二自由度系统振动
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第6章 两自由度系统的振动
第六章 两自由度系统的振动§6.1 概述前一章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，有广泛的应用价值。
但在实际工程问题中，经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题。
因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究方法有质的不同。
但从两自由度系统到多自由度系统的振动，无论从模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等，却没有什么本质上的区别，而主要是量上的差别。
因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度系统的振动系统。
图6-1所示的磨床磨头系统为例来分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的、具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。
此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而砂轮架与进刀拖板的结合看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。
这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m 1是砂轮架的质量，k 1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m 2是砂轮及其主轴系统的质量，k 2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。
取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x 1及x 2分别作为各质量的独立坐标。
这样x 1及x 2就是用以确定磨头系统运动位置的两个彼此独立的参数，也就是这个振动系统的广义坐标。
1k 2k)(a )(b图6-1 两自由度系统及其动力学模型在多自由度系统中，阻尼的作用与在单自由度系统中的作用相同。
振动理论07(1-2)-二自由度系统
振动理论(7-1)第七章二自由度系统陈永强北京大学力学系二自由度自由振动●单自由度系统⏹解释共振,计算固有频率,测振仪器原理,振动隔离●为了解释更复杂的现象，必须建立更复杂的理论⏹实际工程需要更多的自由度来描述⏹多自由度系统●二自由度系统⏹最简单的多自由度系统⏹本质上是相同的模型简化建立运动微分方程求解系统的响应特性2●典型的二自由度系统⏹耦合的弹簧-质量体系⏹两个单自由度系统通过弹簧耦合起来⏹对应的扭振/电磁激荡二自由度系统二自由度自由振动3m 1m 2●自由振动●整理之后二自由度自由振动4二自由度自由振动●假定质量和作谐振动⏹具有相同的频率⏹不同的振幅和●代入振动微分方程：5方程有非零解的条件为和的系数行列式为零●上式展开后是的二次方程，即为频率方程，或称特征方程●有两个根，称为特征值，确定了系统的两个固有频率6现在从另一个角度考虑这一问题方程组在任何瞬时都成立的条件：求出和使上面方程成立7得到频率方程：令，，，有解得这就是系统的两个固有频率：第一阶固有频率(基频)和第二阶固有频率8自由振动的振幅比利用第二个方程其中, 9B 频率方程改写成圆方程的形式：二自由度自由振动O D A EC2a OA ω=2b OB ω=2abBC ω=作图法：Mohr’s circle10考虑如下对称简化情形：,二自由度自由振动k x 1kmm x 2k 311系统的固有频率二自由度自由振动k 1x 1k 2m 1m 2x 2k 3起始扰动：1,起始扰动：,起始扰动：x 1=+1,x 2=0节点12二自由度自由振动起始扰动：x1=+1,x2=0看成是两部分的和：1. ＋2.－11221211cos cos2211cos cos22x t tx t tωωωω=+=-假定振动是以下两个运动的迭加：满足微分方程和初始条件，因而是正确的解13●持续振动是第一种振动方式（振幅和频率）,迭加在第二种方式的振动上（振幅,频率)●只要不为零，和必不相等，因此合成运动肯定不是正弦运动●如果相对很小，和很接近，合成运动会有拍的现象发生，两个频率之间的差别会把两个振动的相位改变。
第四章两自由度系统的振动介绍
第四章两自由度系统的振动介绍第四章是关于两自由度系统的振动的介绍。
在这一章中，我们将探讨两自由度系统的振动模型、动力学方程，并讨论其解析解和数值解。
此外，我们还将介绍两自由度系统的模态分析、共振现象以及一些相关的应用。
两自由度系统是一种具有两个自由度的振动系统，它由两个具有质量和弹性的物体通过柔性连接件或刚性连接件相互连接而成。
这些物体可以是质点、弹性体或刚体等，而连接件可以是弹性杆、弹簧、细梁等。
在两自由度系统中，每个物体都可以做平动或转动运动，因此系统具有两个自由度。
例如，双摆锤、双弹簧振子等都属于两自由度系统。
两自由度系统的动力学方程可以由拉格朗日方程或牛顿第二定律得到。
得到动力学方程后，我们可以通过解方程得到系统的解析解，以获得系统的振动特性。
在分析解时，通常要求系统的运动是简谐振动或近似简谐振动。
另一种求解两自由度系统的方法是数值解法。
数值解法可以通过数值积分来近似求解动力学方程，这种方法常用于求解复杂的系统，或者对系统参数进行优化等情况。
分析解和数值解法可以用来研究两自由度系统的固有振动频率、振型和动态响应等。
通过模态分析，我们可以得到系统的固有频率，并确定每个模态的振型。
