运动学基础讲义

高一·物理·竞赛班·第1讲·学生版
讲述高端的真正的物理学
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速度： v
S S 或v ；平均速度的方向与位移的方向相同。由于作变速直线运动的物体，在各 t t
段路程上或各段时间内的平均速度一般来说是不相同的。故一提到平均速度必须明确是哪段位移上 或哪一段时间内的平均速度。 ② 瞬时速度（又称即时速度） 要精确地如实地描述质点在任一时刻地邻近时间内变速直线运动的快慢，应该把 t 取得很短， t 越短，越接近客观的真实情况，但 t 又不能等于零，因为没有时间间隔就没有位移，就谈不上 运动的快慢了，实际上可以把 t 趋近于零，在这极短时间中，运动的变化很微小，实际上可以把质 点看作匀速直线运动，在这种情况下，平均速度可以充分地描述该时刻 t 附近质点地运动情况。 我们把 t 趋近于零，平均速度 ΔS 所趋近的极限值，叫做运动质点在 t 时刻的瞬时速度。用数学
a lim
t 0
v 。 t
若质点做匀速直线运动，它的加速度大小和方向恒定不变，则平均加速度就是瞬时加速度,通常
t o =0，时间 t t t o
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可用末时刻 t 表示,则加速度定义式为：
a
vt v0 v ， t t
写在竞赛课堂之前
亚里士多德开启了理性分析世界的物理学的第一篇章，虽然，他的篇章中多数内容都是错误的 。例如，他认为自然界应该有四种基本“元素”：风，火，土，水组成，例如他认为重的东西下落 的快，例如，他认为地球是静止不动的等等。后来，历史逐渐纠正了这些错误。但是不得不否认， 亚里士多德的分析问题的一些基本思想：分析问题的基本构成，分析事物间的联系，抽象物理量等 等都为后人的工作打下了良好的基础。 伽利略是个热爱实验的好童鞋，他用假想的逻辑性很强的实验，验证了并不是重的东西就下落 的快；他亲自设计实验，设计建造计时器，研究了困扰世人几个世纪的落体问题，给出了匀加速运 动的公式。这些工作都透露着物理的理性之光：严密的逻辑推理和尽量精确的实验验证。 突然有一天，伽利略童鞋挂了，同一天，牛顿牛童鞋出生了。然而，他写的书《自然哲学的数 学原理》的发表，远远要比他的出生更为重要。因为，他第一次以用占据当时数学制高点的微积分 ，解释了当时的物理学前沿：天体运动。在他的严密的逻辑推理+数学推演下，人眼所能见到的一切 ，似乎都有了可计算的答案。就连牛顿自己所相信的“上帝”似乎都不再具备存在的价值。 就在一切都按照牛顿给出的“三大定律”和“万有引力定律”所构建的完美机械世界中运行的 时候，一个在欧洲的专利局小职员，对这个世界的一个基本性质提出了质疑：爱因斯坦发表文章， 质疑时间的绝对性，并且以另一种他认为是绝对的东西作为基本原理，开辟了另一片物理世界的天 空。在爱因斯坦的理论框架中，牛顿的理论仅仅是速度很小的一种粗略的近似。 后来，前仆后继的各种人又相继的给出了更多对于我们能见到的，看不到的，感受得到的，感 受不到的万事万物的运行机制的解释。他们运用着理性之光，通过分析总结，假设，实验，修正， 再实验验证的方式不断的重塑着人类对于一切的认识。这群人，就是物理学家。 Physics is what physicists do. 物理解决的是“一切”问题，物理学家想要的是“一切”的答案。例如：我们从哪里来？我们 是由什么构成的？时间是什么？我们能“穿越”么？…… 物理学家不满足于数学家给出的“这个东西是可算的，我们证明了”的答案。物理学家也不会 纠结于工程师们纠结的“如何能精确的连续打出99999个直径为1.00mm的孔”。 物理学家希望能够给人类的智慧贡献更多：经济，心理，金融，工程，医学，甚至看似对立的 宗教…… 踏入高中物理竞赛课堂之前，童鞋们所经历的“物理”神马的，都只是真正的理性训练之前的 “浮云”。在这里，你将面对的是真正的高端的启迪智慧的物理学。在这里，你将收获的将不仅仅 是知识，题目，答案，分数。你们将接过之前所有物理学家们奋斗传来的理性的火炬，并用它照亮 人类的未来。
