洛必达法则求极限教学
高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)
高数课件9洛必达法则
y x
y ln x
x
tan x . 例6 求 lim x tan 3 x
2
( )
解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
tan x sin x cos 3 x lim lim x tan 3 x x sin 3 x cos x
( 1)( [ ] 1)( [ ] ) x r 1 lim x [ ]1e x ( 1)( [ ] 1)( [ ]) lim 0 [ ]1 x 1 r x e x x 当 x 时， ln x , x , e 都趋于 本例说明： x ye 但它们趋于+∞的速度有快有慢 y
1 1 例10 求 lim( ). x 0 sin x x
解
x sin x 原式 lim x 0 x sin x
()
1 cos x lim 0. x 0 sin x x cos x
3. 0 ,1 , 型
0 0
步骤: 00
0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 ln 0
关于 型的极限，有下述定理
定理
设f ( x ), g ( x )在x0的某邻域内有定义，且 (1) lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
( 2) f ( x ), g ( x )可导，且g( x ) 0 f ( x ) ( 3) lim A(或 ) x x 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim lim A(或 ) x x0 g ( x ) x x 0 g ( x )
高等数学函数的极限与洛比达法则演示文稿
比较分子、分母的最高次幂 因式分解、通分、分子或分母有理化
三、利用等价无穷小替换求极限
1.常见的替换公式
x0
x sin x tan x arcsin x arctan x ln(1 x) ex 1
1 x 1 x 1 cos x x2 (1 x) 1 x
2.替换原则：乘除可换、加减忌换 2
0 （3）利用洛比达法则一次不成功，可以继续使用；
（4）在使用洛比达法则之前要尽量地化简原函数，比如对一些
因式直接代入，或将其等价代换。
第十二页，共22页。
第二讲 函数的极限与洛比达法则
八、已知函数极限存在，反求函数中的参数
基本思路与方法步骤：
1.利用无穷小（大）阶的比较进行分析
lim f (x) 0 lim f (x) lim f (x) c(c 0)
lim
tan x sin x
x0 x(1 cos x)( 1 tan x 1 sin x )
tan x(1 cos x)
lim x0 x3
x3
lim
x0
2 x3
1 2
第十九页，共22页。
第二讲 函数的极限与洛比达法则
15.
lim
x
sin
2 x
cos
1 x
x
lim
x
1
sin
2 x
cos
1 x
f (x)存在，则f (x)在x0的某邻域
0
U（x0 ,）有界
空心邻域（不含 x0）
3.局数部设集保x0{号与x性x是两若Ux00个(xlxim实 0x,0}数f称 )(,x为){且x点Axx，0的 0且。 x0邻 A域0}(,记或作A U0(),x则0 ,在)
使用洛必达法则求极限的技巧
使用洛必达法则求极限的技巧【摘要】使用洛必达法则求极限,其特点就是通过求极限号下分式的分子、分母的导数(一次或多次)的方法达到消去未定因素的目的。
本文介绍了在使用洛必达法则求极限时的若干方法和技巧。
【关键词】分离因式变元替换洛比达法则无穷小等价替换1.分离因式并求解其极限。
注意:在使用洛比达法则的时候要注意分离因式,先将具有非零极限的因子提到极限号外面,及时求解其极限,再对余下未定式求极限。
例1.解:原式=2.先作变元替换,再用洛比达法则求解。
注意:当直接就利用洛比达法则求解比较困难时,可以考虑是否可以先利用变量替换后再来利用洛比达法则求解。
例2.求解:分析:可以令,进而简化求解过程。
若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。
小结:若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。
3.以及型未定式必须先转换成了或者型未定式求解。
例3.求解:小结:当遇到以及型未定式时,一般要进行分子分母有理化才可以构造出或者型未定式,以便直接利用洛比达法则求解。
4.先取对数,再利用洛比达法则求解。
例4.求解注意:对于型未定式,它们为幂指函数的极限,常常利用此方法求解。
解:令,则对于与型的数列极限不能直接利用洛比达法则但是可以间接的使用洛比达法则进行求解。
例5.求解:解:因为:小结:解的是一个数列时,因为数列是没有导数的,不能直接使用洛比达法则。
但是由数列极限和函数极限的关系我们可以知道:离散变量n的极限可以作为连续变量x的极限,其所求的值也就是数列极限的值。
6.多次使用洛比达法则求解。
注意:只要被球函数满足洛比达法则的使用条件,就可以连续多次使用洛比达法则,直到求出极限或者得出不符合洛比达法则条件的情况为止。
