概率论课堂讲义3.4

Fmax ( z ) FX1 ( z ) FX 2 ( z )FX n ( z )
Fmin ( z) 1 [1 FX1 ( z )][1 FX 2 ( z )][1 FX n ( z)]
特别,当X1,X2,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x) 时,有Fmax(z)=[F(z)]n, Fmax(z)=1-[1-F(z)]n. 例: 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的 方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统L1损坏时, 系统L2开始工作),设L1,L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概
*
设(X,Y)为二维随机变量,讨论
(1)X,Y的一个函数Z=g(X,Y)的分布(X,Y)经变换后为一维 随机变量), (2)简单地介绍二维向量(X,Y)到二维向量 (Z1,Z2)(zi=gi(x,y),i=1,2)变换问题。
3.4.1 二维离散型随机变量函数的分布
例1: 设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p), 和 b(n2,p)(注意两个二项分布中p是一样的),求Z=X+Y的分 布律.



于是Z=max(X,Y)的概率密度为
e z e z e z f min ( z ) 0 z0 z0
(iii)备用的情况. 由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作,因此 整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和,即:Z=X+Y. 按公式,当z>0时，Z=X+Y的概率密度为
即 Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )]
以上结果容易推广到n 个相互独立的随机变量的情 况,设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量.它们的分 布函数分别为FX i ( x ) ,i=1,2,…n,则M=Max(X1,X2,…,Xn) 及N=Min(X1,X2,…,Xn)的分布函数分别为
1 f X ( x) 0 0 x 1 其它 , e y , fY ( y ) 0, y0 其它
试求Z=X+Y的概率密度。
2． M=max(X,Y) N=min(X,Y)的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数 分别为Fx(x)和FY(y).现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y) 的分布函数. 由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z,故有 P{Mz}=P{Xz,Yz} 又由于X和Y相互独立,得到M=max(X,Y)的分布函数为
于是Z=min(X,Y)的概率密度为
e z z 0 f min ( z ) 0 z0
(ii)并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损坏时,系统L才停止工作,所 以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y),按公式得Z=max(X,Y) 的分布函数
1 e z 1 e z z 0 Fmax ( z ) FX ( z )FY ( z ) 0 z0
e z e z z 0 f Z (z) 0 z0
Hale Waihona Puke Baidu

下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散型r.v时，如何 求Y=max(X1,X2)的分布.
例 设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的 几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, … ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 . 解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n) =P(X1=n, X2≤n)+P( X2 =n, X1 <n) 记1-p=q
f X ( x) 1 2 e
x2 2
, x ; f Y ( y )
1 2
e

y2 2
, y
求Z=X+Y的概率密度。
解: 由公式 f Z ( z )
1 2

f X ( x ) f Y ( z x )dx
( z x )2 2
解: Z的可能取值为0,1,…, n1+ n2，固定k于上述范围内, 由独立性有 k
P{Z k} P{X Y k} P{X k1 , Y k k1}
k
k1 0
P{X k1} P{Y k k1} Cnk11 p k1 q n1 k1 Cnk2k1 p k k1 q n2 (k k1 )



f X ( x ) f Y ( z x ) dx
这两个公式称为卷积公式,记为fx*fY,即
f X fY


f X ( z y ) f Y ( y ) dy


f X ( x ) f Y ( z x ) dx
例: 设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从N(0，1) 分布,即有
于是可得Z的概率密度为
2z z0 f Z z FZ ( z ) (1 z 2 ) 2 0 其它
1．Z=X+Y的分布： 设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为
FZ ( z ) P{ Z z } P{ X Y z }
i 0
P ( Z r ) P ( X i,Y r i )
i 0
r
e -1
i 0
r
1i - r2-i e i! (r - i)!
2

e
( 1 2 )
r!
r! i r -i 1 2 i 0 i! (r - i)!
r

e
( 1 2 )
由x,y的对称性,fZ(z)又可写成:


f ( x , z x ) dx
上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
特别地,当X和Y相互独立时,设(X,Y)关于X,Y的边缘概率 密度分别为fx(x),fY(y),则两式分别为
fZ (z)



f X ( z y ) f Y ( y ) dy ；f Z ( z )
f Z ( z)