v = lim (
Δt →0
Δx Δy Δz ˆ+ ˆ+ ˆ) x y z Δt Δt Δt
ˆ ˆ y 其中 x
ˆ 代表三个方向上的单位矢量，是无单位的量。引入单位矢量是因为总的速度不等于各个方向速度 z
大小直接相加，而必须用勾股定理计算合成的速度。 加速度的坐标定义法也一样，这里展开了。 三． 物理的图像 物理量之间的关系可以用函数来表达，这些函数关系也可以通过他们的图像来理解．比如 图， 图，等等．研究这些图像时候要注意横纵坐标的意义，不同图线的物理意义，图线中包围 的面积的意义等等． 矢量的分析也可以通过作图来理解，注意矢量的方向，大小．
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【例1】 一质点做直线运动，前一半位移的运动速度恒为 半位移的速度大小不变，求该速度大小． ，整段运动的平均速度为 ，设其后一
（注意这不是加速度的决定因素，根据牛顿第二定律可知，一个质点的加速度是由它受到的合 外力和它的质量共同决定，牛顿第二定律的表达式所表示的是加速度的决定式即：
a
F ） m
对匀变速运动，加速度的方向总是跟速度变化量的方向一致。 加速度的大小和方向跟速度的大小和方向没有必然联系。速度与加速度的关系，不少同学有错 误认识，复习过程中应予以纠正。 ①、加速度不是速度，也不是速度变化量，而是速度对时间的变化率，所以速度大，速度变化 大，加速度都不一定大。 ②、加速度也不是速度大小的增加。一个质点即使有加速度，其速度大小随时间可能增大，也 可能减小，还可能不变。（两矢量同向，反向、垂直） 二． 矢量和标量 只有大小没有方向的量叫做标量． 通常手写矢量用 矢量的运算： 1． 加减法：平行四边形法则 坐标系中：把对应的坐标相加减 2． 矢量的数乘： 坐标系中： 根据矢量运算方法： 分别可以把位移，速度，加速度向着各个方向投影，用其分量描述。例如我们的速度就可以定 义为： （带箭头的字母来表示）．矢量的大小用“绝对值”来表示： ．
v=
S 。 t
例如在某一时间内，质点沿闭合曲线环形一周，显然质点的位移等于零，平均速度也为零，而 质点的平均速率是不等于零的。所以平均速度的大小与平均速率不能等同看待。当质点沿直线单一 方向运动时平均速度的大小等于平均速率。而瞬时速率就是瞬时速度的大小，而不考虑方向。 加速度 在变速直线运动中，速度改变的快慢一般是不同的，为了研究速度随时间而改变的特征，有必 要引入加速度这个概念：速度的变化量和所用时间的比值叫做加速度。 仿前面定义速度的方法，若运动物体在 t o 时刻的速度为 v o （初速度）,在 t 时刻的速度为 vt （末 速度）,那么在 t t t o 这段时间里，速度的变化量（也叫速度的增量）是
Δt
式可表示为：
v = lim
Δt →0
ΔS ， Δt
它具体表示 t 时刻附近无限小的一段时间内的平均速度，其值只随 t 而变，是精确地描述运动快 慢程度的物理量。以后提到的速度总是指瞬时速度而言。平均速度、瞬时速度都是矢量。 描述质点的运动，有时也采用一个叫“速率”的物理量；速率是标量，等于运动质点所经过的 路程与经过该路程所用时间的比值，若质点在 t 时间内沿曲线运动，通过的路程S（即曲线的长度） ，则S与 t 的比值叫在时间 t 内质点的平均速率，可表示为