洛必达法则求极限方法
洛必达法则求极限方法洛必达法则是一种在数学中用于求某变量极限的方法，它是求极限的经典方法，并得到了广泛应用。
下面我们就来介绍这种求极限的方法。
洛必达法则的基本原理是，如果存在某个变量x，满足x的增长速度趋于某个数字a，当x趋向于某一值时，其对应的极限就等于a。
换言之，用洛必达法则我们可以根据x增长速度趋于a时求出它的极限。
根据洛必达法则，我们可以将求极限的问题分为三步：1、首先，选取一个正数Δx，求出在Δx给定的情况下，极限值a的大小;2、然后，再将Δx取更小的值，比如Δx/2，求出新的极限值;3、最后，不断缩小Δx，最终Δx等于0时，得到的极限值即为最终结果。
洛必达法则可以用来求几乎所有表达式的极限，包括单个变量的函数极限和多个变量的函数极限，但前提是要求出极限的变量是逐步变化的。
比如说我们想要求出函数f(x) = x^2 + 10x + 20在x趋于4时的极限，则可以如下操作：1、首先选取Δx = 0.1，令x = 4 + 0.1及x = 4 - 0.1，得出f(4+0.1)=60.21，f(4-0.1)=55.79，即此时的极限值为58;2、接着选取Δx = 0.01，令x = 4 + 0.01及x = 4 - 0.01，得出f(4+0.01)=58.08，f(4-0.01)=57.92，即此时的极限值为58;3、最后再选取Δx = 0.001，令x = 4 + 0.001及x = 4 - 0.001，得出f(4+0.001)=57.998，f(4-0.001)=58.002，即此时的极限值也为58，因而，最终这里的极限值等于58，即函数f(x)在x趋于4时的极限值也等于58。
由此可见，洛必达法则是一种很实用的求极限方法，它能够快速有效地求出函数的极限值。
因此，在许多数学应用中都会用到这一方法。
二元函数求极限的洛必达法则解析
二元函数求极限的洛必达法则解析洛必达法则是一种用于求解二元函数极限的有效方法。
在这个方法中，我们可以将函数表示为两个单变量函数的比值，并通过对这些函数应用洛必达法则来求解极限。
下面将对洛必达法则进行详细解析。
在进行洛必达法则的求解之前，我们首先需要确定极限函数的形式，即将函数表示为两个单变量函数的比值。
设函数为f(x)和g(x)，则极限函数的形式可以表示为lim(x→a) f(x)/g(x)。
在这种情况下，如果f(x)和g(x)在x=a的附近连续并满足一定的条件，那么可以将其化简为lim(x→a) f'(x)/g'(x)。
为了使用洛必达法则，我们需要满足以下条件：1. 两个函数在x=a的附近连续；2. 在x=a附近，g(x)不等于0且g'(x)也不等于0；3. 当x趋近于a时，函数f(x)和g(x)的极限存在。
在满足这些条件的前提下，我们可以按照以下步骤使用洛必达法则求解极限：Step 1: 计算f'(x)和g'(x)的极限。
这些极限可以通过直接求导或应用其他求导规则来计算。
Step 2: 计算lim(x→a) f'(x)/g'(x)。
如果这个极限存在，那么它就是lim(x→a) f(x)/g(x)的极限。
Step 3: 如果极限lim(x→a) f'(x)/g'(x)不存在，那么重复Step 1和Step 2，直到找到一个极限。
通过洛必达法则，我们可以更容易地求解二元函数的极限。
这个方法不仅可以简化计算过程，还可以提供更准确的结果。
然而，需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有情况。
有些函数无法通过洛必达法则求解其极限，因此在使用该方法时需要注意。
总结起来，洛必达法则是一种用于求解二元函数极限的有效方法。
通过将函数表示为两个单变量函数的比值，并应用洛必达法则，我们可以简化计算过程并获得更准确的结果。
然而，需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有情况，因此在使用该方法时需要谨慎。
计算不定式极限的一般方法洛必达法则
1 cos x 例2 求 lim . 2 x0 x 0
0
型
1 cos x (1 cos x ) lim 解二 lim 2 x 0 x0 x ( x 2 ) sin x 1 sin x lim lim x0 2 x 2 x0 x 1 . 2
的求极限方法相结合更好！
2. 型
1 1 00 步骤： . 0 0 00
1 1 例10 求 lim( ). ( ) x 0 sin x x (x sin x) 0 解 原式 lim ( ) x 0 (x sin x ) 0
0 (1 cos x ) lim ( ) x 0(sin x x cos x ) 0
一、两个基本类型不定式
如果当x a (或x )时, 两个函数f ( x )与 f ( x) g ( x )都趋于0, 或都趋于 , 那么极限 lim xa g( x ) ( x ) 可能存在, 也可能不存在.通常将这种极限叫作 0 不定式, 分别记为 , . 0
0 1. 型不定式 0 定理 如果函数f ( x )和g ( x )满足
例 8 求 lim x cot 2 x . ( 0 )
x0
提示与分析： x与cot 2x，哪部分做分母，要以转化后极 限易算为准则.
