基于偏微分方程的图像去噪中差分格式的研究

第29卷第6期2006年12月

鞍山科技大学学报

Journal of Anshan University of Science and Technology

Vol.29No.6

Dec.,2006

基于偏微分方程的图像去噪中差分格式的研究

刘晨华1,2,颜　兵2

(1.太原科技大学应用科学学院,山西太原　030024;2.西安电子科技大学理学院,陕西西安　710071)

摘　要:为了提高图像去噪的效果,在对偏微分方程进行离散时使用恰当的差分格式是非常重要的,差分格式的精度越高稳定性越强越好。采用交替方向隐式的差分格式对偏微方程进行离散,并与用一般的显示格式进行离散后的结果进行比较,实验结果表明,使用交替方向隐式的差分格式对偏微方程进行离散,不仅能得到较高精度同时去噪效果明显,使用交替方向隐式的差分格式对偏微分方程进行离散是图像去噪的一种有效的工具.

关键词:偏微分方程;交替方向隐式的差分格式;图像去噪

中图分类号:TN911173:TP391　文献标识码:A　文章编号:167224410(2006)0620596203

图像处理与分析是信息科学与工程中的一个主要研究领域,图像信号在产生、传输和记录过程中,经常受到各种噪声的干扰,严重的影响了图像的视觉效果,因此在进行进一步的边缘检测、图像分割、特征提取等处理前,采取适当的方法尽量减少噪声是一个非常重要的预处理步骤。偏微分方程是近年来兴起的一种图像处理方法,尤其是非线性偏微分方程定义的非线性算子逐渐受到了人们的重视。因为偏微分方程具有各向异性的特点,在图像进行去噪时可以在去除噪声的同时很好地保持边缘。这个方法起源于计算机视觉发展早期。

1　利用偏微分方程去噪

111　Perona2Malik非线性扩散模型

1990年,Perona和Malik[1]提出了非线性各向异性扩散方程

5u

5t=div[g(| u|) u](1)

u(x,y,0)=u0(x,y)

其中函数g(s)是非递增单调函数,称为扩散系数。且g(0)=1,lim

s→∞

g(s)=0。模型根据图像梯度模实现有选择的扩散平滑,因为边缘部分具有较大的梯度模值,这时g(| u|)取得较小值,模型在此处实行较弱的平滑以保护边缘信息。Perona和Malik给出了两个扩散系数:g(s)=e-(sΠk)2和g(s)= 1

1+(sΠk)2

,其中常数k是梯度门限。k可以预先设定也可以随着图像每次迭代的结果的变化而改变。

式(1)用与图像相关的切线、法线方向表示为

5u

5t=a(| u|2)u T T+b(| u|2)u NN(2)其中a(s)和b(s)为加权系数也称沿T,N方向的扩散系数。选择函数a(s)满足:(1)a(s):[0,+∞)→[0,+∞)是递减函数;(2)a(0)=1;(3)b(s)=a(s)+2sa′(s)>0。

由此可知,式(2)描述了切线方向上及法线方向上的总扩散。随着| u|增大,沿T,N方向的扩散系数衰减,图像的光滑能力减弱。由于扩散系数a(s)和b(s)的衰减速度不一致,PM方程表现出异性收稿日期:2006207211。

作者简介:刘晨华(1978-),女,山西太原人。

扩散行为,在边界附近,切线方向扩散比法线方向扩散快,并且由于梯度增大,正则化停止,边界就被保留下来。但是,PM 方程对图像的平滑效果较差,在较大噪声的背景下,图像梯度具有很大的不确定性,难以真实反映图像的边缘特征信息,因而人们对PM 方程做了一些改进。

112　Catte ,Lions ,Morel 和Coll 的各向异性扩散模型

1992年,Catte 等人[2]给出了的扩散方程为

5u 5t

=div[g (| u σ|) u ](3)u (x ,y ,0)=u 0(x ,y )

式中: u σ∶= (K σ3u ),3为卷积运算;K σ∶

=1(2πσ2)m Π2exp (-|x |2Π2σ2)是方差为σ的高斯函数;g (s )∶=1 s ≤0

1-exp [-31315Π

(s Πλ)4] s <0

。式(3)简称为CLMC 方程,二维的CLMC 方程可以写为如下形式5t u =5x [g (| u σ|)5x u ]+5y [g (| u σ|)5y u ]

(4) 对式(4)进行差分,x 方向和y 方向是等步长的,即Δx =Δy =h ,时间步长Δt =τ,网格坐标为(ih ,

jh ,n

τ),h =1ΠN ,0

u k +1i ,j =k [g i +1,j u k i +2,j -(g i +1,j +g i ,j )u k i +1,j +2g i ,j +g i ,j +1u k i ,j +2-(g i ,j +1+g i ,j )u k i ,j +1]+u k i ,j (5)然后,用交替方向隐式的差分格式进行差分,这个格式是二阶精度的并且是绝对稳定的差分格式

[4]。令k =τΠ2h 2,由此得式(4)对应的差分方程为

(1-kg i ,j )u n

+1Π2i ,j

+(kg i +1,j +kg i ,j )u n +1Π2i +1,j -kg i +1,j )u n +1Π2i +2,j =kg i ,j +1)u n i ,j +2-(kg i ,j +1+kg i ,j )u n i ,j +1+(1+kg i ,j )u n i ,j

(6)(1-kg i ,j )u n

+1i ,j +(kg i ,j +1+kg i ,j )u n +1i ,j +1-kg i ,j +1)u n +1i ,j +2=

kg i +1,j )u n +1Π2i +2,j -(kg i +1,j +kg i ,j )u n +1Π2i +1,j +(1+kg i ,j )u n +1Π2i ,j

(7)式(6)(7)的差分方程可以转化为一些具有三对角系数矩阵的方程组,假定第n 层的u n i ,j 已经求出,则由

式(6)可求出u n +1Π2i ,j ,只需按行(i =1,2,...,N -1)解一些具有三对角系数矩阵的方程组,再由式(7)求

出u n +1i ,j ,只需按列(j =1,2,...,N -1)解一些具有三对角系数矩阵的方程组,对于三对角系数矩阵的方程组,可用追赶法数值实现。

2　实验结果

选取标准的玩具图像进行实验,对原始图像加入高斯噪声,用PM 模型、CLMC 模型对加噪声的图图1　原图和加噪声图Fig.1　Images of original and mixing noise

像进行去噪,这里PM 模型的扩散系数

选择形式为g (s )=e -(s Πk )2,对CLMC

模型使用显示和交替方向隐式两种差

分格式离散方程,得到图1的去噪效果

图像。式(1)结果图是PM 模型去噪后

效果图,式(5)结果图是CLMC 模型使

用显示差分方式离散方程的去噪后效

果图,式(6)(7)结果图是CLMC 模型使

用交替方向隐式差分方式离散方程的

去噪后效果图。・795・第6期 刘晨华,等:基于偏微分方程的图像去噪中差分格式的研究