对于实际工程问题，模态分析可以帮助我们了解系统的共振情况，并设计出合适的控制策略，以求减小共振现象的发生。
共振是两自由度系统中一个重要而常见的振动现象。
当外力的频率与系统的固有频率接近时，系统会发生共振现象。
共振的发生会导致系统振幅的急剧增加，并且可能对系统的稳定性产生不利影响。
因此，在设计过程中，需要避免共振现象的发生，并采取合适的措施来控制共振。
此外，两自由度系统的振动也有许多实际应用。
例如，双摆锤可以用来研究天体运动和天文学现象；双弹簧振子可以用来研究建筑物或桥梁的振动特性；双振子可以用来研究分子振动和分子动力学等。
总而言之，两自由度系统的振动是一种普遍且重要的物理现象。
通过对两自由度系统进行建模和分析，我们可以深入了解系统的振动特性，并在实际应用中进行优化和改进。
04-1zf_两自由度系统的振动
m2 x2 K2 (x2 x1) K3 x2
整理得系统运动微分方程：
m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0 m2 x2 K2 x1 (K2 K3 )x2 0
引入符号：
m1x1 m2 x2
(K1 K2
x1
K2 (
安装两个齿轮的传动轴示意图
假设： (1)相对于齿轮来说，轴的质量较小 可以忽略； (2)轴的变形较大，考虑其弹性； (3)齿轮可视为集中质量元件的刚性 圆盘。
若研究系统在纸面平面内的横向振动，
在上述假设条件下，系统可简化成图两
自由度横向振动力学模型。
两自由度横向振动力学模型
若研究系统的扭振问题，两圆盘具有 转动惯量，轴具有扭转弹性，系统可 简化为两自由度扭转振动力学模型。
x20 )2
(1x10 x20 )2 2
n2
1
arctan
n1 (2 x10 2 x10
x20 x20
)
2
arctan
n
2 (1x10 1x10
x20 x20
)
例1 图示两自由度系统。已知，ml=m2=m=0.05kg， K1=K2=K3=K=20N／m。
(1)第1个方程既含有 x1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。
(2)第2个方程既含有 x2 项，也含有-cxl项。
显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。
与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动
微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
4.1.2 固有频率与主振型
整理得系统运动微分方程：
m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0 m2 x2 K2 x1 (K2 K3 )x2 0
引入符号：
m1x1 m2 x2
(K1 K2
x1
K2 (
安装两个齿轮的传动轴示意图
假设： (1)相对于齿轮来说，轴的质量较小 可以忽略； (2)轴的变形较大，考虑其弹性； (3)齿轮可视为集中质量元件的刚性 圆盘。
若研究系统在纸面平面内的横向振动，
在上述假设条件下，系统可简化成图两
自由度横向振动力学模型。
两自由度横向振动力学模型
若研究系统的扭振问题，两圆盘具有 转动惯量，轴具有扭转弹性，系统可 简化为两自由度扭转振动力学模型。
x20 )2
(1x10 x20 )2 2
n2
1
arctan
n1 (2 x10 2 x10
x20 x20
)
2
arctan
n
2 (1x10 1x10
x20 x20
)
例1 图示两自由度系统。已知，ml=m2=m=0.05kg， K1=K2=K3=K=20N／m。
(1)第1个方程既含有 x1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。
(2)第2个方程既含有 x2 项，也含有-cxl项。
显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。
与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动
微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
4.1.2 固有频率与主振型
第六章 二自由度系统的振动分析
6.2.1坐标的选择与方程耦合
1 l2
J J
ml22 ml1l2
J J
ml1l2 ml12
••
x1
••
x2
k1
0
0 k2
x1 x2
0 0
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
6.2.1 二自由度无阻尼系统固有振动
微分方程组：
Mu(t) Ku(t) 0 u(0) u0,u(0) u0
u1(0) u2 (0)
u10
u20
uu•• 12
(0) (0)
u•• 10
u 20
对三个以上自由度系统，可以用同样的方法得到微分方程组。
简写为
Mu(t) Cu(t) Ku(t) f (t)
质量 矩阵
阻尼 刚度 矩阵 矩阵
加速度向量 速度向量 位移向量 激励向量
6.1 建立系统微分方程组
率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固 有振动和第二阶固有振动。 每个根对应一种固有振动
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
一些概念：
k11 m12
k21
k22
k12
m22
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
固有振动的初始条件
无阻尼系统的固有振动仅是可能存在的运动形式。要使 系统真正产生固有振动，还应满足一定的运动初始条件。