x 0 ( x ) 解 原式 lim ( ) lim x 0 tan 2 x x 0 (tan 2 x ) 0
1 1 lim . 2 x 0 2sec 2 x 2
0
例12 求 lim x . ( 00 )
x0
x
ex是连续 函数
洛必达 法则
解 原式 lim e
x0
x ln x
考研数学洛必达法则求极限
前面介绍了求极限的四则运算法则在函数分解、抓大头和极限敛散性讨论等三个方面的应用。
下面我们继续深入剖析洛必达法则的使用条件。
首先要明确使用洛必达法则的三个条件：
虽然洛必达法则使用方便，但是一不小心就会陷入陷阱，导致误用乱用错用。
主要原因还是在于没有把握住洛必达法则使用的这三个条件，尤其是后面两个条件：可导性、求导后极限存在性。
我们通过例题来展示洛必达法则的正确使用过程、相关结论及考生需要格外注意的易错点。
1. 洛必达法则可导性检验
在整个过程中，使用了两次洛必达，最后一步直接代值计算。
如果这个题是选择题，那么可能90%以上的考生都会很幸运的拿到分数，但是并没有几个人是真正做对的，因为上面的过程是误用了洛必达法则。
作为一道解答题，我们应该如何正确去解决这道题，首先分析上面的过程错在哪?
由此，我们给出大家洛必达法则的使用规则：
(1).当极限式中函数存在n阶导数，则使用洛必达至出现n-1阶导，最后一步一般是凑导数定义;
(2).当极限式中函数存在n阶连续导数，则可以使用洛必达至出现n阶导。
2. 洛必达法则求导后极限存在性讨论
针对第三个条件，大家要正确理解下面两个命题：。
洛必达法则求极限教学
洛必达法则求极限教学摘要：本文结合教学实际对洛必达法则及其在求未定式极限方面的应用进行了分析，同时还分析了学生易错的洛必达法则求函数极限失效的情况。
关键词：洛必达法则；未定式；极限求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。
教学中发现对于普通的求极限问题，学生解决起来问题不大，但是对于形如：■，■，∞-∞，0·∞，∞0，1∞，00的7种未定式，学生虽然能联系到洛必达法则，但是经常出错。
一、洛必达法则及应用（一）洛必达法则若函数f（x）与函数g（x）满足下列条件：1. （或∞），（或∞）；2.f（x）与g（x）在x=a点的某个去心邻域内可导；3. （或∞）。
则洛必达法则所述极限结果对下述六类极限过程均适用：。
（二）洛必达法则的应用1. 基本类型：未定式直接应用法则求极限解：这是■型未定式。
直接运用洛必达法则有解：这个极限是■型未定式，于是2. 未定式的其他類型：0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞型极限的求解除了■型或■这两种未定式外，还可以通过转化，来解其他未定式。
解：这是∞-∞型，设法化为■型：解：这是1∞未定式解：这是∞0未定式，经变形得，故例6 求解：这是0·∞型未定式，可变形为，成了■型未定式，于是解：这是00型未定式，由对数恒等式知，xx=exInx，运用例8可得二、洛必达法则对于实值函数的失效问题洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。
“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。
所以，在要使用洛必达法则时，要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。
（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合洛必达法则的条件（3）例8 计算解：，而不存在，所以不存在，洛必达法则失效，正确解法是存在（二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合法则的条件（3）解：这是■型未定式，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到则失效，处理的方法是分子分母同乘e-x，得到（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合法则的条件（3）解：这是■型未定式，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第三个条件完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。
§3.1 洛必达法则
x0
(1 co s x )
lim
lim
6 x sin x x c o s x sin x
x0
此时，检验极限 仍为
0 0
6 x sin x x co s x sin x
x0
型，
例2 (6 x sin x x cos x ) 6 cos x 例3 x x sin x cos 例4 lim lim x0 x0 例5 x (sin x ) cos 例6
的条件，则可 例1
例2 例3 例4 例5 例6
继续使用法则，直到求出极限为止．
例３．求极限
0
lim
e co s x
x
x0
x sin x
解：属于 0 型，用洛必达法则Ⅰ得
lim e co s x
x x0
lim
e sin x
x
x sin x
x0
sin x x cos x
根据洛必达法则Ⅰ， 求导后的结果可以是有限数A， 例1 也可以是－ ,
0 0
(尤其是多次运用罗必塔法则求解不定型极限问题)
2．洛必塔法则不是万能的,要注意验证使用的前提。
例1 例2 例3 例4 例5 例6
四、作业：习题3.1－2
未定式的极限．
有时，也会出现两个法则同时使用的情况．