--孙鹏
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物理研究的第一个最基本的问题就是运动，我们本讲的主要目的就是学会用严密的数学语言描 述运动，并且依据运动本身的特有性质：例如矢量特性，相对性等处理一些实际问题。 并且引入一个物理竞赛的基本方法：微元法（微积分的爸爸）。
板块一
运动的描述
②、若质点在 oxy 平面内或 oxyz 空间内，从A点运动到B点，则这段时间内的位移S可用 oxy 或
oxyz 坐标系中初位置和末位置坐标 R1 、 R2 表示，如左下图所示。
运动质点在一段时间内所经过的轨迹的长度叫做路程。在上述沿直线运动（不往复）的情况下 ，位移的大小等于路程。可通过右上图体会一下位移与路程的区别与联系。 时刻和时间 时刻指某一瞬时，是与某一状态相对应的物理量。如第n秒初、第n秒末，并不是同一时刻；而 第（n—1）秒末与第n秒初，第n秒末与第（n+1）秒初则是同一时刻。 时间指两时刻的间隔，是与是与某一过程相对应的物理量。注意第n秒内与前n秒内不是同一段 时间。 速度 ① 平均速度 在变速直线运动中，各时刻物体运动的快慢不同，可用平均速度粗略描述一段时间内运动的快慢和 方向。在一段时间内 t 内，质点的位移为S，则位移S（或 Δr ）与时间 t （或 t ）的比值，叫做平均
v vt vo ，
v 与 t 的比值称为这段时间内的平均加速度，可表示为： v a ， t
平均加速度只能粗略描述速度改变的快慢程度。跟平均速度引导到瞬时速度的过程相似，选取 很短的一段时间 t ，当 t 趋近于零时，平均加速度的极限值，叫做运动质点在 t 时刻的瞬时加速度 。用数学式可表示为：
<教师备案>这部分涉及一些高考难度的运间的变化，成为机械运动． 研究机械运动内在规律的科学，叫做动力学．运动学时研究物体运动状态及其变化的描述，而不管 这种变化的原因． 为了能够更好的研究物体的运动状态，我们需要定义位置，速度，加速度等等的物理量．运动随 时间的变化可以通过运动学方程来研究． 一． 概念与方法 任何物体都有一定的大小和形状，为使问题简化，我们可以采用抽象的方法：若物体的大小和 形状在所研究的现象中不起作用或所起作用可以忽略不计，我们就可以把物体看作一个没有大小和 形状、具有同等质量的点，称为质点。质点突出了“物体具有质量”和“物体占有位置”这两个根 本性质。 质点是一个理想模型。在物理学中常常用理想模型来代替实际的研究对象，这样抽象的目的是 简化问题和便于作较为精确的描述。质点只是一例，以后还要用到光滑斜面、理想气体、点电荷等 理想模型，要注意理解和学会这种科学的研究方法。 在下列情况下，一个实际物体都可视为质点： ① 在所研究的问题中，大小、形状和内部结构可以不计的物体； ②、物体平动时，任一点的运动状态都相同。所以，在研究的问题中，大小可以不计的平动物 体；③、若一个物体既有平动又有转动，而在所研究的问题中，转动可以不计，该物体也可视 为质点。 若研究地球绕太阳公转时，地球可视为质点；而研究地球上重力加速度随纬度的变化时，地球 则不可视为质点。又如研究一根弹簧的形变，弹簧即使很短也不可视为质点；物质的分子和原子都 很小，但在研究其内部的振动和转动时，视为质点就没有意义了。 有了质点我们还不能直接定义机械运动，为了正确的确定物体位置及其变化，必须事先选取另外 一个假定为不动的物体作为参照才有意义．这个选来作为参照的物体叫做参照物．为了定量的描述 物体的运动，还需要在参照系上建立坐标系，来描绘空间中的位置，（有时再加上时间）．作为研 究物体运动时所参照的物体（批次不做相对运动的物体群），称为参考系．