f X ( z y) fY ( y)dy e z y e y dy
0
z
z
e

z 0
e
y
z z dy e e
当z<0时,f(z)=0,于是Z=X+Y的概率密度为


e
x2 2
e
1 dx e 2
z2 4


e
z x 2
2
dx
令t=x-(z/2)，得
1 f Z (z) e 2
z2 4


e
t2
dt
1 e 2
z2 4

1 2
e
z2 4
即Z服从N(0，2)分布. 一般地,设X,Y相互独立且XN(μ1，σ12)， YN(μ2，σ22),经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布,且 有ZN(μ1+μ2，σ12+σ22).
这个结论可推广到n个独立正态随机变量之和的情况, 即若
XiN(μi,σi2),(i=1,2,···,n),且它们相互独立,则它 们的和Z=X1+X2+···+Xn仍然服从正态分布,且有 ZN(μ1+μ2+···+μn，σ12+σ22+….+σn2). 例2: 设随机变量X,Y相互独立,它们的概率密度均为
k1 0 k1 0
k
k k n1 n2 k k1 k k1 k 所以 P{Z=k} C p q 。 因为 Cn C C ， n1 n2 n2 n1 n2 1
k
k1 0
可见，Z～b(n1+n2,p).
这个结果很容易推广至多个的情形:若Xi~b(ni,p),i=1,2,…,m, 且X1,…,Xm独立,则X1+X2+…+Xm～b(n1+n2+…+nm,p)。
r!
( 1 2 ) ,
r
r =0,1，…
即Z服从参数为 1 2 的泊松分布.
3.4.2 二维连续型随机变量函数的分布
问题： 设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y),又 Z=g(X,Y)为X与Y的函数,若Z是连续型随机变量,要求Z的 概率密度。 一般的方法是先求出Z的分布函数Fz(z),
Fmax ( z ) P{ M z} P{ X z,Y z} P{ X z}P{Y z}
即有 Fmax ( z ) FX ( z )FY ( z )
类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数为
Fmin ( z ) P{ N z} 1 P{ N z} 1 P{ X z , Y z} 1 P{ X z}P{Y z }
例: 设(X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) －∞<x<+∞, －∞<y<+∞ 求
Z X 2 Y 2 的概率密度
1 (1 x 2 y 2 )2
解: 我们先求Z的分布函数FZ(z)。 当z≤0时, FZ(z)=0，当z>0时
FZ ( z ) P{ Z z} P{ X 2 Y 2 z} P{ X 2 Y 2 z 2 } 2 Z 1 f ( x, y )dxdy d r dr 0 0 2 2 1 r x2 y 2 z 2
例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 1 , 2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为1 2 的泊松分布.
解：依题意 e 1 1i P ( X i) i! e 2 2j P (Y j ) j! 由公式
r
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z r ) P ( X i,Y r i )
x y z
f ( x , y )dxdy
(*)
积分区域如图,化成累次积分,得
FZ ( z ) dy
z y
f ( x, y )dx
固定z和y对上式内层积分作变量变换,令x=u-y,得

于是
FZ ( z )
z
z y

f ( x, y)dx
z
1 e x x 0 FX ( x ) ; x0 0
1 e y y 0 FY ( y ) y0 0
由公式得Z=min(X,Y)的分布函数为
1 e z z 0 Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )] z0 0
z
f (u y, y)du
y

x=z - y
dy f (u y , y )du
f (u y, y )dy du
x
由概率密度的定义,即得Z的概率密度为
fZ (z)


f ( z y , y ) dy
f Z (z)
率密度分别为
e y y 0 e x x 0 f X ( x) ; fY ( y ) y0 0 x0 0
其中α>0,β>0且α≠β，试分别就以上三种联接方
式写出L的寿命Z的概率密度.
解: (i)串联的情况 由于当L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以 这时L的寿命为 Z=min(X,Y)。 由指数分布X,Y的分布函数分别为
pq n 1 pq k 1
k 1
FZ ( z ) P{ Z z } P{ g( X , Y ) z } P{( X , Y ) D | D : g( x , y ) z } f ( x , y )dxdy
D D: g ( x , y ) z
f ( x, y )dxdy
然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z).