例５、求极限 lim sin x ln x
x0
解：可以化为
或 0 型未定式， 再使用洛必达法则
ln x 1 sin x
x0
0
x0
lim sin x ln x lim
（
2
型，使用洛必达法则）
求极限过程中洛必达法则的使用技巧
求极限过程中洛必达法则的使用技巧文中对极限运算中如何巧妙的使用好洛比达法则做了一些探讨，指出了初学者容易犯的错误，并提出了一些建议供大家参考。
关键词：极限、微积分、洛比达法则、不定式。
极限是高等数学中的一个极为重要的基础概念，对微积分的学习影响深远。
理工类专业的学生初次接触极限概念都难以准确理解和掌握，在使用极限运算法则求极限时经常出现运算错误，如：两个重要极限应用不恰当，洛必达法则使用不规范等。
下面只就求极限过程中如何正确使用洛必达法则做一些探讨。
一、若干重要的极限等式1. , 推广的形式为：2.，推广的形式为：，推广的形式为：3.其中可以是一个代数式。
由上述极限还可以导出下面一些重要极限式：，同样它们也有类似的推广的形式。
二、洛必达法则的两个标准形态1.型不定式定理1.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
2.型不定式定理2.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
三、求极限举例求例1.解：本题极限形式是型不定式，直接使用洛必达法则计算，则计算非常复杂，若先对表达式进行恒等变形，并结合拉格朗日中值定理，再适当使用洛必达法则计算就容易多了。
+（其中介于与之间，当时有）+=例2.求解：分母为无穷小因子的乘积，可以用相应的等价无穷小量替换有通过以上两个例题可以发现在求不定式极限时，不要一上手就立即使用洛必达法则，首先需要对所求极限表达式进行观察、分析与变形，然后再进行具体计算。
洛必达法则使用过程中要注意以下几点：1.只有或型不定式才能直接使用洛必达法则；2. 洛必达法则可连续使用，但每次使用该法则时必须检查表达式是否为或型；3.使用洛必达法则之前可以对表达式中的无穷小因子用较简便的等价无穷小替换，每用一次洛必达法则后，都要对表达式进行整理化简，如可以将其中乘积因子中的非零极限先行求出，使表达式得到化简或瘦身等，简化后续计算；4.当用洛必达法则求不出极限时，不能做出该表达式进行不存在的结论，只能说用洛必达法则求此极限失效，此时需采用其他方法求此极限。
利用洛必达法则求解二元函数的极限
利用洛必达法则求解二元函数的极限在高等数学中，洛必达法则是一种常用的求解极限的方法。
它可以用于求解二元函数的极限。
本文将介绍洛必达法则的基本概念以及应用方法，并结合实例进行详细解析。
一、洛必达法则的基本概念洛必达法则是由法国数学家洛必达（L'Hospital）在17世纪提出的一种极限计算法则。
它适用于计算形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限。
其基本思想是将极限转化为函数的导数的极限。
二、洛必达法则的应用方法根据洛必达法则，若要计算二元函数$\frac{f(x)}{g(x)}$在$x=a$处的极限，当 $\lim \limits_{x \to a}f(x) = 0$且$\lim \limits_{x \to a}g(x) =0$，或者 $\lim \limits_{x \to a}f(x) = \infty$且$\lim \limits_{x \to a}g(x) = \infty$时，可以进行以下步骤：1. 求出$f(x)$在$x=a$处的导数$f'(x)$和$g(x)$在$x=a$处的导数$g'(x)$；2. 计算$\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$；3. 若存在极限$\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，则$\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。
三、实例解析现以二元函数$\frac{x^2-1}{x-1}$为例来说明洛必达法则的应用方法。
首先，我们计算$f(x)$和$g(x)$在$x=1$处的导数：$$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^2-1)=2x$$$$g'(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1$$然后，我们计算$\lim \limits_{x \to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}$：$$\lim \limits_{x \to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim \limits_{x \to1}\frac{2x}{1}=2$$由洛必达法则的推导，我们知道在$x=1$处的极限$\lim \limits_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$等于$\lim \limits_{x \to 1}\frac{2x}{1}$，即极限为2。
浅析洛必达法则求函数极限
用洛必达法则求未定式极限的方法一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围（一）洛必达法则定理定理1[1]若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。