第六章：二自由度系统的振动
在实际工程中，仅用一个独立坐标常常难以正 确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力 学问题。
最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而 自由度由一增加到二，会产生质的变化，带来一系 列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高 自由度的区别，仅仅在数量上和系统的复杂程度上。
1 l2
J J
ml22 ml1l2
J J
ml1l2 ml12
••
x1
••
x2
k1
0
0 k2
x1 x2
0 0
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
6.2.1 二自由度无阻尼系统固有振动
微分方程组：
Mu(t) Ku(t) 0 u(0) u0,u(0) u0
u1(0) u2 (0)
u10
u20
uu•• 12
(0) (0)
u•• 10
u 20
对三个以上自由度系统，可以用同样的方法得到微分方程组。
简写为
Mu(t) Cu(t) Ku(t) f (t)
质量 矩阵
阻尼 刚度 矩阵 矩阵
加速度向量 速度向量 位移向量 激励向量
6.1 建立系统微分方程组
率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固 有振动和第二阶固有振动。 每个根对应一种固有振动
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
一些概念：
k11 m12
k21
k22
k12
m22
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
固有振动的初始条件
无阻尼系统的固有振动仅是可能存在的运动形式。要使 系统真正产生固有振动，还应满足一定的运动初始条件。
第六章：二自由度系统的振动
在实际工程中，仅用一个独立坐标常常难以正 确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力 学问题。
最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而 自由度由一增加到二，会产生质的变化，带来一系 列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高 自由度的区别，仅仅在数量上和系统的复杂程度上。
第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动
1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2
1 3
cos1t
1 3
cos2t
1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2
C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1
1 3
cos1t
2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l
2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2
两自由度系统的振动
值，12 和 2 都是实数。
2 2） ad bc ， 12 和 2 都是正数，两个正实根。 3）方程仅有两个正实根的事实说明，系统可能有的同步 运动不仅是简谐的，且只能以两种频率作简谐运动。
4）ω1和ω2由由系统参数确定，称为系统的自然频率。两
2 (t ) c3 x 2 (t ) c2 [ x 2 (t ) x 1 (t )] k3 x2 (t ) k 2 [ x2 (t ) x1 (t )] F2 (t ) m2 x
整理得到
1 (t ) c1 c2 x 1 (t ) c2 x 2 (t ) k1 k 2 x1 (t ) k 2 x2 (t ) F1 (t ) m1 x m2 x2 (t ) (c2 c3 ) x2 (t ) c2 x1 (t ) (k 2 k 3 ) x2 (t ) k 2 x1 (t ) F2 (t )
由两自由度系统到更多自由度系统，则主要是量的扩充，
在问题的表述、求解方法及最主要的振动特性上没有本质 的区别。
1
2
1
2
1 1 2
2 3
6.2 两自由度系统的自由振动
一、两自由度振动系统的运动微分方程
1( 1 1
)
1(
)
2 2
2(
)
2
( )
3 3
1
2
(a)
1 1 1( 1 1(
( )
1
( )
2[ 2 (
2
1
上式表明：系统按其任一自然频率作简谐同步运动时，m1 和m2运动的振幅之比由系统本身的物理性质决定，对于特 定系统，是一个确定的量。 由于m1和m2作同步运动，任意时刻的位移之比等于振幅比
2 2） ad bc ， 12 和 2 都是正数，两个正实根。 3）方程仅有两个正实根的事实说明，系统可能有的同步 运动不仅是简谐的，且只能以两种频率作简谐运动。
4）ω1和ω2由由系统参数确定，称为系统的自然频率。两
2 (t ) c3 x 2 (t ) c2 [ x 2 (t ) x 1 (t )] k3 x2 (t ) k 2 [ x2 (t ) x1 (t )] F2 (t ) m2 x
整理得到
1 (t ) c1 c2 x 1 (t ) c2 x 2 (t ) k1 k 2 x1 (t ) k 2 x2 (t ) F1 (t ) m1 x m2 x2 (t ) (c2 c3 ) x2 (t ) c2 x1 (t ) (k 2 k 3 ) x2 (t ) k 2 x1 (t ) F2 (t )
