第五节 独立试验概率 二项概率公式

例2 一批产品中有20%的次品，现进行重复抽样，共 抽取5件样品，分别计算这5件样品中恰好有3件次品 及至多有3件次品的概率？ 解
i 0,1,5. B表示“5件样品中至多有3件次品”
利用二项概率公式可得 ( n 5, p 0.2)
设 Ai表示“5件样品中恰好有i件次品”
P( A3 ) P(5, 3,0.2) C 0.2 0.8 0.0512
1 P A1 A2 An 1 P A1 P A2 P An
例2 若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为 0.002,求在有1500人看电影的剧场中有感冒病 毒的概率。
Ai 解 以 表示事件“第 i 个人带有感冒病毒” （i=1,2,„，1500），假定每个人是否带有感 冒病毒是相互独立的，则所求概率为
1500 P Ai 1 P A1 A2 A1500 i 1 1 P A1 P A2 P A1 1 1 0.002
1500
1 e1500 ln 10.002
1 e1500 0.002 1 e 3 0.95
3 5 3 2
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P ( B ) 1 P ( A4 ) P ( A5 )
4 5 1 C5 0.240.8 C5 0.25 0.9933
思考：自某工厂产品中进行重复抽样检查，共取200
件样品，检查结果发现其中有4件是废品，问能否相 信该厂产品废品率不超过0.005？ 解答 假设该厂产品的废品率为0.005，容易算得200 件中出现4件废品的概率为
从这个例子可见，虽然每个带有感冒病 毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气 中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现 象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。
若一个试验只有两种结果A和 A,且P(A)=p,P( A )=1-
p(0<p<1),称为n重贝努里概型,也可以称为n重贝努
了，因此有理由怀疑假定的正确性，即工厂
产品废品率不超过0.005不可信。
里试验。
定理 在贝努里概型中，P(A)=p (0<p<1),则 事件A在n次试验中恰好发生k次的概率为：
P(n, k, p) C p (1 p)
k n k
n k
(0 k n)
该公式正好与 p (1 p) 的二项展开式 中第（k+1）项完全相同，故有时又称之为
n
参数为n和p的二项概率公式。
P(200,4,0.005) c
4 200
0.005 (1 0.005)
4
196
0.015
根据人们长期实践总结出的一条原理： 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎 是不可能发生的，现在，可以认为当废品率为
0.005时，抽检200件产品出现4件废品是一 概率很小的事件，而它在一次试验中就发生
此时称A与B是相互独立的。
对三个事件A，B，C，如果成立：
(1) P (AB ) P (A) P (B ) (2) P (AC ) P (A) P (C ) (3) P (BC ) P (B ) P (C ) (4) P (ABC ) P (A) P (B ) P (C )
2 1 同理可知 P B PC 2 1 P AB P AC P BC 4 1 P ABC 4
对以上三事件A、B、C，成立:
P AB P AP B , P BC P B PC P AC P APC ,
§14.5 独立重复试验
一、事件的相互独立性 对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的问题中 事件B发生的概率与事件A发生的条件下事件B发生 的概率是相等的，即
P B | A P B ,
相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从 而 P ( AB) P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B)
但 P ABC P APB PC 所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们 是两两独立的。 对于多个随机事件，若 A1，A2， An 是相 互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的 概率为
1 P A1 A2 An
P A1 A2 An
我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的，则
A与B , A与 B ,A与 B 都是相互独立的。
例1 一个均匀的正四面体,将第一面染成红 色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四 面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、 B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、 黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上 着红色，故 P A 1