定理证明：作辅助函数⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x f x F 当当,0),,(),()(δ⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x g x G 当当,0),,(),()(δ于是函数F(x)及G(x)在[δ+a a ,）连续，在()δ+a a ,可导，并且.0)('≠x G 今对()δ+a a ,内任意一点x ，利用柯西中值定理得).,(,)(')(')()()()()()(000x a x x G x F a G x G a F x F x G x F ∈=--= 由)()(x G x F 及的定义，上式即)(')(')()(00x g x f x g x f =所以当0+→a x 时（这时显然有00+→a x ），对上式两端取极限，即A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000证毕。
专题12 导数洛必达法则求函数极限(教案)【解题新方法系列】2023届高考数学二轮专题复习
（十二）导数·洛必达法则求函数极限【例题】设函数2()1x f x e x ax =---。
（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围.2⎝⎭【分析利弊】传统的分参求解让人意想不到，而且计算量相对复杂，不易掌握，变化多端【解法2】新方法·洛必达法则该法则表述为：“设函数()f x ，()g x 满足下列条件：（1）lim ()0x af x →=，lim ()0x ag x →=； （2）在点a 处函数()f x 和()g x 的图像是连续的，即函数()f x 和()g x 在点a 处存在导数；（3）()lim ()x af x Ag x →'='，其中A 是某固定实数； 则()()lim lim ()()x a x a f x f x A g x g x →→='='.” 【注意事项】（1）将上面公式中的+∞→→x a x ,换成-+→→-∞→+∞→a x a x x x ,,，洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理∞-∞∞∞⋅∞∞∞，，，，，000,1000型。
（3）首先要检查是否满足∞-∞∞∞⋅∞∞∞，，，，，000,1000型定式，否则用洛必达法会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
【对点练习】（练习一）已知函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（1）求a 、b 的值；（2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()x k f x >+，求k 的取值范围.考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=． （i ）设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减．而(1)0h =故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x >-；当),1(+∞∈x 时，h （x ）<0，可得21()01h x x >- 从而(0,1x x >≠)时，0)1ln ()(>+--x k x x x f ，即xk x x x f +->1ln )( （ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且2(1)21k x x k -++-，对称轴011>-=k x 当)11,1(kx -∈时02)1)(1(2>++-x x k 故,0)(>'x h 而h （1）=0，故当)11,1(k x -∈时，0)(>x h ，可得011)(2<-x x h 与题设矛盾． （iii ）设1≥k 此时212x x +≥，0)(02)1)(1(2>'⇒>++-x h x x k 而h （1）=0，故当),1(+∞∈x 时，0)(>x h 可得011)(2<-x x h 与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为]0,(-∞ 上为增函数为增函数由洛必达法则知()2111ln 1ln 12121210221lim lim lim x x x x x x g x x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+= ⎪--⎝⎭∴0k ≤（练习二）已知函数()x f x e =，()1g x tx =+.（1）若()()f x g x ≥恒成立，求t 的取值范围； （2）证明：e ln 2x x -≥。
13洛必达法则教案