由两自由度系统到更多自由度系统，则主要是量的扩充，
在问题的表述、求解方法及最主要的振动特性上没有本质 的区别。
1
2
1
2
1 1 2
2 3
6.2 两自由度系统的自由振动
一、两自由度振动系统的运动微分方程
1( 1 1
)
1(
)
2 2
2(
)
2
( )
3 3
1
2
(a)
1 1 1( 1 1(
( )
1
( )
2[ 2 (
2
1
上式表明：系统按其任一自然频率作简谐同步运动时，m1 和m2运动的振幅之比由系统本身的物理性质决定，对于特 定系统，是一个确定的量。 由于m1和m2作同步运动，任意时刻的位移之比等于振幅比
第三章二自由度系统
为了完全确定物体的位置而选定的任意一组彼此独立的 坐标参数，称为这个物体的广义坐标。在选定坐标时，除去 直角坐标Ｘ、Ｙ、Ｚ之外，我们也可以用角度φ、θ及从物体 中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位 置。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
机械振动学(第二章)-二自由度振动系统
3.1.2 二自由度无阻尼自由振动 1、自由振动微分方程
根据式（3-1），可得无阻尼二自由度自由振动微分方程为：
1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 x m1 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 0 x m2
即：
（3-4）
(k1 k 2 ) k2 1 x x1 x2 0 m1 m1 ( k 2 k3 ) k2 2 x x1 x2 0 m2 m2
1 1 x x 为加速度向量； 为速度向量； 2 2 x x f1 (t ) f (t ) 为激振力向量 2
x1 x 为位移向量； 2
根据以上，式（2-2）可写为以下更为一般的简化形式，即:
CX KX F (t ) MX
将固有频率 n1和 n 2 代入（3-10），可得
1 a d ad 2 ( ) bc 0 1 b 2 2 1 a d ( a d ) 2 bc 0 2 b 2 2
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
三、二Байду номын сангаас由度系统的振动
装备制造学院
College of Equipment Manufacture
3.1 二自由度自由振动
二自由度系统属于简单的多自由度系统，而多自由度系统 不同于单自由度系统的振动问题，不再是单自由度系统的简 谐振动了，而是多种频率的简谐波组成的复合运动。 这些频率是系统的固有频率，一般系统有几个自由度，就 有几个系统固有频率。 当系统按照其中某一固有频率作自由振动时，称为主振动， 主振动是一种谐振动。 几个自由度系统在任意初始条件下的响应，应是几个主振 动的叠加。 系统做主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的 相对比值，即称为系统的主振型。
两个自由度体系的自由振动
两个自由度体系的自由振动
• 引言 • 两个自由度体系的模型建立 • 两个自由度体系的自由振动分析
• 两个自由度体系的振动控制 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自由振动是物理学中一个重要的概念，它描述了系统在没有外部作用力的情况下 ，通过自身内部能量进行的振动。两个自由度体系是指具有两个独立方向的振动 体系，例如弹簧振荡器、单摆等。
02
通过理论分析和数值模拟，我 们发现某些参数条件下，两个 自由度体系可以发生共振或反 共振现象。
03
系统的能量在振动过程中会在 两个自由度之间转移，表现出 能量的分散和集中现象。
研究不足与展望
1
当前的研究主要集中在理论分析和数值模拟上， 缺乏实验验证，因此需要进一步开展实验研究。
2
对于两个自由度体系自由振动的动力学行为，仍 有许多未知领域需要探索，例如更高维度的自由 度体系、不同阻尼机制等。
3
需要进一步研究两个自由度体系在受到外部激励 或约束条件下的振动行为，以及与其他动力学现 象的相互作用。
THANKS
感谢观看
分析振动响应的特性，如频率、振幅、相位等，以 了解系统的自由振动行为。
03
两个自由度体系的自由振动分析
振动特性分析
固有频率
描述体系对振动的敏感程度，与体系的质量和刚度有关。
阻尼比
描述体系能量耗散的快慢，与阻尼系数和固有频率有关。
模态振型
描述体系在不同方向的振动形态，是振动特性的重要参数。
振动频率计算
自由振动在工程、自然界和日常生活中广泛存在，如乐器振动、地震波传播、桥 梁振动等。
研究意义
自由振动研究有助于深入理解物理现象的本质，探究系统内部能量转换和 传递机制。
• 引言 • 两个自由度体系的模型建立 • 两个自由度体系的自由振动分析
• 两个自由度体系的振动控制 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自由振动是物理学中一个重要的概念，它描述了系统在没有外部作用力的情况下 ，通过自身内部能量进行的振动。两个自由度体系是指具有两个独立方向的振动 体系，例如弹簧振荡器、单摆等。
02
通过理论分析和数值模拟，我 们发现某些参数条件下，两个 自由度体系可以发生共振或反 共振现象。
03
系统的能量在振动过程中会在 两个自由度之间转移，表现出 能量的分散和集中现象。
研究不足与展望
1
当前的研究主要集中在理论分析和数值模拟上， 缺乏实验验证，因此需要进一步开展实验研究。
2
对于两个自由度体系自由振动的动力学行为，仍 有许多未知领域需要探索，例如更高维度的自由 度体系、不同阻尼机制等。
3
需要进一步研究两个自由度体系在受到外部激励 或约束条件下的振动行为，以及与其他动力学现 象的相互作用。
