分列式。
（2）分列式。针对参数分类讨论的，且每一类讨论结果均 是 总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。
三、灵活运用逻辑划分的思想方法
【注】含参问题，结合参数的意义及对结果的影响 而分类讨论。（含参型）