教学过程：1． 00型和∞∞型未定式的解法：洛必达法则定义：若当a x →（或∞→x ）时，函数)(x f 和)(x F 都趋于零(或无穷大)，则极限)()(lim )(x F x f x a x ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为00型和∞∞型未定式.例如 xx x tan lim 0→, (00型); bx ax x sin ln sin ln lim 0→, (∞∞型).定理1：设 (1)当0→x 时, 函数)(x f 和)(x F 都趋于零;(2)在a 点的某去心邻域内,)(x f '和)(x F '都存在且0)(≠'x F ; (3) )()(lim )(x F x f x a x ∞→→存在(或无穷大),则)()(lim )()(limx F x f x F x f a x a x ''=→→ 定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则证明: 定义辅助函数⎩⎨⎧=≠=a x a x x f x f ,0),()(1, ⎩⎨⎧=≠=a x a x x F x F ,0),()(1在),(δa U ︒内任取一点x , 在以a 和x 为端点的区间上函数)(1x f 和)(1x F 满足柯西中值定理的条件, 则有)()()()()()(a F x F a f x f x F x f --=)()(ξξF f ''=, (ξ在a 与x 之间) 当0→x 时,有a →ξ, 所以当A x F x f a x =''→)()(lim , 有A F f a =''→)()(lim ξξξ故A F f x F x f a a x =''=→→)()(lim )()(lim ξξξ. 证毕说明: 1.如果)()(lim x F x f a x ''→仍属于00型, 且)(x f '和)(x F '满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则, 即 =''''=''=→→→)()(lim )()(lim )()(limx F x f x F x f x F x f a x a x a x ;2.当∞→x 时, 该法则仍然成立, 有)()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→;3.对a x →（或∞→x ）时的未定式∞∞，也有相应的洛必达法则;4. 洛必达法则是充分条件;5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限. 2．00,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞型未定式的求法关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型00型和∞∞型.1．∞⋅0型未定式的求法 步骤：,10∞⋅∞⇒∞⋅或0100⋅⇒∞⋅ 例1 求.lim 2x x e x -+∞→ )0(∞⋅型解 原式=2lim xe xx +∞→=x e xx 2lim +∞→2limxx e +∞→=.+∞= 型∞-∞.2步骤：0101-⇒∞-∞.0000⋅-⇒ 例2 求 ).1sin 1(lim 0xx x -→ )(∞-∞型解 原式=x x xx x sin sin lim 0⋅-→x x x x x cos sin cos 1lim 0+-=→.0=型00,1,0.3∞∞步骤： ⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒例3 求.lim 0xx x +→ )0(0型解 原式=xx x eln 0lim +→xx x eln lim 0+→=xx x e1ln lim 0+→=2011lim xxx e-+→=0e =.1=例4求.lim 111xx x-→ )1(∞型解 原式=x xx eln 111lim -→xxx e-→=1ln lim111lim 1-→=x x e .1-=e例5 求.)(cot lim ln 10xx x +→ )(0∞型解 由于)ln(cot ln 1ln 1)(cot x xxex ⋅=而)ln(cot ln 1lim 0x xx ⋅+→xxx x 1sin 1cot 1lim 20⋅-=+→x x x x sin cos lim 0⋅-=+→1-=所以 原式=.1-e注意：洛必达法则的使用条件． 例6 求.cos limxxx x +∞→解 原式=1sin 1limx x -∞→).sin 1(lim x x -=∞→极限不存在（洛必达法条件不满足的情况） 正确解法为 原式=)cos 11(lim x xx +∞→.1=例7 求)]24([tan lim nn n +→∞π解 设)]24([tan )(xx f x +=π，则)]24([tan )(nn f n +=π因为)]24tan(ln lim exp[)(lim xx x f x x +=+∞→+∞→π=]1)24tan(ln limexp[x x x ++∞→π])24tan(1)2)(24(sec lim exp[222x xx x x +--+=+∞→ππ=4e 从而 原式=4)(lim )(lim e x f n f x n ==+∞→∞→例8 求下列极限 （1）201cot limx x x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x xx x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim++∞→解 （1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）20cos sin cos lim3x x x x x x →--= 01sin lim 3x x x→-=31-=. （2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x 3e e lim e 1lim 3cos 333--⋅⋅=++→→x x x x xxx e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型. )]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx x x x x x 2111lim)1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nxn xnx x nx （5）此极限为∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1lim cos lim x x x x x x -=++∞→+∞→不存在， 但 101cos 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x x xx x x x x x x . 