THANKS
感谢观看
分析振动响应的特性，如频率、振幅、相位等，以 了解系统的自由振动行为。
03
两个自由度体系的自由振动分析
振动特性分析
固有频率
描述体系对振动的敏感程度，与体系的质量和刚度有关。
阻尼比
描述体系能量耗散的快慢，与阻尼系数和固有频率有关。
模态振型
描述体系在不同方向的振动形态，是振动特性的重要参数。
振动频率计算
自由振动在工程、自然界和日常生活中广泛存在，如乐器振动、地震波传播、桥 梁振动等。
研究意义
自由振动研究有助于深入理解物理现象的本质，探究系统内部能量转换和 传递机制。
两自由度振动系统
2.2 主振型
对应固有频率时的 x1，x2 的振幅之间有两个确定的比值，这个比值称为振幅比。振动 过程中， 系统各点的位移的相对比值都可以由振幅比确定， 振幅比决定了整个系统的振动形 态。 振幅比就称为系统的主振型。 第一主频率对应第一主振型； 第二主频率对应第二主振型。 当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型做振动时，即成为系统的主振动。 主振型和固有频率只取决于系统的固有性质，与初始条件无关。
K1
K1x1
m1 x1
m1
系统的两个分振动的频率不一定是有理数， 合成的振动不一定呈周期性， 一般是非周期的复 杂运动或似周期运动。
2. 固有频率与主振型
2.1 固有频率
两自由度系统的固有频率有两个
2 wn 1,2 =
a+c a−c 2 ∓ （ ） + bc 2 2
将小的那一个固有频率称为第一主频率或第一阶固有频率， 第二个称为第二主频率或第二阶 固有频率。
两自由度系统振动
两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振 动系统。
两自由度系统的自由振动 1. 系统运动微分方程
m1 x1 + k1 x1 − k 2 x2 − x1 = 0 m2 x2 + k 2 x2 − x1 = 0 令 a=(k1+k2)/m1;b=k2/m1;c=k2/m2 简化为， x1 + ax1 − bx2 = 0 x2 − cx1 + cx2 = 0 K2(x2-x1) K2(x2-x1) x2 m2 m2
2.3 振动分析
求出两个质量块的振动后，可知2 小于零， 1 大于零，第一主振动中两个支点的相位 相同，即若系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就同时向同向运动，同时经过平衡位 置同时达到最大偏离位置。 若系统以第二主振型进行振动， 两个质点就同时向相反的方向运 动，当质量 1 达到最低位置，质量 2 就达到最高位置。所以，他们一会分离一会相向运动， 这样在联系质量 1 和质量 2 之间的弹簧上就会出现一个点， 它在整个第二主振动的任意一瞬 间的位置都不改变，称为节点。由于节点的存在就限制了振幅的增大。
4二自由度系统振动
)
)
0
0
sin( t ) 0
( a 2 )A1 bA2 0
cA1
(
d
2
)A2
0
这是关于 A1 和 A2 的线性齐次代数方程组。显然，A1 A2 0 是它的解， 对应于系统处于静平衡的情况。若要使 A1 与 A2 具有非零解，此方程组
的系数行列式必须等于零，即：
2
F1(t ) F2 (t )
2.1 两自由度系统的振动微分方程
写为矩阵形式：
m1
0
0 m2
x1 x2
c1 c2
c2
其中定义：
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
M
m1
0
0
m2
,
C
c1 c2
但是必须指出并非任何情况下系统都可能作主振动。
x1 ax1 bx2 0 x2 cx1 dx2 0
此方程组的通解是振系的两个主振动的叠加
x1 x2
x1(1) x2(1)
x1(2) x2(2)
x1 r (1) A2(1) sin(1t 1) r (2) A2(2) sin(2t 2 )
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
扭转振动系统
两者坐标形式相同
2.1 两自由度系统的振动微分方程
运动微分方程的矩阵形式
定义：x x1 x2 T x x1 x2 T
x x1 x2 T
F(t) F1(t) F2 (t)T
位移向量； 速度向量； 加速度向量； 激励向量；
矩阵形式的运动微分方程Mx Cx Kx F(t)
两自由度系统的振动
激振力矢量
例3：转动运动 两圆盘 外力矩 M1(t), M 2 (t) 转动惯量 J1, J2 轴的三个段的扭转刚度 k1, k 2 , k 3
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 2 (t)
J1
J2
试建立系统的运动微分方程
11
解：
1、建立坐标：设某一瞬时： 角位移 1, 2
1665年2月的一天，因为身体不适，他躺在家 里休养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意 外地在他自己发明的摆钟上，发现了一个有趣的 现象。
有趣的现象：
墙壁上并排悬挂着的两只钟，这两只钟的钟摆 竟然在按照相同的位移（拍子）摆动！经过连续 几个小时的观察之后，结果还是一样。而且就算 强行将其中一只钟的钟摆拨成相反位移的运动， 不到30分钟，也还是恢复成相同的位移。只有将 一只钟挂到另一面墙上后，两只钟的位移才开始 渐渐分出不同，到最后甚至连一天的周期也产生 了5秒左右的差别。后来，他又通过实验推断， 这两只钟的同步运动可能是由两只钟之间的空气 振动或者是墙壁的轻微振动导致的。
k2
k2 k2 k3
x1 x2
FF12
t t
M
m1
0
0
m2
质量矩阵
K
k1 k2
k2
k2
k2
k3
刚度矩阵
X
t
x1 x2
位移矢量
F
t
F1 F2
03二自由度系统的振动
[u]T [M ][u]{&y&} + [u]T [K ][u]{y} = {0}
y 0 &&1 k1 + m 2 &&2 0 y 0 y1 0 = k 2 y 2 0
结果有 即是
m1 &&1 + k1 y1 = 0 y m 2 &&2 + k 2 y2 = 0 y
将方程组用矩阵表示如下: 将方程组用矩阵表示如下
m1 0
0 &&1 k1 + k 2 x + m 2 &&2 − k 2 x
− k 2 x1 0 = k 2 + k 3 x 2 0
一般可表示为: 一般可表示为
[M ]{&&} + [K ]{x} = {0} x
11/41
一般可表示为: 一ห้องสมุดไป่ตู้可表示为
m11 m 21
或:
m12 &&1 k11 x + m 22 &&2 k 21 x
k12 x1 0 = k 22 x 2 0
[u] =
u11 u21
u12 u22
而坐标变换为
12/41
{x} = [u]{y}
{&&} = [u]{&&} x y
一般化分析与推导如下： 一般化分析与推导如下：
m11 m 21
设变换矩阵为
m12 &&1 k11 x + m 22 &&2 k 21 x
第二章_两自由度系统振动
k1
k2
c
m1 2
k2
c
c k1 k2 m12
c
k2
k2
c k2 m2 2
c
c c1 F0
k2
c2
0
k2
c m22
dd12
0
0
d2
c[(k1 m12)(k2 m22) k2m22] k2c[(k1 m12) m22] [(k1 m12)(k2 m22) k2m22]2 [c((k1 m12) m22)]2
F0
d1
k2[(k1 m12 )(k2 m22 ) k2m22 ] c[cm23 c(k1 m12 )] [(k1 m12 )(k2 m22 ) k2m22 ]2 [cm23 c(k1 m12 )]2
F0
c1
k1
F0
m12
m2 2 k1 m12
d1
c2
m2 2 k1 m12
两自由度系统振动
1 无阻尼自由振动
1.1 基本概念
两自由度系统（TDOF）： 如果确定一个振动系统位置的独立参数，
需要两个且两个就足够，则称这样的系统为 两自由度系统。 多自由度系统（MDOF）：
需要两个或两个以上独立参数才能确定 振动系统几何位置，则称这样的系统为多自 由度系统
1.2 两自由度系统力学模型
1.3 无阻尼自由振动分析
m1&x&1 k1x1 k2 x1 x2
m2&x&2 k2 x2 x1
&x&1 ax1 bx2 0
&x&2
cx1
cx2
0
a k1 k2 m1
b k2 m1
c k2 m2
第5讲 两自由度系统的振动
(4)
，式中常数u1和u2起振幅的作用。 请
将方程(4)代入方程(3)，得
m1u1 f(t)+ (k11u1 + k12u2 ) f (t ) = 0 m2u2 f (t)+ (k21u1 + k22u2 ) f (t ) = 0
2015/3/24 机械系统动力学-多自由度系统的振动
现在关心的问题是，在初值条件下，如何求解 这个方程。这里，有两个问题需要确定： 1、坐标x1和x2是否有相同的随时间的变化规律 2、x1和x2是否是简谐函数
2015/3/24
机械系统动力学-多自由度系统的振动
14
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学家是
课 件荷兰的物理学家克里斯蒂安 · 惠更斯 仅 供(Christian Huygens 1629-1695)。根据 学 习伽利略(Galileo Galilei 1564-1642)发现 复 习 的钟摆的等时性原理，他于1656年把单 之 用 ，摆引入了机械钟，研制成第一个摆钟。 请
勿标，它们能够完全描述了系统在任何时刻的运动：x1和 它 用x2不仅表示出质量m1和m2的运动，而且也描述了
弹簧
。 曹k 、k 和k 的运动。因此，该系统是一个两自由度系统。 1 2 3
2015/3/24 机械系统动力学-多自由度系统的振动 8
两自由度系统的自由振动（微分方程）
f1 f2
课 件 仅 供 x1 x2 学 k2 (x2 − x1 ) 习 k1 x1 m1 m2 k3 x2 复 习 f1 f2 之 用 设运动x1和x2是微幅的，振动系统是线性的。由牛 ，顿定律建立运动微分方程 ：
引言
2015/3/24
机械系统动力学-多自由度系统的振动
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单自由度
二自由度系统振动
两自由度
二自由度系统振动
四自由度
缺点：车轮、车身模型也相对简单（车身简化为一个 自由度，没考虑前后车轮二自的由度影系响统振）动 。
车辆悬架
二自由度系统振动
车辆悬架结构简图
七自由度
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
建立振动微分方法： 牛顿运动定律 拉格朗日方程
2.1 两自由度系统的振动微分方程
写为矩阵形式：
m 0 1m 0 2 x x 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t) )
例1：两自由度弹簧阻尼质量系统
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
取 置
为m坐1、标m原2
静平衡位 点，水平
向右为两个坐标的正
向，根据牛顿第二定
律得到:
m1x1 k1x1 c1x1 k2 (x1 x2 ) c2 (x1 x2 ) F1(t) m2x2 k2 (x1 x2 ) c2 (x1 x2 ) k3x2 c3x2 F2 (t) 整理,得 m m 2 1 x x 2 1 c (c 2 1 x 1 c 2 (二) c x 2 自1 由 度c 系c 3 统2 )x x 振2 2 动 ( k k 2 1 x 1 k 2 () k x 2 1 k k 3 2 )x x 2 2 F F 1 2 ( (tt) )