小结 使用洛必达法则时，应注意以下几点：作业：P122习题三，1（1）（2）（3）（4）（5）（6）教学感想（1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验是否属于或∞∞未定型，若不是未定型，就不能使用法则； （2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；（3）当)()(lim x g x f ''不存在时，并不能断定)()(lim x g x f 也不存在，此时应使用其他方法求极限.。
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则高中数学教案：极限的运算法则与洛必达法则极限是高等数学中的一个重要概念，它在微积分中具有广泛的应用。
为了帮助学生更好地理解和掌握极限的概念和相关运算法则，本教案将系统地介绍极限的运算法则，并引入洛必达法则，以帮助学生更深入地理解极限的计算方法。
一、极限的基本概念回顾在开始介绍极限的运算法则之前，我们先回顾一下极限的基本概念。
在高中数学中，极限一般用符号“lim”表示，表示当自变量趋于某个特定值时，函数的取值的稳定趋势。
极限有左极限和右极限之分，分别表示从左侧和右侧逼近某个特定值时的函数取值趋势。
二、极限的运算法则1. 基本的四则运算法则对于两个函数的和、差、积和商，我们可以通过分别对两个函数的极限进行运算来得到结果函数的极限。
具体而言，如果函数f(x)和g(x)在某一点a的附近均有定义，且lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)均存在，则有以下公式：- 和的极限：lim(x→a)(f(x) + g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)- 差的极限：lim(x→a)(f(x) - g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)- 积的极限：lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x)- 商的极限：lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) （前提是lim(x→a)g(x)≠0）2. 复合函数的极限法则对于复合函数，我们可以将其视为两个函数的复合。
如果函数f(x)在点a的附近有定义，并且lim(x→a)f(x)存在，且函数g(x)在lim(x→a)f(x)的附近有定义，则可以得到以下运算法则：- 复合函数的极限：lim(x→a)g[f(x)] = lim(x→a)g(u) （其中，u = lim(x→a)f(x)）三、洛必达法则洛必达法则是一种在计算极限过程中特别有用的工具。
高等数学课件-D32洛必达法则
例题二：判断函数性质问题
题目
判断函数 f(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)) 的奇偶性。
解题思路
本题考察的是利用洛必达法则判断函数的性质。 首先，我们需要判断函数在x=0处的值，然后 利用洛必达法则求解函数在x→0时的极限值， 最后根据奇偶性的定义进行判断。
例题二：判断函数性质问题
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总结回顾本次课程内容
洛必达法则的基本概念
洛必达法则是用于求解不定式极限的一种有效方法，通过分子分母分别求导的方式，简化极限的求解 过程。
洛必达法则的适用条件
在使用洛必达法则时，需要满足一定的条件，如分子分母在某点的去心邻域内可导，且分母导数不为 零等。
洛必达法则的求解步骤
首先验证是否满足适用条件，然后分别对分子分母求导，得到新的分子分母，再次判断是否满足适用 条件，如此循环直至求出极限或判断极限不存在。
泰勒公式可以将函数展开为多项式形式，而洛必达法则可 以解决多项式函数的极限问题。因此，可以将泰勒公式与 洛必达法则结合使用，解决复杂函数的极限问题。
要点二
复杂函数极限的求解
对于复杂函数，可以先使用泰勒公式将其展开为多项式形 式，然后应用洛必达法则进行求解。这种方法可以简化复 杂函数的极限求解过程。
在复变函数中应用
证明过程
由于$varphi(x)$在点$a$附近单调且有界，因此存在极限 $lim_{x to a} varphi(x) = l$。又因为$frac{F'(x)}{G'(x)} to l$， 所以$frac{F(x)}{G(x)} to l$。
03 洛必达法则在高等数学中 应用
高数课件9洛必达法则
然后，根据导数的定义，我们可以得到f'(x)和g'(x)在区间[a, b]上的导数
最后，根据洛必达法则的定义，我们可以得到f(x)/g(x)在区间[a, b]上的导数等于f'(x)/g'(x)
洛必达法则可以简化求极限 的过程，提高求解效率
f'(x)/g'(x)。
单击添加标题
洛必达法则（∞/∞型）：如 果lim(x→a) f(x)/g(x)=∞/∞，
那么lim(x→a) f(x)/g(x)=lim(x→a)
f'(x)/g'(x)。
适用于未定式极限 适用于无穷小量乘以有界函数 适用于无穷小量除以无穷小量 适用于无穷小量乘以无穷小量
洛必达法则的定义：如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b]上的导数等于 f'(x)/g'(x)
洛必达法则是求解定积分的一种重要方法 洛必达法则可以将复杂的定积分转化为简单的定积分 洛必达法则在求解定积分时，可以避免繁琐的计算过程 洛必达法则在求解定积分时，可以提高计算效率和准确性
洛必达法则只适用于可导函数 洛必达法则不适用于无穷小量 洛必达法则不适用于常数函数 洛必达法则不适用于不可导函数
洛必达法则只适用于可导函数 洛必达法则不适用于无穷小量 洛必达法则不适用于常数函数 洛必达法则不适用于不可导函适用于可导函 数
洛必达法则不适用于不可导 点
洛必达法则不适用于非连续 点
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汇报人：
01
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02
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洛必达法则求极限教学
摘要：本文结合教学实际对洛必达法则及其在求未定式极限方面的应用进行了分析，同时还分析了学生易错的洛必达法则求函数极限失效的情况。
关键词：洛必达法则；未定式；极限
求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。
教学中发现对于普通的求极限问题，学生解决起来问题不大，但是对于形如：■，■，∞-∞，0·∞，∞0，1∞，00的7种未定式，学生虽然能联系到洛必达法则，但是经常出错。
一、洛必达法则及应用
（一）洛必达法则
若函数f（x）与函数g（x）满足下列条件：
1. （或∞），（或∞）；
2.f（x）与g（x）在x=a点的某个去心邻域内可导；
3. （或∞）。
则
洛必达法则所述极限结果对下述六类极限过程均适用：。
（二）洛必达法则的应用
1. 基本类型：未定式直接应用法则求极限
解：这是■型未定式。
直接运用洛必达法则有
解：这个极限是■型未定式，于是
2. 未定式的其他類型：0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞型极限的
求解
除了■型或■这两种未定式外，还可以通过转化，来解其他未定式。
解：这是∞-∞型，设法化为■型：
解：这是1∞未定式
解：这是∞0未定式，经变形得，
故
例6 求
解：这是0·∞型未定式，可变形为，成了■
型未定式，于是
解：这是00型未定式，由对数恒等式知，xx=exInx，运用例8可得
二、洛必达法则对于实值函数的失效问题
洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。
“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。
所以，在要使用洛必达法则时，要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。
（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合洛必达法则的条件（3）
例8 计算
解：，而不存在，
所以不存在，洛必达法则失效，正确解法是
存在
（二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合法则的条件（3）
解：这是■型未定式，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
则失效，处理的方法是分子分母同乘e-x，得到
（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合法则的条件（3）
解：这是■型未定式，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第
三个条件完全不可能得到验证，因为分
子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。
正确有效的方法是作换元，令t=■，这样就有
（四）求导后有零点，也就是不满足条件
例如
的极限是不存在的，事实上，取x=n？仔-■→∞（n→∞），此时分母的导数是有零点的。
综合来看，我们在教学中既要向学生阐述清楚洛必达法则的巧妙和方便之处，也要向学生讲明白在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点，为学生培养好的解题习惯，以减少在
用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.
[3]王世杰.浅析洛必达法则的应用[J].山西煤炭管理干部学院学报，2007，20（4）：61-62.
[4]吴瑞玲.应用洛必达法则求极限时需注意的问题[J].邢台职业技术学院学报，2013（1）：60-62.
[5]何少芳.用洛必达法则求未定式极限小结[J].内江科技，2012（10）：169-171.
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