U
1 2
k1 x12
1 2
k2 ( x1
x2 )2
1 2
k3 x22
1 2
x
1ห้องสมุดไป่ตู้
x
2
m 0
1
0 m2
x x
1 2
1 xT M x
2
质量矩阵的二次型
1 2
x1
x2
k1 k2
k2
1 xT K x
2
k2 k2 k3
x1 x2
刚度矩阵的二次型
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
❖ 如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在 阻尼耦合。
扭转振动系统
两者坐标形式相同
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
运动微分方程的矩阵形式
定义：xx1 x2 T xx1 x2 T
xx1 x2 T
F(t)F 1(t) F 2(t)T
位移向量； 速度向量； 加速度向量； 激励向量；
矩阵形式的运动微分方程 M x C x K x F ( t )
第二章 两自由度系统振动
大量振动系统需要简化成多自由度系统才能反映实际 问题的物理本质。
与单自由度系统比较，多自由度系统具有一些本质上 的新概念，需要新的分析方法。
两自由度系统是多自由度系统最简单的特例。从两自 由度系统到多自由度系统，主要是量的扩充，在问题的表 述、求解方法、振动性态上没有本质区别。
其中定义：
M
m1
0
0
m2
,
质量矩阵
Cc1c2c2
c2 c2 c3
,
Kk1k2k2
阻尼矩阵
二自由度系统振动
刚度矩阵
k2 k2 k3
2.1 两自由度系统的振动微分方程 例2
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程 弹簧阻尼质量系统
m 0 1m 0 2 x x 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t ) )
当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，则系统 具有两个自由度。
数学工具：线性代数、矩阵理论
二自由度系统振动
第二章 两自由度系统振动
两自由度系统的振动微分方程 无阻尼自由振动 静力耦合与动力耦合 无阻尼强迫振动 动力减振器
二自由度系统振动
（汽车的单自由度、二自由度、四自由度、七自由度模型的建立。）
ET
1xTMx0
2
质量矩阵一定是正定
， U1xTKx0 的；
2
刚度矩阵和阻尼矩阵
D1xTCx0
2
是半正定的。
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
运动微分方程的耦合问题
m 0 1m 0 2 x x 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t) )
系统能量耗散函数的矩阵表达形式
D
1 2
c1 x12
1 2
c2 ( x1
x2 )2
1 2
c3 x22
1
2
x1
x2
c1 c2
c2
c2 c2 c3
x1 x2
1 xT C x
2
阻尼矩阵的二次型
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
质量、刚度和阻尼矩阵的确定
通过对系统的动能、势能和能量耗散三个函数求偏导数， 可以分别求出质量、刚度和阻尼三个矩阵的各个元素：
单自由度系统 m xcxkxf(t)
如果将 m,c, k 看作一维矩阵，x, x, x, f t 看作一维向量，
则单自由度和多自由度微分方程具有相同的形式。 二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
系统动能、势能的矩阵表达形式
系统的动能为
系统的势能为
ET
1 2
m
1
x12
1 2
m
2
x
2 2
由于c2、k2 的存在，使得两个质量 m1、m2
的振动相互影响,使刚度矩阵和阻尼矩阵成为非对角 矩阵，微分方程存在耦合。
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
耦合的分类
❖ 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在 动力耦合或惯性耦合。
❖ 如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在 静力耦合或弹性耦合。
mij x2iE x Tj
2ET xjxi
mji
2U
2U
kij
xixj
xjxi
kji
2D
2D
cij
xixj
xjxi
cji
多自由度系统的质 量矩阵，刚度矩阵 和阻尼矩阵是对称 矩阵。
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
质量、刚度和阻尼矩阵的性质
由于能量为标量，对于任意的 x 0, x 0,
二自由度系统振动
两自由度
二自由度系统振动
四自由度
缺点：车轮、车身模型也相对简单（车身简化为一个 自由度，没考虑前后车轮二自的由度影系响统振）动 。
车辆悬架
二自由度系统振动
车辆悬架结构简图
七自由度
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
建立振动微分方法： 牛顿运动定律 拉格朗日方程
2.1 两自由度系统的振动微分方程
写为矩阵形式：
m 0 1m 0 2 x x 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t) )
例1：两自由度弹簧阻尼质量系统
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
取 置
为m坐1、标m原2
静平衡位 点，水平
向右为两个坐标的正
向，根据牛顿第二定
律得到:
m1x1 k1x1 c1x1 k2 (x1 x2 ) c2 (x1 x2 ) F1(t) m2x2 k2 (x1 x2 ) c2 (x1 x2 ) k3x2 c3x2 F2 (t) 整理,得 m m 2 1 x x 2 1 c (c 2 1 x 1 c 2 (二) c x 2 自1 由 度c 系c 3 统2 )x x 振2 2 动 ( k k 2 1 x 1 k 2 () k x 2 1 k k 3 2 )x x 2 2 F F 1 2 ( (tt) )
U
1 2
k1 x12
1 2
k2 ( x1
x2 )2
1 2
k3 x22
1 2
x
1ห้องสมุดไป่ตู้
x
2
m 0
1
0 m2
x x
1 2
1 xT M x
2
质量矩阵的二次型
1 2
x1
x2
k1 k2
k2
1 xT K x
2
k2 k2 k3
x1 x2
刚度矩阵的二次型
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
❖ 如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在 阻尼耦合。
扭转振动系统
两者坐标形式相同
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
运动微分方程的矩阵形式
定义：xx1 x2 T xx1 x2 T
xx1 x2 T
F(t)F 1(t) F 2(t)T
位移向量； 速度向量； 加速度向量； 激励向量；
矩阵形式的运动微分方程 M x C x K x F ( t )
第二章 两自由度系统振动
大量振动系统需要简化成多自由度系统才能反映实际 问题的物理本质。
与单自由度系统比较，多自由度系统具有一些本质上 的新概念，需要新的分析方法。
两自由度系统是多自由度系统最简单的特例。从两自 由度系统到多自由度系统，主要是量的扩充，在问题的表 述、求解方法、振动性态上没有本质区别。
其中定义：
M
m1
0
0
m2
,
质量矩阵
Cc1c2c2
c2 c2 c3
,
Kk1k2k2
阻尼矩阵
二自由度系统振动
刚度矩阵
k2 k2 k3
2.1 两自由度系统的振动微分方程 例2
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程 弹簧阻尼质量系统
m 0 1m 0 2 x x 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t ) )
当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，则系统 具有两个自由度。
数学工具：线性代数、矩阵理论
二自由度系统振动
第二章 两自由度系统振动
两自由度系统的振动微分方程 无阻尼自由振动 静力耦合与动力耦合 无阻尼强迫振动 动力减振器
二自由度系统振动
（汽车的单自由度、二自由度、四自由度、七自由度模型的建立。）
ET
1xTMx0
2
质量矩阵一定是正定
， U1xTKx0 的；
2
刚度矩阵和阻尼矩阵
D1xTCx0
2
是半正定的。
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
运动微分方程的耦合问题
m 0 1m 0 2 x x 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t) )
系统能量耗散函数的矩阵表达形式
D
1 2
c1 x12
1 2
c2 ( x1
x2 )2
1 2
c3 x22
1
2
x1
x2
c1 c2
c2
c2 c2 c3
x1 x2
1 xT C x
2
阻尼矩阵的二次型
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
质量、刚度和阻尼矩阵的确定
通过对系统的动能、势能和能量耗散三个函数求偏导数， 可以分别求出质量、刚度和阻尼三个矩阵的各个元素：
单自由度系统 m xcxkxf(t)
如果将 m,c, k 看作一维矩阵，x, x, x, f t 看作一维向量，
则单自由度和多自由度微分方程具有相同的形式。 二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
系统动能、势能的矩阵表达形式
系统的动能为
系统的势能为
ET
1 2
m
1
x12
1 2
m
2
x
2 2
由于c2、k2 的存在，使得两个质量 m1、m2
的振动相互影响,使刚度矩阵和阻尼矩阵成为非对角 矩阵，微分方程存在耦合。
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
耦合的分类
❖ 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在 动力耦合或惯性耦合。
❖ 如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在 静力耦合或弹性耦合。
mij x2iE x Tj
2ET xjxi
mji
2U
2U
kij
xixj
xjxi
kji
2D
2D
cij
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xjxi
cji
多自由度系统的质 量矩阵，刚度矩阵 和阻尼矩阵是对称 矩阵。
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
质量、刚度和阻尼矩阵的性质
由于能量为标量，对于任意的 x 0, x 0,